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Influencia de los campos electromagnéticos en la dinámica de los fluidos

la_caza_del_submarino_rusoAunque parezca lo contrario, en esta entrada no vamos a hablar de novelas de espías, pero sí vamos a usar un argumento de la trama de una conocida novela de espionaje para presentar la teoría magnetohidrodinámica. Ésta es una disciplina de la física, que forma parte de la teoría de campos y analiza el movimiento de fluidos con carga eléctrica en presencia de un campo electromagnético y sus posibles aplicaciones. Comprendiendo los principios de la dinámica de fluidos, llegaremos a las ecuaciones que constituyen la base de la teoría, sus conclusiones y su actual utilización.

Los que conozcan la trama de la novela de Tom Clancy “The hunt of Red October”, sabrán que trata sobre la deserción de un submarino soviético de la clase Typhoon, dotado de un sistema de propulsión silencioso y difícilmente detectable por el sonar. En la novela, se le describe como “propulsión magnetohidrodinámica” y consiste en generar flujo de corriente hidráulica a lo largo de la nave usando campos magnéticos. Este flujo permite su desplazamiento sin usar los motores convencionales, aprovechando las características conductivas del agua salada. Este sistema de propulsión silenciosa convertía a la nave en algo letal y peligroso de verdad, puesto que podría acercarse a la costa de los EE.UU. sin ser detectado y lanzar un ataque con cabezas nucleares sin que nadie lo pudiese evitar. Esta es la trama, pero, ¿cuánto hay de cierto en la misma? ¿Existe un método de propulsión o un sistema que provoque el movimiento de un fluido por la presencia de un campo electromagnético? ¿Y a la inversa? ¿Podemos generar un campo electromagnético sólo usando el movimiento de un fluido cargado?

Aunque pueda parecer que, al tratarse de una novela de espías y acostumbrados como estamos a la tendencia de la ficción a crear ciertas bases argumentales, a veces ilusorias, para dotar de cierto dramatismo a la trama, lo cierto es que la teoría magnetohidrodinámica es muy real. Tanto, que el primer efecto destacable de la misma lo podemos comprobar simplemente con la presencia del campo magnético terrestre. Este es fruto del movimiento del núcleo interno de la tierra, compuesto de una capa de hierro líquido (fluido) que envuelve a una gran masa de hierro sólido. Este núcleo , que se mueve acompasado por la rotación de la Tierra, tiene cargas en movimiento que generan una corriente eléctrica, y esa corriente eléctrica genera el campo magnético que protege a la Tierra de los embates de partículas de alta energía que proceden de nuestra estrella, el Sol.

El propio Sol, que es una nube de gas en estado de plasma, tiene poderosos campos magnéticos que determinan el movimiento de las partículas que constituyen el plasma en su interior. Por tanto, la teoría magnetohidrodinámica que usa Clancy en esa trama es muy real. Vamos entonces a desvelar sus bases.

DINÁMICA DE FLUIDOS: LAS ECUACIONES DE NAVIER–STOKES

Un fluido es un medio material continuo formado por moléculas donde sólo hay fuerzas de atracción débil, que se encuentra en uno de estos tres estados de la materia: líquido, gaseoso o plasma. La dinámica de fluidos es la parte de la física que se ocupa del estudio del movimiento de estos medios en cualquiera de estos estados, siendo la masa del fluido la parte que se desplaza de un punto a otro.

Del mismo modo que en campos electromagnéticos definíamos la corriente eléctrica como la variación de la carga con el tiempo, en los fluidos hablaremos de un flujo de corriente ψ que es la variación de la masa M del fluido respecto del tiempo.

Si tomamos una superficie donde hay ni partículas de masa mi que se mueven a una velocidad vi, podemos definir una densidad de flujo de corriente ℑ, que se expresa como

Flujo de corriente debida a partículas de masa m

Flujo de corriente debida a partículas de masa m

Vamos a considerar, como se muestra en la figura, que nuestro fluido es un medio material que tiene todas las partículas de la misma masa, por lo que el producto ni⋅mi se puede extraer del sumatorio, quedando entonces una velocidad v  que es la suma vectorial de todas las velocidades de las partículas del fluido.

La relación entre el flujo de corriente y la densidad de flujo de corriente es una integral a lo largo de una superficie S. Si integramos el flujo de corriente total en una superficie cerrada, por la conservación de la masa, tendremos que es igual  es la variación de la masa con respecto al tiempo, y siendo la densidad la masa por unidad de volumen, podemos escribir que

continuity1

Como este flujo de corriente se opone a la variación de la masa respecto del tiempo, y la masa es la integral de volumen de la densidad del fluido ρMy aplicando el teorema de la divergencia, podemos escribir esta expresión en su forma diferencial

continuity2

que es la ecuación de continuidad de un fluido y que representa la conservación de la masa neta dentro del fluido. Esta es una de las ecuaciones de Navier-Stokes, primordial para comprender el movimiento de las partículas del fluido.

Para la otra ecuación, debemos de recurrir a la derivada sustancial. Esta es una descripción que incluye no sólo la variación con respecto al tiempo de la magnitud física del fluido, sino que además incluye la variación de la misma respecto de la posición. La expresión de la derivada sustancial es

sustancial

donde v es la velocidad del fluido y  el operador diferencial que ya vimos en la entrada sobre radioenlaces. Como el momento lineal del fluido se conserva, cuando interviene la fuerza de la gravedad , actúa además una presión P en sentido contrario al movimiento en el fluido y contraponiéndose a las deformaciones una viscosidad μobtenemos que

Esta es la ecuación del movimiento de un fluido, y es no lineal debido a la derivada sustancial. Por tanto, en un fluido intervienen no sólo las fuerzas aplicadas en el fluido, sino también la presión de éste y su viscosidad. Si el fluido no presentase viscosidad, y aplicando la derivada sustancial  a la ecuación anterior, podemos obtener un caso particular

noviscoso

que nos define la ecuación del movimiento de un fluido no viscoso.

DINÁMICA DE FLUIDOS: MAGNETOHIDRODINÁMICA

Si el fluido presenta partículas cargadas y aplicamos un campo electromagnético, con componentes E y B, la fuerza que interviene en este caso no es la gravedad, sino la fuerza de Lorenz que aplica el campo magnético

florenz

donde J es la densidad de corriente eléctrica en el fluido y B el campo magnético aplicado. En la expresión desarrollada, obtenida a partir del desarrollo de la Ley de Ampere y una de las identidades del operador diferencial , obtenemos dos términos. El primero es una fuerza de tensión magnética mientras que el segundo término se asemeja a una presión magnética producida por la densidad de energía magnética del campo. Sustituyendo F en la expresión obtenida en el apartado anterior y considerando un fluido no viscoso, tendremos que

movimiento2

Teniendo en cuenta que, según las ecuaciones de Maxwell, la divergencia del campo magnético es nula, si consideramos un campo magnético unidireccional, las variaciones espaciales de la divergencia son perpendiculares al campo, por lo que la fuerza de tensión magnética se anula y la expresión anterior queda

movimiento3

Si el fluido está en estado de plasma, tenemos que la Ley de Ohm se puede escribir como

ohm

debido a que en este estado la conductividad tiende a ser infinita y para mantener el flujo de corriente, la fuerza aplicada debe ser lo más baja posile. De este modo, la Ley de Faraday queda como

faraday

CONCLUSIONES DE LAS ECUACIONES

Como hemos podido comprobar, la magnetohidrodinámica es, en realidad, una consecuencia de aplicar campos electromagnéticos a fluidos que poseen carga eléctrica, y en esto se basaba Clancy para “propulsar” su Octubre Rojo. No obstante, los intentos de generar un propulsor naval de estas características se han quedado en prototipos construidos en los años 60 puesto que las inducciones magnéticas que requerían eran elevadas (del orden de más de 5 Tesla) en compartimientos muy voluminosos (centenares de m3). Por tanto, el submarino de la clase Typhoon cumplía con las exigencias de proporcionar el debido dramatismo a la novela, sin despreciar por ello la base científica en la que se basaba, debido al tamaño de este tipo de naves, considerados por los EE.UU. como colosos de las profundidades debido al desplazamiento de toneladas que eran capaces de propulsar.

No quiere decir que la aplicación de la magnetohidrodinámica esté actualmente aparcada. Debido a ella, los astrofísicos han logrado generar modelos basados en estas ecuaciones para determinar las trayectorias de las partículas en el Sol y predecir erupciones solares. Y los geofísicos, comprender mejor la estructura de los núcleos de los planetas.

Además, estas técnicas son utilizadas desde hace años también en metalurgia: a medida que calentamos un metal transformándolo en un fluido, incrementamos notablemente su conductividad, de modo que se puede aplicar la Ley de Ohm para los plasmas. Esto evita, en los procesos de fundición y generación de aleaciones, que el metal entre en contacto con el crisol y adquiera escoria, mejorando notablemente la calidad de la aleación. Es el principio de los altos hornos eléctricos, que vinieron a sustituir a los antiguos que usaban carbón.

También se han encontrado aplicaciones para generar energía eléctrica a partir del movimiento de un gas en presencia de un ampo magnético, así como el confinamiento del estado de plasma para los reactores de energía nuclear de fusión. Por no hablar de los experimentos realizados en el LCH, en Suiza. No obstante, se sigue teniendo el problema de la gran inducción magnética generada y el volumen necesario para mantener los plasmas.

Sin embargo, es una pequeña parte de todo lo que se podría llegar a conseguir con mejor tecnología. A medida que se desarrolle ésta, la magnetohidrodinámica proporcionará mejores aplicaciones.

References

  1. J. R. Reitz, F. J. Milford, R. W. Christy, “Foundations of the Electromagnetic Theory”; Addison-Wesley Publishing Company, Inc, Massachusetts (U.S.A.), 1979
  2. H. Alfvén, “Existence of electromagnetic-hydrodynamic waves“. Nature 150: 405-406, 1942

 

 

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El Control Automático de Ganancia: topología, funcionamiento y uso (II)

En la entrada del mes pasado estudiábamos la filosofía de un amplificador con Control Automático de Ganancia. Para terminar este capítulo dedicado al AGC, vamos a estudiar la simulación del sistema usando la aplicación SIMULINK de MatLab, y dedicaremos un apartado a concretar el uso más habitual de este tipo de configuraciones.

DIAGRAMAS DE BLOQUES DE UN AGC EN SIMULINK

En primer lugar, vamos a recordar que el diagrama de bloques usual de un AGC es el siguiente

Diagrama de bloques de un AGC

Diagrama de bloques de un AGC

Es importante la traslación de este sistema a SIMULINK, para poder estudiar cómo funciona. Comenzamos por el VGA (amplificador controlado por tensión). En el apartado anterior comprobamos que la expresión que relaciona la tensión de salida con la tensión de entrada es una expresión definida por

img10

Expresión del VGA

por tanto, tenemos que construir un diagrama de bloques SIMULINK que realice esta expresión. El diagrama de bloques es

img1

Diagrama SIMULINK del VGA

Tenemos dos puertas de entrada: la puerta In1 es la puerta donde se aplicará VIN en unidades de magnitud, mientras que la entrada In2 es la puerta donde se aplicará VC, también en unidades de magnitud. Esta tensión VC pasa por un amplificador de ganancia -1 y por una función matemática 10u, para realizar la parte exponencial de la ganancia, que se multiplica mediante una función producto a la tensión de In1, correspondiente a VIN. Luego aplicamos un bloque Gain3, en el que proporcionamos la máxima ganancia de nuestro amplificador, que en este caso es 10. De este modo, nuestro amplificador tiene la siguiente expresión

img11

Expresión de la VGA a simular

VOUT, en unidades de magnitud, sale por Det a través de la salida Out2, mientras que por la salida Out1 sacamos VOUT en dB, ya que nos interesa más esa escala a la hora de realizar las medidas. La salida Det será utilizada para realizar la parte de la detección y aplicar un amplificador logarítmico.

El diagrama de bloques, entonces, queda como sigue

img2

Diagrama de bloques SIMULINK del AGC

Por un lado, tenemos Control Amp, que es nuestro VGA. La entrada, que se expresa en magnitud, entra en el amplificador y se lleva, a través de una conversión a dB, al Scope. La salida Out, que sale en dB, se lleva también al Scope.

La salida Det pasa por un detector de envolvente de ganancia unidad y un amplificador logarítmico de base 10. El resultado de esa operación se compara con el valor VREF, que es, en dB, el valor que queremos a la salida. Mediante el bloque dB to Mag se pasa VREF a unidades de magnitud.

El resultado se pasa por un integrador que tiene una constante de proporcionalidad 0,5. En el visualizador Control podemos estudiar la respuesta temporal de la salida del integrador, que nos proporcionará información acerca del tiempo que le lleva al AGC volver al estado nominal cuando haya un cambio en el valor de entrada.

La entrada está formada por los bloques In_dB (el valor nominal de entrada en dB) y dB_Step, en donde introduciremos el salto que se va a producir en el valor de entrada. Por ejemplo, en la figura tenemos un salto de 10dB, por lo que si el valor inicial de entrada In_dB es de 10dB, en el momento en que se produzca el salto tendremos 20dB, que el AGC tendrá que corregir.

El bloque dB to Mag with step es un bloque que nos proporcionará el valor de entrada en magnitud VIN, con el salto en dB en el tiempo que deseamos. Este bloque es

img3

Diagrama de bloques del dB to Mag with step

La entrada dB_Step se multiplica a un escalón retardado, para que el salto se produzca en ese momento, y la salida (que sigue estando expresada en dB) se suma a la entrada nominal dB_In, que es el valor inicial. Un bloque Gain (1/20) y un bloque 10u pasan los dB a magnitud, que es la que se introducirá en el amplificador.

PROCESO DE SIMULACIÓN

Vamos a proceder a la simulación de nuestro AGC. En primer lugar, vamos a ver cuál es la salida del amplificador cuando no tenemos salto.

img4

Respuesta del AGC cuando no hay variación en el valor de entrada (dB_Step=0)

Como podemos ver en la gráfica, cuando entramos con 10dB, el amplificador se va a su máxima ganancia (10dB+20dB de ganancia pasa a 30dB de nivel de salida). El AGC corrige la ganancia hasta que se obtienen los 15dB de VREF. Si cambiamos VREF a 20dB, el resultado en la salida es similar, pero se obtienen 20dB.

img5

Respuesta con Vref=20dB

Por tanto, queda comprobado que el amplificador está funcionando correctamente, por lo que aplicamos ahora los cambios en amplitud.

En primer lugar, introducimos un retardo en el bloque Step de dB to Mag with step de 15s. Esto quiere decir que la amplitud del amplificador cambiará a partir de la posición 15. Ahora introducimos un salto en dB_Step de 5dB, manteniendo la VREF en 15dB. El resultado es

img6

Respuesta del AGC a un incremento en la entrada de 5dB

Podemos ver que el amplificador ya se encuentra en estado estacionario a partir del instante 10, con 15dB de salida, y en el instante 15 la entrada sube 5 dB. El amplificador incrementa su salida a 20dB, pero el AGC realimenta la ganancia hasta que en el instante 25 volvemos a tener 15dB.

Apliquemos ahora la misma variación, pero negativa, disminuyendo el valor de entrada en 5dB. El resultado es

img7

Respuesta del AGC a una disminución en la entrada de 5dB

Donde vemos que el nivel de entrada, en el instante 15, pasa de 10dB a 5dB, provocando que el nivel de salida caiga a 10dB. Entonces comienza a actuar el AGC hasta que en el instante 25 se estabiliza y vuelve a los 15dB de salida.

¿Cómo es la señal de Control? En esta última gráfica, podemos comprobar que la señal de Control es

img8

Respuesta del control Vc

Por tanto, podemos ver el cambio que se produce en la ganancia, cuando VC pasa de 0,75 a 0,5 para estabilizar el nivel de salida.

Este AGC es muy sencillo. El tiempo de respuesta del AGC venía dado por la expresiónτ=1/α·A cuando el valor de la amplitud sube o cae α·A/e, donde A era el factor multiplicador del integrador y α la constante de proporcionalidad de la parte exponencial de la ganancia. Por tanto tenemos que t vale, con los números que hemos utilizado, 2.

Este valor se corresponde al instante en que la envolvente cae 0,18, que en la gráfica anterior se corresponde a un valor aproximado de 0,57. Podemos comprobar que ese valor cae en una posición inferior a la mitad del intervalo entre 15 y 20, por lo que los números son coherentes.

En esta simulación no hemos puesto limitación al valor del salto. Esto significa que si sobrepasamos el rango del AGC podremos tener valores de VC incoherentes. Pero dentro del rango del AGC, podemos estudiar el comportamiento de los integradores y de la respuesta del VGA de forma temporal, si introducimos dichos datos en el sistema.

USO HABITUAL DE LOS AGC

Por último, y para cerrar esta entrada correspondiente a los AGC, vamos a comentar brevemente el uso de los mismos en los equipos de telecomunicaciones.

Por lo general, cuando tenemos comunicación radiada a través del espacio libre, podemos encontrarnos con una gran diversidad de valor de campo eléctrico, que, al acoplarse a la antena, proporciona diferentes niveles de señal a la entrada de un receptor. Y las variaciones pueden ser del orden de decenas de dB.

Los receptores suelen tener un margen dinámico limitado. Por debajo de un determinado valor, el ruido interfiere en la señal dejándola irrecuperable, y por encima de un determinado valor, se produce la intermodulación, que genera señales indeseadas que también pueden hacer irrecuperable la señal. Se hace, por tanto, necesario que exista un rango dinámico controlado por el propio equipo para que absorba las variaciones propias de la señal de entrada. Es aquí donde entra el AGC.

Si observamos el diagrama de bloques de un equipo receptor, tendremos que los bloques principales son

img9

Diagrama de bloques típico de un receptor de telecomunicaciones

El primer amplificador, que está antes del mezclador de FI, es un amplificador controlado por tensión que realiza el AGC para garantizar que en el receptor (en este caso un demodulador I-Q) el nivel sea el óptimo.

Hay ocasiones que el propio receptor tiene un rango de AGC, que combinado con el rango del amplificador de entrada incrementa el rango dinámico del receptor.

Los AGC, aunque menos habituales, también se suelen usar en transmisión, aunque en este caso lo más habitual es tomar una muestra del nivel de salida y pasarlo por un ADC para que a través de un microcontrolador se corrija el nivel de ataque al amplificador, sin que el amplificador esté controlado por tensión.

CONCLUSIONES

Con esta entrada damos por cerrado el capítulo del estudio de los AGC y su uso. La mayoría de los equipos de telecomunicaciones tienen, hoy día AGC digitales que controlan las variaciones de la señal de entrada a través de los microprocesadores. Sin embargo, la gran ventaja del AGC analógico clásico es la rapidez de su respuesta y la alta estabilidad que se obtiene, ya que corrige un sistema exponencial que, a la hora de ser cuantificado, puede necesitar al menos de 8 bits para controlarlo y obtener un buen margen de estabilidad de nivel en el AGC. Su mayor inconveniente suele ser el espacio, la variación del margen con la temperatura y la necesidad de obtener una muestra de nivel lo suficientemente elevada para que el detector no introduzca ruido.

También hemos podido comprobar la utilidad de una herramienta como SIMULINK para analizar este tipo de sistemas, que nos puede proporcionar información de primera mano para comprobar si el sistema es viable.

REFERENCIAS

  1. Benjamin C. Kuo; “Automatic Control Systems”; 2nd ed.; Englewood Cliffs, NJ; Prentice Hall; 1975
  2. Pere Matí i Puig; “Subsistemas de radiocomunicaciones analógicos”;Universitat Oberta de Catalunya;2010

El Control Automático de Ganancia: topología, funcionamiento y uso (I)

Una de las topologías más comunes en el diseño electrónico la constituye el Control Automático de Ganancia (AGC). En esta entrada vamos a proceder a estudiar cuál es su filosofía de funcionamiento, la topología básica y su uso más común. Procederemos también a su simulación en MatLab, usando el simulador SIMULINK, para entender mejor el funcionamiento de este sistema.

LOS AMPLIFICADORES LINEALES

Uno de los bloques más comunes en un sistema es el amplificador lineal. Este es un dispositivo que proporciona una salida que es directamente proporcional a la entrada. Al ser el valor de salida mayor que el valor de entrada, el bloque realiza una elevación de nivel, por tanto, se trata de una amplificación. Si el nivel de salida fuese inferior al nivel de entrada, entonces hablaríamos de una reducción de nivel o atenuación.

Los amplificadores lineales pueden ser amplificadores con ganancia fija, que es la constante de proporcionalidad entre la entrada y la salida, y con ganancia variable, de modo que pueden variar su ganancia a través de una señal de control externa vc.

Expresiones de la ganancia: fija y variable

Esta señal de control es una variable que también depende del tiempo, aunque en condiciones de control libre, que es el realizado por el usuario, una vez elegido el valor del control esa variable pasa a ser estacionaria con el tiempo y el amplificador pasa a tener ganancia fija.

Sin embargo, las señales de entrada pueden tener oscilaciones debidas al canal de propagación, y subir o bajar de valor en función del tiempo. Si el amplificador tiene ganancia fija, la salida seguirá a las variaciones de entrada.

Por lo general los amplificadores convencionales suelen tener ganancia fija con una regulación externa manipulable por el usuario. Sin embargo, dentro de los sistemas de comunicaciones se pueden dar casos en los cuales hay que asegurar siempre que la salida tome un valor fijo. Y para ello es indispensable recurrir al Control Automático de Ganancia (AGC).

EL AGC O CONTROL AUTOMÁTICO DE GANANCIA

El AGC es un sistema realimentado, que usa la variable de salida, tomando una muestra, para procesarla debidamente y generar una señal de control vc(t) que permita variar la ganancia del amplificador en función del nivel de salida que se elija. Por tanto, un AGC proporciona una variable de salida fija frente a las variaciones de entrada.

El diagrama de bloques clásico de un AGC se puede ver en la siguiente figura

Fig. 1 – Diagrama de bloques de un AGC

Consta de un VGA o amplificador variable por tensión, que responde a la expresión vista en el apartado anterior, un detector de envolvente, porque la amplitud de la señal vout contiene la información de la variación de la señal de entrada, ya que vout es proporcional a vin, un comparador, que compara la señal detectada con una señal de referencia vref, que es la que gobernará el nivel de salida adecuado en vout y un filtro integrador, que proporciona la variable de control.

Al variar vin en el instante t0, el VGA está en estado estacionario, comportándose como un amplificador lineal de ganancia fija. Esto provoca una variación en la señal de salida vout que sigue a la entrada vin. Esta variación se detecta mediante el detector de envolvente provocando un cambio en la salida del comparador, que al ser integrado modifica el valor de vc adecuándolo para que vout se corrija y pase a mantener el valor antes del cambio.

Es un proceso dinámico: las señales vin y vout varían de forma temporal pero manteniendo un nivel estacionario de envolvente. Por ejemplo, una onda senoidal pura tiene una envolvente constante, ya que la función seno está acotada

Fig. 2 – Función variable de entrada de tipo senoidal

Cuando se detecta un cambio en la envolvente en un determinado instante de tiempo, el valor de pico de la amplitud cambia y es detectado por el detector, que inicia un proceso de realimentación temporal que no afecta a la forma de la onda, pero sí a su amplitud.

Fig. 3 – Variación de la amplitud en una señal senoidal

Este cambio es el que obligará a que vc tome el valor adecuado, realizándolo de forma gradual.

MECANISMOS DE CONTROL EN UN AGC

Volvemos al sistema de la Fig.1, donde el VGA tiene una ganancia representada por la expresión

Ganancia del VGA

En esta expresión se elimina el dominio temporal, puesto que en este instante no nos interesa la variación temporal de vc, ya que si no hay variación en vi, vc se mantiene estacionario.

La señal de entrada es una señal de la forma

ecuacion2

Señal de entrada

La señal de salida será de la forma

Señal de salida

Esta señal pasará por el detector de envolvente, cuya salida es una señal que es proporcional a la amplitud de la señal de entrada, siendo k la constante de proporcionalidad. Por tanto, la señal de salida del detector de envolvente será

Salida del detector de envolvente

Esta señal se pasa a través de un amplificador logarítmico, ya que la dependencia de vE con respecto a vc es exponencial. Como la base es natural, elegimos el logaritmo natural como amplificador logarítmico, y se obtiene una tensión de salida v2 cuya expresión es

Señal de salida del amplificador logarítmico

En esta expresión podemos comprobar que k y g0 son valores constantes, y que x y vc son los que pueden variar con respecto al tiempo. Si ahora incluimos la variación temporal de x, tendremos que la expresión toma la forma

ecuacion6

Variable de salida del amplificador logarítmico con variación temporal

Por tanto una variación de x queda contrarrestada por una variación de vc para que v2 vuelva a tener el valor anterior al cambio en x.

Al realizar la comparación entre la tensión v2(t) y vR, que es un valor fijo y que marcará el nivel de salida que debe mantener el amplificador, tenemos una señal v1 que tiene la siguiente expresión

ecuacion7

Señal de entrada al filtro paso bajo

Esta señal se pasa a través de un filtrado paso bajo que la integra, proporcionando vC(t). Si el filtro tiene una respuesta temporal h(t), lo que realizamos es una convolución de la señal v1 con la respuesta temporal h(t)

ecuacion8

Convolución de V1

Y de aquí obtenemos

ecuacion9

Expresión de V1 en función de X

En el dominio temporal la convolución es una ecuación integral dinámica, por lo que si usamos el dominio de Laplace, pasaremos esa respuesta convolucional a una respuesta en el dominio de la variable compleja s que es lineal. Usando este dominio, la ecuación anterior queda como

ecuacion10

Transformada de Laplace de la expresión anterior

que es el resultado de aplicar el operador de la transformada de Laplace. Vamos a estudiar el valor de V1(s) si la salida tiene un valor una amplitud y

ecuacion11

Señal de salida

quitando la dependencia con k y con g0. En este casi, siguiendo los mismos pasos que en el caso anterior, tendremos que

ecuacion12

Expresión de la función de transferencia del AGC

El primer término es el cociente de dos funciones, una que depende de la amplitud de salida y otra que depende de la amplitud de entrada. Si elegimos el producto k·g0=1, obtendremos que

ecuacion13

Relación entre entrada y salida

Como y(t) y x(t) tienen valores de tensión, podemos aplicar la definición de dB, que es:

ecuacion14

Expresiones de la entrada y salida en dB

por lo que el cociente anterior quedaría

ecuacion15

Relación de envolventes en dB

eliminando el dominio temporal y convirtiendo el sistema en un sistema totalmente lineal. Entonces tendremos que

ecuacion16

Función de transferencia de la relación de envolventes

siendo ésta la función de transferencia de la variación en dB de las amplitudes de salida y de entrada.

Si el filtro utilizado es un filtro integrador con polo en el origen, de la forma

ecuacion17

Filtro integrador

tendremos que la expresión nos quedará

ecuacion18

Función de transferencia final

Supongamos ahora que damos un salto de 1 dB a la envolvente de entrada XdB, pudiendo ser hacia arriba o hacia abajo. Llamamos a la nueva envolvente X’dB(s), y a la de salida Y’dB(s). Como subimos o bajamos un 1 dB, tenemos que :

ecuacion19

Variación de la envolvente de entrada

Y además tenemos que

ecuacion20

Relación entre señales con variación

ya que la realimentación debe responder siempre de la misma manera. Haciendo la sustiticuón de la expresión de la variación de entrada en la expresión anterior tenemos

ecuacion22

Espresión para el cálculo de la señal de salida

Por tanto, podremos calcular Y’dB(s) multiplicando por la función de transferencia

ecuacion23

Variación de la señal de salida con respecto a la entrada

Y sabiendo que el primer término es precisamente YdB(s), podemos poner la expresión como

ecuacion24

Diferencia entre envolventes de salida

La ecuación anterior liga a la nueva envolvente Y’dB(s) con la anterior YdB(s). Como es una respuesta temporal, tendremos que aplicar la transformada inversa, obteniendo

ecuacion25

Relación entre envolventes en el dominio del tiempo

Estudiemos este resultado: Cuando subimos 1 dB (instante t=0), la ecuación queda como y’dB(t)–ydB(t)=+δ(t)=+1, ya que en t=0 el filtro h(t) todavía no ha respondido. Por tanto, en el instante inicial la diferencia entre la envolvente nueva y la inicial es de 1dB. Cuando t comienza a crecer, tenemos una respuesta exponencial decreciente debido al segundo término de la expresión anterior, por lo que a medida que va aumentando el tiempo, la diferencia entre la envolvente nueva y’dB(t) y la inicial ydB(t) va disminuyendo (inicialmente y’dB(t)>ydB(t)) hasta que ambas son iguales.

Si por el contrario, disminuimos la envolvente de entrada 1dB, la respuesta queda como y’dB(t)–ydB(t)=-δ(t)=-1, de modo que cuando disminuimos 1dB (instante t=0), la envolvente final disminuye en ese valor por la misma razón que en el caso anterior. Por tanto, en el instante inicial la diferencia entre la envolvente nueva y la inicial es de –1dB, que es el salto que se produce en la señal de entrada. Cuando t comienza a crecer, se produce una exponencial creciente que reduce esa diferencia (en este caso tenemos que y’dB(t)<ydB(t)), por lo que la diferencia también va disminuyendo hasta que ambas vuelven a ser iguales.

De aquí se deduce que cuando la envolvente de entrada sube o baja 1 dB, la de salida, en el instante inicial, tiende a subir o bajar siguiendo a la variación de la envolvente de entrada, pero cuando pasa un tiempo, la de salida se estabiliza hasta que llega al valor inicial ydB(t).

El tiempo de respuesta t del AGC, en el que la diferencia de envolventes es precisamente α·A/e es τ=1/α·A, que es la constante de tiempo de respuesta del AGC. Si ese tiempo es muy alto, el AGC responde lentamente, mientras que si ese tiempo es muy bajo, el AGC responde rápidamente. Es necesario un compromiso con el tiempo de respuesta del AGC en señales que contienen también variaciones nominales por su contenido, como las señales analógicas de audio o vídeo, para no confundir una variación de nivel con una variación de ese contenido.

CONCLUSION

En esta entrada hemos podido comprobar cómo es el diagrama de bloques de un AGC, estudiando su respuesta en el dominio de Laplace y en el dominio temporal. Hemos llegado a una relación de transferencia que nos permite relacionar las variaciones de la señal de salida con las de entrada y cómo podemos calcular el tiempo de respuesta del AGC, que tendremos que incluir a través del filtro integrador y del estudio de la constante de variación de la ganancia del amplificador.

En la siguiente entrada realizaremos el estudio este sistema mediante SIMULINK.

REFERENCIAS

  1. Benjamin C. Kuo; “Automatic Control Systems”; 2nd ed.; Englewood Cliffs, NJ; Prentice Hall; 1975
  2. Pere Matí i Puig; “Subsistemas de radiocomunicaciones analógicos”;Universitat Oberta de Catalunya;2010

 

Simulación de un PLL digital con SIMULINK

En Octubre de 2013 realizábamos un análisis de un PLL digital con un filtro de segundo orden. Llegábamos a las expresiones matemáticas y representábamos en MatLab la forma de la fase estimada. En esta entrada vamos a utilizar la herramienta SIMULINK integrada en MatLab, que nos permite realizar análisis de sistemas mediante bloques definidos dentro del propio simulador.

Representación de un ADPLL en bloques

Si recordamos la entrada de octubre, el diagrama de bloques del PLL digital era

Diagrama de bloques del PLL digital

Diagrama de bloques del PLL digital

donde teníamos un comparador de fase, del que se obtenía la estimación de fase, el filtro de lazo y un VCO. Recordemos también que el filtro de lazo H(z) genérico, para un PLL de segundo orden, era

Función de transferencia del filtro de lazo digital

Función de transferencia del filtro de lazo digital

Tratándose de un filtro PI (proporcional-integrador), ya que la primera constante, α, es simplemente un factor multiplicador mientras que el segundo término es la transformada z de un integrador.

Para simular la respuesta de este diagrama de bloques, vamos a generar una serie de bloques que nos permitan realizar la simulación de la PLL.

Generación de la fase de entrada

Para generar la fase de entrada, lo que vamos a hacer es generar una onda que responda a un periodo concreto T, en el que tendremos n muestras que se hacen con un periodo de muestreo TS. Por tanto, el argumento ΦREF con el que vamos a comparar el argumento del VCO es

Generación del argumento de referencia

Generación del argumento de referencia

Esta señal se convierte en un fasor complejo del tipo

Representación fasorial del argumento de referencia

Representación fasorial del argumento de referencia

y separando las señales en su parte real e imaginaria, tendremos dos señales a comparar:

Argumento de referencia en parte real e imaginaria

Argumento de referencia en parte real e imaginaria

La fase θ(n) será la fase de referencia, la que queremos sintetizar con el ADPLL, mientras el el término discreto nos permite ver la evolución temporal de la fase.

Para realizar esta generación se recurre al siguiente diagrama de bloques en SIMULINK.

Diagrama de bloques SIMULINK del generador de argumento complejo

Diagrama de bloques SIMULINK del generador de argumento complejo

donde tenemos un bloque Clock que genera la base de tiempos discreta. Esa base de tiempos se multiplica por un valor K que corresponde a la pulsación 2π/T y se suma con la fase de referencia, que corresponde con la fase de referencia θ. La salida la multiplicamos por el valor complejo j y hacemos la exponencial de ese producto. Aplicando el bloque Complex to Real-Imag, podemos extraer dos líneas, una con el coseno del argumento y otra con el seno. De este modo podemos generar la fase de entrada.

Generación del VCO

El VCO será un dispositivo que posea la fase estimada de la forma

Argumento del VCO

Argumento del VCO

Para realizar esta operación, tendremos que usar el siguiente diagrama de bloques.

Diagrama de bloques SIMULINK del VCO

Diagrama de bloques SIMULINK del VCO

En este caso, la estimación de fase del VCO se pondrá en función de la ganancia del VCO, Kv·T. A esta estimación de fase se le suma ωT, siendo ω la pulsación 2π/Ts, con Ts el periodo de muestreo de la señal.

El resultado pasa después por un integrador y le aplicamos una función coseno y otra función seno. El bloque ()*, que cambia de signo la línea de seno, convirtiendo la señal en una compleja conjugada, extrae a la salida las ecuaciones descritas para el NCO.

Representación del comparador de fase

El comparador de fase debe proporcionar a la salida la diferencia de fase, que es:

Error de fase

Error de fase

A partir de las ecuaciones generadas para la fase de referencia y para la estimación de fase, tenemos que hacer un multiplicador de números complejos como el que se muestra en el diagrama de bloques

Multiplicador de números complejos

Multiplicador de números complejos

Con el bloque Real-Imag to Complex se convierte AR, AI, BR, BI en sendos números complejos A y B

Transformación de las entradas a número complejo

Transformación de las entradas a número complejo

el resultado es un complejo CP cuyo valor es

Valor complejo de la diferencia de fases

Valor complejo de la diferencia de fases

y podemos ver que la diferencia de fase está en el argumento de la exponencial compleja. Aplicando ahora un bloque que convierte este número en Real-Imag, obtenemos

Diferencia de fase en forma real e imaginaria

Diferencia de fase en forma real e imaginaria

Aplicándole un bloque que convierta Real-Imag en Mag-Angle, como éste

Transformación Real-Imag a Mag-Ang

Transformación Real-Imag a Mag-Ang

obtendremos el error de fase

Error de fase

Error de fase

que es la señal resultado del comparador de fase.

Filtro de lazo

El filtro de lazo utilizado en un ADPLL suele ser un filtro proporcional-integral

Diagrama de bloques de un filtro de lazo digital

Diagrama de bloques de un filtro de lazo digital

La transformada z de este filtro la hemos visto en la introducción. En SIMULINK vamos a poner la dependencia de α, β en función de dos variables externas. El filtro de lazo en SIMULINK es

Diagrama de bloques SIMULINK de un filtro de lazo digital

Diagrama de bloques SIMULINK de un filtro de lazo digital

Donde Kp es α (factor proporcional) y Ki es β (factor integrador). Por un lado, realizamos directamente el producto de Δθ por Kp y lo llevamos a un sumador, mientras que por otro lado hacemos el producto de Δθ por Kp, lo integramos y llevamos al sumador, y con la suma obtenemos el tune (T(n)) del VCO.

La respuesta de este filtro a una señal escalón u(n) es una señal de la forma

Respuesta del filtro de lazo a una señal escalón

Respuesta del filtro de lazo a una señal escalón

que se corresponde con la expresión

Expresión de la respuesta del filtro de lazo a señal escalón

Expresión de la respuesta del filtro de lazo a señal escalón

Estudio completo del transitorio

En SIMULINK se pueden dibujar los bloques y crear un bloque nuevo, de tal modo que tengamos simplificados los mismos. El diagrama de bloques que vamos a simular en SIMULINK es

Diagrama de bloques SIMULINK del ADPLL

Diagrama de bloques SIMULINK del ADPLL

donde PhaseRef será la fase de entrada o referencia. Tomaremos como medidas Phase_error (donde se podrá comprobar la evolución del error de fase) y Loop, donde se podrá comparar la evolución de las señales de VCO y de referencia.

Para los valores Kp y Ki (α y β), tenemos que recordar que se debía cumplir que

Segunda condición de enganche del PLL

Condición de enganche del PLL

Eligiendo α=0.03 y β=0.002, obtenemos que el error de fase, para una fase de entrada de π/3, es

Respuesta el PLL a un cambio de fase en la entrada

Respuesta el PLL a un cambio de fase en la entrada

Como podemos comprobar, cuando se inicia, el error de fase toma un valor muy alto, que se va trasladando como una forma senoidal amortiguada, hasta que se convierte en cero. En ese momento la fase está enganchada. Como se puede comprobar, es la respuesta a un escalón en un filtro de segundo orden con factor de amortiguamiento.

Si ahora representamos Loop, obtendremos

Seguimiento de la fase con respecto a la fase de referencia

Seguimiento de la fase con respecto a la fase de referencia

Donde podremos ver que al principio las fases son muy diferentes, pero que ambas ondas tienden a converger a la misma fase, por lo que hemos igualado la fase a la fase de referencia, lo que significa el enganche de fase.

Si ahora usásemos sólo un filtro proporcional α (β=0), y simulásemos, obtendríamos

Respuesta a un escalón de un ADPLL de primer orden

Respuesta a un escalón de un ADPLL de primer orden

Que es la respuesta a un escalón de un filtro paso bajo de primer orden.

Conclusiones

En esta entrada hemos podido ver el comportamiento de un ADPLL en régimen transitorio mediante el uso de SIMULINK, que nos proporciona una herramienta de simulación potente para poder analizar sistemas en diagrama de bloques. Hemos podido comprobar que lo analizado en la entrada de octubre de 2013 es correcto y hemos podido comprobar su comportamiento transitorio.

Referencias

  1. C. Joubert, J. F. Bercher, G. Baudoin, T. Divel, S. Ramet, P. Level; “Time Behavioral Model for Phase-Domain ADPLL based frequency synthesizer”; Radio and Wireless Symposium, 2006 IEEE, January 2006
  2. S. Mendel, C. Vogel;”A z-domain model and analysis of phase-domain all-digital phase-locked loops”; Proceedings of the IEEE Norchip Conference 2007, November 2007
  3. R. B. Staszewski, P. T. Balsara; “Phase-Domain All-Digital Phase-Locked Loop”; IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs; vol. 52, no. 3, March 2005

Como simular parámetros S usando un simulador convencional

Simuladores de circuitos hay muchos. Los usuarios de este tipo de aplicaciones software podrían decir varios tipos, desde LTSpice, PSpice, Electronic Workbench, Microwave Office, Advance Design System, Genesys, etc. Se puede hacer una larga lista y se encontrarían para todos los gustos. Además, casi todos tienen las simulaciones importantes: análisis en DC, en AC, transitorios, análisis de ruido, etc. En esta entrada rememoro un artículo que escribí en octubre de 1997 y en el que mostraba cómo se podía simular un circuito de RF usando el simulador SPICE.

Un simulador de circuitos es una aplicación que permite analizar el comportamiento eléctrico de circuitos electrónicos a través de su descripción esquemática. Por tanto, una vez dibujado el circuito y a través de las librerías que describen el comportamiento de los componentes, es posible analizar la respuesta de un esquema eléctrico en diversos tipos de análisis. Así, podemos encontrarnos con posibilidad de analizar DC, AC, análisis transitorios, análisis de ruido, trasformadas de Fourier, etc.

Dentro de los simuladores existen varios tipos, algunos como el Advanced Design System o el Microwave Office, que están especialmente diseñados para analizar circuitos de alta frecuencia, usando las técnicas matriciales como los parámetros ABCDlas matrices Z e Y y los parámetros S. En los circuitos de alta frecuencia, el método de analizar el comportamiento en frecuencia de un circuito es a través de los parámetros S.

Para ello, el circuito se analiza como un cuadripolo, en el que se definen unas ondas incidentes (a1, a2) y unas ondas reflejadas (b1, b2), tal y como se muestra en la figura

Cuadripolo con ondas incidentes y reflejadas.

Cuadripolo con ondas incidentes y reflejadas.

Los parámetros S se definen a través de la siguiente relación matricial

Relación entre las ondas a través de la matriz de parámetros S

Relación entre las ondas a través de la matriz de parámetros S

de tal modo que cada uno de los parámetros S de la matriz refleja un significado eléctrico. Estos son:

  • S11: Es la relación entre la onda reflejada b1 y la onda incidente a1, cuando no hay onda incidente a2. El parámetro es equivalente al coeficiente de reflexión en la entrada, y representa la onda estacionaria que se produce en la entrada del cuadripolo.
  • S21: Es la relación entre onda saliente b2 y la onda incidente a1, cuando no hay onda incidente a2. El parámetro es equivalente a la transmisión de señal desde la entrada a la salida, y representa el trasvase de energía que se produce del puerto de entrada del cuadripolo al puerto de salida.
  • S12: Es la relación entre onda saliente b1 y la onda incidente a2, cuando no hay onda incidente a1. El parámetro es equivalente a la transmisión de señal desde la salida a la entrada, y representa el trasvase de energía que se produce del puerto de salida del cuadripolo al puerto de entrada.
  • S22: Es la relación entre la onda reflejada b2 y la onda incidente a2, cuando no hay onda incidente a1. El parámetro es equivalente al coeficiente de reflexión en la salida, y representa la onda estacionaria que se produce en la salida del cuadripolo.

Las ondas a1, a2 y b1, b2 se pueden escribir, en función de las tensiones incidente y reflejada, mediante las expresiones

descarga1

d373feaaf9a9c377c1a213557c5606ba

siendo Vn+ la tensión incidente y Vn la reflejada, sobre una impedancia característica Z0.

Por tanto, la matriz de parámetros S ofrece una forma muy útil de analizar circuitos de alta frecuencia. Sin embargo, no todos los simuladores son capaces de ofrecer en sus tipos de análisis este tipo de representación de matricial.

¿Cómo construir una equivalencia que permita analizar parámetros S en un simulador que no tiene dicha función?

Ante todo hay que recordar que un análisis de parámetros S es una simulación específica de AC. Y este tipo de simulación está incluida en casi todos los simuladores de circuitos.  Sin embargo, el análisis AC sólo permite calcular tensiones y corrientes globales, no separando en incidentes y reflejadas. Por tanto, la única cuestión es que hay que realizar una transformación para encontrar un circuito equivalente que permita, usando las tensiones y corrientes globales del circuito, mediante el análisis AC, calcular los parámetros S.

Para ello se propone el siguiente cuadripolo:

Cuadripolo con tensiones y corrientes de AC

Cuadripolo con tensiones y corrientes de AC

En el cuadripolo tenemos una tensión de generador Vg, una resistencia de generador Rg, una resistencia de carga RL y unas tensiones Vi (generada por la impedancia Zi de entrada al cuadripolo) y una tensión Vo (que tiene una resistencia equivalente Zo en el cuadripolo). Vamos a suponer además, para simplificar los cálculos, que Rg=RL=Z0. A partir de ahora vamos a calcular, en primer lugar, el coeficiente de reflexión a la entrada y la transmisión entre entrada y salida. Las expresiones para calcular estos parámetros son:

Expresiones de cálculo de S11 y S21 en función de las impedancias y las tensiones

Expresiones de cálculo de S11 y S21 en función de las impedancias y las tensiones

pero del circuito también tenemos que Vi se puede calcular a través del divisor de tensión de entrada formado por Vg, Z0 y Zi:

Cálculo de la tensión de entrada al cuadripolo.

Cálculo de la tensión de entrada al cuadripolo.

y sustituyendo esta expresión en la de S21 podemos obtener la relación entre la tensión de salida Vo y la del generador Vg

Expresión de la tensión Vo en función de Vg

Expresión de la tensión Vo en función de Vg

Por tanto, para calcular S21 basta con colocar en el generador una fuente de AC de amplitud Vg=2, y la tensión de salida Vo equivaldría al parámetro S21.

El parámetro S11 se calcularía a través de la expresión del coeficiente de reflexión y del cálculo del divisor de tensión, cuando Vg=2. Del divisor de tensión tenemos que

Cálculo de S11 cuando Vg=2

Cálculo de S11 cuando Vg=2

por lo tanto, el parámetro S11 se puede calcular obteniendo la tensión en Vo y restando 1V.

Esquema de nuestro circuito equivalente

Ahora vamos a transformar en esquema eléctrico nuestro circuito equivalente. En principio tenemos un generador de AC de valor 2V, que equivale a Vg y la impedancia de generador y carga de valor Z0. A eso le añadimos un circuito en el punto de Vi consistente en un generador de 1V de AC y una resistencia de valor elevado, para que no circule corriente a través de ella.

Circuito equivalente para analizar S11 y S21 con un análisis en AC

Circuito equivalente para analizar S11 y S21 con un análisis en AC

Usando este circuito equivalente en un cuadripolo, se pueden entonces analizar los parámetros S del mismo usando el análisis AC de cualquier simulador. Es un circuito de mucha utilidad cuando se diseña en alta frecuencia, ya que los analizadores suelen usar los parámetros S para analizar los cuadripolos.

Comprobación del circuito equivalente.

Por último, para comprobar la fiabilidad del circuito equivalente confeccionado, vamos a estudiar el comportamiento de un cuadripolo sencillo, tipo filtro de alta frecuencia, y comparar con el resultado obtenido en un simulador convencional.

Cuadripolo a testear

Cuadripolo a testear

Realizando la simulación en un simulador de alta frecuencia se obtiene el siguiente resultado

Resultado de la simulación del filtro en un simulador de alta frecuencia

Resultado de la simulación del filtro en un simulador de alta frecuencia

Simulamos ahora el filtro en un simulador tipo Electronic Workbench, usando el circuito

Filtro simulado con Electronic Workbench

Filtro simulado con Electronic Workbench

y cuyo resultado es

Resultados en la simulación en Electronic Workbench

Resultados en la simulación en Electronic Workbench

y si lo comparamos con el resultado obtenido con el simulador de alta frecuencia, se puede comprobar que las gráficas son idénticas en módulo y fase.

Conclusiones

En esta entrada hemos conseguido un circuito sencillo que permite simular parámetros S de cualquier cuadripolo en un simulador convencional, no optimizado para el diseño en alta frecuencia. Este circuito nos proporciona una herramienta muy versátil si queremos trabajar con dispositivos que están caracterizados mediante parámetros S, o simplemente simular cuadripolos que después se vayan a medir con un analizador de redes. De esta manera, somos capaces de simular cualquier circuito en nuestro simulador habitual, sin tener que recurrir a otro tipo de simuladores.

REFERENCIAS

  1. T. Rosich; “Simulación de circuitos de RF con SPICE : parte 1”; Revista Española de Electrónica No. 515;  pp. 67-69; ISSN 0482-6396; oct 1997
  2. J. Everard; “Fundamentals of RF Circuit Design”; Wiley; IBSN 0-471-49793-2; 2001

Amplificador de Banda Ultra Ancha con Baja Ganancia y Alto Rango Dinámico

En la siguiente entrada vamos a analizar un tipo de amplificador que tiene la ventaja de funcionar en banda ultra ancha y que presenta un rango dinámico muy elevado, tanto por su baja figura de ruido como por su alto nivel de salida. El cuadripolo presentado funciona usando el principio de realimentación, si bien se sustituye la realimentación clásica de resistencias por una realimentación basada en acoplador direccional. A partir de este momento, conoceremos este tipo de configuración como “realimentación inductiva”.

En muchas ocasiones hemos tenido la necesidad de dotarnos de un amplificador que pueda cubrir un rango muy amplio de banda (en torno a varias octavas) y que mantenga el rango dinámico del dispositivo semiconductor utilizado. Los métodos clásicos de realimentar amplificadores, basados en sistemas resistivos, suelen ser muy eficientes en cobertura de banda, pero tienen el inconveniente de que las resistencias generan ruido térmico y disipan potencia, por lo que el amplificador siempre suele tener más ruido y menos nivel de salida que el transistor convencional.

El sistema inductivo presenta una ventaja considerable con respecto al resistivo convencional: un acoplador direccional es un dispositivo completamente reactivo, por lo que no presenta más pérdidas que las debidas a la resistencia parásita del acoplador, cuya contribución al ruido siempre es inferior a la de una resistencia convencional.

Pero antes de pasar a describir la aplicación, vamos a recordar en qué consiste un sistema realimentado.

SISTEMAS REALIMENTADOS

En Teoría de Sistemas, un sistema realimentado es aquel que toma una muestra de la señal de salida y la compara con la entrada para modificar, estabilizar u obtener una respuesta lo más adecuada posible. Se trata del sistema de control básico, ya que una señal y(t)=A(x(t), t)·x(t) puede variar en función de t y en función de x(t). Debemos recordar que en un sistema lineal, A=cte. Es decir, que en las condiciones básicas de trabajo, una variación de t o de x(t) no deberían influir en A. Por tanto, un amplificador lineal responderá de la forma y(t)=A·x(t), siendo A un valor constante, que es lo que denominamos ganancia.

En la mayoría de los casos, A responde de forma constante, pero al aplicar la transformada de Fourier a nuestro sistema, Y(ω)=A(ω)·X(ω). O sea, que la ganancia A(ω) depende de la frecuencia. Sin embargo, sigue respondiendo como un sistema lineal, ya que no hay dependencia de x(t).

En la mayor parte de los semiconductores usados como amplificadores, la ganancia A(ω) disminuye, del orden de 6dB/oct, por lo que conseguir la misma respuesta en un ancho de banda grande requiere de técnicas de realimentación.

Un sistema realimentado presenta un diagrama de bloques como el de la figura

Sistema realimentado clásico simple

Sistema realimentado clásico simple

La señal de salida Y(ω) se compara con la señal de entrada X(ω) a través de una red pasiva K. La respuesta en frecuencia del sistema es

Función de transferencia de un sistema realimentado

Función de transferencia de un sistema realimentado

Por tanto, la ganancia del sistema ya no es A(ω), sino que se ha reducido al dividirla por 1+K·A(ω). Si además elegimos un K·A(ω)>>1 en la zona donde queremos trabajar, podremos ver que la ganancia del sistema realimentado no depende de la zona activa A(ω), sino de la pasiva K. Si elegimos una red de realimentación K que no dependa de la pulsación ω, podremos realizar un dispositivo amplificador que no dependa del dispositivo utilizado, sino exclusivamente de la red de realimentación utilizada para obtener la ganancia

Reducción cuando la K.A>>1

Reducción cuando la K.A>>1

Al sólo depender de K, los sistemas realimentados resistivos suelen ser muy habituales para obtener respuestas en bandas ultra anchas, ya que las resistencias no dependen (salvo por sus comportamientos parásitos propios de la fabricación) de la frecuencia. Es por esto que la mayor parte de la bibliografía dedicada a los amplificadores se dedica a los realimentados resistivos, frente a otro tipo de amplificadores.

AMPLIFICADORES REALIMENTADOS RESISTIVOS

Vamos a ver brevemente cuál es el comportamiento de un amplificador realimentado resistivamente. Primero vamos a analizar el comportamiento de un dispositivo semiconductor, como un transistor bipolar (usaremos un BFG520 de NXP para hacer el análisis, con parámetros S y de ruido para Vce=5V e Ic=15mA), cuya ganancia disminuye a medida que aumenta la frecuencia un orden de 6dB/oct, como se puede ver en la siguiente gráfica.

Respuesta en frecuencia de la ganancia de un transistor bipolar

Respuesta en frecuencia de la ganancia de un transistor bipolar

En la gráfica podemos ver que el valor de la ganancia en 500MHz es de 22dB, mientras que al doble (1GHz) tenemos 16,7dB, lo que implica una caída de 5,3dB en la octava. Con estas características, se plantea el circuito realimentado siguiente

Amplificador realimentado

Amplificador realimentado

cuya ganancia, para una impedancia Z0, se puede calcular usando las expresiones

Expresiones para calcular un amplificador realimentado resistivo

Expresiones para calcular un amplificador realimentado resistivo

Para el amplificador propuesto, con R1=500Ω y R2=5Ω, tenemos que Z0=50Ω y G≈17dB. Si representamos la respuesta del transistor convencional con la del realimentado

Ganancia nominal (traza azul) frente a ganancia del amplificador realimentado.

Ganancia nominal (traza azul) frente a ganancia del amplificador realimentado (traza magenta).

Si trazamos asintóticamente una línea en la traza magenta, podremos comprobar que la curva del amplificador realimentado llega a cubrir en ancho de banda hasta la frecuencia donde la ganancia del transistor convencional coincide con la del realimentado. No obstante, como el transistor tiene caída, en la frecuencia donde se corta la asíntota la caída de ganancia es de unos 3dB.

Si calculamos el factor de ruido en el transistor convencional, podemos observar que, a 600MHz, es de 1,5dB para el convencional mientras que es de 2,5dB para el realimentado. Perdemos, por tanto, 1dB de figura de ruido. Por tanto, sacrificamos el factor de ruido para obtener una ganancia prácticamente independiente de la frecuencia en una banda muy ancha.

Si calculásemos un amplificador de 11dB, el ruido subiría en el amplificador realimentado a 3,5dB. Si esto mismo lo aplicásemos a la potencia, veríamos que en nivel de salida, en el primer caso, se pierde 1,5dB de nivel de salida, mientras que en el segundo caso perdemos 2,5dB. Esto implica reducir el rango dinámico de entrada del amplificador entre 3 y 6dB, con el fin de obtener una ganancia constante entre 11 y 17dB.

LA REALIMENTACIÓN INDUCTIVA

La realimentación inductiva consiste en introducir un elemento que compare la señal de salida hacia la entrada usando una red de bajas pérdidas. Como la realimentación es negativa (se compara la señal de salida en contrafase con la señal de entrada), el mejor dispositivo para hacer esta realimentación es el acoplador direccional.

Cuando se quiere cubrir una banda muy ancha, que empiece en frecuencias muy bajas, el método para hacer acopladores direccionales es el transformador de ferrita. De ahí el nombre de inductiva, ya que usa un sistema de acoplamiento inductivo. El esquema eléctrico de un acoplador direccional a transformador es

Acoplador direccional basado en transformador de ferrita

Acoplador direccional basado en transformador de ferrita

donde la transmisión va de la puerta 1 a la 3 (o de a 2 a a 4), la puerta acoplada respecto a la puerta 1 es 2 (o 4 respecto a 3) y la puerta aislada respecto a la puerta 1 es 4 (o 3 respecto a 2). Por tanto, si ponemos la base en la puerta 3 y el colector en la 4, cuando la señal entra por la puerta 1, pasa íntegra a la 3 (entra por base y es amplificada), y parte de la señal del colector va de la puerta 4 a la puerta 3, dependiendo del factor de acoplo, y al estar en contrafase (la fase de la puerta acoplada es π rad), se compara con la señal que viene de la puerta 1, realizando la realimentación. La señal de salida va del colector a la puerta 2 íntegra.

El factor de acoplo del acoplador direccional es función del ratio entre espiras n, siendo n el número de espiras de las bobinas interiores. Se puede calcular usando

Expresión para calcular el factor de acoplo

Expresión para calcular el factor de acoplo

Para calcular un acoplador direccional de 11dB, el ratio de transformación debe ser n≈3,5.

Planteamos entonces el esquema del siguiente amplificador

Amplificador con realimentación basada en acoplador direccional

Amplificador con realimentación basada en acoplador direccional

y representamos la ganancia de este amplificador, para n=3,5

Ganancia del transistor convencional (traza azul) frente al realimentado (traza roja)

Ganancia del transistor convencional (traza azul) frente al realimentado (traza roja)

Podemos ver que trazando la línea asintótica, ocurre lo mismo que en el amplificador realimentado resistivo. Sin embargo, el ruido del amplificador se mantiene igual: si el ruido del transistor es de 1,5dB, el ruido del realimentado es también de 1,5dB, por lo que el ruido se mantiene, mientras que para una ganancia similar en el resistivo, el ruido pasaba a ser 3,5dB. En el caso del nivel de salida, se obtiene lo mismo, debido a que hay transferencia directa de energía sin pérdidas resistivas.

Por tanto, con el acoplador direccional hemos logrado un amplificador con baja ganancia sin perder el rango dinámico que tiene el transistor, lo que muestra la bondad del sistema realimentado por acoplador direccional o realimentación inductiva.

CONCLUSIONES

En esta entrada hemos repasado los amplificadores realimentados y hemos presentado la realimentación inductiva. Hemos analizado la realimentación resistiva en un transistor bipolar BFG520, y hemos hecho una comparativa con una realimentación inductiva. Hemos comprobado que la realimentación inductiva obtiene un mejor rango dinámico cuando se quieren ganancias muy bajas.

Acopladores direccionales de transformador pueden ser encontrados en varios fabricantes de componentes pasivos, o pueden ser diseñados por el propio desarrollador ya que se pueden encontrar ferritas en casi todos los catálogos.

El amplificador puede ser utilizado en etapas de entrada donde se requieran ganancias bajas, tanto por su característica de rango dinámico como por su cobertura de banda, ya que puede abarcar una banda superior a la de una realimentación resistiva.

REFERENCIAS

  1. Rowan Gilmore, Les Besser, “Practical RF Circuit Design for Modern Wireless Systems Vol. II”, Artech House Publishers, Norwood MA (USA), 2003
  2. Patente de invención industrial ES-2107351-B1, “Dispositivo ampli cador de banda ancha”, publicada por Ángel Iglesias S.A., Madrid (Spain), 1998

Introducción al cálculo de radioenlaces

images1En el mundo moderno, la conexión inalámbrica es muy habitual. El uso de dispositivos móviles se ha convertido en una de las herramientas más habituales para las comunicaciones. Pero, ¿cuál es la forma de conexión que permite que dos dispositivos estén conectados sin necesidad de hilos? La respuesta es conocida por casi todos: se trata de una conexión electromagnética, usando las propiedades del electromagnetismo para poder transferir información de un lugar a otro sin necesidad de más conexión física que la propagación electromagnética a través del aire. En esta entrada vamos a mostrar los modelos de radioenlaces más comunes y cómo se puede calcular un enlace por radio.

¿Qué es un radioenlace?

Entendemos por radioenlace a aquella conexión que se realiza entre un emisor y un receptor utilizando como medio de propagación el espacio libre.

La propagación de ondas electromagnéticas fue desarrollada por Maxwell a mediados del S. XIX, cuando unificó las teorías eléctrica y magnética en una teoría más completa, denominada teoría electromagnética, conteniendo todos los fenómenos correspondientes a los campos eléctrico y magnético formulados por Coulomb, Gauss, Lenz, Ampere, Faraday, etc.

Las ecuaciones de Maxwell, fundamentales para comprender la teoría electromagnética, son un compendio de cuatro leyes que describen el comportamiento de los campos electromagnéticos. Antes de pasar a describir el comportamiento en el espacio de un campo electromagnético, vamos a recordar dichas ecuaciones.

Ecuaciones de Maxwell

Como se ha dicho, las ecuaciones de Maxwell son un compendio de leyes formuladas sobre los campos eléctricos y magnéticos que se aúnan en cuatro ecuaciones fundamentales.

Las dos primeras provienen del Teorema de Gauss aplicado a ambos campos, que dice que las fuentes o sumideros de los campos son las magnitudes que los originan

Teorema de Gauss sobre campos eléctricos y magnéticos

Teorema de Gauss sobre campos eléctricos y magnéticos

El operador nabla es un operador diferencial de tipo vectorial, que en coordenadas generalizadas se describe por la expresión

Operador diferencial nabla

Operador diferencial nabla

Con qi, qj y qk coordenadas ortogonales entre sí, y hi, hj y hk factores de escala. El término ε se denomina permitividad eléctrica del medio y ρ es la densidad volumétrica de carga.

Usando estos términos diferenciales, estas dos ecuaciones expresan que las fuentes y sumideros de un campo eléctrico E son las cargas eléctricas, mientras que un campo magnético B no tiene fuentes o sumideros (no existe el monopolo magnético).

La tercera ecuación deriva de la ley de Faraday, que dice que un campo magnético variable con el tiempo genera una fuerza electromotriz, cuya expresión es

Ley generalizada de Lenz

Ley generalizada de Faraday

Por último, se expresa la ley generalizada de Ampere, que dice que un campo magnético B es generado por corrientes eléctricas y por un campo eléctrico variable con el tiempo

Ley generalizada de Ampere

Ley generalizada de Ampere

donde μ es la permeabilidad magnética del medio.

De estas ecuaciones se pueden deducir dos ecuaciones de onda, que son

Ecuaciones de onda para el campo eléctrico y magnético

Ecuaciones de onda para el campo eléctrico y magnético

donde σ es la conductividad eléctrica del medio. El operador diferencial usado en términos de espacio es el operador laplaciano.

Operador laplaciano

Operador laplaciano

Por tanto, en cualquier medio material lineal homogéneo se pueden propagar ondas electromagnéticas, que son resolubles usando estas ecuaciones deducidas de las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, no todas las soluciones a estas ecuaciones pueden dar como resultado ondas electromagnéticas. Los resultados obtenidos tienen que satisfacer también las ecuaciones de Maxwell.

Radiación electromagnética como medio de comunicación

La formulación de las ecuaciones de Maxwell permitió el desarrollo de las telecomunicaciones a larga distancia, sin uso de hilos, resolviendo el problema de las costosas infraestructuras que supondría la propagación guiada. Fueron Tesla y Marconi los primeros que experimentaron con este tipo de comunicación, que dio origen a la radiocomunicación. Un emisor, por un lado, transmitía una onda electromagnética que un receptor era capaz de recibir y reproducir y viceversa, usando como medio de trasmisión el aire.

Sin embargo, este sistema de comunicación no está exento de problemas a la hora de realizar una correcta transmisión. En el espacio libre, las ondas electromagnéticas no están guiadas, sino que se propagan, se reflejan, interfieren, se atenúan, se difractan en presencia de obstáculos… Por tanto, la conexión inalámbrica está sometida a una serie de fenómenos esenciales para poder realizar un radioenlace. La primera, y más esencial, es la que define las pérdidas en el espacio libre deducida de las ecuaciones de Maxwell.

Esquema de un radioenlace

Esquema de un radioenlace

Pérdidas en la propagación en el espacio

La primera de las pérdidas que se producen en el espacio libre (es decir, sin presencia de obstáculos ni ningún fenómeno interferente) la dedujo Friis de resolver las ecuaciones de Maxwell. Con esta expresión se puede calcular, en primera instancia, la potencia recibida por una antena en función de la potencia transmitida por el emisor. Esta ecuación depende de la frecuencia utilizada y de la distancia a la que se encuentra el receptor, y se describe por

Pérdidas de propagación en el espacio libre

Pérdidas de propagación en el espacio libre

siendo r la distancia en km y f la frecuencia en MHz.

El modelo de Friis es válido para receptores que se encuentran alejados de la antena transmisora, denominada zona de Franhoufer (no es válido para campo cercano o zona de Raileigh) y que no se encuentre con obstáculos (zona de Fresnel), ni con interferencias debidas a la reflexión de la señal (fading). Por su simplicidad, es muy útil para las primeras aproximaciones de un radioenlace, ya que éste se diseña de tal modo que la propagación de la onda sea plana a una distancia muy grande, partiendo de una onda cilíndrica en campo cercano, como por ejemplo una estación repetidora de radiotelevisión.

Sin embargo, en la mayoría de los radioenlaces modernos, sobre todo en comunicaciones móviles, se utilizan modelos más complejos, deducidos de forma estadística a partir de datos experimentales y para entornos urbanos, suburbanos y de poca densidad de población. Los modelos más utilizados en el cálculo de radioenlaces en entornos urbanos son los modelos de Okumura y Okumura-Hata.

El modelo de Okumura es el modelo más simple, aunque está limitado en la banda de frecuencias de 150MHz a 1920MHz. La expresión de las pérdidas de este modelo es

Modelo de pérdidas de Okumura

Modelo de pérdidas de Okumura

donde LF son las pérdidas en el espacio libre calculadas por el modelo de Friss y Amu es la atenuación relativa promedio. Cabe destacar que intervienen también las contribuciones de ganancia por la posición en altura de las antenas utilizadas (G(hTX) y G(hRX)) así como el ambiente en el que se encuentre (Gamb).

El modelo de Okumura es mucho más restrictivo que el de Friis, ya que en el espacio libre, una señal de 1000MHz con una distancia de 10km entre emisor y receptor muestra unas pérdidas de 112,44dB, mientras que el modelo de Okumura muestra 170-190dB, dependiendo de la altura del transmisor.

Un modelo más simple que el de Okumura es el de Okumura-Hata, que está basado en los datos de pérdidas del de Okumura, pero que simplifica el modelo para adaptarlo a un entorno urbano estándar (alturas de antenas transmisoras entre 30 y 200 m, de antenas receptoras entre 1 y 10 m y frecuencias entre 150 y 1500MHz), utilizada para el cálculo de enlaces móviles. Su expresión, en un entorno urbano, es

Modelo de pérdidas de Okumura-Hata

Modelo de pérdidas de Okumura-Hata

siendo a(hRX) un factor de corrección de la antena receptora que viene dado por una serie de expresiones, en función del entorno (urbano, suburbano y espacios abiertos)

En este caso, si tenemos una antena transmisora a 100m de altura, en un entorno urbano, y una receptora a 5m de altura, a una frecuencia de 1000MHz y 5km de distancia tendremos

Factores de corrección para ciudades pequeñas (primera) y entornos medianos y grandes (segunda)

Factores de corrección para ciudades pequeñas (primera) y entornos medianos y grandes (segunda)

Factor de corrección para entornos suburbanos y espacios abiertos

Factor de corrección para entornos suburbanos (primera) y espacios abiertos (segunda)

  • Pérdidas en el espacio libre: 106,41dB
  • Pérdidas en el modelo de Okumura: 133,50dB
  • Pérdidas en el modelo de Okumura-Hata: 133,50dB

El modelo de Okumura-Hata empieza a fallar cuando nos salimos de los valores límite para el que está definido.

Hay otros dos modelos basados en los modelos de difracción, denominados de Walfisch-Bertoni y de Walfisch-Ikegami, muy usados cuando se tratan entornos con obstáculos. Son modelos más complejos, basados en las pérdidas debidas por a la difracción de la señal, que dependen del entorno y que no se pueden formular de forma genérica. Se tratarán en una futura entrada.

El efecto de los obstáculos

Los obstáculos provocan difracción en la señal propagada. El fenómeno de la difracción es la desviación que se produce en las ondas electromagnéticas al encontrarse con un obstáculo. La difracción produce interferencias debido al cambio de caminos (cambios de fase en la onda propagada).

Ejemplo de la 1ª elipsoide de Fresnel

Ejemplo de la 1ª elipsoide de Fresnel

En un radioenlace, existe una zona de propagación más o menos segura que es la zona de Fresnel. Esta zona, que tiene forma de elipsoide es aquella en la que se asegura que la diferencia de fase entre las ondas propagadas no sea de π radianes.

Las elipsoides de Fresnel se pueden calcular en varias zonas mediante la expresión

Cálculo de las diferentes elipsoides de Fresnel

Cálculo de las diferentes elipsoides de Fresnel

Siendo rn el máximo radio de la zona en metros (n=1, 2, 3,…), d1 la distancia del emisor al obstáculo en km, d2 la distancia del receptor al obstáculo en km y f la frecuencia de la señal propagada en MHz.

Los radioenlaces se calculan generalmente en primera zona de Fresnel, por lo que la expresión queda

Cálculo para la primera zona de Fresnel

Cálculo para la primera zona de Fresnel

En el punto central tendremos el máximo de la elipsoide, por lo que podremos calcular su radio usando

Máximo radio de Fresnel para la primera zona

Máximo radio de Fresnel para la primera zona

Cálculo de un radioenlace simple

Vamos a suponer ahora que tenemos un radioenlace con un transmisor de 1kW, a 1GHz, y usamos para la transmisión una antena de ganancia 14dBi. Queremos calcular el nivel de campo que se obtiene a 10km del transmisor, en propagación en el espacio libre.

En primer lugar, se calcula la Potencia Radiada Efectiva (ERP), que es la potencia que se transmite en la dirección marcada por la antena, y que viene dada por la expresión

Cálculo de la Potencia Radiada Efectiva

Cálculo de la Potencia Radiada Efectiva

La atenuación en el espacio libre es

Pérdidas en el espacio libre del radioenlace

Pérdidas en el espacio libre del radioenlace

La intensidad de campo a esa distancia se puede calcular mediante la expresión

Cálculo de la intensidad de campo del radioenlace

Cálculo de la intensidad de campo del radioenlace

Si ahora queremos ver cuál es la potencia de la señal recibida, usando una antena de ganancia conocida (por ejemplo, una antena de 3dBd), simplemente tendremos que aplicar

Cálculo de la potencia recibida por un receptor de 50 ohm

Cálculo de la potencia recibida por un receptor de 50 ohm

que será el nivel obtenido en la recepción. El nivel recibido es de 145nW.

Conclusiones

En esta entrada hemos analizado las pérdidas de propagación de una onda electromagnética usando los diferentes modelos conocidos: el modelo de Friis, el de Okumura y el de Okumura-Hata, y hemos establecido una comparativa entre los valores que se obtienen en ambos modelos.

Para el cálculo de un radioenlace simple, donde el repetidor está muy elevado y hay pocos obstáculos, la aproximación de Friis es un modelo sencillo que nos permite calcular radioenlaces de estaciones de radio y televisión. Sin embargo, para comunicaciones móviles es más seguro usar los modelos de Okumura-Hata, debido a que incluyen una serie de parámetros que el modelo del espacio libre no incluye, observados desde los datos experimentales, y son más restrictivos a la hora de realizar el radioenlace.

Los modelos de difracción (Walfisch-Bertoni y Walfisch-Ikegami) no han sido tratados en esta entrada debido a su complejidad formal y a la necesidad de explicar también el fenómeno de la difracción. En esta entrada tampoco se han tratado fenómenos como la interferencia o el ruido, que afectan a la correcta recepción de un radioenlace. Estos modelos y los fenómenos de interferencia y ruido se tratarán en futuras entradas.

REFERENCIAS

  1. John R. Reitz, Frederick J. Milford, Robert W. Christy, “Foundations of Electromagnetic Theory”, Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Massachusetts (USA), 1979
  2. José M. Hernando Rábanos, “Comunicaciones Móviles”, C.E. Ramón Areces, S.A., Madrid (Spain), 1997
  3. Y. Okumura, E. Ohmori, T. Kawano, K. Fukuda, “Field strength and its variability in the VHF and UHF land mobile radio service”, Rev. Elec. Commun. Lab., 16(9/10), 825-73. 1968.
  4. M. Hata, “Empirical formula for propagation loss in land mobile radio services”, IEEE Transactions on Vehicular Technology , 29(3), 317-325, 1980.