Archivo de la etiqueta: teorías

El PLL analógico y su simulación (y IV)

En esta entrada vamos a analizar el PLL como herramienta para la demodulación de señales analógicas moduladas en argumento, ya que es una de las maneras de transmitir información a través del espacio libre usando transmisión paso banda, a frecuencias más altas. Vamos a usar la modulación FM, porque es la más utilizada como transmisión en telecomunicaciones.

Para entender el principio de funcionamiento del PLL como demodulador de señales FM, vamos a hacer una breve introducción al principio de la modulación en argumento.

MODULACIÓN EN ARGUMENTO: PRINCIPIOS BÁSICOS

Denominamos modulación en argumento a una modulación paso banda en el que la información a transmitir, que denominamos banda base, viaja contenida en el argumento de la señal transmisora. A esta señal transmisora la denominaremos señal modulada, mientras que la señal en banda base la denominaremos señal moduladora. Así pues, si la señal banda base a transmitir es una señal x(t), transmitida sobre una señal cuya pulsación es ωo, la señal resultante será

y(t)=A\cos( \varphi(t))=A\cos({\omega_0}t+{\theta}(t))

El argumento de la señal que estamos transmitiendo, entonces, es

\varphi(t)={\omega_0}t+{\theta}(t)

Si la modulación es en fase (modulación PM), la señal viaja en argumento y tendremos que

\varphi(t)={\omega_0}t+{\theta}(t)={\omega_0}t+m_{PM}x(t)

donde mPM es el índice de modulación para la señal modulada en PM. En el caso de que la modulación viaje en la frecuencia (modulación FM), calculamos la pulsación instantánea calculando la derivada respecto al tiempo del argumento de la señal:

\omega(t)=\dfrac {d \varphi(t)}{dt}={\omega_0}+\dfrac {d{\theta}(t)}{dt}={\omega_0}+m_{FM}x(t)

donde mFM es el índice de modulación para la señal modulada en FM. De esta expresión tenemos que

\dfrac {d{\theta}(t)}{dt}=m_{FM}x(t)

por lo que tendremos que

{\theta}(t)=m_{FM} \displaystyle \int_0^t {x(t)dt}

Por tanto, nuestra señal FM será

y_{FM}(t)=A\cos \left( {\omega_0}t+m_{FM} \displaystyle \int_0^t {x(t)dt} \right)

La ventaja de la modulación FM sobre la modulación en amplitud es notoria, ya que al viajar la información en el argumento, es muy inmune al ruido térmico y a la distorsión, aunque no es inmune a la interferencia ni al ruido de fase de los osciladores. Con la interferencia la señal puede verse mezclada con la señal indeseada (lo veremos al analizar la PLL como demodulador) y con el ruido de fase, se introduce ruido sobre la señal banda base que reduce la calidad de la misma.

ANÁLISIS DE UN PLL COMO DEMODULADOR DE FM

El diagrama de bloques de un PLL como demodulador de FM es

Diagrama de bloques de un PLL como demodulador de FM

Diagrama de bloques de un PLL como demodulador de FM

La señal de FM entra en el PLL a través de comparador de fase, y es comparada con un VCO de la misma frecuencia que la señal modulada. A la salida del filtro de lazo se obtiene la señal original x(t). Si analizamos

{\varphi}_{FM}(t)={\omega_0}t+{\theta}(t)={\omega_0}t+m_{FM} \displaystyle \int_0^t {x(t)dt}

en el dominio de Laplace tenemos que:

{\Psi}_{FM}(s)=\dfrac {\omega_0}{s^2}+{\Theta}(s)=\dfrac {\omega_0}{s^2}+m_{FM} \dfrac {X(s)}{s}

El primer término corresponde a la transformada de ωo·t, mientras que el segundo corresponde a la integración de x(t).

El VCO proporciona un argumento ωo·t, por lo que

{\Psi}_{VCO}(s)=\dfrac {2{\pi}K_V}{s} \Xi_{phase}(s)

Siendo Ξphase(s) la señal de sintonía que ataca al VCO. Además, si la función de transferencia del PLL es H(s), podremos poner

{\Psi}_{VCO}(s)=\dfrac {2{\pi}K_V}{s} \Xi_{phase}(s)=H(s) \left[ {\dfrac {\omega_0}{s^2}+m_{FM} \dfrac {X(s)}{s}} \right]

y de aquí obtenemos que

\Xi_{phase}(s)=\dfrac {H(s)}{2{\pi}K_V} \left[ {\dfrac {\omega_0}{s}+m_{FM} {X(s)}} \right]

En las entradas anteriores habíamos obtenido que la función de transferencia H(s) es un filtro paso bajo, generalmente de primer o segundo orden, por lo que eligiendo la pulsación natural del lazo de un valor mayor a la anchura de banda de la señal X(s), podemos obtener que:

\Xi_{util}(s)=\dfrac {\omega_0}{{2{\pi}K_V}s}+\dfrac {m_{FM}}{2{\pi}K_V}X(s)

Vamos a ver ambos términos. El primero es la transformada de Laplace de un escalón unitario

{\mathcal L}^{^-1} \left[ {\dfrac {\omega_0}{{2{\pi}K_V}s}} \right] =\dfrac {\omega_0}{{2{\pi}K_V}}u(t)=\dfrac {f_0}{K_V}u(t)

donde u(t) es la señal escalón y como KV es la respuesta del VCO a una tensión de control, nos da como resultado una componente DC que corresponde a la tensión que sintetiza fo.

Hay que recordar que KV no es estrictamente lineal, sino que es función de la frecuencia (KV(f)). No obstante, si el índice de modulación no es muy elevado y hay poca excursión frecuencial , podemos considerar en el entorno de f0 a KV como una constante. Esto afectaría al segundo término, que es la propia señal X(s) multiplicada por un valor que tiene en el denominador a KV. Si KV depende de la frecuencia, la transformada inversa es bastante más compleja. Pero al ser aproximado KV por una constante, sólo aparece X(s) como función de la variable s=j·ω , por lo que podemos obtener el valor de la señal. En resumen, tendremos que la transformada inversa es

\xi_{util}(t)=\dfrac {\omega_0}{2{\pi}K_V}u(t)+\dfrac {m_{FM}}{2{\pi}K_V}x(t)

Señal de sintonía útil para el VCO.y eliminando la componente de DC mediante un condensador de desacoplo, obtendremos que

\xi_{demod}(t)=\dfrac {m_{FM}}{2{\pi}K_V}x(t)

Por tanto, con el PLL podremos demodular una señal modulada en FM a través de su salida del filtro de lazo.

Como podemos ver a lo largo de la explicación, la influencia de una señal interferente se puede sumar al argumento demodulado y montarse sobre la señal deseada, aplicando superposición, ya que el PLL encuentra dos frecuencias similares y no es capaz de discernir cuál de ellas es la útil.

También podemos ver que si hay un ruido de argumento θn(t), tendremos que

\Xi_{phase}(s)=\dfrac{H(s)}{2{\pi}K_V} \left[ \dfrac {\omega_0}{s}+m_{FM}X(s)+s{\Theta_n}(s) \right]

por lo que el ruido de fase quedaría filtrado por el H(s) salvo en las frecuencias correspondientes a X(s), ruido que llamaremos ΘnBW(s). Aplicando la transformada inversa, obtendremos que

\xi_{util}(t)=\dfrac {\omega_0}{2{\pi}K_V}u(t)+\dfrac {m_{FM}}{2{\pi}K_V}x(t)+\dfrac {d{\Theta_{nBW}}(t)}{dt}

La influencia de este ruido, en analógico no suele ser muy grande, pero en digital puede provocar “jitter” en los flancos de subida y bajada de la señal demodulada, que habría que tratar mejorando el ruido de fase de los osciladores.

DISEÑO DE UN PLL PARA DEMODULAR UNA SEÑAL FM

Vamos a suponer un PLL que tenga los siguientes parámetros:

  • Kd=1 V/rad
  • KV= 10 KHz/V

y usamos una señal moduladora cosenoidal

x(t)=A_{mod} \cos {\left( \omega_{mod}t \right)}

con fmod=5 KHz. La señal modulada tiene una frecuencia fo=100 MHz, por lo que la señal FM será

y_{FM}= A \cos { \left( 2{\pi} \cdot 100 \cdot 10^6\cdot t + m_{FM}A_{mod} \displaystyle \int_0^t {\cos {\left( 2{\pi} \cdot 5 \cdot 10^3\cdot t \right)} dt} \right)}

Nuestro filtro de lazo va a ser un filtro del tipo

F(s)=\dfrac {1+{\tau_2}s}{{\tau_1}s}

La función de transferencia H(s) es:

H(s)=\dfrac {{\Psi_{VCO}}(s)}{{\Psi_I}(s)}=\dfrac {K {\dfrac {1+{\tau_2}s}{{\tau_1}s}}}{s+\dfrac {1+{\tau_2}s}{{\tau_1}s}}

K=2{\pi} K_D K_V=2{\pi} \cdot 10^4

De aquí obtendremos que

H(s)=\dfrac {{\Psi_{VCO}}(s)}{{\Psi_I}(s)}=\dfrac {2{\pi} \cdot 10^4 \cdot {\tau_2}s+2{\pi} \cdot 10^4}{ {\tau_1}s^2 +2{\pi} \cdot 10^4 \cdot {\tau_2} \cdot s +2{\pi} \cdot 10^4} =\dfrac {2{\pi} \cdot 10^4 \cdot \dfrac {\tau_2}{\tau_1}s+\dfrac {2{\pi} \cdot 10^4}{\tau_1}}{ s^2 +2{\pi} \cdot 10^4 \cdot \dfrac {\tau_2}{\tau_1} \cdot s +\dfrac {2{\pi} \cdot 10^4}{\tau_1}}

y además, tendremos que

H(s)=\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}

por lo que

{\tau_1}=\dfrac {2{\pi} \cdot 10^4}{\omega_n^2}

{\tau_2}=\dfrac {2{\xi}}{\omega_n}

Como tenemos que filtrar por encima de 5 KHz, podemos elegir una frecuencia natural de lazo de 10KHz, y un amortiguamiento de 0,707. Entonces las constantes de tiempo del filtro de lazo son:

{\tau_1}=\dfrac {2{\pi} \cdot 10^4}{\left( {2{\pi} \cdot 6 \cdot 10^3} \right)^2}=15,92 {\mu}s

{\tau_2}=\dfrac {2 \cdot 0,707}{2{\pi} \cdot 6 \cdot 10^3}=22,51 {\mu}s

Eligiendo filtro del tipo

Filtro de lazo de primer orden

Filtro de lazo de primer orden

tendremos que

\tau_1=R_1C_1

\tau_2=R_2C_1

Y si R2=10KΩ, tendremos que

C_1= \dfrac {\tau_2}{R_2}=\dfrac{22,51 {\mu}s}{10^4}=2,25nF \approx 2n2

R_1= \dfrac {\tau_1}{C_1}=\dfrac{15,92 {\mu}s}{2,25nF}=7,07k{\Omega} \approx 6k8

SIMULACIÓN DE UN PLL COMO DEMODULADOR DE FM

En algunos simuladores podemos usar bloques para estudiar el comportamiento como demodulador de FM de un PLL. Sin embargo, no todos los simuladores contienen en sus librerías estos bloques.

Sí se puede hacer un estudio, sin embargo, de la función de transferencia en el punto de sintonía del PLL, que marcaremos como x(t). El diagrama de bloques de nuestro PLL será, entonces

PLL para calcular la respuesta en frecuencia del filtro anterior

PLL para calcular la respuesta en frecuencia del filtro anterior

La transformada de ξ(t) la llamábamos Ξ(s), y el argumento yFM(t) tiene una transformada YFM(s). La función de transferencia a estudiar es

\dfrac {{\Xi}(s)}{{\Psi_{FM}}(s)}=\dfrac {s}{2{\pi}K_V}H(s)

donde H(s) es la función de transferencia del PLL en lazo cerrado. Por tanto, la función de transferencia es

\dfrac {{\Xi}(s)}{{\Psi_{FM}}(s)}=\dfrac {s}{2{\pi}K_V}\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}

Estudiando los límites, tendremos que

\displaystyle\lim_{s \to 0} \dfrac {{\Xi}(s)}{{\Psi_{FM}}(s)}=\displaystyle\lim_{s \to 0} \dfrac {s}{2{\pi}K_V}\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}=0

\displaystyle\lim_{s \to {+}\infty} \dfrac {{\Xi}(s)}{{\Psi_{FM}}(s)}=\displaystyle\lim_{s \to {+}\infty} \dfrac {s}{2{\pi}K_V}\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}=\dfrac {{\xi}{\omega_n}}{{\pi}K_V}=\dfrac {\tau_2}{\tau_1}=\sqrt{2}

Por tanto, podemos concluir que se trata de un filtro paso alto que sube con una pendiente de 20dB/dec hasta la pulsación natural del lazo ωn, y a partir de ahí se mantiene constante.

Un filtro paso alto hace una función de derivación, por lo que podemos aproximar por

{\xi}(t)={cte} \dfrac {d{\psi}(t)}{dt}

Trazando el Bode de esta función, podemos comprobar la pendiente de nuestra función de transferencia y estudiar el comportamiento paso alto.

Y si estudiamos el comportamiento de esta función de transferencia, vemos que se comporta como un filtro paso alto donde la señal útil se encuentra entre DC y 5KHz, y en la parte plana tenemos 3dB, que es la relación entre el tiempoτ2 y τ1.

Bode de la función de transferencia para la tensión de sintonía

Bode de la función de transferencia para la tensión de sintonía

Por encima de los 100KHz el filtro vuelve a caer debido al comportamiento paso bajo del amplificador operacional.

En la zona de la pulsación natural podemos ver que existe cierta distorsión debido al cambio de pendiente de la función de transferencia. Es por eso que es recomendable siempre buscar una pulsación natural de lazo cuya frecuencia sea una octava de la máxima frecuencia de la señal útil, para reducir esta distorsión.

CONCLUSIONES

En esta entrada hemos analizado el comportamiento de un PLL como demodulador de señal en FM, y cómo se puede analizar la función de transferencia entre la señal de FM y la señal demodulada. Con esta entrada, finalizamos en capítulo de las PLL analógicas y sus posibilidades de simulación usando simuladores convencionales.

La siguiente entrada tratará de las PLL digitales, su estudio y comparación con las PLL analógicas y cómo se pueden sintetizar las mismas.

REFERENCIAS

  1. Benjamin C. Kuo.; “Automatic Control Systems”; 2nd ed.; Englewood Cliffs, NJ; Prentice Hall; 1975
  2. F.M Gardner; “Phase Locked Loop Techniques”; 2nd ed.; New York; Wiley; 1979
  3. Varsha Prasad & Dr Chirag Sharma; “A Review of Phase Locked Loop”; International Journal of Emerging Technology and Advanced Engineering; vol. 2, no.6, pp.98-104; June 2012.
  4. F. M. Gardner; “Charge-Pump Phase-Lock Loops”; IEEE Transactions on Communications; vol. 28, no. 11, pp. 1849-1858; Nov 1980.
  5. Marc Tiebout; “Low-Power Low-Phase-Noise Differentially Tuned Quadrature VCO Design in Standard CMOS”; IEEE Journal of solid-state circuits; vol. 36, no. 7; July 2001
  6. Kim Beomsup, T.C. Weigandt, P.R. Gray; “PLL/DLL system noise analysis for low jitter clock synthesizer design”; IEEE International Symposium on Circuits and Systems; vol. 4, pp. 31-34; Jun. 1994
  7. Dai Liang, R. Harjani; “Design of low-phase-noise CMOS ring oscillators”; IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing; vol. 49, no.5, pp. 328-338; May 2002
  8. “Phase locked loop fundamentals”; Mini-Circuits; VCO Application Notes

El PLL analógico y su simulación (III)

Seguimos con este monográfico dedicado al lazo de seguimiento de fase o PLL. En esta entrada vamos a analizar el comportamiento transitorio del PLL, cuando se produce un arranque en el mismo. De este modo, podremos analizar cómo se comporta en función del factor de amortiguamiento ξ y de la pulsación natural del lazo ωn. Además, mostraremos una forma sencilla de medir estos parámetros con un osciloscopio.

ANÁLISIS EN EL DOMINIO TEMPORAL

En el momento inicial del arranque, tanto la frecuencia de referencia fr como la frecuencia del VCO fVCO son nulas. En el momento del arranque, t0, la frecuencia de referencia pasa de ser nula al valor elegido, en forma de señal escalón:

f_r \left( t-t_0 \right)=\left \{ \begin{matrix} 0 { } \mbox { }t<t_0\\ f_r { } \mbox { }t \ge t_0\end{matrix}\right.

cuya transformada de Laplace es

F_r(s)=f_r\dfrac {e^{-st_0}}{s}

Si elegimos t0=0, la transformada de Laplace pasa a ser

F_r(s)=\dfrac {f_r}{s}

La función de transferencia H(s) del PLL es de la forma

H(s)=\dfrac {\dfrac {NKF(s)}{s}}{1+\dfrac {KF(s)}{s}}

por lo que la respuesta del VCO será

f_{VCO}(S)=H(s)U(s)=\dfrac {\dfrac {NKF(s)}{s}}{1+\dfrac {KF(s)}{s}}\dfrac {f_r}{s}=\dfrac {NKF(s)}{1+\dfrac {KF(s)}{s}}f_r

La respuesta de la función de transferencia es un filtro paso bajo y la de la frecuencia de referencia un integrador. Además, en la PLL analizada el filtro paso bajo es un filtro de segundo orden cuya función de transferencia se puede poner de la forma

H(s)=\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}

La respuesta impulsiva a este tipo de función de transferencia (la respuesta impulsiva es la respuesta a una señal tipo escalón) se obtiene de la transformada inversa de esta función. Para ello analizamos los polos de la misma, que son

p_{1,2}=-{\xi}{\omega}_n \pm j{\omega}_n \sqrt {1-{\xi}^2}

por lo que la función de transferencia H(s) se escribe como

H(s)=\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{\left( -{\xi}{\omega}_n + j{\omega}_n \sqrt {1-{\xi}^2} \right) \left(-{\xi}{\omega}_n - j{\omega}_n \sqrt {1-{\xi}^2} \right)}

y si ahora separamos la fracción en dos fracciones independientes

H(s)=\dfrac {A}{\left( -{\xi}{\omega}_n + j{\omega}_n \sqrt {1-{\xi}^2} \right)}+\dfrac {B}{\left( -{\xi}{\omega}_n - j{\omega}_n \sqrt {1-{\xi}^2} \right)}

sacamos que A=B={\omega}_n^2

Y la transformada inversa, cuando le aplicamos un escalón, es

f_{VCO}(t)=\left[ {1-{\omega}_n^2 e^{-{\xi}{\omega}_nt}}{\left( e^{+ j{\omega}_n t \sqrt {1-{\xi}^2}}+e^{- j{\omega}_n t \sqrt {1-{\xi}^2}} \right)}\right]{Nf_r}

f_{VCO}(t)=\left[ {1-2{\omega}_n^2 e^{-{\xi}{\omega}_nt}}cos {\left( { {\omega}_n }t {\sqrt {1-{\xi}^2}}\right)}\right]{Nf_r}

Por tanto, obtenemos una función periódica (cosenoidal) amortiguada. Vamos a analizar qué es lo que ocurre cuando ξ=0. La función toma el valor

f_{VCO}(t)=\left[ {1-2{\omega}_n^2 cos {\left( { {\omega}_n }t \right)} }\right]{Nf_r}

y por tanto la señal se mantiene oscilando. Cuando 0<ξ<1, la señal mantiene una respuesta cosenoidal, pero que se va amortiguando en el tiempo. Y cuando ξ=1, la señal toma el valor

f_{VCO}(t)=\left[ {1-2{\omega}_n^2 }e^{-{\omega}_nt}\right]{Nf_r}

y se convierte en una señal que va creciendo de forma exponencial. A medida que subimos ξ=1, retardamos más la señal. Las diferentes formas de onda que vamos a ver son

Diferentes respuestas de la señal en función del amortiguamiento

Diferentes respuestas de la señal en función del amortiguamiento

Por tanto, para que nuestro PLL tenga enganche y no oscile hace falta que 0<ξ<1.

ESTUDIO EN EL SIMULADOR DE LA PLL

Volvemos a analizar el diagrama de bloques que teníamos en las dos entradas anteriores, pero en este caso vamos a analizar el dominio temporal

Diagrama de bloques del PLL

Diagrama de bloques del PLL

Vamos a introducir una señal de entrada que corresponde a una señal escalón del tipo

f_r t)=\left \{ \begin{matrix} 0 { } \mbox { }t< {1 ms}\\ {25K   } \mbox { }t \ge {1,1 ms} \end{matrix}\right.

La subida es una rampa lineal entre 1 y 1,1ms. La forma de onda que tenemos a la entrada es, entonces

Respuesta temporal de la señal de entrada

Respuesta temporal de la señal de entrada

y la respuesta de salida obtenida tras pasar por el PLL es

Respuesta de salida (VCO) para el PLL calculado

Respuesta de salida (VCO) para el PLL calculado

donde podemos ver que la respuesta es cosenoidal y amortiguada, ya que hemos introducido un factor de amortiguamiento ξ=0,707. Cuando después de un tiempo la señal se estabiliza, la salida pasa a ser 850MHz, que es la frecuencia a la que habíamos diseñado el PLL.

Si disminuimos este factor de amortiguamiento, podremos ver que la función coseno va haciéndose más pronunciada:

Respuesta de salida para un amortiguamiento cercano a cero

Respuesta de salida para un amortiguamiento  cercano a cero

FORMA DE MEDIR EN EL OSCILOSCOPIO EL ENGANCHE DE FASE DE UN PLL

Si queremos medir el enganche de fase de un PLL y evaluar la respuesta de éste, podemos hacerlo usando un osciloscopio. En este caso, la tensión correspondiente a 850MHz es de 7,5V, por lo que basta con colocar la sonda del osciloscopio justo en el nudo de control del VCO, y colocar la tensión de disparo del osciloscopio en modo de subida, a unos 8,5V, y con el modo de disparo en NORMAL, podremos capturar la traza del arranque

Traza obtenida en el osciloscopio, para medir la señal en el VCO

Traza obtenida en el osciloscopio, para medir la señal en el VCO

Y teniendo la señal de ataque al VCO, podremos comprobar el factor de amortiguamiento ξ y la pulsación natural del lazo ωn, midiendo las crestas y el tiempo entre crestas de la señal capturada.

CONCLUSIÓN

En esta entrada hemos podido comprobar la viabilidad de un simulador para analizar el comportamiento temporal de un PLL y comprobar la influencia del factor de amortiguamiento en el enganche de la frecuencia de un VCO. En la siguiente entrega comprobaremos cómo se puede usar un PLL para demodular una señal FM.

REFERENCIAS

  1. Benjamin C. Kuo.; “Automatic Control Systems”; 2nd ed.; Englewood Cliffs, NJ; Prentice Hall; 1975
  2. F.M Gardner; “Phase Locked Loop Techniques”; 2nd ed.; New York; Wiley; 1979
  3. Varsha Prasad & Dr Chirag Sharma; “A Review of Phase Locked Loop”; International Journal of Emerging Technology and Advanced Engineering; vol. 2, no.6, pp.98-104; June 2012.
  4. F. M. Gardner; “Charge-Pump Phase-Lock Loops”; IEEE Transactions on Communications; vol. 28, no. 11, pp. 1849-1858; Nov 1980.
  5. Marc Tiebout; “Low-Power Low-Phase-Noise Differentially Tuned Quadrature VCO Design in Standard CMOS”; IEEE Journal of solid-state circuits; vol. 36, no. 7; July 2001
  6. Kim Beomsup, T.C. Weigandt, P.R. Gray; “PLL/DLL system noise analysis for low jitter clock synthesizer design”; IEEE International Symposium on Circuits and Systems; vol. 4, pp. 31-34; Jun. 1994
  7. Dai Liang, R. Harjani; “Design of low-phase-noise CMOS ring oscillators”; IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing; vol. 49, no.5, pp. 328-338; May 2002
  8. “Phase locked loop fundamentals”; Mini-Circuits; VCO Application Notes

El PLL analógico y su simulación (II)

Habíamos analizado en la entrada del mes pasado la forma de estudiar la estabilidad de un PLL analógico en términos de margenes de ganancia y de fase, para poder analizar y optimizar el lazo lo mejor posible y conseguir un enganche sin problemas.

En esta entrada vamos a analizar la simulación del modelo de ruido de un PLL, para analizar cuáles son los parámetros más críticos a la hora de obtener un oscilador con un buen ruido de fase, hoy en día muy necesario para usarlo en telecomunicaciones digitales.

EL RUIDO DE FASE

No es el objetivo de esta entrada profundizar en los efectos del ruido de fase, pero sí es conveniente para el profano conocer qué es lo que provoca la existencia de ese ruido. Por tanto, vamos a estudiar cómo se genera y lo que normalmente provoca.

Un oscilador convencional oscila en una frecuencia en función del circuito resonante utilizado. La estabilidad de la frecuencia de salida depende, entonces, del factor de calidad usado en el circuito resonante. Contra mayor es el Q del circuito, mejor será la estabilidad de la frecuencia de salida.

Sin embargo, a la estabilidad del oscilador hay que añadir un parámetro que está afectando cada vez más a los sistemas de comunicaciones. Este parámetro es el ruido de fase.

El ruido de fase se define como la variación aleatoria de la fase instantánea de una señal periódica respecto a la señal ideal. Es, por tanto, un ruido que viaja en el argumento de la señal y no en la amplitud, como puede ocurrir con el ruido térmico. Sin embargo, puede afectar muy negativamente en las señales si éste no se controla, del mismo modo que pasa con el ruido térmico.

Se suele representar como una densidad espectral de potencia de ruido distribuida en las bandas laterales de la frecuencia de la señal, y se mide en dBc/Hz.

Representación de la densidad espectral del ruido de fase

Representación de la densidad espectral del ruido de fase

El ruido de fase se puede calcular mediante el modelo de Leeson a través de la expresión

L(f)= \dfrac {kT_0}{2P_0} \left( {1+ \dfrac {f_0}{f}} \right) \left[{1+ \left( \dfrac {f_0}{2Qf} \right)^2} \right]

donde

  • Po es la amplitud de la señal de salida del oscilador
  • k.T0 es la amplitud del ruido térmico (T0 temperatura de ruido, k constante de Boltzmann)
  • f0 la frecuencia del oscilador
  • Q el factor de calidad del circuito resonante y
  • f la frecuencia de offset en el que se mide la densidad de potencia de ruido

El ruido de fase provoca fluctuaciones en los flancos de subida y bajada de las señales digitales, que afectan a la correcta interpretación del dato enviado. A esta fluctuación se le suele denominar “jitter” y es uno de los inconvenientes que se pueden encontrar en las comunicaciones digitales.

Fluctuación o "jitter" provocado en los flancos de una señal digital

Fluctuación o “jitter” provocado en los flancos de una señal digital

En los sistemas analógicos, el ruido de fase influía, sobre todo, en las modulaciones de tipo angular, ya que la información viaja en el argumento. Si tenemos una señal portadora sinusoidal y(t) de pulsación ω, y le añadimos un ruido de fase Δθn, la señal real será

y(t)=A_m \sin {\left( {\omega}t + {\Delta}{\theta}_n\right)}

y_{FM}(t)=A_m \sin {\left( {\omega}t + k_f \displaystyle \int {f(t) dt} + {\Delta}{\theta}_n\right)}

y_{FM}(t)=A_m \sin {\left( {\omega}t + k_pf(t) + {\Delta}{\theta}_n\right)}

Por lo que podemos observar, el ruido de fase es un ruido que se puede sumar a la señal original y provocar una incorrecta recepción del sistema demodulador. Sin embargo, estos sistemas son más inmunes al ruido térmico puesto que la información no viaja en la amplitud.

En los sistemas digitales en transmisión pasobanda, la información digital se asocia a un símbolo, que es una representación espacial en fase y cuadratura y que tiene una amplitud y una fase, por lo que el ruido térmico (ruido de amplitud) tiene influencia, pero al haber también fase asociada el ruido de fase también afecta a la señal recibida

s_m(t)=Re \left[ {g(t)} {\left( A_m+{\Delta}n_e \right)}e^{j{\theta}_m}e^{j \left({ {\omega}t+{\Delta}{\theta}_n} \right)} \right]

con g(t) respuesta del filtro conformador

s_m(t)=Re \left[ {g(t)} {\left( A_m+{\Delta}n_e \right)}{e^{j \left({ {\theta}_m+{\Delta}{\theta}_n} \right)}}e^{j{ {\omega}t}}\right]

Y de aquí obtendremos que el símbolo tiene añadido en su amplitud y fase ruido que es tanto de amplitud y fase

{A'}_m =A_m + {\Delta}n_e

{{\theta}'}_m ={\theta}_m + {\Delta}{\theta}_n

Si estos símbolos los representamos en una constelación (como por ejemplo una QPSK), la señal recibida será

Símbolos de la señal QPSK recibida, junto con el ruido de amplitud y de fase.

Símbolos de la señal QPSK recibida, junto con el ruido de amplitud y de fase

Por tanto, si no se controlan los niveles de ambos ruidos (amplitud y fase), la información digital recibida podría no ser demodulada. Este fenómeno se estudia a partir del B.E.R. (bit error rate), que es un factor que mide la probabilidad de error en la recepción de bits en función del tipo de modulación digital que se utilice (QPSK o QAM).

SÍNTESIS DE OSCILADORES CON PLL

Como hemos dicho en la entrada anterior, la mayoría de los osciladores usados en frecuencias que son moduladas para transmitir la señal en forma pasobanda se realizan con VCO’s. Y como los VCO’s no suelen ser osciladores estables, se suele recurrir al PLL para realizar la síntesis.

En la entrada anterior estudiamos el diagrama de bloques del PLL y cómo se puede estudiar su estabilidad. Ahora vamos a estudiar el comportamiento cuando se añade ruido al sistema.

Para ello representamos el modelo de ruido del PLL, que es

Diagrama de bloques para analizar el ruido de una PLL

Diagrama de bloques para analizar el ruido de una PLL

donde tenemos que Δθr es el ruido de fase que introduce la referencia, Δθk es el ruido que introduce el detector de fase, Δθn es el ruido que aparece justo en la entrada del VCO, Δθmin es el ruido que introduce el divisor y Δθvco es el ruido de fase que tiene el propio oscilador a sintetizar.

Vamos a analizar por partes, aplicando superposición, cada una de las contribuciones de ruido, comenzando por el ruido de la frecuencia de referencia Δθr, al que hay que añadir el ruido que sale del divisor ÷N, Δθmin. La contribución al ruido de salida Δθout de ambas componentes de ruido es

\left[ {\Delta}{{\theta}_{out}}^2\right]_r=\left[ \dfrac{N}{1+\dfrac {s}{KF(s)}}\right]^2\left({\Delta}{{\theta}_r}^2+{\Delta}{{\theta}_{min}}^2\right)=x^2

siendo K=\dfrac {2{\pi}K_OK_D}{N}. Analizando la función de transferencia

\left[ \dfrac {1}{1+\dfrac {s}{KF(s)}} \right]

y sabiendo que F(s) es un filtro pasobajo, la función resultante coincide con la función de transferencia H(s) del PLL, se puede concluir la función de transferencia se comporta como un paso bajo para el ruido de referencia. Además, podemos comprobar que el ruido en la zona de paso de la función de transferencia queda multiplicada por N, que es la relación de división. Por tanto, un factor N bajo reduce el ruido introducido por la referencia.

En una PLL, una vez elegida la pulsación natural del lazo ωn, que es la frecuencia de corte de la función de transferencia pasobajo H(s), el ruido por debajo de esa pulsación natural del lazo es debido al ruido de la referencia, multiplicada por N. La contribución del ruido del divisor Δθmin se puede reducir si el sintetizador utilizado se le alimenta con una buena tensión de continua Vdd, muy bien filtrada para que no se reduzca al máximo el piso de ruido que genera el propio componente. Así, podemos decir que Δθmin≈0.

El comparador, como también es un dispositivo electrónico y por lo general está integrado en el propio sintetizador, también genera un piso de ruido Δθk. La contribución al ruido de salida del ruido generado por el comparador es:

\left[ {\Delta}{{\theta}_{out}}^2\right]_k=\dfrac {1}{K_D^2}\left[ \dfrac{N}{1+\dfrac {s}{KF(s)}}\right]^2{\Delta}{{\theta}_k}^2=y^2

En este caso, el comportamiento del comparador también es un paso bajo, pero en este caso está dividido por la ganancia del comparador de fase. Del mismo modo que Δθmin, Δθk está generado por el propio sintetizador y puede minimizarse realizando un buen filtrado de las alimentaciones del sintetizador, y usando una tensión Vdd muy limpia. Si se cumplen estas condiciones, podemos considerar también que Δθk≈0.

Por último, vamos a ver cómo contribuyen a la salida el ruido de fase propio del VCO, Δθvco, y el ruido presente justo a la entrada del VCO, Δθn. Analizando el sistema, podemos poner que la contribución al ruido de Δθvco y Δθn es

\left[ {\Delta}{{\theta}_{out}}^2\right]_{vco}=\left[ \dfrac {s}{s+KF(s)} \right]^2 \left ({\Delta}{{\theta}_{vco}}^2+\dfrac {K_O}{s}{\Delta}{{\theta}_n}^2 \right)=z^2

Y analizando la función de transferencia de esta contribución de ruido, podemos ver que hay un cero en el origen, que hace que el comportamiento de esa función de transferencia sea el de un filtro pasoalto del tipo \dfrac {s}{s+KF(s)}

Al ser un filtro pasoalto, su frecuencia de corte será la pulsación natural del lazo ωn, lo que viene a indicar que la PLL filtra el ruido del oscilador VCO hasta la pulsación natural del lazo ωn, y que por encima, el ruido de fase del VCO es el que predomina en el ruido de salida.

En este caso, Δθn también es un piso de ruido que se puede minimizar usando técnicas de filtrado eficientes. Además, el propio VCO lo filtra, por lo que en la mayoría de los casos, podemos considerar que Δθn≈0.

La contribución a la potencia ruido es la suma de las tres componentes por separado, y despreciando el ruido del divisor, del comparador y del nodo de entrada del VCO, podemos escribir que

{\Delta}{{\theta}_{out}}^2=\left[ {\Delta}{{\theta}_{out}}^2\right]_r+\left[ {\Delta}{{\theta}_{out}}^2\right]_k+\left[ {\Delta}{{\theta}_{out}}^2\right]_{vco}

{\Delta}{{\theta}_{out}}^2=\left[ \dfrac{N}{1+\dfrac {s}{KF(s)}}\right]^2 {\Delta}{{\theta}_r}^2+\left[ \dfrac {s}{s+KF(s)} \right]^2 {\Delta}{{\theta}_{vco}}^2

por lo que tenemos que en la PLL, cuya función de transferencia H(s) es un filtro pasobajo con una pulsación natural ωn, la contribución al ruido por debajo de esa frecuencia es debida al ruido de fase de la frecuencia de referencia (por lo general un oscilador a cristal de cuarzo), multiplicado por el factor de división N usado en el VCO, mientras que a frecuencias superiores a la pulsación natural del lazo ωn, el ruido de salida es el ruido del oscilador local.

Por tanto, el ruido de fase de un oscilador sintetizado con una PLL será siempre un compromiso entre la pulsación de referencia utilizada, que es la que proporciona el salto frecuencial del VCO, y la pulsación ωn del pasobajo que forma la PLL. Debido a que en la PLL está presente la frecuencia de referencia ωr, a medida que ωn se acerca a ésta, aparecen frecuencias espurias en el VCO a una distancia de la señal deseada que vale fr. Se filtra el ruido, pero aparecen espurias en la señal de salida. Sin embargo, si se quieren hacer saltos muy bajos, el factor N será muy alto, por lo que el ruido de la referencia será cada vez mayor.

Por lo general, en la mayoría de los sintetizadores el factor N es entero, por lo que suele tomar valores muy elevados. Hoy en día, sin embargo, se están comercializando sintetizadores con divisores N fracionales, de tal modo que se puede elegir una frecuencia de referencia muy alta y hacer el salto gracias a que N es un número fraccionario, consiguiendo ruidos de fase muy buenos. Sin embargo, la mayoría de los sintetizadores comerciales siguen siendo de divisores por N enteros, por lo que hay que seguir vigilando el ruido.

Hay que destacar que ωn muy bajas hacen que el lazo sea de enganche lento, mientras que cuando son muy altas, suele ser de enganche muy rápido. Ambas versiones presentan ventajas e inconvenientes, que hay que analizar a la hora de conseguir una PLL óptima. Las diferencias fundamentales son:

  • Una ωn baja (PLL lenta) introduce más ruido de fase, pero es más inmune fenómenos de desenganche provocados por la vibración.
  • Una ωn alta (PLL rápida) reduce mucho el ruido de fase, pero puede introducir frecuencias espurias y puede tener mayor tendencia a oscilar, aparte de que es muy sensible al microfonismo o acoplamiento por vibración.

Lo normal es elegir una ωn que sea 10 veces inferior a ωr (pulsación de referencia) para el diseño de cualquier PLL.

SIMULACIÓN DE LAS FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DEL RUIDO

Del mismo modo que hemos simulado en la entrada anterior los márgenes de amplitud y de fase, es posible simular también el comportamiento del ruido de referencia y el ruido del VCO. Para ello usamos los mismos datos que en el caso anterior

  • Frecuencia del VCO fo : 850 MHz
  • Ganancia del VCO Ko : 20 MHz/volt
  • Frecuencia de referencia fr : 25 KHz
  • Relación de división N: 34000
  • Ganancia del comparador de fase : 1 mA/rad
  • Frecuencia natural del lazo : 3 KHz

Y el diagrama de bloques, en este caso ya en lazo cerrado, será

Diagrama de bloques en lazo cerrado del PLL

Diagrama de bloques en lazo cerrado del PLL

donde la función de transferencia es la ya conocida \left[ \dfrac {N}{1+\dfrac {s}{KF(s)}}\right] siendo su respuesta una curva de la forma

Función de transferencia H(s). Contribución al ruido de la frecuencia de referencia

Función de transferencia H(s). Contribución al ruido de la frecuencia de referencia

En la función de transferencia se puede apreciar el pico del amortiguamiento ξ, ya que para un PLL de segundo orden genérico, la función de transferencia H(s)

H(s)=\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}

con ξ el factor de amortiguamiento y ωn la pulsación natural del lazo.

Para comprobar el funcionamiento pasoalto del lazo, simplemente tenemos que tomar la diferencia entre fr y el valor que toma en el nodo VCO, para comprobar que la función de transferencia es \dfrac {s}{s+KF(s)}Por tanto, simulando tomando como variables de salida la diferencia de tensión entre los nodos conectados REF y VCO en el comparador de fase, obtendremos una curva

Función de transferencia de la contribución del ruido del VCO a la frecuencia de salida

Función de transferencia de la contribución del ruido del VCO a la frecuencia de salida

El factor ξ se provoca, a frecuencias cercanas a ωn un pico de amortiguamiento. Hay que optimizar el filtro de lazo para que ese pico de amortiguamiento sea más bajo lo más bajo posible, evitando que el PLL oscile.

Como se puede ver en la gráfica, el ruido del VCO por debajo de la pulsación ωn queda filtrado, por lo que podemos ver que sólo contribuye el ruido de la frecuencia de referencia. Por encima, el paso alto tiene un valor de ganancia 0dB, por lo que el PLL deja pasar el ruido de fase del VCO.

Si combinamos ambas respuestas, correctamente escaladas, obtenemos

Composición de ambas respuestas en frecuencia

Composición de ambas respuestas en frecuencia

Se puede observar que la ganancia en pasobajo de la función de transferencia que contribuye al ruido de la frecuencia de referencia es de 90,63dB (20.log (34000)), mientras que e la ganancia en pasoalto de la otra función de transferencia es 0dB, por lo que el ruido del VCO queda igual. En la zona donde coinciden ambas, correspondiente a la pulsación ωn, ambos ruidos se suman.

CONCLUSIÓN

En esta entrada hemos podido comprobar un método para estudiar el comportamiento de un PLL con respecto al ruido de fase del VCO y comprobado que el modelo propuesto es válido para optimizar el ruido de fase de cualquier oscilador sintetizado. En la siguiente entrada estudiaremos la síntesis usando un oscilador VCO de ruido de fase conocido, junto con un XO con ruido de fase conocido, y comprobaremos que ambas componentes espectrales se suman siguiendo el modelo propuesto.

REFERENCIAS

  1. F.M Gardner; “Phase Locked Loop Techniques”; 2nd ed.; New York; Wiley; 1979
  2. Varsha Prasad & Dr Chirag Sharma; “A Review of Phase Locked Loop”; International Journal of Emerging Technology and Advanced Engineering; vol. 2, no.6, pp.98-104; June 2012.
  3. F. M. Gardner; “Charge-Pump Phase-Lock Loops”; IEEE Transactions on Communications; vol. 28, no. 11, pp. 1849-1858; Nov 1980.
  4. Marc Tiebout; “Low-Power Low-Phase-Noise Differentially Tuned Quadrature VCO Design in Standard CMOS”; IEEE Journal of solid-state circuits; vol. 36, no. 7; July 2001
  5. Kim Beomsup, T.C. Weigandt, P.R. Gray; “PLL/DLL system noise analysis for low jitter clock synthesizer design”; IEEE International Symposium on Circuits and Systems; vol. 4, pp. 31-34; Jun. 1994
  6. Dai Liang, R. Harjani; “Design of low-phase-noise CMOS ring oscillators”; IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing; vol. 49, no.5, pp. 328-338; May 2002
  7. “Phase locked loop fundamentals”; Mini-Circuits; VCO Application Notes

A vueltas con la Teoría del Caos

La Teoría del Caos, o el principio de que “una mariposa bate las alas en Pekín y llueve en Nueva York”, más conocido como Efecto Mariposa. Una de las Teorías más apasionantes de la Física y que, sin embargo, se puede hacer fácilmente entendible, una vez conocidos los sistemas a los cuales afecta.

La Teoría del Caos es aquella que se aplica a aquellos sistemas dinámicos en los que una leve variación de las variables que les afectan provoca una variación importante en la variable de salida. Estos sistemas se denominan caóticos, y aunque son sistemas determinísticos (o sea, se pueden determinar por la relación causa-efecto), sin embargo sus resultados son difícilmente predecibles debido a que se desconocen las condiciones en las que se van a encontrar en la cadena de sucesos.

El determinismo exige que no exista azar en la cadena que da lugar al suceso, y de esta manera se puede predecir el comportamiento de un fenómeno concreto.

ERROR EN LA PREDICCIÓN DE UN SUCESO

Todos sabemos que, a veces, la predicción del tiempo atmosférico falla, y se suele criticar al hombre del tiempo de esos fallos. Sin embargo, la predicción del tiempo atmosférico se basa en una serie de variables sobre las que no se tiene control y que pueden variar al azar en la cadena de sucesos. Por eso, una predicción a más de cuatro días vista no es posible y la comunicación sobre el tiempo atmosférico se tiene que proporcionar cada día. El tiempo atmosférico es, por tanto, un sistema caótico que se estudia de forma estadística, y el hombre del tiempo, lo que en realidad está transmitiendo es una probabilidad, no una certeza. Y al no ser una certeza, el meteorólogo admite la existencia de un cierto error en sus predicciones. Error que muchas veces el receptor no asume que exista. Como en todos los sistemas hay un error, la fiabilidad de una predicción se suele medir por el error relativo, que se define por:

{\Delta}(t)=\dfrac {{\epsilon}(t)}{\left| {X(t)} \right|}=\dfrac {\left| {X(t)-X_t} \right|}{\left| {X(t)} \right|}

siendo X(t) el valor que se produce en el instante t y Xel valor esperado o predicho en el instante t. El error promedio será:

{\Delta}_{PROM}=\dfrac {1}{T} \displaystyle \int_0^T {\dfrac {\left| {X(t)-X_t} \right|}{\left| {X(t)} \right|}dt}

donde T es el intervalo en el que se mide el suceso. Si el resultado de esa integral tiende a cero, el sistema se puede definir como determinista y el fenómeno se puede predecir con total fiabilidad. Cosa que no ocurre en la meteorología.

SISTEMAS DINÁMICOS

Definimos un Sistema Dinámico como aquel sistema cuyas variables de salida varían en función de la variables de entrada (condiciones de contorno y el tiempo). Las condiciones de contorno son variables que, además, también pueden ser temporales. Por tanto, el resultado es una función

Y(t)=f \left( X_1, X_2, ..., X_n, t \right)

donde el vector n-dimensional X son las variables de contorno y t es el tiempo. A partir de aquí, se clasifican los sistemas como:

  • Sistemas estables: Son aquellos sistemas que, a lo largo del tiempo, tienden a acudir a un sumidero o punto estable. El sumidero puede ser un simple punto o una órbita.
  • Sistemas inestables: Son aquellos sistemas que, a lo largo del tiempo, tienden a escapar del sumidero o punto estable.
  • Sistemas caóticos: Son aquellos sistemas que presentan ambos tipos de fenómeno: tienden a un sumidero, pero también hay fuerzas que le alejan de éste.

En realidad, a medida que aumenta el número de variables que afecta a un fenómeno, más posibilidades hay de que el sistema sea caótico, ya que es para modelar el sistema hay que conocerlas y controlarlas todas y esto puede ser una tarea titánica.

LA MECÁNICA ESTADÍSTICA

Los sistemas caóticos necesitan, pues, de la mecánica estadística para realizar los mecanismos de predicción. No se predicen, entonces, datos repetitivos, sino que se observan tendencias en función del número de muestras observadas. No es un modelo predictivo, sino un modelo que necesita de la observación y que en un momento dado puede varias debido al alejamiento del sumidero.

Un sencillo experimento para observar un sistema caótico consiste en una tabla de madera, en forma triangular, en la que en el interior colocamos puntas entrelazando las filas para que una canica vaya cayendo hacia las rendijas situadas en el fondo. Si hacemos este experimento y tiramos una canica, podremos comprobar la trayectoria de la misma. Si pintamos la trayectoria de la primera canica y volvemos a echar ésta, podremos comprobar si sigue o no la misma trayectoria. Lo más probable es que no sea así, y que la canica baje por otro camino y se deposite en otra rendija, y así sucesivamente.

abaco blog

Entonces… ¿puedo conocer con exactitud la caída de una canica y su situación final? Lo más seguro es que si predice que la canica vaya a caer por un camino, se equivoque. Lo que sabe con seguridad es que la canica cae, por efecto de la gravedad, pero desconoce como cae y en qué rendija se va a situar.

Ahora bien, si hace una muestra tirando 1.000 canicas, seguirá sin poder predecir el camino, pero tendrá una distribución probabilística del alojamiento de las canicas en las rendijas del fondo. Esta distribución probabilística, que en este caso simula a una campana de Gauss, sigue una expresión de la forma

f(x)=\dfrac {1}{{\sigma} \sqrt {2{\pi}}} e^{{-\dfrac {\scriptscriptstyle 1}{\scriptscriptstyle 2} \left( \dfrac {\scriptscriptstyle x-\mu}{\scriptscriptstyle \sigma}\right)^2}}

{\sigma}^2 =E(x^2)-{\mu}^2

siendo μ el valor medio de la muestra, σ2 la varianza y E(x2) el valor cuadrático esperado de x, y la forma de su curva es

 

400px-DisNormal01.svg

Por tanto, podemos predecir la probabilidad de que la canica caiga en una rendija determinada, independientemente del camino a seguir, y esto además tiene un error, representado en la varianza, puesto que son las zonas con mayor densidad de probabilidad, ya que se cumple que la probabilidad de que la canica caiga en una casilla siempre es la unidad.

P(x) = \dfrac {1}{{\sigma} \sqrt {2{\pi}}} \displaystyle \int_{{-}\infty}^{^x} {e^{-\dfrac {\scriptscriptstyle1}{\scriptscriptstyle 2} \left(\dfrac {\scriptscriptstyle x-\mu}{\scriptscriptstyle \sigma}\right)^2} dx}

La mecánica estadística es la herramienta que se usa a la hora de intentar buscar una forma de estimar un sistema caótico.

PRINCIPIO DE INDETERMINACIÓN Y MECÁNICA CUÁNTICA

A medida que nos adentramos más en las partículas que se mueven a velocidades relativistas, los sistemas son más impredecibles. El límite entre un sistema clásico y un sistema probabilístico lo proporciona el Principio de Indeterminación de Heisemberg:

{\Delta}x{\Delta}p=\dfrac {\hbar}{2}

Esta relación marca la imposibilidad de determinar con precisión la posición o la velocidad de un cuerpo en una partícula en movimiento. ¿Por qué, entonces somos capaces de determinar la posición y la velocidad de un vehículo con precisión? La clave está en la constante de Planck, que en su forma simplificada tiene un valor de 9,92.10-35 J.s. Y si el error cometido en la posición es de cm = 0,01m, para un coche de 950kg el error en la velocidad es:

{\Delta}v=\dfrac {9,92 \cdot 10^{-35}}{2 \cdot 0,01 \cdot 950}=5,22 \cdot 10^{-36} {m/s}

y siendo el error en la velocidad de 5,22.10-36 m/s, podemos comprobar que el error es ínfimo, siendo más grande el error de la posición que el de la velocidad.

En mecánica cuántica, al moverse las partículas a velocidades relativistas, es la ecuación de onda de Schrödinger la que propone la mecánica probabilística que permite analizar los fenómenos dinámicos de las partículas. De esta ecuación se obtiene una densidad de probabilidad y su formulación es:

\hat{H} \left| {\Psi}(t) \right \rangle=j{\hbar} \dfrac {d}{dt}\left| {\Psi}(t) \right \rangle =\left( -\dfrac {{\hbar}^2}{2m} {\nabla}^2 + V(\vec{r},t) \right) \left| {\Psi}(t) \right \rangle

Por tanto, en los sistemas que se mueven a velocidades relativistas, a pesar de que no podemos predecir su posición o velocidad con exactitud, sí podemos hablar de probabilidad, como hablábamos en el caso de las canicas del ejemplo anterior.

CONCLUSIÓN

Esta pequeña muestra de los sistemas caóticos le puede servir para que el día de mañana, cuando su meteorólogo le diga la predicción del tiempo, sepa que lo que está es presentando una probabilidad estadística, al ser el tiempo atmosférico un fenómeno caótico que depende del número de muestras tomadas. Que cuando predice mal tiempo, no lo hace por fastidiar su negocio o por aterrar a los turistas. Es muy posible que haya sitios en los que su predicción varíe, pero no es porque él se haya equivocado en las mediciones, sino porque tiene que trabajar con un sistema caótico que no es predecible.