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Simulando transiciones en guía de onda

adapterLas guías de onda son líneas de transmisión muy utilizadas en aplicaciones de muy alta frecuencia como elementos de propagación guiada. Sus mayores ventajas son la reducción de pérdidas en la propagación, debido al uso de un sólo conductor y aire, en lugar de usar dieléctricos como en el cable coaxial, un mayor capacidad para usar potencias elevadas y una construcción sencilla. Sus principales inconvenientes suelen ser que son dispositivos voluminosos, que no pueden funcionar por debajo de su frecuencia de corte y que las transiciones de guía a otras tecnologías (como coaxial o microstrip) suelen tener pérdidas. La simulación por el método de los elementos finitos (FEM), permite, no obstante, estudiar y optimizar las transiciones que se pueden realizar con estos dispositivos, obteniendo muy buenos resultados. En esta entrada vamos a estudiar las guías de onda usando un simulador FEM como HFSS, que es capaz de analizar los campos electromagnéticos en 3D.

Las guías de onda son muy populares en los circuitos de muy alta frecuencia, debido a la facilidad de construcción y bajas pérdidas. Los campos propagados, a diferencia de las guías coaxiales, son transversales eléctricos o magnéticos (campos TE o TM), por lo que tienen una componente de campo magnético (los TE) o campo eléctrico (los TM) en la dirección de propagación. Estos campos son resultado de la solución de la ecuación de Helmholtz bajo determinadas condiciones de contorno

Fig. 1 – Ecuación de Helmholtz para ambos modos

mmque resolviendo por separación de variables, y aplicando las condiciones de contorno de un recinto rectangular donde todas las paredes son paredes eléctricas (conductores, en las que la componente tangencial del campo eléctrico se anula)

Fig. 2 – Condiciones de contorno de la guía rectangular

obtenemos un conjunto de soluciones para el campo electromagnético en el interior de la guía, partiendo de la solución obtenida para las expresiones de la fig. 1.

Fig. 3 – Tabla de campos electromagnéticos y parámetros en guías rectangulares

Por tanto, los campos electromagnéticos se propagan en forma de modos de propagación, denominados TEmn, si son transversales eléctricos (Ez=0), o TMmn, si son transversales magnéticos (Hz=0). De la constante de propagación Kc obtenemos una expresión para la frecuencia de cortefc, que es la frecuencia más baja a la que se pueden propagar campos dentro de la guía, y cuya expresión es

Fig. 4 – Frecuencia de corte de una guía rectangular

El modo más bajo se da cuando m=0, ya que a aunque la función tiene extremos para m,n=0, no existen los modos TE00 o TM00. Y como a>b, la frecuencia de corte más baja de la guía se da en el modo TE10. Ese es el modo que vamos a analizar mediante simulación FEM en 3D.

SIMULACIÓN DE UNA GUÍA RECTANGULAR POR EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

En un simulador 3D es muy sencillo modelar una guía rectangular, ya que basta dibujar un rectángulo de las dimensiones adecuadas a y b. En este caso vamos a usar a=3,10mm y b=1,55mm. El modo TE10 se comenzará a propagar a 48GHz y el segundo modo, el  TE01, a 97GHz, así que vamos a analizar la guía a 76HGz, que es donde queremos hacerla funcionar. La guía, dibujada en un simulador como HFSS, se ve así

Fig. 5 – Guía rectangular. Modelo en HFSS

El prisma rectangular interior se asigna al vacío como medio material, y en los laterales se asignan paredes eléctricas como condiciones de contorno. A los rectángulos de los planos -z/2 y +z/2 se les asignan sendas fuentes de excitación, con el primer modo de propagación.

El campo eléctrico propagado a lo largo de la guía es de la forma

Fig. 6 – Campo eléctrico en el interior de la guía

Analizando los parámetros S de la guía, de 40 a 90GHz, obtenemos

Fig. 7 – Parámetros S de la guía rectangular

donde podemos ver  que es a partir de 48,5GHz cuando comienza a haber propagación en la guía.

A partir de 97GHz, el modo TE01 se comenzaría a propagar también, no interesándonos y centrándonos en los 76GHz, que es donde se quiere hacer funcionar la guía.

TRANSICIONES EN GUIAS DE ONDA

Las transiciones más comunes son aquellas que van de la guía a coaxial, o de guía a línea microstrip, para poder utilizar la energía propagada en otro tipo de aplicaciones. Para ello, lo que se hace es colocar una sonda en la dirección del campo eléctrico (en el modo TE01 es la dirección y), para que la energía que está asociada a ese campo se acople directamente a la sonda

Fig. 8 – Posición de la sonda

La sonda consiste en una antena resonante de cuarto de longitud de onda a la frecuencia que queremos acoplar. En el eje x, el máximo del campo eléctrico se encuentra en x=a/2, mientras que para encontrar el máximo en la dirección de propagación z, cerramos con un cortocircuito la guía, de modo que el campo E es mínimo en la pared de la guía, siendo máximo a un cuarto de onda de la longitud de onda de la guía, que es

Fig. 9 – Longitud de onda de la guía

y en nuestro caso, a 76GHz, λ es 3,95mm mientras que λg es 5,11mm. Por tanto, la longitud de la sonda será 0,99mm y la distancia al cortocircuito 2,56mm.

En transiciones coaxiales, basta con poner un coaxial cuyo conductor interno emerja en λ/4 a λg/4 del cortocircuito. Pero en transiciones a microstrip se usan dieléctricos como soporte de las pistas de metal, por lo que hay que tener en cuenta el efecto del dieléctrico sobre la longitud de onda del material.

Nuestra transición puede ser modelada en HFSS asignando diferentes materiales. Construimos la sonda sobre substrato Rogers RO3003, de baja constante dieléctrica y bajas pérdidas, realizando la transición a línea microstrip. Todo el contorno lateral, así como las líneas de metal, se asignan a paredes eléctricas (conductores perfectos), mientras que el soporte de la línea es RO3003. El interior de la guía y la cavidad donde se aloja la transición es vacío. En el extremo de la transición asignamos un puerto.

Fig. 10 – Transición guía rectangular a microstrip

y ahora realizamos la simulación para ver cuáles son los campos y la respuesta de la transición.

Fig. 11 – Campo eléctrico en la transición

donde se puede ver cómo la sonda es excitada por el campo eléctrico y acopla este a la línea microstrip.

Fig. 12 – Parámetros S de la transición

Viendo la respuesta de los parámetros S, podemos ver que el acoplamiento con menos pérdidas de retorno se produce en la banda de 76÷78GHz, que es donde deseábamos que nuestra transición funcionase.

OTROS DISPOSITIVOS EN GUIA DE ONDA: LA T MÁGICA

Dentro de los componentes populares que se pueden realizar en guía de onda, uno de los más populares es la T mágica, un combinador especial que puede ser usado como divisor  como combinador y como sumador/restador de señales.

Fig. 13 – T Mágica

El funcionamiento es muy sencillo: cuando se excita un campo electromagnético por el puerto 2, la señal sale dividida y en fase por los puertos 1 y 3. El puerto 4 queda aislado porque su plano E es perpendicular al plano E del puerto 2. En cambio, si el campo se excita desde el puerto 4, éste se divide en los puertos 1 y 3 en contrafase (180deg) mientras que el puerto 2 queda aislado.

Vamos a usar la simulación FEM para analizar la T mágica, y excitamos la potencia por el puerto 2, obteniendo

Fig. 14 – Campo eléctrico dentro de la T mágica  excitando desde el puerto 2.

donde se puede ver que la potencia es repartida en los puertos 1 y 3 mientras que el puerto 4 queda aislado. Haciendo lo mismo desde el puerto 4, obtenemos

Fig. 15 – Campo eléctrico en el interior de la T mágica excitando desde el puerto 4.

donde ahora es el puerto 2 el que queda aislado.

Para poder ver las fases, es necesario recurrir a un diagrama vectorial del campo eléctrico

Fig. 16 – Campo eléctrico vectorial excitando desde el puerto 2

donde se ve que el campo en los puertos 1 y 3 tiene la misma orientación y por tanto están en fase. Excitando desde el puerto 4

Fig. 17 – Campo eléctrico vectorial excitando desde el puerto 4

en la que se ve que las señales en el puerto 1 y 3 son del mismo nivel, pero están en contrafase (180deg entre ellas).

La simulación FEM nos permite analizar el comportamiento del campo electromagnético desde diferentes puntos de vista, ya que podemos cambiar las excitaciones. Por ejemplo, si introducimos por 2 una señal en fase con la que introducimos en 4, ambas señales se sumarán en fase en 3 y se anularán en 1.

Fig. 18 – Campo eléctrico en el interior de la guía excitando desde 2 y 4 en fase.

mientras que si invertimos la fase en 2 o en 4, las señales se sumaran en 1 y se anularán en 3.

Fig. 19 – Campo eléctrico en el interior de la guía excitando desde 2 y 4 en contrafase

con lo que estamos haciendo un sumador/restador de señales.

CONCLUSIONES

El objeto de la entrada era el análisis del comportamiento eléctrico de las guías de onda a través de un simulador 3D que usa el método de los elementos finitos (FEM). La ventaja del uso de estos simuladores es que permiten analizar con buena precisión los campos electromagnéticos en estructuras tridimensionales, siendo el modelado la parte más importante para definir correctamente la estructura a estudiar, ya que un simulador tridimensional requiere realizar un mallado en la estructura, y este mallado, a medida que necesita más tetraedros para lograr una buena convergencia, tiende también a necesitar más memoria de máquina y capacidad de procesado.
Las estructuras analizadas, debido a su simplicidad, no han requerido de tiempos largos de simulación y capacidad de procesado relevantes, pero a medida que se hacen más complejos los modelos, la capacidad de procesado aumenta, si se desea conseguir una buena precisión.

En posteriores entradas analizaremos otros métodos para lograr reducir el modelado en estructuras complejas, a través del uso de planos de simetría que permiten dividir la estructura y reducir considerablemente el mallado.

REFERENCIAS

  1. Daniel G. Swanson, Jr.,Wolfgang J. R. Hoefer; “Microwave Circuit Modeling Using Electromagnetic Field Simulation”; Artech House, 2003, ISBN 1-58053-308-6
  2. Paul Wade, “Rectangular Waveguide to Coax Transition Design”, QEX, Nov/Dec 2006
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Diseñando con la Carta de Smith 3D

La Carta de Smith es una herramienta habitual en el diseño de circuitos de RF. Desarrollada por Phillip Smith en 1939, se ha convertido en el método gráfico más popular para representar impedancias y resolver de forma sencilla operaciones con números complejos. Tradicionalmente la Carta de Smith se ha usado en su forma polar, para dos dimensiones, en un círculo de radio 1. Sin embargo, la carta en su formato 2D presenta algunas restricciones cuando se trata de representar impedancias activas de osciladores o círculos de estabilidad de amplificadores, ya que estas últimas representaciones suelen salirse de la carta. En los últimos años se ha popularizado el uso de la Carta de Smith tridimensional. Los avances en el software de representación 3D posibilitan su uso para el diseño. En esta entrada se va a tratar de conocer el manejo de la Carta de Smith tridimensional y su aplicación a un secillo amplificador de baja figura de ruido.

Cuando Phillip Smith estaba trabajando en los Laboratorios Bell, se encontró con la necesidad de tener que adaptar una antena y para ello buscó una forma de resolver el problema gráficamente. Mediante las expresiones matemáticas que rigen las impedancias en las líneas de transmisión, logró representar el plano complejo de impedancias mediante círculos de resistencia y reactancia constante. Estos círculos le facilitaban el poder representar cualquier impedancia en un espacio polar, con la máxima adaptación situada en el centro de la carta y el círculo exterior representando la reactancia pura. Tradicionalmente, la carta de Smith ha sido representada en forma polar tal y como se observa a continuación.

Fig. 1 – Carta de Smith tradicional

Las impedancias se representan normalizadas, esto es, se representa la relación entre la impedancia que se quiere representar y la impedancia de generador. El centro de la carta es la resistencia pura unidad (máxima adaptación) mientras que el círculo periférico que limita la carta es la reactancia pura. El extremo izquierdo de la carta representa el cortocircuito puro y el extremo derecho, el circuito abierto puro. La carta se hizo enseguida muy popular para poder realizar cálculos de adaptación de impedancias con líneas de transmisión usando el método gráfico. Sin embargo,las dificultades de diseño con la carta empezaron a producirse cuando se quería analizar dispositivos activos como amplificadores, para estudiar su estabilidad, y osciladores.

Obviamente, la carta limita a las impedancias de parte real positiva, pero la carta puede representar, mediante extensión del plano complejo a través de la transformación de Möbius, impedancias con parte real negativa [1]. Esta carta expandida al plano de parte real negativa se puede ver en la siguiente figura

Fig. 2-Carta de Smith expandida a parte real negativa

Esta carta, sin embargo, tiene dos inconvenientes: 1) aunque nos permite representar todas las impedancias, existe el problema del infinito complejo, por lo que sigue limitada y 2) la carta toma unas dimensiones grandes que la hacen difícil de manejar en un entorno gráfico, incluso tratándose de un entorno asistido por computador. Sin embargo, su ampliación es necesaria cuando se desean analizar los círculos de estabilidad en amplificadores, ya que en muchas ocasiones, los centros de estos círculos están situados fuera de la carta de impedancias pasivas.

En un entorno gráfico por computador, representar los círculos ya lo realiza el propio programa a través de sus cálculos, pudiendo limitar la carta a la carta pasiva y dibujando sólo una parte del círculo de estabilidad. Pero con osciladores se sigue teniendo el problema del infinito complejo, cosa que se resuelve a través de la esfera de Riemann.

ESFERA DE RIEMANN

La esfera de Riemann es la solución matemática para representar todo el plano complejo, incluido el infinito. Toda la superficie compleja se representa en una superficie esférica mediante una proyección estereográfica de dicho plano.

Fig. 3 – Proyección del plano complejo a una esfera

En esta representación el hemisferio sur de la esfera representa el origen, el hemisferio norte representa el infinito y el ecuador el círculo de radio unidad. La distribución de los valores complejos en la esfera se puede ver en la siguiente figura

Fig. 4 – Distribución de los valores complejos en la esfera

De este modo, es posible representar cualquier número del espacio complejo en una superficie manejable.

REPRESENTANDO LA CARTA DE SMITH EN UNA ESFERA DE RIEMANN

Como la Carta de Smith es una representación compleja, se puede proyectar del mismo modo a una esfera de Riemann [2], tal y como se muestra en la figura siguiente

Fig. 5 – Proyección de la Carta de Smith sobre una esfera de Riemann

En este caso, el hemisferio norte corresponde a la impedancias de parte resistiva positiva (impedancias pasivas), en el hemisferio sur se representan las impedancias con resistencia negativa (impedancias activas), en el hemisferio este se representan las impedancias inductivas y en el oeste las impedancias capacitivas. El meridiano principal se corresponde con la impedancia resistiva pura.

Así, se se desea representar una impedancia cualquiera, ya sea activa o pasiva, se puede representar en cualquier punto de la esfera, facilitando notablemente su representación. Del mismo modo, se pueden representar los círculos de estabilidad de cualquier amplificador sin tener que expandir la carta. Por ejemplo, si queremos representar los círculos de estabilidad de un transistor cuyos parámetros S a 3GHz son

S11=0,82/-69,5   S21=5,66/113,8   S12=0,03/48,8  S22=0,72/-37,6

el resultado en la carta de Smith convencional sería

Fig. 6 – Representación tradicional de los círculos de estabilidad

mientras que en la carta tridimensional sería

Fig. 7 – Círculos de estabilidad en la carta tridimensional

donde se pueden ver ubicados ambos círculos, parte en el hemisferio norte y parte en el sur. Como se puede ver, se ha facilitado enormemente su representación.

UNA APLICACIÓN PRÁCTICA: AMPLIFICADOR DE BAJO RUIDO

Vamos a ver una aplicación práctica de la carta tratando de conseguir que el amplificador de la sección anterior esté adaptado a la máxima ganancia estable y mínima figura de ruido, a 3GHz. Usando los métodos tradicionales, y conociendo los datos del transistor, que son

S11=0,82/-69,5   S21=5,66/113,8   S12=0,03/48,8  S22=0,72/-37,6

NFmin=0,62  Γopt=0,5/67,5 Rn=0,2

Representamos en la carta de Smith tridimensional esos parámetros S y dibujamos los círculos de estabilidad del transistor. Para una mejor representación usamos 3 frecuencias, con un ancho de banda de 500MHz.

Fig. 8 – Parámetros S y círculos de estabilidad del transistor (S11 S21 S12 S22 Círculo se estabilidad de entrada Círculo de estabilidad de salida)

y podemos ver los parámetros S, así como los círculos de estabilidad, tanto en el diagrama polar convencional como en la carta tridimensional. Como se puede observar, en el diagrama polar convencional los círculos se salen de la carta.

Para que un amplificador sea incondicionalmente estable, los círculos de estabilidad deberían estar situados en la zona externa de impedancia pasiva de la carta (en la carta tridimensional, en el hemisferio sur, que es la región expandida) bajo dos condiciones: si los círculos son externos a la carta pasiva y no la rodean, la zona inestable se encuentra en el interior del círculo. Si rodean a la carta, las cargas inestables se encuentran en el exterior del círculo.

Fig. 9 – Posibles situaciones de los círculos de estabilidad en la región activa

En nuestro caso, al entrar parte de los círculos a la región de impedancias pasivas, el amplificador es condicionalmente estable. Entonces las impedancias que podrían desestabilizar el amplificador son las que se encuentran en el interior de los círculos. Esto es algo que todavía no se puede ver con claridad en la carta tridimensional, no parece que lo calcule y sería interesante de incluir en posteriores versiones, porque facilitaría enormemente el diseño.

Vamos ahora a adaptar la entrada para obtener el mínimo ruido. Para ello hay que diseñar una red de adaptación que partiendo de 50Ω llegue al coeficiente de reflexión Γopt y que representa una impedancia normalizada Zopt=0,86+j⋅1,07. En la carta de Smith tridimensional abrimos el diseño y representamos esta impedancia

Fig. 10 – Representación de Γopt

Ahora usando la admitancia, nos desplazamos en la región de conductancia constante hasta que obtengamos que la parte real de la impedancia sea 1. Esto lo hacemos tanteando y obtenemos una subsceptancia de 0,5,. Como hemos tenido que incrementar 0,5–(-0,57)=1,07, esto equivale a una capacidad a tierra de 1,14pF.

Fig. 11 – Transformación hasta el círculo de impedancia con parte real unidad.

Ahora sólo queda colocar un componente que anule la parte imaginaria de la impedancia (reactancia), a resistencia constante. Como la reactancia obtenida es -1,09, hay que añadir 1,09, por lo que el valor de reactancia se anula. Esto equivale a una inducción serie de 2,9nH.

Fig. 12 – Impedancia de generador adaptada a Γopt

Ya tenemos la red de adaptación de entrada que nos consigue la mínima figura de ruido. Como el dispositivo es activo, al colocar esta red de adaptación nos cambian los parámetros S del transistor. Los nuevos parámetros son:

S11=0,54/-177   S21=8,3/61,1   S12=0,04/-3,9  S22=0,72/-48,6

que representamos en la carta de Smith para ver sus círculos de estabilidad.

Fig. 13 – Transistor con entrada adaptada a Γopt y sus círculos de estabilidad

Las regiones inestables son las internas, por lo que el amplificador sigue siendo estable.

Ahora hay que adaptar la salida para obtener la máxima ganancia, por lo que hay que cargar a S22=0,72/-48,6 un coeficiente de reflexión ΓL adaptación conjugada, pasando de 50Ω a un coeficiente de reflexión ΓL=0,72/48,6. Esta operación se realiza del mismo modo que operamos en la adaptación de la entrada. Haciendo esta operación y obteniendo los parámetros S del conjunto completo, con redes de adaptación en entrada y salida, obtenemos

S11=0,83/145   S21=12/-7.5   S12=0,06/-72,5  S22=0,005/162

La ganancia es 20·log(S21)=21,6dB, y la figura de ruido obtenida es 0,62dB, que corresponde a su NFmin. Ahora sólo queda representar en la carta de Smith tridimensional estos parámetros para observar sus círculos de estabilidad.

Fig. 14 – Amplificador de bajo ruido y sus círculos de estabilidad

En este caso, la región estable del círculo de estabilidad de entrada es la interior, mientras que en el círculo de estabilidad de salida es la exterior. Como ambos coeficientes de reflexión, S11 y S22 se encuentran en la región estable, el amplificador es entonces estable.

CONCLUSIONES

En esta entrada hemos tenido la primera toma de contacto con la Carta de Smith tridimensional. El objetivo de la entrada era estudiar su potencial respecto a una herramienta ya tradicional en la ingeniería de Microondas como es la Carta de Smith tradicional. Se observan novedosas ventajas sobre ésta en cuanto a que podemos representar los valores infinitos de la transformada de Möbius sobre una esfera de Riemann y de este modo tener una herramienta gráfica tridimensional donde se pueden representar prácticamente todas las impedancias, tanto pasivas como activas, y parámetros difíciles de representar en la carta tradicional como los círculos de estabilidad.

En su versión 1 la herramienta, que se puede encontrar en la página web 3D Smith Chart / A New Vision in Microwave Analysis and Design, presenta bastantes opciones de diseño y configuración, aunque se echa de menos algunas aplicaciones que, sin duda, irán incorporándose en futuras versiones. En este caso, una de las aplicaciones más ventajosas para la carta, al haber estudiado los círculos de estabilidad de un amplificador, es la ubicación de las regiones de estabilidad de forma gráfica. Aunque esto lo podemos resolver por cálculo, siempre es más ventajosa la imagen visual.

La aplicación tiene un manual de usuario con ejemplos explicados de forma sencilla, de modo que el diseñador se familiarice enseguida con ella. En mi opinión profesional, es una herramienta idónea para los que estamos acostumbrados a usar la carta de Smith para realizar nuestros cálculos de redes de adaptación.

REFERENCIAS

  1. Müller, Andrei; Dascalu, Dan C; Soto, Pablo; Boria, Vicente E.; ” The 3D Smith Chart and Its Practical Applications”; Microwave Journal, vol. 5, no. 7, pp. 64–74, Jul. 2012
  2. Zelley, Chris; “A spherical representation of the Smith Chart”; IEEE Microwave, vol. 8, pp. 60–66, July 2007
  3. Grebennikov, Andrei; Kumar, Narendra; Yarman, Binboga S.; “Broadband RF and Microwave Amplifiers”; Boca Raton: CRC Press, 2016; ISBN 978-1-1388-0020-5

Simulando reguladores DC-DC conmutados

Los reguladores son dispositivos que convierten tensiones de DC a DC. Pueden ser de dos tipos: lineales (disipativos) y conmutados. Los primeros toman la tensión de entrada y la reducen a una tensión deseada, mientras que los segundos convierten la tensión de entrada en otra usando técnicas de conmutación, pudiendo ser la tensión de salida inferior o superior a la de entrada. Si la tensión de salida es inferior, se llaman reductores (“buck”), y si es superior, elevadores (“boost”). A diferencia de los reguladores lineales, con estos dispositivos se pueden obtener eficiencias en la transferencia de energía superiores al 80%, reduciendo la disipación en la regulación. En esta entrada vamos a proceder analizar un pequeño circuito elevador, desde una batería de 3V a 12V, y vamos a usar dos simuladores de circuitos para comprobar los resultados: LTSpice de Linear Technology Corp. y Tina-TI de Texas Instruments, ambos basados en los algoritmos SPICE.

En los circuitos electrónicos es necesario siempre alimentar con una fuente de alimentación DC. En la mayoría de las ocasiones, las tensiones de alimentación son superiores a las necesarias para alimentar las partes activas, por lo que se suelen usar reguladores lineales para conseguir la tensión adecuada. Sin embargo, hay ocasiones en las que es necesario obtener una tensión superior a la que disponemos, para alimentar el circuito.

Supongamos que tenemos un circuito que tenemos que alimentar a 12V, cuyo requisito es alimentarlo desde una batería de 3,2V. Al necesitar elevar la tensión, no se puede usar un regulador lineal, ya que la tensión de salida de éste siempre es inferior a la de la entrada. Por tanto, es necesario usar un “boost” para elevar la tensión hasta 12V.

El circuito que vamos a utilizar se puede ver en el esquema siguiente

Conversor DC-DC de 3,2V a 12V (esquema en LTSpice)

En este diseño, la conmutación se realiza a través del bipolar Q1 (BD139), gobernado por un temporizador NE555, que genera los pulsos para que el transistor conduzca. Cada vez que éste entra en conducción, la bobina L1 se carga a hasta una corriente máxima Im. Cuando el transistor deja de conducir, la corriente máxima Im a la que se ha cargado la bobina es descargada a través del diodo D1 a la carga representada por R5. El funcionamiento es en modo continuo, por tanto la corriente de la bobina nunca llega a ser nula en el ciclo de conmutación.

ANÁLISIS DEL CONVERTIDOR CON LTSpice

Uno de los simuladores de circuitos más populares es SPICE, un software basado en la resolución matricial por nudos de circuitos eléctricos y que incluye varios algoritmos de cálculo en función de la respuesta que se quiera estudiar. Los análisis típicos de SPICE son el análisis de continua DC, el análisis de alterna AC y el análisis transitorio TRAN. Mientras que con un regulador lineal, basta con realizar un análisis DC y comprobar la tensión de salida, en un regulador conmutado hay que hacer un análisis transitorio para obtener la respuesta del circuito.
LTSpice es una versión de SPICE realizada por Linear Technology, de carácter libre y con un algoritmo de cálculo transitorio optimizado para el estudio de los reguladores, ya que el principal mercado del fabricante americano son los componentes de gestión de potencia. Por tanto, incluye una gran librería de estos componentes y en su página se pueden observar varios tutoriales para analizar circuitos. El NE555 forma parte de sus librerías por lo que no hay que crear uno. Sin embargo, los modelos del transistor y del diodo deben incluirse usando la tarjeta .MODEL. Ambos semiconductores son de propósito general, pero vamos a poner aquí los modelos para poder incluirlos en el circuito.

Tarjetas .MODEL para el transistor y el diodo

Una vez incluidos ambos modelos, se realiza un análisis transitorio de 30ms. Para ver el funcionamiento, representaremos primero la caída de tensión en R5 en todo el rango del tiempo. Luego, iremos representando cada uno de los parámetros importantes del convertidor.

Para todo el tiempo de simulación, la tensión en R5 es

Tensión en la resistencia R5 en todo el rango de simulación

Podemos observar que hay un impulso amortiguado en el arranque, debido a la respuesta paso bajo que realiza la bobina L1 con el condensador C4, que es el que realizará el filtrado de las componentes de alterna. La amortiguación es prácticamente inmediata, cayendo 7V en 2,85ms. En dos oscilaciones más (a 8,55ms del arranque), la tensión se comienza a estabilizar hasta que se mantiene constante.

Vamos a ver ahora qué ciclo de trabajo se utiliza para obtener esta respuesta. El ciclo lo proporciona el NE555, por lo que estudiamos la onda a la salida de este integrado. Esta es

Señal de control a la salida del NE555

 donde se puede ver que la señal de control tiene una frecuencia de 47kHz y un ciclo de trabajo del 78%. Con esos valores, analizamos primero los resultados obtenidos en régimen permanente, que son los siguientes

Tensiones y corrientes en el convertidor

donde se miden las corrientes en la bobina L1 y la carga R5, así como las tensiones en el colector de Q1 y en la carga R5. De estos resultados se obtiene que la tensión de salida del conversor es 13,3V, con un rizado de ±60mV. La corriente en la carga es del orden de 60,5mA, lo que implica una potencia entregada a la carga de 805mW. La corriente media que se pide a la batería es la que circula por la bobina L1 y es del orden de 275mA, lo que significa que se pide a la batería una potencia de 880mW. Teniendo en cuenta la potencia entregada a la carga, el rendimiento del “boost” es η=805/880=0,92=92%, una eficiencia muy buena para un conversor DC-DC.

El transistor Q1 está sobredimensionado, se podría colocar un transistor de menos potencia para lograr la misma eficiencia (por ejemplo un BC337) y consumo. El circuito está pensado para ser usado con una batería de 3,2V y 2000mAh, por lo que a máximo consumo la batería durará 7h. Es un convertidor idóneo si no se quiere acudir a uno comercial y se quiere montar con componentes fáciles de localizar en una tienda de componentes electrónicos, ya que el NE555 y el BC337 son de uso muy común, así como los componentes pasivos.

Una de las ventajas de LTSpice sobre otros simuladores similares es que se puede ver la simulación en tiempo real, ya que actualiza los datos representados en las gráficas según va obteniendo los resultados, pudiendo detener o pausar la simulación en cualquier momento.

ANÁLISIS DEL CONVERTIDOR CON Tina-TI

Como hemos dicho, el simulador LTSpice es una versión de SPICE desarrollada por Linear Tech. para la simulación, preferentemente, de los componentes que comercializa este fabricante. Otros fabricantes, como Texas Instruments, también ponen a disposición de los diseñadores un software de simulación similar, llamado Tina-TI, que se puede encontrar en su página web y que es de distribución libre. Como LTSpice, Tina-TI incluye las librerías de componentes comercializados por Texas Inst., aparte de las librerías convencionales de componentes de propósito general, por lo que es un simulador dispuesto para el uso una vez descargado en instalado.

En este caso, nuestro diseño toma la siguiente forma

Esquema del convertidor en Tina-TI

En este caso, para estudiar las tensiones y corrientes ponemos puntos de test de corriente en serie con la bobina y la carga, así como de tensión en paralelo con el transistor y la carga. En este caso no es necesario incluir la tarjeta .MODEL ya que tanto el transistor como el diodo tienen incluidos sus modelos en la librería. La simulación, como en LTSpice, se puede visualizar en tiempo real, pudiendo también detenerla o pausarla.

Los resultados obtenidos con Tina-TI son los siguientes

Resultados obtenidos con Tina-TI

donde se puede observar una muy ligera variación en los valores de tensión y corriente, una desviación del orden de un 1,2% que es un valor muy aceptable. Por tanto, Tina-TI también es un simulador adecuado para analizar este tipo de circuitos.

CONCLUSIONES

El objetivo de la entrada era no sólo mostrar un diseño sencillo de “boost” con componentes de propósito general, sino además comparar dos simuladores de código libre y que son bastante potentes, puestos a disposición del ingeniero junto con unas librerías y actualizaciones periódicas de las mismas que permiten aumentar la capacidad del simulador. Para mi gusto, llevo trabajando más tiempo con LTSpice y es más intuitivo y de fácil manejo, aparte de que permite una jerarquía esquemática para los subcircuitos más sencilla. Su manual de ayuda también es bastante claro. Tina-TI no ofrece la posibilidad de jerarquía en el esquemático, pero tiene una librería de más de 20.000 componentes, además de macros ya realizadas para circuitos integrados del fabricante. Incluye además la posibilidad de trazar los resultados con instrumentos como el osciloscopio, multímetro o analizador de señal.

En cuanto a las presentaciones, LTSpice es más cómodo a la hora de representar los resultados, ya que basta con poner el puntero sobre el punto a testar: si es un nodo, se mide tensión, y si es un componente, corriente, mientras que Tina-TI debe de incluir componentes de test. De este modo, el esquemático de LTSpice queda limpio de componentes de test, aunque en éste también se pueden incluir. En ambos, sin embargo, se sigue echando de menos la posibilidad de realizar cálculos con los resultados obtenidos, como ocurre con otros simuladores más potentes. Sin embargo, son herramientas muy útiles para analizar sistemas electrónicos, y por tanto, recomendables para el diseñador.

REFERENCIAS

  1. Martínez García, Salvador; Gualda Gil, J. Andrés., “Electrónica de Potencia: Componentes, topologías y equipos”, Madrid : Thomson Editores Spain, 2006. ISBN 978-84-9732-397-0
  2. Getting started with LTSpice
  3. Soluciones para LTSpice
  4. Getting started with Tina-TI
  5. Documentos técnicos y blogs para Tina-TI

(Las referencias 2 a 5 contienen enlace para acceder a las páginas de Linear Technology y Texas Instruments)

Ajustando filtros mediante el método de Dishal

filtroEn Telecomunicaciones es usual tener que usar filtros para poder eliminar frecuencias indeseadas. Estos filtros suelen ser de bandas muy estrechas y se suelen utilizar técnicas de líneas acopladas, por lo que en la mayor parte de los diseños se debe recurrir a la simulación electromagnética para verificar el diseño. La simulación electromagnética, aunque es una potente herramienta, suele ser lenta si se desea optimizar mediante algoritmos convencionales. Aunque estos algoritmos están incluidos en la mayor parte de los simuladores electromagnéticos, ya sea en 2D o en 3D, si la respuesta del filtro está muy alejada de la deseada, la optimización suele ser muy lenta, por lo que se requieren otros métodos que permitan ajustar previamente antes de realizar una optimización final. Uno de los métodos es el de Dishal, en el que se puede sintonizar un filtro de varias secciones a base de sintonizar cada una de ellas. En esta entrada, sintonizaremos un filtro microstrip de tipo HAIRPIN, de resonadores λ/2 acoplados, usando un simulador electromagnético como HPMomentum.

Los filtros son los dispositivos más comunes que se usan en Telecomunicaciones. Eliminan las frecuencias interferentes y el ruido, pudiendo procesar la señal recibida o transmitida de una forma más eficiente. Tienen bastante literatura para su diseño, y existen muchas combinaciones para obtener su respuesta. Sin embargo, es uno de los dispositivos en los que es más difícil obtener un óptimo resultado. Su sintonía física requiere habilidad y entrenamiento, y su sintonía en simulación paciencia y tiempo. Sin embargo, existen técnicas que permiten la optimización de un filtro a base de usar metodologías de ajuste que permita acercarse a los parámetros ideales del filtros. Una de metodología que permite sintonizar un filtro de forma sencilla es el método de Dishal y es el que vamos a usar para sintonizar un filtro paso banda HAIRPIN para la banda de subida de LTE-UHF.

Esta metodología permite realizar el ajuste de un filtro paso banda acoplado sintonizando tanto de los factores de calidad Qi y Qo que necesita el filtro para ser cargado, como de los factores de acoplamiento Mi,i+1 que acoplarán las diferentes etapas, de forma independiente. Estos parámetros son calculados a través de los parámetros del filtro prototipo, que se pueden obtener ya sea a través de las tablas presentes en cualquier libro de diseño de filtros como en programas de cálculo como MatLab. Las expresiones para calcular los parámetros fundamentales de un filtro paso banda acoplado son

formulas

donde fh y fl son las frecuencias de corte de la banda pasante, f0 es la frecuencia central y FBW el ancho de banda fraccional. Los valores g0..gn son los coeficientes del filtro prototipo normalizado. Con estos valores obtendremos los parámetros de acoplamiento de nuestro filtro.

FILTRO PASO BANDA HAIRPIN DE 5 SECCIONES

Vamos a desarrollar un filtro paso banda en tecnología microstrip, usando una configuración HAIRPIN de resonadores λ/2 acoplados. En este filtro, la línea resonante es una línea λ/2, que se acopla al siguiente resonador mediante la sección λ/4. O más concretamente, entre un 85 y un 95% de λ/4. Su denominación HAIRPIN es debida a que tiene forma física de peine. Nuestro filtro va a tener las siguientes características fundamentales:

  • Banda pasante : 791÷821MHz (banda de UHF para LTE de subida)
  • Número de secciones: 5
  • Tipo de filtro: Chebychev 1
  • Factor de rizado: 0,1dB
  • Impedancias de generador y carga: 50Ω

Con estos valores acudimos a las tablas para obtener los coeficientes g0..g6 del filtro prototipo y aplicando las expresiones anteriores obtenemos que

  • Qi=Qo=30,81
  • M12=M45=0,0297
  • M23=M34=0,0226

Con estos coeficientes se pueden calcular las impedancias Zoe y Zoo que definirán las líneas acopladas, así como la posición de los feeds de entrada y salida. En este último caso, esta posición se puede obtener a partir de

feed

Como soporte vamos a usar un substrato Rogers, el RO3006, que tiene una εr=6,15, usando un espesor de 0,76mm y 1oz de cobre (35μm). Con este substrato, el filtro obtenido es:

filter

y con estos valores, pasaremos a la simulación.

SIMULACIÓN DEL FILTRO PASO BANDA

Usando HPMomentum, el simulador electromagnético de ADS, vamos a poder simular la respuesta de este filtro, que se puede ver en la siguiente gráfica

Resultado de la simulación del filtro

Resultado de la simulación del filtro

que, la verdad sea dicha, no se nos parece ni por asomo a lo que pretendíamos realizar. El filtro está cerca de la frecuencia f0, tiene un ancho de banda de 30MHz, pero ni está centrado ni el rizado es, ni de lejos, 0,1dB. Por tanto, habrá que recurrir a una sintonía usando el método de Dishal y así llevar el filtro a la frecuencia deseada, con el acoplamiento deseado.

Buscando la posición del alimentador

Buscando la posición del alimentador

AJUSTANDO EL Q EXTERNO

En primer lugar vamos a ajustar los factores de calidad de los resonadores de generador y de carga, que tienen que ser de 30,81. Como ambos son iguales, la sintonía obtenida servirá para los dos. Para ajustar los Qi y Qo, tendremos que buscar la posición adecuada de la alimentación para que el valor sea el deseado.

Para calcular el Qext, se evalúa el coeficiente de reflexión del resonador y se obtiene su retardo de grupo. El factor de calidad será

qext Cuando hacemos la primera simulación y representamos Qext, obtenemos

qext2

donde se puede comprobar que ni el filtro está centrado ni su factor de calidad es el deseado. Para centrar el filtro, aumentamos la distancia entre las líneas en 1,1mm y recortamos las líneas resonantes en 0,34mm. De este modo, obtenemos

qext2_2

en el que ya están centradas las líneas, siendo el Qext de 37,28. Ahora aumentamos la distancia del feed al extremo de la pista en 0,54mm y obtenemos el Qext deseado.

qext2_3

Ya tenemos centrado el filtro y con el Qext requerido. Ahora tocaría ajustar los acoplamientos.

AJUSTE DE LOS ACOPLAMIENTOS

Para ajustar los acoplamientos, primero separamos el feed unos 0,2mm de la línea, y hacemos un espejo de la misma para que quede como sigue

coup_1

En este caso, para medir el acoplamiento usamos los picos que salen en la transmisión (S21), y aplicamos la expresión

coup_2

El resultado de la simulación, para el primer acoplo, es

coup_3

que como podemos comprobar está en el valor requerido.

En el caso del segundo acoplo

coup_4

que también está cerca de su valor requerido. Por tanto, con los cambios obtenidos, simulamos el filtro total y obtenemos

Filtro después de la primera sintonía

Filtro después de la primera sintonía

que ya se acerca al filtro deseado.

REITERANDO LA SINTONÍA

Si reiteramos sobre la sintonía, podremos llegar a mejorar el filtro hasta los valores que deseemos. Así, disminuyendo el Qext obtenemos

Disminución del Qext

Disminución del Qext

que supone ya una mejora importante. Jugando ahora con los acoplamientos, disminuyéndolos, llegamos a obtener

filt_3

Ajuste de los acoplamientos

que podemos dar por válido. Por tanto, el método de Dishal nos ha permitido, a partir de los parámetros calculados, ajustar el filtro hasta obtener las características deseadas.

CONCLUSIONES

Hemos analizado el método de Dishal como herramienta para el ajuste y sintonización de un filtro paso banda de 5 secciones, con óptimos resultados. La sencillez del método permite ajustar los principales parámetros de forma independiente, de manera que el ajuste final u optimización sean más sencillas, cosa de agradecer en simuladores electromagnéticos, que requieren de potencia de cálculo y tiempo de simulación. Vemos que el método, realizado paso a paso, nos permite ir ajustando las características hasta obtener el resultado deseado, por lo que podemos concluir que es un método muy útil en sintonización de filtros, tanto en discretos como en distribuidos, y que bien usado permite acercarse lo suficientemente al resultado final como para que la optimización electromagnética sea innecesaria.

REFERENCIAS

  1. Zverev, Anatol I., “Handbook of Filter Synthesys”, Hoboken, New Jersey : John Wiley & Sons Inc., 1967. ISBN 978-0-471-74942-4.

Análisis estadísticos usando el método de Monte Carlo (y III)

imagesCon esta entrada cerramos el capítulo dedicado al análisis de Monte Carlo. En las dos entradas anteriores vimos cómo se podía usar éste método para analizar los eventos que pueden ocurrir en un dispositivo electrónico, sino también lo que sucede cuando tenemos variables correladas y cuando sometemos al circuito a un ajuste posproducción. Estos análisis son estimables, puesto que nos permiten conocer previamente el funcionamiento de nuestro circuito y tomar decisiones acerca del diseño, elegir las topologías y componentes adecuados y realizar un primer diseño en el que se optimice al máximo el comportamiento del nuestro circuito. En esta entrada vamos a ver un ejemplo, incluyendo un factor que suele ser importante y que tampoco se suele tener en cuenta en las simulaciones, y que es el análisis térmico. En este caso, utilizaremos un amplificador de potencia diseñado para trabajar en conmutación, que alimenta a una carga. El objetivo es encontrar el componente más sensible en el amplificador y poder elegir la topología o componente adecuados para que el circuito siga funcionando en todas las condiciones definidas.

Hemos visto lo útil que puede llegar a ser el análisis de Monte Carlo para elegir topologías y componentes, e incluso para definir el ajuste que tenemos que hacer en el caso de que se produzca defectivo durante un proceso de fabricación. Este análisis reduce el tiempo de desarrollo físico, porque proporciona de antemano una información importante de cómo se va a comportar nuestro diseño, antes de montarlo y evaluarlo. No obstante, hay que llegar más allá, rizando el rizo, y añadiendo el comportamiento térmico.

Los dispositivos electrónicos están no sólo sometidos a variaciones de valores nominales, debidas a su estructura física, sino que también presentan variaciones térmicas en función de la temperatura a la que estén sometidos en su funcionamiento. Los dispositivos que más suelen sufrir estas variaciones térmicas suelen ser aquellos que disipan elevadas cantidades de potencia, como las fuentes de alimentación, los microprocesadores y los amplificadores. Las variaciones térmicas desgastan el componente y comprometen su vida útil, reduciendo su vida media cuando trabajan al límite. Si hacemos estos análisis previamente, podemos marcar las pautas para lograr el mejor funcionamiento posible y obtener un diseño que garantice una vida media suficiente.

Estudio sobre un amplificador de potencia

A continuación vamos a estudiar el efecto producido sobre un amplificador de potencia en clase E, como el de la figura.

Amplificador clase E con MOSFET

Amplificador clase E con MOSFET

Este amplificador proporciona a una carga de 6+j⋅40Ω, a 1,5MHz, una potencia de AC de 23W, con una eficiencia del 88% sobre la potencia DC entregada por la fuente de alimentación. El MOSFET, que es el elemento que más se calienta cuando está disipando la potencia de conmutación, que es del orden de 2,5W, es el elemento más crítico del sistema, ya que hay que garantizar una extracción del calor que haga que su unión no se rompa por superar la temperatura de unión. El valor máximo que puede alcanzar dicha temperatura es 175ºC, pero se establece una temperatura de seguridad de 150ºC. Por tanto, el diseño realizado debe de ser capaz de soportar cualquier variación de potencia AC que pueda superar la temperatura máxima, no sólo en condiciones normales (a temperatura ambiente de 25ºC), sino incluyendo las variaciones que se puedan producir en el consumo del dispositivo activo debido a las tolerancias de los componentes.

En este circuito, los componentes más críticos, aparte de la dispersión que presenta el propio MOSFET, son los componentes pasivos. Estos componentes forman parte de la red de adaptación, que transmite la máxima energía desde la alimentación a la carga y provocan una variación en la respuesta del drenador que influye en su consumo. Siendo potencias considerables, con valores superiores a 10W, la variación de carga provocará variaciones importantes en la potencia disipada en el MOSFET y su estudio nos mostrará las necesidades para la extracción del calor generado en el MOSFET por efecto Joule.

Análisis estadístico en condiciones normales

Lo primero que tenemos es que analizar el circuito en condiciones normales de laboratorio (25ºC, 760mmHg, 50-70% de humedad relativa) y ver las variaciones que presenta, sólo por tolerancias. Consideramos tolerancias gaussianas de ±5% en valores límite, y analizamos exclusivamente las tolerancias en estas condiciones, para un 500 eventos. De esta manera podemos ver cómo afectan los componentes a la respuesta del circuito a través de la siguiente gráfica

Potencia

Potencia de DC y potencia en la carga, frente a número de eventos

El histograma azul representa la potencia de DC suministrada por la carga, cuyo valor central máximo es de 26,4W, mientras que el histograma rojo es la potencia transferida a la carga, cuyo valor central máximo es de 23,2W. Esto representa un 87,9% de eficiencia en la entrega de potencia. La desviación estándar de la potencia de carga es ±1,6%, lo que significa una tolerancia de ±6,5% en los valores límite. Bajo estas condiciones, podemos representar la potencia disipada del MOSFET, que se puede ver en la siguiente gráfica

Potencia disipada en el MOSFET vs. número de eventos

Potencia disipada en el MOSFET, frente al número de eventos

donde obtenemos una potencia media de 2,9W y una desviación estándar de 1,2W. Esto significa que la potencia máxima puede llegar a ser del orden de 7,8W.

Si calculamos con estos valores la diferencia entre la temperatura de la unión y la ambiente, teniendo en cuenta que las resistencias térmicas Rth-JC=1,7K/W y Rth-CH=0,7K/W, y usando un disipador con una resistencia térmica en condiciones de ventilación no forzada de Rth-HA=10K/W, se puede obtener, para una Tamb=25ºC

temp

Por tanto, a 25ºC, con una refrigeración no forzada, la temperatura de la unión está a 118,95ºC en el valor límite de potencia consumida por el MOSFET, proporcionándonos un margen suficiente sobre los 150ºC máximos a los que la unión se rompe.

Análisis estadístico para tres temperaturas

El análisis anterior nos garantiza un correcto funcionamiento en condiciones normales, pero, ¿qué ocurre cuando subimos o bajamos la temperatura? Vamos a analizar bajo tres condiciones de temperatura: 0ºC, 25ºC y 50ºC, y para representarlo usaremos un histograma multidimensional, en el que agruparemos todos los eventos sin discernir temperaturas. De este modo obtenemos

Potencia de DC y potencia en la carga, frente a número de eventos y temperatura

Potencia de DC y potencia en la carga, frente a número de eventos y temperatura

donde la potencia media entregada a la carga, en todas las condiciones, es 22,6W, para todas las condiciones térmicas, y la eficiencia media es del 86,6%, cubriendo el rango de temperaturas entre 0ºC y 50ºC.

Analizando ahora la potencia disipada por el MOSFET, en las mismas condiciones

temp_mos_power

Potencia disipada en el MOSFET, frente al número de eventos y la temperatura

donde calculando el valor medio, se obtiene 2,9W, con un máximo de 7,8W. Estos valores, similares al calculado anteriormente, muestran que la máxima temperatura de la unión va a ser 143,95ºC, a 7ºC de la temperatura máxima de seguridad de 150ºC, y por tanto a 32ºC de la temperatura máxima de la unión.

Por tanto, podemos concluir del análisis que el circuito diseñado, bajo las condiciones de temperatura ambiente de 0ºC a 50ºC, y siempre con un disipador con una resistencia térmica en ventilación no forzada de Rth-HA=10K/W, presentará un funcionamiento óptimo para el rango de potencia de carga.

CONCLUSIÓN

Con esta entrada finalizamos el capítulo dedicado al análisis usando el método de Monte Carlo. Con los análisis realizados, hemos cubierto la optimización de características a través de diferentes topologías, el ajuste posproducción en un proceso de montaje industrial y el análisis térmico para comprobar los límites de seguridad en los que trabaja un circuito de potencia. No obstante, el método proporciona muchas más posibilidades que se pueden explorar a partir de estos sencillos experimentos.

REFERENCIAS

  1. Castillo Ron, Enrique, “Introducción a la Estadística Aplicada”, Santander, NORAY, 1978, ISBN 84-300-0021-6.
  2. Peña Sánchez de Rivera, Daniel, “Fundamentos de Estadística”, Madrid,  Alianza Editorial, 2001, ISBN 84-206-8696-4.
  3. Kroese, Dirk P., y otros, “Why the Monte Carlo method is so important today”, 2014, WIREs Comp Stat, Vol. 6, págs. 386-392, DOI: 10.1002/wics.1314.

Análisis estadísticos usando el método de Monte Carlo (II)

Art02_fig01En la anterior entrada mostramos con una serie de ejemplos simples cómo funciona el método de Monte Carlo para realizar análisis estadísticos. En esta entrada vamos a profundizar un poco más, haciendo un análisis estadístico más profundo sobre un sistema algo más complejo, analizando una serie de variables de salida y estudiando sus resultados desde una serie de ópticas que resultarán bastante útiles. La ventaja que tiene la simulación es que podemos realizar una generación aleatoria de variables, y además, podemos establecer una correlación de esas variables para conseguir distintos efectos al analizar el funcionamiento de un sistema. Así, cualquier sistema no sólo se puede analizar estadísticamente mediante una generación aleatoria de entradas, sino que podemos vincular esa generación aleatoria a análisis de lotes o fallos en la producción, así como su recuperación post-producción.

Los circuitos que vimos en la anterior entrada eran circuitos muy sencillos que permitían ver cómo funciona la asignación de variables aleatorias y el resultado obtenido cuando estas variables aleatorias forman parte de un sistema más complejo. Con este análisis, podíamos comprobar un funcionamiento y hasta proponer correcciones que, por sí solas, limitasen las variaciones estadísticas del sistema final.

En este caso, vamos a estudiar el efecto dispersivo que tienen las tolerancias sobre uno de los circuitos más difíciles de conseguir su funcionamiento de forma estable: el filtro electrónico. Partiremos de un filtro electrónico de tipo paso banda, sintonizado a una determinada frecuencia y con una anchura de banda de paso y rechazo determinadas, y realizaremos varios análisis estadísticos sobre el mismo, para comprobar su respuesta cuando se somete a las tolerancias de los componentes.

DISEÑO DEL FILTRO PASO BANDA

Vamos a plantear el diseño de un filtro paso banda, centrado a una frecuencia de 37,5MHz, con un ancho de banda de 7MHz para unas pérdidas de retorno mayores que 14dB, y un ancho de banda de rechazo de 19MHz, con atenuación mayor de 20dB. Calculando el filtro, se obtienen 3 secciones, con el siguiente esquema

Filtro paso banda de tres secciones

Filtro paso banda de tres secciones

Con los valores de componentes calculados, se buscan valores estándar que puedan hacer la función de transferencia de este filtro, cuya respuesta es

Respuesta en frecuencia del filtro paso banda

Respuesta en frecuencia del filtro paso banda

donde podemos ver que la frecuencia central es 37,5MHz, que las pérdidas de retorno están por debajo de 14dB en ±3,5MHz de la frecuencia central y que el ancho de banda de rechazo es de 18,8MHz, con 8,5MHz a la izquierda de la frecuencia central y 10,3MHz a la derecha de la frecuencia central.

Bien, ya tenemos diseñado nuestro filtro, y ahora vamos a hacer un primer análisis estadístico, considerando que las tolerancias de los condensadores son ±5%, y que las inducciones son ajustables. Además, no vamos a indicar correlación en ninguna variable, pudiendo tomar cada variable un valor aleatorio independiente de la otra.

ANÁLISIS ESTADÍSTICO DEL FILTRO SIN CORRELACIÓN ENTRE VARIABLES

Como vimos en la entrada anterior, cuando tenemos variables aleatorias vamos a tener dispersión en la salida, así que lo óptimo es poner unos límites según los cuales podremos considerar el filtro válido, y a partir de ahí analizar cuál es su respuesta. Para ello se recurre al análisis YIELD, que es un análisis que, usando el algoritmo de Monte Carlo, nos permite comprobar el rendimiento o efectividad de nuestro diseño. Para realizar este análisis hay que incluir las especificaciones según las cuales se puede dar el filtro por válido. Las especificaciones elegidas son unas pérdidas de retorno superiores a 13,5dB entre 35÷40MHz, con una reducción de 2MHz en la anchura de banda, y una atenuación mayor de 20dB por debajo de 29MHz y por encima de 48MHz. Haciendo el análisis estadístico obtenemos

Análisis estadístico del filtro. Variables sin correlación.

Análisis estadístico del filtro. Variables sin correlación.

que, sinceramente, es un desastre: sólo el 60% de los posibles filtros generados por variables con un ±5% de tolerancia podrían considerarse filtros válidos. El resto no serían considerados como válidos en un control de calidad, lo que significaría un 40% de material defectivo que se devolvería al proceso de producción.

De la gráfica se puede ver, además, que son las pérdidas de retorno las principales responsables de que exista tan bajo rendimiento. ¿Qué podemos hacer para mejorar este valor? En este caso, tenemos cuatro variables aleatorias. Sin embargo, dos de ellas son del mismo valor (15pF), que cuando son montadas en un proceso productivo, suelen pertenecer al mismo lote de fabricación. Si estas variables no presentan ninguna correlación, las variables pueden tomar valores completamente dispares. Cuando las variables no presentan correlación, tendremos la siguiente gráfica

Condensadores C1 y C3 sin correlación

Condensadores C1 y C3 sin correlación

Sin embargo, cuando se están montando componentes de un mismo lote de fabricación, las tolerancias que presentan los componentes varían siempre hacia el mismo sitio, por tanto hay correlación entre dichas variables.

ANÁLISIS ESTADÍSTICO DEL FILTRO CON CORRELACIÓN ENTRE VARIABLES

Cuando usamos la correlación entre variables, estamos reduciendo el entorno de variación. En este caso, lo que analizamos no es un proceso totalmente aleatorio, sino lotes de fabricación en los cuales se producen las variaciones. En este caso, hemos establecido la correlación entre las variables C1 y C3, que son del mismo valor nominal y que pertenecen la mismo lote de fabricación, por lo que ahora tendremos

Condensadores C1 y C3 con correlación

Condensadores C1 y C3 con correlación

donde podemos ver que la tendencia a la variación en cada lote es la misma. Estableciendo entonces la correlación entre ambas variables, estudiamos el rendimiento efectivo de nuestro filtro y obtenemos

Análisis estadístico con C1, C2 variables correladas

Análisis estadístico con C1, C2 variables correladas

que parece todavía más desastroso. Pero ¿es así? Tenemos que tener en cuenta que la correlación entre variables nos ha permitido analizar lotes completos de fabricación, mientras que en el análisis anterior no se podía discernir los lotes. Por tanto, lo que aquí hemos obtenido son 26 procesos de fabricación completos exitosos, frente al caso anterior que no permitía discernir nada. Por tanto, esto lo que nos muestra es que de 50 procesos completos de fabricación, obtendríamos que 26 procesos serían exitosos.

Sin embargo, 24 procesos completos tendrían que ser devueltos a la producción con todo el lote. Lo que sigue siendo, realmente, un desastre y el Director de Producción estaría echando humo. Pero vamos a darle una alegría y a justificar lo que ha intentado siempre que no exista: el ajuste post-producción.

ANÁLISIS ESTADÍSTICO CON AJUSTE POST-PRODUCCIÓN

Como ya he dicho, a estas alturas el Director de Producción está pensando en descuartizarte poco a poco, sin embargo, queda un as en la manga, recordando que las inducciones las hemos puesto de modo que sean ajustables. ¿Tendrá esto éxito? Para ello hacemos un nuevo análisis, dando valores variables en un entorno de ±10% sobre los valores nominales, y activamos el proceso de ajuste post-producción en el análisis y ¡voilà! Aun teniendo un defectivo antes del ajuste muy elevado, logramos recuperar el 96% de los filtros dentro de los valores que se habían elegido como válidos

Análisis estadístico con ajuste post-producción

Análisis estadístico con ajuste post-producción

Bueno, hemos ganado que el Director de Producción no nos corte en cachitos, ya que el proceso nos está indicando que podemos recuperar la práctica totalidad de los lotes, eso sí, con el ajuste, por lo que con este análisis podemos mostrar no sólo el defectivo sino la capacidad de recuperación del mismo.

Podemos representar cómo han variado las inducciones (en este caso las correspondientes a las resonancias en serie) para poder analizar cuál es la sensibilidad del circuito frente a las variaciones más críticas. Este análisis permite establecer un patrón de ajuste para reducir el tiempo en el que se debe de tener un filtro exitoso.

Análisis de los patrones de ajuste en las inducciones de las resonancias serie

Análisis de los patrones de ajuste en las inducciones de las resonancias serie

Así, con este tipo de análisis, realizado en el mismo momento del diseño, es posible tomar decisiones que fijen los patrones posteriores de la fabricación de los equipos y sistemas, pudiendo establecer patrones fijos de ajuste post-producción sencillos al conocer de antemano la respuesta estadística del filtro diseñado. Una cosa muy clara que he tenido siempre, es que cuando no he hecho este análisis, el resultado es tan desastroso como muestra la estadística, así que mi recomendación como diseñador es dedicarle tiempo a aprender cómo funciona y hacerle antes de que le digas a Producción que tu diseño está acabado.

CONCLUSIONES

En esta entrada hemos querido mostrar un paso más en las posibilidades del análisis estadístico usando Monte Carlo, avanzando en las posibilidades que muestra el método a la hora de hacer estudios estadísticos. El algoritmo nos proporciona resultados y nos permite fijar condicionantes para realizar diversos análisis y poder optimizar más si se puede cualquier sistema. Hemos acudido hasta a un ajuste post-producción, a fin de calmar la ira de nuestro Director de Producción, que ya estaba echando humo con el defectivo que le estábamos proporcionando. En la siguiente entrada, abundaremos un poco más en el método con otro ejemplo que nos permita ver más posibilidades en el algoritmo.

REFERENCIAS

  1. Castillo Ron, Enrique, “Introducción a la Estadística Aplicada”, Santander, NORAY, 1978, ISBN 84-300-0021-6.
  2. Peña Sánchez de Rivera, Daniel, “Fundamentos de Estadística”, Madrid,  Alianza Editorial, 2001, ISBN 84-206-8696-4.
  3. Kroese, Dirk P., y otros, “Why the Monte Carlo method is so important today”, 2014, WIREs Comp Stat, Vol. 6, págs. 386-392, DOI: 10.1002/wics.1314.

 

Estudio del comportamiento de un material piezoeléctrico (II)

En la entrada anterior habíamos estudiado el fenómeno piezoeléctrico a partir de las ecuaciones constitutivas que relacionan los campos eléctricos y mecánicos generados en el material. Los materiales piezoeléctricos se utilizan, gracias a este comportamiento, como componentes electrónicos con muy alta calidad. Su uso en filtros SAW, en resonadores BAW, en cristales de Cuarzo, para zumbadores e incluso como cargadores en Energy Harvesting hacen necesario, cada vez más, tener un modelo de circuito equivalente que defina correctamente el componente y su respuesta electroacústica. En esta entrada vamos a presentar un modelo, extraído en los años 40-50 por W.P. Mason y que sintetiza con bastante precisión los fenómenos electroacústicos tanto en su modelo lineal como no lineal.

MODELO DE MASON: EXTRACCIÓN

piezoelectrico

Esquema de un piezoeléctrico

Hemos dicho que un piezoeléctrico es un material electromecánico en el que aparecen fuerzas mecánicas cuando se le aplican fuerzas eléctricas y, recíprocamente, eléctricas cuando se aplican fuerzas mecánicas. La figura muestra un esquema dimensional de un material piezoeléctrico.

En el piezoeléctrico aplicamos un potencial eléctrico E⋅δz, y en ambas superficies del piezoeléctrico aparecen sendas tensiones T1 y T2, en cada una de las superficies del material. Aparecen también las velocidades de desplazamiento v1 y v2, que están relacionadas con el desplazamiento u a través de

velci

Por último, aparece una corriente eléctrica I en los electrodos del potencial eléctrico. Por último, las magnitudes de A y d son la superficie en m2 y el espesor del dieléctrico en m.

En la entrada anterior estudiamos el comportamiento piezoeléctrico a partir de sus ecuaciones constitutivas. Recordando entonces cómo se escribían estas ecuaciones, teníamos

consti

Se tiene que cumplir, además, la conservación de la energía a través de la ecuación de Lipmann

condi_campo

Combinando adecuadamente estas ecuaciones, habíamos obtenido una ecuación de onda definida por

onda2que corresponde a una onda de propagación.

Utilizando la expresión que liga v con la variación temporal de u, podemos escribir la 2ª Ley de Newton como

second_newton

Recordando, además, que la deformación S derivaba del gradiente de u, calculamos la variación de S con respecto al tiempo y obtenemos su relación con el gradiente de v. Expresándolo para un sistema unidimensional en el eje z, obtenemos

deforma_time

y despejando S de las ecuaciones constitutivas, obtenemos

segunda

Escalamos ahora las ecuaciones, multiplicando por A  los términos de ambas ecuaciones, y agrupándolas, obtenemos

telegraph

Si comparamos este resultado con las ecuaciones del Telegrafista que define una línea de transmisión para las ondas electromagnéticas, podemos comprobar que son similares. La primera relaciona la variación espacial de la tensión -A·T con la variación temporal de la corriente A·v, y correspondería a una inducción por unidad de longitud similar a la de un elemento diferencial de una línea de transmisión.

En la segunda ecuación, que relaciona la variación espacial de la corriente A·v, con respecto a una variación temporal de una tensión, representa una capacidad por unidad de longitud similar a la de la línea de transmisión. Sin embargo, en el segundo término de la ecuación, tenemos una dependencia con la tensión -A·T, que sería una línea de transmisión convencional, y otra dependencia con el desplazamiento eléctrico D. Esa dependencia se representa mediante una línea de transmisión flotante como la que se muestra en la figura siguiente.

linea_t

Modelo acústico del piezoeléctrico, en línea de transmisión, a partir de las ecuaciones del Telegrafista

De este modo ya tenemos asemejada la parte acústica a una línea de transmisión definida por los campos que actúan en las ecuaciones constitutivas.

Sin embargo, esta línea no está del todo completa, ya que hay que incluir el efecto de los electrodos, aislando los campos acústicos de los campos eléctricos. El término que relaciona la variación espacial de A·v con el desplazamiento D puede ser acoplado a través de un transformador ideal N:1, como se muestra en la figura

Acoplamiento de la parte acústica y la eléctrica mediante un transformador N:1

Acoplamiento de la parte acústica y la eléctrica mediante un transformador N:1

y la relación de N se puede calcular por

trafo_ratio

Vamos ahora a estudiar la corriente I. Esta corriente se produce cuando se aplica una tensión E⋅δz en los electrodos del piezoeléctrico. Al aplicar esa tensión, generamos una polarización P, debido al carácter dieléctrico del material. Del mismo modo, sabemos que la corriente I es una variación de la carga Q, y que sólo se producía variación de la carga superficial σ del piezoeléctrico, y que ésta es debida a la polarización P, no variando la carga volumétrica, por lo que

current_in

y como a la polarización P se opone el desplazamiento eléctrico D para mantener el campo electrico E, obtenemos que

current_desplaza

Estudiamos ahora el potencial E⋅δz aplicado en los electrodos. Usando las ecuaciones constitutivas, obtenemos que el potencial es

in_pote

Derivando esta expresión con respecto al tiempo, obtenemos

in_pote3

Estudiemos ahora los términos en δV1 y  δV2. En el término en δV1 podemos obtener la expresión

current_cap

y es la corriente que fluye a través de un condensador de valor CO , en paralelo con la tensión aplicada. Mientras, el término en δV2 se puede relacionar con la corriente que circula en la parte acústica a través de transformador, siendo Iprim la corriente que circula por el devanado primario del transformador. Usando las relaciones del transformador, podemos encontrar la relación de dicha corriente con esta tensión a través de

current_prim

Tenemos que hacer la consideración de que el peso de la tensión δV1>>δV2 , ya que al calcular la relación de transformación en el transformador hemos supuesto que es E⋅δz=δV, por lo que δV1δVδV20. De este modo, la corriente del primario es una corriente que circula a través de una capacidad negativa de valor CO.

Usando estos parámetros, deducidos de las ecuaciones constitutivas, es posible hacer un modelo completo del circuito equivalente de un piezoeléctrico, que se puede ver en la figura siguiente

mason_model

Circuito equivalente de Mason de un piezoeléctrico

CONDICIONES DE CONTORNO

Cualquier medio material está dentro de otros medios materiales (aire, agua, substratos semiconductores, metales, etc), y todos los medios materiales propagan ondas acústicas. Por tanto, así como en electromagnetismo definimos una impedancia de carga eléctrica sobre la que se transfiere la energía entregada desde el generador eléctrico, podemos definir una resistencia de carga acústica, que es donde se transfiere la energía acústica de la deformación. Esta resistencia de carga acústica está relacionada con la impedancia acústica del medio, y se transforma en una resistencia eléctrica a través de la expresión

acustic_resis

Por ejemplo, el aire tiene una impedancia acústica de 471 Rayls, así que para un piezoeléctrico AlN, con una superficie de 10.000μm2, si ambas superficies estuviesen en contacto con el aire, las impedancias de carga a conectar en los puertos A·T1 y A·T2 serían iguales y valdrían 4,71μΩ, lo que vendría a ser como colocar un cortocircuito en ambos puertos.

En el caso de que uno de los medios fuese aire y el otro, silicio, el silicio tiene una impedancia acústica de 8,35·105 Rayls, en el puerto del silicio habría que poner 8,35mΩ.

Hay que notar que, aunque la impedancia obtenida sea baja. no es estrictamente un cortocircuito. De hecho, al aire, que es el que más baja impedancia presenta, es al que consideramos un cortocircuito, mientras que el resto de materiales presentan impedancias acústicas más elevadas.

También es posible que tengamos un material compuesto de varios espesores de materiales, siendo uno de ellos piezoeléctrico, mientras que los demás son conductores o aislantes. Cuando esto ocurre, cada material puede ser representado por una línea de transmisión de igual modo que el piezoeléctrico. Por ejemplo, si el piezoeléctrico está encapsulado entre dos materiales diferentes, como el wolframio (W) y el molibdeno (Mo), y el wolframio está en contacto con el aire y el molibdeno con silicio, habría que añadir sendas líneas de transmisión entre las cargas y el piezoeléctrico, como se muestra en la figura siguiente

piezo_total

 

NO LINEALIDAD EN LOS MATERIALES: EL MODELO NO LINEAL DE MASON

En las condiciones de trabajo habituales de los piezoeléctricos, el funcionamiento debe de ser lineal. Sin embargo, los materiales presentan limitaciones que hay que tener en cuenta a la hora de trabajar con tensiones elevadas. Estas no linealidades introducen frecuencias espurias que reducen la calidad de la señal. Si estamos usando estos materiales en filtros de recepción, las no linealidades pueden representar un problema cuando una señal interferente de valor elevado atraviesa el material.

El piezoeléctrico es un resonador de muy alto factor de calidad. Traducido a parámetros discretos, se comporta como el circuito de la figura

Resonador equivalente de un piezoeléctrico

Resonador equivalente de un piezoeléctrico

La impedancia del resonador se puede representar en función de la frecuencia, obteniendo una gráfica similar a

impedancia

Impedancia del resonador en función de la frecuencia

El modelo, para bajos potenciales eléctricos, responderá correctamente de forma lineal. Sin embargo, a medida que aumentamos el valor del potencial eléctrico aplicado, empiezan a aparecer condiciones no lineales que limitarán su uso. Estas condiciones no lineales afectan, sobre todo, a las distorsiones de 2º y 3er orden, que son las que pueden afectar en mayor medida sobre la señal útil.

Una forma muy efectiva de simular no linealidades en circuitos eléctricos es el uso de las series de Volterra, una variante de los polinomios de Taylor en el que la respuesta depende en todo momento de los valores de los parámetros de entrada, incluyendo efectos de “memoria”, mediante acumulación de energía, de las capacidades e inducciones.

Como en las series de Taylor, las series de Volterra pueden ser truncadas en aquellos ordenes que sean superiores al que se considera dominante, por lo que nuestro modelo, considerando dominantes sobre todo el 2º y 3er orden de distorsión, puede truncarse a partir del 4º orden .

La distorsión afectará tanto al campo eléctrico como a la tensión mecánica. Las ecuaciones constitutivas, incluyendo estos efectos no lineales, quedarán descritas como

constitu_nolineal

siendo ΔT un polinomio de 3er orden que se expresa mediante la suma de 2 términos ΔT2T3, donde el subíndice indica que el polinomio es de 2º o de 3er orden. El caso de ΔD es similar.

Los polinomios que ΔT2, ΔT3, ΔD2 yΔD3 se muestran a continuación:

polinom

y además, se sigue teniendo que cumplir la ecuación de Lipmann para la conservación de la energía.

Las series que definen el modelo no lineal se pueden introducir en el modelo lineal de Mason a través de fuentes de tensión dependientes, tanto en la zona eléctrica como en la zona acústica. A dichas fuentes las denominamos VC y TC y están situadas, dentro del modelo, en la entrada eléctrica (caso de VC) y en línea común de la corriente de secundario (caso de  TC), tal y como se muestra en la figura.

Modelo de Mason con las fuentes no lineales

Modelo de Mason con las fuentes no lineales

Estas fuentes se derivan de las ecuaciones constitutivas del mismo modo que hemos derivado el modelo lineal, y se obtienen sus expresiones, que son

ecuaciones_nolin

Con estas expresiones en el modelo de Mason, tenemos un modelo equivalente no lineal de un material piezoeléctrico, que incluye los efectos de 2º y 3er orden de distorsión, y podemos estudiar el comportamiento de un componente fabricado con este tipo de materiales en presencia de señales interferentes.

CONCLUSIÓN

En esta entrada hemos querido presentar un modelo eléctrico útil para representar un material piezoeléctrico, extraído a partir de las ecuaciones constitutivas. Esto nos ha permitido llegar al modelo que W.P. Mason obtuvo en los años 40, y entender cómo realizó la extracción de los parámetros del modelo.

No sólo hemos obtenido el modelo de Mason, sino que hemos parametrizado un modelo que pueda representar las variaciones no lineales a partir de las series de Volterra, que nos permitirán realizar un modelo no lineal que incluya los efectos de 2º y 3er orden de distorsión, y poder predecir la respuesta de un dispositivo de estas características en condiciones de señales interferentes.

En la próxima entrada vamos a proceder a estudiar el modelo en un simulador, mostrando cómo se realiza un modelo equivalente del piezoeléctrico incluyendo los parámetros no lineales, describiremos un método de medida para extraer los parámetros no lineales y mostraremos los resultados obtenidos mediante simulación.

REFERENCIAS

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