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Análisis estadísticos usando el método de Monte Carlo (II)

Art02_fig01En la anterior entrada mostramos con una serie de ejemplos simples cómo funciona el método de Monte Carlo para realizar análisis estadísticos. En esta entrada vamos a profundizar un poco más, haciendo un análisis estadístico más profundo sobre un sistema algo más complejo, analizando una serie de variables de salida y estudiando sus resultados desde una serie de ópticas que resultarán bastante útiles. La ventaja que tiene la simulación es que podemos realizar una generación aleatoria de variables, y además, podemos establecer una correlación de esas variables para conseguir distintos efectos al analizar el funcionamiento de un sistema. Así, cualquier sistema no sólo se puede analizar estadísticamente mediante una generación aleatoria de entradas, sino que podemos vincular esa generación aleatoria a análisis de lotes o fallos en la producción, así como su recuperación post-producción.

Los circuitos que vimos en la anterior entrada eran circuitos muy sencillos que permitían ver cómo funciona la asignación de variables aleatorias y el resultado obtenido cuando estas variables aleatorias forman parte de un sistema más complejo. Con este análisis, podíamos comprobar un funcionamiento y hasta proponer correcciones que, por sí solas, limitasen las variaciones estadísticas del sistema final.

En este caso, vamos a estudiar el efecto dispersivo que tienen las tolerancias sobre uno de los circuitos más difíciles de conseguir su funcionamiento de forma estable: el filtro electrónico. Partiremos de un filtro electrónico de tipo paso banda, sintonizado a una determinada frecuencia y con una anchura de banda de paso y rechazo determinadas, y realizaremos varios análisis estadísticos sobre el mismo, para comprobar su respuesta cuando se somete a las tolerancias de los componentes.

DISEÑO DEL FILTRO PASO BANDA

Vamos a plantear el diseño de un filtro paso banda, centrado a una frecuencia de 37,5MHz, con un ancho de banda de 7MHz para unas pérdidas de retorno mayores que 14dB, y un ancho de banda de rechazo de 19MHz, con atenuación mayor de 20dB. Calculando el filtro, se obtienen 3 secciones, con el siguiente esquema

Filtro paso banda de tres secciones

Filtro paso banda de tres secciones

Con los valores de componentes calculados, se buscan valores estándar que puedan hacer la función de transferencia de este filtro, cuya respuesta es

Respuesta en frecuencia del filtro paso banda

Respuesta en frecuencia del filtro paso banda

donde podemos ver que la frecuencia central es 37,5MHz, que las pérdidas de retorno están por debajo de 14dB en ±3,5MHz de la frecuencia central y que el ancho de banda de rechazo es de 18,8MHz, con 8,5MHz a la izquierda de la frecuencia central y 10,3MHz a la derecha de la frecuencia central.

Bien, ya tenemos diseñado nuestro filtro, y ahora vamos a hacer un primer análisis estadístico, considerando que las tolerancias de los condensadores son ±5%, y que las inducciones son ajustables. Además, no vamos a indicar correlación en ninguna variable, pudiendo tomar cada variable un valor aleatorio independiente de la otra.

ANÁLISIS ESTADÍSTICO DEL FILTRO SIN CORRELACIÓN ENTRE VARIABLES

Como vimos en la entrada anterior, cuando tenemos variables aleatorias vamos a tener dispersión en la salida, así que lo óptimo es poner unos límites según los cuales podremos considerar el filtro válido, y a partir de ahí analizar cuál es su respuesta. Para ello se recurre al análisis YIELD, que es un análisis que, usando el algoritmo de Monte Carlo, nos permite comprobar el rendimiento o efectividad de nuestro diseño. Para realizar este análisis hay que incluir las especificaciones según las cuales se puede dar el filtro por válido. Las especificaciones elegidas son unas pérdidas de retorno superiores a 13,5dB entre 35÷40MHz, con una reducción de 2MHz en la anchura de banda, y una atenuación mayor de 20dB por debajo de 29MHz y por encima de 48MHz. Haciendo el análisis estadístico obtenemos

Análisis estadístico del filtro. Variables sin correlación.

Análisis estadístico del filtro. Variables sin correlación.

que, sinceramente, es un desastre: sólo el 60% de los posibles filtros generados por variables con un ±5% de tolerancia podrían considerarse filtros válidos. El resto no serían considerados como válidos en un control de calidad, lo que significaría un 40% de material defectivo que se devolvería al proceso de producción.

De la gráfica se puede ver, además, que son las pérdidas de retorno las principales responsables de que exista tan bajo rendimiento. ¿Qué podemos hacer para mejorar este valor? En este caso, tenemos cuatro variables aleatorias. Sin embargo, dos de ellas son del mismo valor (15pF), que cuando son montadas en un proceso productivo, suelen pertenecer al mismo lote de fabricación. Si estas variables no presentan ninguna correlación, las variables pueden tomar valores completamente dispares. Cuando las variables no presentan correlación, tendremos la siguiente gráfica

Condensadores C1 y C3 sin correlación

Condensadores C1 y C3 sin correlación

Sin embargo, cuando se están montando componentes de un mismo lote de fabricación, las tolerancias que presentan los componentes varían siempre hacia el mismo sitio, por tanto hay correlación entre dichas variables.

ANÁLISIS ESTADÍSTICO DEL FILTRO CON CORRELACIÓN ENTRE VARIABLES

Cuando usamos la correlación entre variables, estamos reduciendo el entorno de variación. En este caso, lo que analizamos no es un proceso totalmente aleatorio, sino lotes de fabricación en los cuales se producen las variaciones. En este caso, hemos establecido la correlación entre las variables C1 y C3, que son del mismo valor nominal y que pertenecen la mismo lote de fabricación, por lo que ahora tendremos

Condensadores C1 y C3 con correlación

Condensadores C1 y C3 con correlación

donde podemos ver que la tendencia a la variación en cada lote es la misma. Estableciendo entonces la correlación entre ambas variables, estudiamos el rendimiento efectivo de nuestro filtro y obtenemos

Análisis estadístico con C1, C2 variables correladas

Análisis estadístico con C1, C2 variables correladas

que parece todavía más desastroso. Pero ¿es así? Tenemos que tener en cuenta que la correlación entre variables nos ha permitido analizar lotes completos de fabricación, mientras que en el análisis anterior no se podía discernir los lotes. Por tanto, lo que aquí hemos obtenido son 26 procesos de fabricación completos exitosos, frente al caso anterior que no permitía discernir nada. Por tanto, esto lo que nos muestra es que de 50 procesos completos de fabricación, obtendríamos que 26 procesos serían exitosos.

Sin embargo, 24 procesos completos tendrían que ser devueltos a la producción con todo el lote. Lo que sigue siendo, realmente, un desastre y el Director de Producción estaría echando humo. Pero vamos a darle una alegría y a justificar lo que ha intentado siempre que no exista: el ajuste post-producción.

ANÁLISIS ESTADÍSTICO CON AJUSTE POST-PRODUCCIÓN

Como ya he dicho, a estas alturas el Director de Producción está pensando en descuartizarte poco a poco, sin embargo, queda un as en la manga, recordando que las inducciones las hemos puesto de modo que sean ajustables. ¿Tendrá esto éxito? Para ello hacemos un nuevo análisis, dando valores variables en un entorno de ±10% sobre los valores nominales, y activamos el proceso de ajuste post-producción en el análisis y ¡voilà! Aun teniendo un defectivo antes del ajuste muy elevado, logramos recuperar el 96% de los filtros dentro de los valores que se habían elegido como válidos

Análisis estadístico con ajuste post-producción

Análisis estadístico con ajuste post-producción

Bueno, hemos ganado que el Director de Producción no nos corte en cachitos, ya que el proceso nos está indicando que podemos recuperar la práctica totalidad de los lotes, eso sí, con el ajuste, por lo que con este análisis podemos mostrar no sólo el defectivo sino la capacidad de recuperación del mismo.

Podemos representar cómo han variado las inducciones (en este caso las correspondientes a las resonancias en serie) para poder analizar cuál es la sensibilidad del circuito frente a las variaciones más críticas. Este análisis permite establecer un patrón de ajuste para reducir el tiempo en el que se debe de tener un filtro exitoso.

Análisis de los patrones de ajuste en las inducciones de las resonancias serie

Análisis de los patrones de ajuste en las inducciones de las resonancias serie

Así, con este tipo de análisis, realizado en el mismo momento del diseño, es posible tomar decisiones que fijen los patrones posteriores de la fabricación de los equipos y sistemas, pudiendo establecer patrones fijos de ajuste post-producción sencillos al conocer de antemano la respuesta estadística del filtro diseñado. Una cosa muy clara que he tenido siempre, es que cuando no he hecho este análisis, el resultado es tan desastroso como muestra la estadística, así que mi recomendación como diseñador es dedicarle tiempo a aprender cómo funciona y hacerle antes de que le digas a Producción que tu diseño está acabado.

CONCLUSIONES

En esta entrada hemos querido mostrar un paso más en las posibilidades del análisis estadístico usando Monte Carlo, avanzando en las posibilidades que muestra el método a la hora de hacer estudios estadísticos. El algoritmo nos proporciona resultados y nos permite fijar condicionantes para realizar diversos análisis y poder optimizar más si se puede cualquier sistema. Hemos acudido hasta a un ajuste post-producción, a fin de calmar la ira de nuestro Director de Producción, que ya estaba echando humo con el defectivo que le estábamos proporcionando. En la siguiente entrada, abundaremos un poco más en el método con otro ejemplo que nos permita ver más posibilidades en el algoritmo.

REFERENCIAS

  1. Castillo Ron, Enrique, “Introducción a la Estadística Aplicada”, Santander, NORAY, 1978, ISBN 84-300-0021-6.
  2. Peña Sánchez de Rivera, Daniel, “Fundamentos de Estadística”, Madrid,  Alianza Editorial, 2001, ISBN 84-206-8696-4.
  3. Kroese, Dirk P., y otros, “Why the Monte Carlo method is so important today”, 2014, WIREs Comp Stat, Vol. 6, págs. 386-392, DOI: 10.1002/wics.1314.

 

¡Feliz cumpleaños, Teoría Electromagnética!

maxwell-finHace 150 años, en 1865, el escocés James C. Maxwell publicó “A Dynamical Theory of the Electrodynamic Field”, una Teoría que marcó un hito en el naciente mundo de la Física Moderna, ya que estableció las bases para la unificación de dos campos que, hasta ese momento, se trataban de forma independiente: el Campo Eléctrico y el Campo Magnético. Con esta unificación, Maxwell puso las bases para comprender el comportamiento de los fenómenos electromagnéticos y su propagación, siendo la base hoy día del funcionamiento de nuestras comunicaciones. Desde esta entrada, queremos dar a conocer estas ecuaciones, su significado y su importancia, y rendir homenaje a uno de los científicos más importantes de los últimos tiempos.

No es una casualidad que este año los Físicos celebremos el Año Internacional de la Luz, puesto que fue hace 150 años cuando un físico escocés publicó las bases para la Teoría Electromagnética, marcando un antes y un después en el conocimiento de los fenómenos eléctricos y magnéticos y logrando la primera unificación en una sola Teoría de dos campos que, hasta ese momento, eran tratados de formas diferentes: el Campo Eléctrico y el Campo Magnético.

Hasta este momento, se conocían ciertas interrelaciones entre ambos fenómenos. Conocíamos, a través de la Electrostática, la Ley de Coulomb y el Teorema de Gauss, que el campo eléctrico era generado por cargas que interaccionaban entre ellas, y a través de la Ley de Biot-Savart y la Ley de Ampère, que los campos magnéticos eran generados por corrientes (cargas en movimiento) y que generaban interacciones entre ellos, a través de la fuerza de Lorenz. Sin embargo, todas las leyes y axiomas de los campos de los campos Eléctrico y Magnético se trataban como algo independiente, no había una unificación que mostrase de forma contundente las interrelaciones hasta que Maxwell las unificó.

Al principio se trataba de una veintena de ecuaciones integro-diferenciales, aunque en realidad se podían reducir a las ecuaciones actuales, debido a que Maxwell las escribió para cada eje de coordenadas. Usando el operador diferencial diferencial ∇ y las interrelaciones matemáticas entre las integrales y dicho operador, al final las ecuaciones quedaron descritas tal y como se conocen hoy, tanto en su forma integro-diferencial como en su más popular descripción diferencial vectorial.

Ecuaciones de Maxwell y sus leyes

Ecuaciones de Maxwell y sus leyes

Este conjunto de cuatro ecuaciones establecen la unificación de los campos Eléctrico y Magnético en una nueva Teoría que se llama la Teoría Electromagnética, la primera gran unificación de campos realizada en la Física y una de las más bellas descripciones que existen en la disciplina.

No vamos a ir desgranando una a una las ecuaciones, ya que en varias ocasiones lo hemos hecho en otras entradas, pero uno de los detalles más evidentes que se sacan de las ecuaciones, y que las hace interesantes, es su asimetría. Esta asimetría, debida precisamente a la diferencia entre el comportamiento de ambos campos, se hace patente dos a dos: en la Ley de Gauss de ambos campos, y entre la Ley de Faraday y la de Ampère.

Asimetría de la Ley de Gauss

La Ley de Gauss o Teorema de la Divergencia está relacionada con las fuentes y sumideros de las líneas de fuerza del campo, y muestra hacia dónde divergen estas líneas de interacción. En el caso del campo eléctrico, las líneas divergen hacia las cargas, que son las fuentes o sumideros de las líneas de campo. Gráficamente se puede expresar como

350px-LineasCampo

Divergencia de las líneas de capo eléctrico a las cargas

Por tanto, las líneas del campo eléctrico nacen y mueren en las cargas.

En el caso del campo magnético podemos observar que la divergencia es nula, esto es, no hay fuentes o sumideros a los cuales las líneas de campo magnético diverjan. Por tanto, no existen los monopolos magnéticos. El campo magnético rota sobre el origen del mismo, que lo establece la Ley de Ampère y que son las corrientes ocasionadas por cargas en movimiento. Y su expresión más gráfica es

Campo magnético rotando alrededor de una línea de corriente

Campo magnético rotando alrededor de una línea de corriente

Esta asimetría muestra que ambos campos son diferentes en su origen, lo que se muestra muy claramente cuando los campos son estáticos. No obstante, la no dependencia temporal de estas ecuaciones las hace válidas no sólo para los campos estáticos, sino también para los campos dinámicos. Es la otra asimetría, la de las leyes de Faraday y Ampère, la que introduce, además, el dominio temporal.

Asimetría de las Ley de Faraday y Ampère

Las leyes del campo están relacionadas con los campos dinámicos, aquellos que varían de forma temporal. La primera dice que la variación de un flujo magnético con el tiempo genera una fuerza electromotriz, o llanamente, que la variación de un campo magnético genera un campo eléctrico. Es el principio de las dinamos y los generadores eléctricos, en los que, al variar el flujo de un campo magnético mediante medios mecánicos, son capaces de generar un campo eléctrico.

En la Ley de Faraday también está presente la Ley de Lenz, que indica que ese campo eléctrico tiende a oponerse a la variación del campo magnético, y por eso el signo negativo en la expresión.

La segunda, la Ley de Ampère, parte de la ley de la magnetostática, que dice que la circulación de un campo magnético a través de una línea cerrada es proporcional a la corriente que encierra ese contorno. Esta Ley de la Magnetostática fue generalizada por Maxwell al introducir los campos eléctricos variables con el tiempo, mostrando un resultado que, en su forma diferencial, guarda similitud con la Ley de Faraday, salvo que introduce la densidad de corriente para que se mantenga coherente con la Ley de Ampère de la Magnetostática. La conclusión, por tanto, es que los campos eléctricos variables con el tiempo generan campos magnéticos y los campos magnéticos variables con el tiempo, eléctricos.

A pesar de la asimetría de las expresiones, que es la que genera, bajo mi punto de vista, la belleza de la descripción del escocés, de ellas se deduce una de las conclusiones más importantes de la Teoría Electromagnética, y es que los campos electromagnéticos son ondas que se propagan en cualquier medio material dieléctrico, no necesitando de soportes físicos, a diferencia de otros tipos de ondas como las acústicas, que presentan características similares en la formulación de los campos asociados. Esta conclusión es la que nos permite asociar fenómenos como la propagación luz, que presenta una dualidad partícula-onda ya que es un campo electromagnético formado por partículas llamadas fotones. Y al poder propagarse en el vacío, puede transmitir de un lugar a otro la información, que en el caso de la luz, es la visión de un fenómeno que haya ocurrido en el Universo a través de su observación.

Los campos electromagnéticos como ondas que se propagan en el espacio

De resolver las ecuaciones, se puede llegar a las ecuaciones de onda de Helmholz, tanto para el campos eléctrico como para el magnético.

{\nabla}^2\vec{E}-{\mu_0}{\epsilon_0}\dfrac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}-{\mu_0}{\sigma}\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}=0

{\nabla}^2\vec{B}-{\mu_0}{\epsilon_0}\dfrac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}-{\mu_0}{\sigma}\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0

En estas ecuaciones la asimetría que presentan las ecuaciones de Maxwell desaparece, y se pueden resolver como una onda propagándose por un medio material, incluido el vacío, en el que la velocidad de propagación es la velocidad de la luz, c, siendo ésta la máxima velocidad a la que se puede propagar la onda.

Resolviendo esta ecuación de onda, obtendremos la forma en la que se propaga un campo electromagnético en el medio, como una onda compuesta por un campo eléctrico y un campo magnético variables con el tiempo.

El campo electromagnético como onda de propagación

El campo electromagnético como onda de propagación

donde en azul tenemos el campo eléctrico, en rojo el campo magnético y en negro la dirección de propagación de la onda.

Influencia de la Teoría Electromagnética en nuestras vidas

Es evidente que la Teoría Electromagnética de Maxwell ha tenido una influencia notable en nuestras vidas, afectando en muchos aspectos, pero donde más influencia ha tenido es en la comunicación. Los seres humanos necesitamos comunicarnos, y la Teoría Electromagnética de Maxwell nos abre las puertas a un campo en el que las comunicaciones casi no tienen límites. Las comunicaciones modernas no se podrían entender sin esta notable contribución del escocés, y este año no celebraríamos el Año Internacional de la Luz si no hubiese existido todavía esta unificación de campos. Hoy día la Teoría Electromagnética forma parte habitual de nuestras vidas y costumbres, a través de las comunicaciones a larga distancia, ya sean inalámbricas, por cable o por fibra óptica. Recibimos imagen y sonido gracias a ella, así como podemos comunicarnos a larga distancia gracias a la transmisión por radio y enviar datos a cualquier parte del mundo. Es una de las cuatro interacciones de la naturaleza, junto a la gravedad y a las interacciones fuerte y débil del mundo atómico, y por tanto, por ese motivo podemos decir con orgullo ¡Feliz cumpleaños, Ecuaciones de Maxwell!

Referencias

  1. John R. Reitz, Frederick J. Milford, Robert W. Christy, “Foundations of Electromagnetic Theory”, Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Massachusetts (USA), 1979

Influencia de los campos electromagnéticos en la dinámica de los fluidos

la_caza_del_submarino_rusoAunque parezca lo contrario, en esta entrada no vamos a hablar de novelas de espías, pero sí vamos a usar un argumento de la trama de una conocida novela de espionaje para presentar la teoría magnetohidrodinámica. Ésta es una disciplina de la física, que forma parte de la teoría de campos y analiza el movimiento de fluidos con carga eléctrica en presencia de un campo electromagnético y sus posibles aplicaciones. Comprendiendo los principios de la dinámica de fluidos, llegaremos a las ecuaciones que constituyen la base de la teoría, sus conclusiones y su actual utilización.

Los que conozcan la trama de la novela de Tom Clancy “The hunt of Red October”, sabrán que trata sobre la deserción de un submarino soviético de la clase Typhoon, dotado de un sistema de propulsión silencioso y difícilmente detectable por el sonar. En la novela, se le describe como “propulsión magnetohidrodinámica” y consiste en generar flujo de corriente hidráulica a lo largo de la nave usando campos magnéticos. Este flujo permite su desplazamiento sin usar los motores convencionales, aprovechando las características conductivas del agua salada. Este sistema de propulsión silenciosa convertía a la nave en algo letal y peligroso de verdad, puesto que podría acercarse a la costa de los EE.UU. sin ser detectado y lanzar un ataque con cabezas nucleares sin que nadie lo pudiese evitar. Esta es la trama, pero, ¿cuánto hay de cierto en la misma? ¿Existe un método de propulsión o un sistema que provoque el movimiento de un fluido por la presencia de un campo electromagnético? ¿Y a la inversa? ¿Podemos generar un campo electromagnético sólo usando el movimiento de un fluido cargado?

Aunque pueda parecer que, al tratarse de una novela de espías y acostumbrados como estamos a la tendencia de la ficción a crear ciertas bases argumentales, a veces ilusorias, para dotar de cierto dramatismo a la trama, lo cierto es que la teoría magnetohidrodinámica es muy real. Tanto, que el primer efecto destacable de la misma lo podemos comprobar simplemente con la presencia del campo magnético terrestre. Este es fruto del movimiento del núcleo interno de la tierra, compuesto de una capa de hierro líquido (fluido) que envuelve a una gran masa de hierro sólido. Este núcleo , que se mueve acompasado por la rotación de la Tierra, tiene cargas en movimiento que generan una corriente eléctrica, y esa corriente eléctrica genera el campo magnético que protege a la Tierra de los embates de partículas de alta energía que proceden de nuestra estrella, el Sol.

El propio Sol, que es una nube de gas en estado de plasma, tiene poderosos campos magnéticos que determinan el movimiento de las partículas que constituyen el plasma en su interior. Por tanto, la teoría magnetohidrodinámica que usa Clancy en esa trama es muy real. Vamos entonces a desvelar sus bases.

DINÁMICA DE FLUIDOS: LAS ECUACIONES DE NAVIER–STOKES

Un fluido es un medio material continuo formado por moléculas donde sólo hay fuerzas de atracción débil, que se encuentra en uno de estos tres estados de la materia: líquido, gaseoso o plasma. La dinámica de fluidos es la parte de la física que se ocupa del estudio del movimiento de estos medios en cualquiera de estos estados, siendo la masa del fluido la parte que se desplaza de un punto a otro.

Del mismo modo que en campos electromagnéticos definíamos la corriente eléctrica como la variación de la carga con el tiempo, en los fluidos hablaremos de un flujo de corriente ψ que es la variación de la masa M del fluido respecto del tiempo.

{\psi}=\dfrac{dM}{dt}=\dfrac{d}{dt} \displaystyle \int_V {\rho}_M dV

Si tomamos una superficie donde hay ni partículas de masa mi que se mueven a una velocidad vi, podemos definir una densidad de flujo de corriente ℑM, que se expresa como

{\vec{\mathcal J}}_M=\displaystyle \sum_i N_i  m_i  {\vec {v}}_i=N  m  {\vec {v}}=M  {\vec {v}}

d{\psi}=\left( \displaystyle \sum_i N_i  m_i  {\vec {v}}_i \right) \vec{n} dA={\vec{\mathcal J}}_M  \vec{n}  dA

Flujo de corriente debida a partículas de masa m

Flujo de corriente debida a partículas de masa m

Vamos a considerar, como se muestra en la figura, que nuestro fluido es un medio material que tiene todas las partículas de la misma masa, por lo que el producto ni⋅mi se puede extraer del sumatorio, quedando entonces una velocidad v  que es la suma vectorial de todas las velocidades de las partículas del fluido.

La relación entre el flujo de corriente y la densidad de flujo de corriente es una integral a lo largo de una superficie S. Si integramos el flujo de corriente total en una superficie cerrada, por la conservación de la masa, tendremos que es igual  es la variación de la masa con respecto al tiempo, y siendo la densidad la masa por unidad de volumen, podemos escribir que

{\psi}=- \displaystyle \oint_S {\vec{\mathcal J}}_M \vec{n}  dA =\displaystyle \int_V \dfrac {d{\rho}_M}{dt} dV

Como este flujo de corriente se opone a la variación de la masa respecto del tiempo, y la masa es la integral de volumen de la densidad del fluido ρMy aplicando el teorema de la divergencia, podemos escribir esta expresión en su forma diferencial

-\vec{\nabla} \vec{J}_M = \dfrac {d{\rho}_M}{dt}

que es la ecuación de continuidad de un fluido y que representa la conservación de la masa neta dentro del fluido. Esta es una de las ecuaciones de Navier-Stokes, primordial para comprender el movimiento de las partículas del fluido.

Para la otra ecuación, debemos de recurrir a la derivada sustancial. Esta es una descripción que incluye no sólo la variación con respecto al tiempo de la magnitud física del fluido, sino que además incluye la variación de la misma respecto de la posición. La expresión de la derivada sustancial es

\dfrac {d}{dt}(*)=\dfrac {\partial}{\partial t}(*)+\vec{v} \vec{\nabla}(*)

donde v es la velocidad del fluido y  el operador diferencial que ya vimos en la entrada sobre radioenlaces. Como el momento lineal del fluido se conserva, cuando interviene la fuerza de la gravedad , actúa además una presión P en sentido contrario al movimiento en el fluido y contraponiéndose a las deformaciones una viscosidad μobtenemos que

{\rho}_M  \dfrac {d \vec{v}}{dt}=\vec{F}-\vec{\nabla}P+{\mu} \left( \dfrac {1}{3} \vec{\nabla}  \left(\vec{\nabla}  \vec{v} \right) + {\nabla}^2 \vec{v} \right)

\dfrac {\partial \vec{v}}{\partial t}+ \left( \vec{v} \vec{\nabla} \right) \vec{v} + \dfrac {1}{{\rho}_M} \vec{\nabla}P- \dfrac {\mu}{{\rho}_M}\left( \dfrac {1}{3} \vec{\nabla} \left(\vec{\nabla} \vec{v} \right) + {\nabla}^2 \vec{v} \right)=\vec{g}

Esta es la ecuación del movimiento de un fluido, y es no lineal debido a la derivada sustancial. Por tanto, en un fluido intervienen no sólo las fuerzas aplicadas en el fluido, sino también la presión de éste y su viscosidad. Si el fluido no presentase viscosidad, y aplicando la derivada sustancial  a la ecuación anterior, podemos obtener un caso particular

\dfrac {\partial \vec{v}}{\partial t}+ \left( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{v} + \dfrac {1}{{\rho}_M} \vec{\nabla}P=\vec{g}

que nos define la ecuación del movimiento de un fluido no viscoso.

DINÁMICA DE FLUIDOS: MAGNETOHIDRODINÁMICA

Si el fluido presenta partículas cargadas y aplicamos un campo electromagnético, con componentes E y B, la fuerza que interviene en este caso no es la gravedad, sino la fuerza de Lorenz que aplica el campo magnético

\vec{F}=\vec{J} \times \vec{B}=\dfrac {\left( \vec{B} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{B}}{{\mu}_0}-\vec{\nabla} \left(\dfrac {B^2}{2{\mu}_0} \right)

donde J es la densidad de corriente eléctrica en el fluido y B el campo magnético aplicado. En la expresión desarrollada, obtenida a partir del desarrollo de la Ley de Ampere y una de las identidades del operador diferencial , obtenemos dos términos. El primero es una fuerza de tensión magnética mientras que el segundo término se asemeja a una presión magnética producida por la densidad de energía magnética del campo. Sustituyendo F en la expresión obtenida en el apartado anterior y considerando un fluido no viscoso, tendremos que

\dfrac {\partial \vec{v}}{\partial t}+ \left( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{v} + \dfrac {1}{{\rho}_M} \vec{\nabla} \left(P+\dfrac {B^2}{2{\mu}_0} \right)=\dfrac {\left( \vec{B} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{B}}{{\rho}_M {\mu}_0}

Teniendo en cuenta que, según las ecuaciones de Maxwell, la divergencia del campo magnético es nula, si consideramos un campo magnético unidireccional, las variaciones espaciales de la divergencia son perpendiculares al campo, por lo que la fuerza de tensión magnética se anula y la expresión anterior queda

\dfrac {\partial \vec{v}}{\partial t}+ \left( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{v} + \dfrac {1}{{\rho}_M} \vec{\nabla} \left(P+\dfrac {B^2}{2{\mu}_0} \right)=0

Si el fluido está en estado de plasma, tenemos que la Ley de Ohm se puede escribir como

\vec{E}+\vec{v} \times \vec{B}=0

debido a que en este estado la conductividad tiende a ser infinita y para mantener el flujo de corriente, la fuerza aplicada debe ser lo más baja posile. De este modo, la Ley de Faraday queda como

\dfrac {\partial \vec{B}}{\partial t}=\vec{\nabla} \times \left( \vec{\nabla} \times \vec{B} \right)

CONCLUSIONES DE LAS ECUACIONES

Como hemos podido comprobar, la magnetohidrodinámica es, en realidad, una consecuencia de aplicar campos electromagnéticos a fluidos que poseen carga eléctrica, y en esto se basaba Clancy para “propulsar” su Octubre Rojo. No obstante, los intentos de generar un propulsor naval de estas características se han quedado en prototipos construidos en los años 60 puesto que las inducciones magnéticas que requerían eran elevadas (del orden de más de 5 Tesla) en compartimientos muy voluminosos (centenares de m3). Por tanto, el submarino de la clase Typhoon cumplía con las exigencias de proporcionar el debido dramatismo a la novela, sin despreciar por ello la base científica en la que se basaba, debido al tamaño de este tipo de naves, considerados por los EE.UU. como colosos de las profundidades debido al desplazamiento de toneladas que eran capaces de propulsar.

No quiere decir que la aplicación de la magnetohidrodinámica esté actualmente aparcada. Debido a ella, los astrofísicos han logrado generar modelos basados en estas ecuaciones para determinar las trayectorias de las partículas en el Sol y predecir erupciones solares. Y los geofísicos, comprender mejor la estructura de los núcleos de los planetas.

Además, estas técnicas son utilizadas desde hace años también en metalurgia: a medida que calentamos un metal transformándolo en un fluido, incrementamos notablemente su conductividad, de modo que se puede aplicar la Ley de Ohm para los plasmas. Esto evita, en los procesos de fundición y generación de aleaciones, que el metal entre en contacto con el crisol y adquiera escoria, mejorando notablemente la calidad de la aleación. Es el principio de los altos hornos eléctricos, que vinieron a sustituir a los antiguos que usaban carbón.

También se han encontrado aplicaciones para generar energía eléctrica a partir del movimiento de un gas en presencia de un ampo magnético, así como el confinamiento del estado de plasma para los reactores de energía nuclear de fusión. Por no hablar de los experimentos realizados en el LCH, en Suiza. No obstante, se sigue teniendo el problema de la gran inducción magnética generada y el volumen necesario para mantener los plasmas.

Sin embargo, es una pequeña parte de todo lo que se podría llegar a conseguir con mejor tecnología. A medida que se desarrolle ésta, la magnetohidrodinámica proporcionará mejores aplicaciones.

References

  1. J. R. Reitz, F. J. Milford, R. W. Christy, “Foundations of the Electromagnetic Theory”; Addison-Wesley Publishing Company, Inc, Massachusetts (U.S.A.), 1979
  2. H. Alfvén, “Existence of electromagnetic-hydrodynamic waves“. Nature 150: 405-406, 1942

 

 

Estudio del comportamiento de un material piezoeléctrico (II)

En la entrada anterior habíamos estudiado el fenómeno piezoeléctrico a partir de las ecuaciones constitutivas que relacionan los campos eléctricos y mecánicos generados en el material. Los materiales piezoeléctricos se utilizan, gracias a este comportamiento, como componentes electrónicos con muy alta calidad. Su uso en filtros SAW, en resonadores BAW, en cristales de Cuarzo, para zumbadores e incluso como cargadores en Energy Harvesting hacen necesario, cada vez más, tener un modelo de circuito equivalente que defina correctamente el componente y su respuesta electroacústica. En esta entrada vamos a presentar un modelo, extraído en los años 40-50 por W.P. Mason y que sintetiza con bastante precisión los fenómenos electroacústicos tanto en su modelo lineal como no lineal.

MODELO DE MASON: EXTRACCIÓN

piezoelectrico

Esquema de un piezoeléctrico

Hemos dicho que un piezoeléctrico es un material electromecánico en el que aparecen fuerzas mecánicas cuando se le aplican fuerzas eléctricas y, recíprocamente, eléctricas cuando se aplican fuerzas mecánicas. La figura muestra un esquema dimensional de un material piezoeléctrico.

En el piezoeléctrico aplicamos un potencial eléctrico E⋅δz, y en ambas superficies del piezoeléctrico aparecen sendas tensiones T1 y T2, en cada una de las superficies del material. Aparecen también las velocidades de desplazamiento v1 y v2, que están relacionadas con el desplazamiento u a través de

v=\dfrac {\partial u}{\partial t}

Por último, aparece una corriente eléctrica I en los electrodos del potencial eléctrico. Por último, las magnitudes de A y d son la superficie en m2 y el espesor del dieléctrico en m.

En la entrada anterior estudiamos el comportamiento piezoeléctrico a partir de sus ecuaciones constitutivas. Recordando entonces cómo se escribían estas ecuaciones, teníamos

T=c^ES-e_{33}E

D=e_{33}S+{\epsilon}^SE

Se tiene que cumplir, además, la conservación de la energía a través de la ecuación de Lipmann

{\left[ \dfrac {\partial D}{\partial S} \right]}_E=-{\left[ \dfrac {\partial T}{\partial E} \right]}_S

Combinando adecuadamente estas ecuaciones, habíamos obtenido una ecuación de onda definida por

\left(\rho \dfrac {{\partial}^2}{\partial t^2} -c^D \dfrac {{\partial}^2}{\partial z^2} \right)u=0

que corresponde a una onda de propagación.

Utilizando la expresión que liga v con la variación temporal de u, podemos escribir la 2ª Ley de Newton como

\dfrac {\partial}{\partial z}(-T)=-\rho \dfrac {\partial v}{\partial t}

Recordando, además, que la deformación S derivaba del gradiente de u, calculamos la variación de S con respecto al tiempo y obtenemos su relación con el gradiente de v. Expresándolo para un sistema unidimensional en el eje z, obtenemos

\dfrac {\partial S}{\partial t}=\dfrac {{\partial}^2 u}{\partial z \partial t}=\dfrac {\partial v}{\partial z}

y despejando S de las ecuaciones constitutivas, obtenemos

\dfrac {\partial v}{\partial z}=-\dfrac {1}{c^D}\dfrac {\partial}{\partial t} \left( -T-\dfrac {e_{33}}{{\epsilon}^S}D \right)

Escalamos ahora las ecuaciones, multiplicando por A  los términos de ambas ecuaciones, y agrupándolas, obtenemos

\dfrac {\partial}{\partial z}(-A \cdot T)=-\rho \dfrac {\partial A \cdot v}{\partial t}

\dfrac {\partial A \cdot v}{\partial z}=-\dfrac {1}{c^D}\dfrac {\partial}{\partial t} \left( -A \cdot T\right)-\dfrac {1}{c^D}\left( -\dfrac {e_{33}}{{\epsilon}^S}A \cdot D \right)

Si comparamos este resultado con las ecuaciones del Telegrafista que define una línea de transmisión para las ondas electromagnéticas, podemos comprobar que son similares. La primera relaciona la variación espacial de la tensión -A·T con la variación temporal de la corriente A·v, y correspondería a una inducción por unidad de longitud similar a la de un elemento diferencial de una línea de transmisión.

En la segunda ecuación, que relaciona la variación espacial de la corriente A·v, con respecto a una variación temporal de una tensión, representa una capacidad por unidad de longitud similar a la de la línea de transmisión. Sin embargo, en el segundo término de la ecuación, tenemos una dependencia con la tensión -A·T, que sería una línea de transmisión convencional, y otra dependencia con el desplazamiento eléctrico D. Esa dependencia se representa mediante una línea de transmisión flotante como la que se muestra en la figura siguiente.

linea_t

Modelo acústico del piezoeléctrico, en línea de transmisión, a partir de las ecuaciones del Telegrafista

De este modo ya tenemos asemejada la parte acústica a una línea de transmisión definida por los campos que actúan en las ecuaciones constitutivas.

Sin embargo, esta línea no está del todo completa, ya que hay que incluir el efecto de los electrodos, aislando los campos acústicos de los campos eléctricos. El término que relaciona la variación espacial de A·v con el desplazamiento D puede ser acoplado a través de un transformador ideal N:1, como se muestra en la figura

Acoplamiento de la parte acústica y la eléctrica mediante un transformador N:1

Acoplamiento de la parte acústica y la eléctrica mediante un transformador N:1

y la relación de N se puede calcular por

N=-\dfrac {e_{33}}{d}A

Vamos ahora a estudiar la corriente I. Esta corriente se produce cuando se aplica una tensión E⋅δz en los electrodos del piezoeléctrico. Al aplicar esa tensión, generamos una polarización P, debido al carácter dieléctrico del material. Del mismo modo, sabemos que la corriente I es una variación de la carga Q, y que sólo se producía variación de la carga superficial σ del piezoeléctrico, y que ésta es debida a la polarización P, no variando la carga volumétrica, por lo que

I=\dfrac {\partial Q}{\partial t}=A \dfrac {\partial \sigma}{\partial t}=A \dfrac {\partial P}{\partial t}

y como a la polarización P se opone el desplazamiento eléctrico D para mantener el campo electrico E, obtenemos que

I=-A \dfrac {\partial D}{\partial t}

Estudiamos ahora el potencial E⋅δz aplicado en los electrodos. Usando las ecuaciones constitutivas, obtenemos que el potencial es

{\delta}V=E \cdot {\delta}z=-\dfrac {1}{{\epsilon}^S} \left( {e_{33}S-D} \right) \cdot {\delta}z

Derivando esta expresión con respecto al tiempo, obtenemos

\dfrac {\partial ({\delta}V)}{\partial t}=-\dfrac {1}{{\epsilon}^S} \left( {e_{33} \dfrac {\partial S}{\partial t}-\dfrac {\partial D}{\partial t}} \right) \cdot {\delta}z-\dfrac {1}{{\epsilon}^S} \left( {e_{33} \dfrac {\partial v}{\partial z}-\dfrac {I}{A}} \right) \cdot {\delta}z=\dfrac {\partial ({\delta}V_1)}{\partial t}+\dfrac {\partial ({\delta}V_2)}{\partial t}

Estudiemos ahora los términos en δV1 y  δV2. En el término en δV1 podemos obtener la expresión

I=-\dfrac {{\epsilon}^S A}{{\delta}z} \dfrac {\partial ({\delta}V_2)}{\partial t}=-C_o \dfrac {\partial ({\delta}V_2)}{\partial t}

y es la corriente que fluye a través de un condensador de valor CO , en paralelo con la tensión aplicada. Mientras, el término en δV2 se puede relacionar con la corriente que circula en la parte acústica a través de transformador, siendo Iprim la corriente que circula por el devanado primario del transformador. Usando las relaciones del transformador, podemos encontrar la relación de dicha corriente con esta tensión a través de

-\dfrac {{\delta}z}{e_{33}} \dfrac {\partial \left( I_{prim} \right)}{\partial z}=-\dfrac {{\epsilon}^S A}{e_{33}{\delta}z} \dfrac {\partial ({\delta}V_2)}{\partial t}

I_{prim}=- \left( -\dfrac {{\epsilon}^S A}{{\delta}z} \right) \dfrac {\partial ({\delta}V_2)}{\partial t}=-(-C_o) \dfrac {\partial ({\delta}V_2)}{\partial t}

Tenemos que hacer la consideración de que el peso de la tensión δV1>>δV2 , ya que al calcular la relación de transformación en el transformador hemos supuesto que es E⋅δz=δV, por lo que δV1δVδV20. De este modo, la corriente del primario es una corriente que circula a través de una capacidad negativa de valor CO.

Usando estos parámetros, deducidos de las ecuaciones constitutivas, es posible hacer un modelo completo del circuito equivalente de un piezoeléctrico, que se puede ver en la figura siguiente

mason_model

Circuito equivalente de Mason de un piezoeléctrico

CONDICIONES DE CONTORNO

Cualquier medio material está dentro de otros medios materiales (aire, agua, substratos semiconductores, metales, etc), y todos los medios materiales propagan ondas acústicas. Por tanto, así como en electromagnetismo definimos una impedancia de carga eléctrica sobre la que se transfiere la energía entregada desde el generador eléctrico, podemos definir una resistencia de carga acústica, que es donde se transfiere la energía acústica de la deformación. Esta resistencia de carga acústica está relacionada con la impedancia acústica del medio, y se transforma en una resistencia eléctrica a través de la expresión

R_L=Z_0 A= \rho v^DA

Por ejemplo, el aire tiene una impedancia acústica de 471 Rayls, así que para un piezoeléctrico AlN, con una superficie de 10.000μm2, si ambas superficies estuviesen en contacto con el aire, las impedancias de carga a conectar en los puertos A·T1 y A·T2 serían iguales y valdrían 4,71μΩ, lo que vendría a ser como colocar un cortocircuito en ambos puertos.

En el caso de que uno de los medios fuese aire y el otro, silicio, el silicio tiene una impedancia acústica de 8,35·105 Rayls, en el puerto del silicio habría que poner 8,35mΩ.

Hay que notar que, aunque la impedancia obtenida sea baja. no es estrictamente un cortocircuito. De hecho, al aire, que es el que más baja impedancia presenta, es al que consideramos un cortocircuito, mientras que el resto de materiales presentan impedancias acústicas más elevadas.

También es posible que tengamos un material compuesto de varios espesores de materiales, siendo uno de ellos piezoeléctrico, mientras que los demás son conductores o aislantes. Cuando esto ocurre, cada material puede ser representado por una línea de transmisión de igual modo que el piezoeléctrico. Por ejemplo, si el piezoeléctrico está encapsulado entre dos materiales diferentes, como el wolframio (W) y el molibdeno (Mo), y el wolframio está en contacto con el aire y el molibdeno con silicio, habría que añadir sendas líneas de transmisión entre las cargas y el piezoeléctrico, como se muestra en la figura siguiente

piezo_total

 

NO LINEALIDAD EN LOS MATERIALES: EL MODELO NO LINEAL DE MASON

En las condiciones de trabajo habituales de los piezoeléctricos, el funcionamiento debe de ser lineal. Sin embargo, los materiales presentan limitaciones que hay que tener en cuenta a la hora de trabajar con tensiones elevadas. Estas no linealidades introducen frecuencias espurias que reducen la calidad de la señal. Si estamos usando estos materiales en filtros de recepción, las no linealidades pueden representar un problema cuando una señal interferente de valor elevado atraviesa el material.

El piezoeléctrico es un resonador de muy alto factor de calidad. Traducido a parámetros discretos, se comporta como el circuito de la figura

Resonador equivalente de un piezoeléctrico

Resonador equivalente de un piezoeléctrico

La impedancia del resonador se puede representar en función de la frecuencia, obteniendo una gráfica similar a

impedancia

Impedancia del resonador en función de la frecuencia

El modelo, para bajos potenciales eléctricos, responderá correctamente de forma lineal. Sin embargo, a medida que aumentamos el valor del potencial eléctrico aplicado, empiezan a aparecer condiciones no lineales que limitarán su uso. Estas condiciones no lineales afectan, sobre todo, a las distorsiones de 2º y 3er orden, que son las que pueden afectar en mayor medida sobre la señal útil.

Una forma muy efectiva de simular no linealidades en circuitos eléctricos es el uso de las series de Volterra, una variante de los polinomios de Taylor en el que la respuesta depende en todo momento de los valores de los parámetros de entrada, incluyendo efectos de “memoria”, mediante acumulación de energía, de las capacidades e inducciones.

Como en las series de Taylor, las series de Volterra pueden ser truncadas en aquellos ordenes que sean superiores al que se considera dominante, por lo que nuestro modelo, considerando dominantes sobre todo el 2º y 3er orden de distorsión, puede truncarse a partir del 4º orden .

La distorsión afectará tanto al campo eléctrico como a la tensión mecánica. Las ecuaciones constitutivas, incluyendo estos efectos no lineales, quedarán descritas como

T=c^ES-e_{33}E+{\Delta}T

D=e_{33}S+{\epsilon}^SE+{\Delta}D

siendo ΔT un polinomio de 3er orden que se expresa mediante la suma de 2 términos ΔT2T3, donde el subíndice indica que el polinomio es de 2º o de 3er orden. El caso de ΔD es similar.

Los polinomios que ΔT2, ΔT3, ΔD2 yΔD3 se muestran a continuación:

{\Delta}T_2=\dfrac {1}{2}{\delta}_3 c^E S^2-{\delta}_1 e_{33} S E +\dfrac {1}{2}{\delta}_2 {\epsilon}^S E^2

{\Delta}T_3=\dfrac {1}{3}{\gamma}_4 c^E S^3-{\gamma}_1 e_{33} S^2 E+{\gamma}_2 {\epsilon}^S S E^2 +\dfrac {1}{3}{\gamma}_2 \dfrac {{\epsilon}^S e_{33}}{c^E} E^3

{\Delta}D_2=\dfrac {1}{2}{\delta}_1 e_{33} S^2-{\delta}_2 {\epsilon}^S S E +\dfrac {1}{2}{\delta}_4 \dfrac {{\epsilon}^S e_{33}}{c^E} E^2

{\Delta}D_3=\dfrac {1}{3}{\gamma}_1 e_{33} S^3-{\gamma}_2 {\epsilon}^S S^2 E-{\gamma}_3 \dfrac {{\epsilon}^S e_{33}}{c^E} S E^2 +\dfrac {1}{3}{\gamma}_5 \dfrac {({\epsilon}^S)^2}{c^E} E^3

y además, se sigue teniendo que cumplir la ecuación de Lipmann para la conservación de la energía.

Las series que definen el modelo no lineal se pueden introducir en el modelo lineal de Mason a través de fuentes de tensión dependientes, tanto en la zona eléctrica como en la zona acústica. A dichas fuentes las denominamos VC y TC y están situadas, dentro del modelo, en la entrada eléctrica (caso de VC) y en línea común de la corriente de secundario (caso de  TC), tal y como se muestra en la figura.

Modelo de Mason con las fuentes no lineales

Modelo de Mason con las fuentes no lineales

Estas fuentes se derivan de las ecuaciones constitutivas del mismo modo que hemos derivado el modelo lineal, y se obtienen sus expresiones, que son

T_C=A \left( \dfrac {e_{33}}{{\epsilon}^S}{\Delta}D+{\Delta}T \right)

V_C=\dfrac {d}{{\epsilon}^S}{\Delta}D

Con estas expresiones en el modelo de Mason, tenemos un modelo equivalente no lineal de un material piezoeléctrico, que incluye los efectos de 2º y 3er orden de distorsión, y podemos estudiar el comportamiento de un componente fabricado con este tipo de materiales en presencia de señales interferentes.

CONCLUSIÓN

En esta entrada hemos querido presentar un modelo eléctrico útil para representar un material piezoeléctrico, extraído a partir de las ecuaciones constitutivas. Esto nos ha permitido llegar al modelo que W.P. Mason obtuvo en los años 40, y entender cómo realizó la extracción de los parámetros del modelo.

No sólo hemos obtenido el modelo de Mason, sino que hemos parametrizado un modelo que pueda representar las variaciones no lineales a partir de las series de Volterra, que nos permitirán realizar un modelo no lineal que incluya los efectos de 2º y 3er orden de distorsión, y poder predecir la respuesta de un dispositivo de estas características en condiciones de señales interferentes.

En la próxima entrada vamos a proceder a estudiar el modelo en un simulador, mostrando cómo se realiza un modelo equivalente del piezoeléctrico incluyendo los parámetros no lineales, describiremos un método de medida para extraer los parámetros no lineales y mostraremos los resultados obtenidos mediante simulación.

REFERENCIAS

  1. W.P. Mason, Electromechanical Transducers and Wave Filters”, Princeton NJ, Van Nostrand, 1948
  2. J. F. Rosenbaum, “Bulk Acoustic Wave Theory and Devices”, Artech House, Boston, 1988.
  3. M. Redwood, “Transient performance of a piezoelectric transducer”, J. Acoust. Soc. Amer., vol. 33, no. 4, pp. 527-536, April 1961.
  4. R. Krimholtz, D.A. Leedom, G.L. Mathaei, “New Equivalent Circuit for Elementary Piezoelectric Transducers”, Electron. Lett. 6, pp. 398-399, June 1970.
  5. Y. Cho and J. Wakita, “Nonlinear equivalent circuits of acoustic devices”, Proc. IEEE Ultrason. Symp., Nov. 1993, vol. 2, pp. 867–872.
  6. C. Collado, E. Rocas, J. Mateu, A. Padilla, and J. M. O’Callaghan, “Nonlinear Distributed Model for BAW Resonators”, IEEE Trans. On Microwave Theory and Techniques, vol. 57, no. 12, pp. 3019-3029, Dec. 2009.
  7. E. Rocas, C. Collado, J.C. Booth, E. Iborra, and R. Aigner, “Unified Model for Bulk Acoustic Wave Resonators’ Nonlinear Effects”, Proc. 2009 IEEE Ultrasonics Symposium, pp. 880-884, Sept. 2009.
  8. M. Ueda, M Iwaki, T. Nishihara, Y. Satoh, and K Hashimoto, “Investigation on Nonlinear Distortion of Acoustic Devices for Radio-Freqquency Applications and Its Suppression”, Proc. 2009 IEEE Ultrasonics Symposium, pp. 876-879, Sept. 2009.
  9. M. Ueda, M Iwaki, T. Nishihara, Y. Satoh, and K Hashimoto, “A Circuit Model for Nonlinear Simulation of Radio-Frequency Filters Employing Bulk Acoustic Wave Resonators”, IEEE Trans. On Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency control, vol. 55, 2008, pp. 849-856.
  10. D. S. Shim and D. Feld, “A General Nonlinear Mason Model of Arbitrary Nonlinearities in a Piezoelectric Film”, Proc. 2010 IEEE Ultrasonics Symposium, pp. 295-300, Oct. 2010.
  11. D. Feld, “One-Parameter Nonlinear Mason Model for Predicting 2nd & 3rd Order Nonlinearities in BAW Devices”, Proc. 2009 IEEE Ultrasonics Symposium, pp. 1082-1087, Sept. 2009.

Estudio avanzado de los radioenlaces

Hablabamos en diciembre del año pasado del cálculo de radioenlaces. Habíamos puesto como modelos iniciales para dicho cálculo el del espacio libre (representado por la fórmula de Friis) y los modelos de Okumura y Okumura-Hata, que son modelos extrapolados de cálculos estadísticos realizados a través de mediciones reales en entornos urbanos. Sin embargo, estos modelos no incluyen la orografía del terreno, la obstrucción debida a los propios enlaces o fenómenos como la difracción. Estos fenómenos físicos son bastante complejos de analizar, pero cualquier radioenlace que los incluya tendrá más posibilidades de éxito que los que se realicen con el simple modelo del espacio libre o el de Okumura-Hata. En esta entrada estudiamos el modelo de Longley-Rice, basado en el modelo de tierra irregular, que data de los años 60 y que fue desarrollado debido a la que los EE.UU. estaban realizando un plan de asignación de frecuencias para la difusión de TV (Broadcast).

EL MODELO DE LONGLEY-RICE

El modelo de Longley-Rice es un modelo de tierra irregular, conocido por las siglas ITM. Es un modelo de estudio de cobertura de radioenlaces, inicialmente pensado para la cobertura broadcast de TV, dentro del plan de asignación de frecuencias del espectro radioeléctrico.

El modelo se basa en la aplicación de los fenómenos físicos ya conocidos: atenuación en el espacio libre de Friis, elipsoides de Fresnel, difracción, trayectorias multicamino, etc., a los que se añade el efecto de la irregularidad de la Tierra. A partir de ese modelo, se realizan análisis estadísticos de cobertura que se plasman en algoritmos que permitan una predicción lo más atinada posible de esa cobertura.

Imagen de una Tierra con orografía irregular

La Tierra no es regular. Si añadimos al fenómeno de la curvatura terrestre el de la orografía, la propagación electromagnética se encuentra con muchos obstáculos. A frecuencias por debajo de los 30MHz, la emisión radiada suele ser bastante eficaz (las célebres emisoras de Onda Media y Onda Corta), llegando a muchas partes del planeta gracias a la reflexión en la ionosfera, permitiendo que lleguen a otras partes del planeta e incluso dar una vuelta completa. Son las bandas de transmisión de radio y de los radioaficionados, y por lo general es el propio planeta el repetidor.

En función de la banda, las frecuencias radiadas se verán favorecidas en la radioemisión, siendo la banda más baja (Onda Media) una banda nocturna (se ve más favorecida en alcance por la noche), y pasando a diurna hasta que los fenómenos de reflexión debidos a la ionosfera desaparecen y se vuelven caprichosos.

El modelo ITM cubre la banda de 20MHz÷20GHz y hasta 2000km, aunque se está extendiendo ya, debido a la necesidad de realizar radioenlaces a más alta frecuencia, hasta los 40GHz.

El modelo, que incluye los fenómenos electromagnéticos ya conocidos y los combina con una cartografía terrestre donde se incluyen los fenómenos urbanos, de bosque, orográficos y de obstáculos, permite, mediante un análisis estadístico, conocer las posibilidades de una cobertura realizada por un repetidor, estimando cuáles son los valores medios que se pueden llegar a tener en un receptor fijo y en uno móvil.

No obstante, el modelo, que nació en 1968, está en continua evolución, puesto que algunos resultados muestran diferencias con las medidas realizadas, por lo que se hace necesaria una combinación de diversos modelos para tener una estimación más realista.

SOFTWARE BASADO EN LONGLEY-RICE

Existen varias aplicaciones basadas en el modelo de Longley-Rice. Una de ellas, libre y muy sencilla de usar, está realizada por el ingeniero de RF canadiense Roger Coudé, denominada Radio Mobile. Con ella es posible cargar un mapa de una cierta zona, abarcando un determinado territorio, y establecer una red de radioenlaces en la que podamos estudiar la cobertura con cierta seguridad.

El software, de tipo freeware, establece la definición de los sistemas, del tipo de red, de la orografía del terreno, del entorno climático, del tipo de orografía del terreno. También permite la definición de las potencias emitidas por el transmisor y las recibidas por el receptor, así como las ganancias de antena y el tipo de antena utilizado.

Análisis de un enlace de radio punto a punto.

El software permite el análisis punto a punto con la transcripción de la orografía del terreno, representando, además, las elipsoides de Fresnel, y mostrando las contribuciones a las pérdidas en el espacio libre de las obstrucciones, los entornos urbanos y las zonas boscosas.

También es posible analizar redes punto-multipunto, topologías de tipo estrella o de tipo cluster.

Una de las cosas más interesantes del programa es la posibilidad de realizar sobre el mapa diagramas de cobertura, limitando los parámetros óptimos de la red y caracterizándola en función de la posición sobre el terreno, así como de obtener localizaciones favorecidas para obtener la mejor ubicación.

No obstante, tenemos que recordar que se trata de un simulador, y como todos los simuladores, tiene la eficiencia de la cantidad de datos que proporcionemos, y muchos de ellos no son de fácil modelización. Para ello, voy a estudiar un ejemplo que realicé hace unos años con un radioenlace que tuve que colocar en un camping de la Bretaña francesa, en Quimper.

EL PROBLEMA DEL CAMPING DE QUIMPER

En el año 2008 tuve que ir a instalar un radioenlace en el camping Port de Plaisance, en Quimper. Se trataba de una instalación destinada a emitir la TNT (Télévision Numérique Terrestre) dentro del entorno del camping, ya que la señal del repetidor llegaba con una señal ya muy baja a algunos de los bungalows del camping.

Parecía que se trataba de una instalación sencilla: el camping no tenía más de 700m de longitud, por lo que un repetidor de 500mW parecía más que suficiente para cubrir el terreno. El problema partía de la normativa de TNT en Francia exigía que cualquier repetidor tenía que ponerse en modo SFN (Single Frequency Network), por lo que había que emitir en el mismo canal que se recibía. No era posible realizar, pues, cambio de canalización.

Esta situación limitaba mucho la potencia de nuestro repetidor, ya que al emitir en la misma frecuencia y carecer de un sistema de cancelación de ecos (realimentación producida al acoplarse la frecuencia emitida en la antena de recepción del repetidor), había que disminuir el nivel de salida del repetidor para evitar oscilaciones.

El camping tenía una distribución que podemos ver en el siguiente mapa:

benodet

Camping “Port de Plaisance”

Por supuesto, el objetivo era cubrir todos los bungalows, y para ello utilizamos el modelo de espacio libre. La ubicación tanto de la antena de recepción como la de transmisión fueron definidas por la dirección del camping, así como la ubicación de los equipos, que serían colocados en unas dependencias a las que no podían acceder los clientes.

Atendiendo al modelo de cobertura del espacio libre, teníamos entre 70 y 80dB de pérdidas en las frecuencias de UHF en las que íbamos a emitir. Por tanto, el problema de la potencia quedaba resuelto, ya que con 50mW de emisión llegábamos perfectamente a cualquier punto del camping con una antena omnidireccional, con una ganancia del orden de 9dBi. De hecho, en el peor punto llegábamos con 57dBμV, 10dB más que los que se recomiendan como límite inferior para recibir una señal de TV COFDM correcta. Así que con la alegría de que íbamos a poner un repetidor en Francia, nos acercamos a Quimper a finales del invierno de 2008, a hacer la instalación y tomar las medidas.

El primer inconveniente con el que nos encontramos fue, precisamente, el problema de la realimentación. Ya sabíamos que podría ocurrir, pero las estimaciones calculadas y las reales nos mostraron que no podíamos sacar más de 75mW en el mejor de los casos, y con este nivel en algunas ocasiones el canal concreto se ponía a oscilar. El valor de 50mW era también algo optimista, aunque era un valor, en principio, seguro.

Otra de las cosas que no introdujimos en los cálculos era el gran número de ostáculos a los que se enfrentaba nuestro repetidor. Como buen camping situado en una zona tan húmeda como la Bretaña francesa, el terreno tenía abundante vegetación y arbolado, y en muchas ocasiones los árboles se topaban con el camino radioeléctrico como si fuesen un muro. No obstante, logramos colocar el repetidor y de las mediciones que hicimos, vimos que teníamos nivel de señal óptimo, aunque 6 o 7 dB inferior al que el modelo del espacio libre nos predecía.

Al cabo de dos meses, desde la dirección del camping nos telefonearon indicando que en muchos sitios del camping no se recibía la señal de TNT, y que los clientes se quejaban porque era un servicio ofertado por el camping y querían dicho servicio. Así que con los equipos en la mano, volvimos para estudiar “in situ” lo que ocurría.

A nuestra llegada, pudimos comprobar con estupor que las arboledas sin hojas de marzo se habían convertido en un frondoso bosque. Teniendo a mano las medidas realizadas, volvimos a hacer la comparativa y donde antes teníamos del orden de 50dBμV, ahora teníamos menos de 45dBμV, por lo que en algunos sitios la señal estaba pixelando continuamente o entraba a negro, dependiendo de la calidad del receptor. Un desastre, vamos.

Así que tuvimos que recurrir a reajustar el repetidor, teniendo en cuenta que no podíamos dar más de 75mW, si no queríamos que el canal oscilase. La dirección del camping tampoco permitía el cambio de canal, por lo que teníamos pocas opciones. Así que la solución fue buscar un punto de potencia de salida que permitiese la cobertura justa, e intentar buscar los lugares donde esta cobertura era mala, para intentar dar con una solución, que consistía en la instalación de un microrrepetidor de menos potencia.

Por tanto, ahí descubrí que el modelo del espacio libre era eso: del espacio libre. No era válido para realizar una estimación de cobertura para una instalación sobre un determinado terreno.

¿Y SI HUBIESE TENIDO EL SIMULADOR RADIO MOBILE?

Hoy, después de 6 años y medio de aquella instalación, he hecho el análisis de la misma a través del software Radio Mobile y me he encontrado con que aquellos datos que tomé en su momento eran correctos, y que mi hipótesis inicial, presentada en el informe de la instalación, era acertada. Al justificar que la existencia de obstrucciones en el camping no me permitían una cobertura total, las conclusiones eran discutidas y tomadas como poco rigurosas.

De hecho, al tomar el peor punto de la red, que llamaremos Receptor 2, pude comprobar que en condiciones de obstrucción la señal, que en espacio libre estaba sobrada, estaba atenuada en 12dB más, lo que hacía que la señal cayese por debajo de la señal que habíamos puesto como límite, e incluso por debajo de la señal óptima.

Transmisión simulada en el punto peor del camping Port de Plaisance

Entonces, decidí hacer una simulación de la cobertura desde el repetidor, para ver cómo se distribuía la señal, y obtuve el siguiente plano de cobertura

Mapa de cobertura del camping “Port de Plaisance”. En rojo, fuera de cobertura. En amarillo, cobertura débil. En verde, buena cobertura.

donde pude comprobar, a partir del mapa de terreno que usa el programa, que había zonas internas de mala cobertura y que las zonas donde tenía una cobertura débil (que dependiendo de las condiciones climatológicas podía ser incluso mala), eran superiores a las que en principio me mostraba el modelo del espacio libre. Y que la zona en la que el modelo de espacio libre nos daba como peor, pero dentro de características, se ajustaba a los valores obtenidos en las medidas.

CONCLUSIONES

Si hubiese tenido este software de simulación en el momento de estudiar la instalación del repetidor en “Port de Plaisance”, para nada hubiese acudido a montar el repetidor si no tengo la cobertura garantizada. Incluso con el máximo nivel de 500mW la cobertura no estaba garantizada, con algunas zonas de sombra que no podríamos cubrir.

cover2

Cobertura con el máximo nivel de 500mW.

El programa me ha demostrado, pues, mucha utilidad para el cálculo de coberturas. Al menos, se obtienen cosas bastante más realistas que el optimismo inicial del modelo del espacio libre.

REFERENCIAS

  1. P.L. Rice, “Transmission loss predictions for tropospheric communication circuits”, Volume I & II, National Bureau of Standards, Tech. Note 101
  2. A. G. Longley and P. L. Rice, “Prediction of tropospheric radio transmission loss over irregular terrain. A computer method-1968”, ESSA Tech. Rep. ERL 79-ITS 67, U.S. Government Printing Office, Washington, DC, July 1968

El Control Automático de Ganancia: topología, funcionamiento y uso (II)

En la entrada del mes pasado estudiábamos la filosofía de un amplificador con Control Automático de Ganancia. Para terminar este capítulo dedicado al AGC, vamos a estudiar la simulación del sistema usando la aplicación SIMULINK de MatLab, y dedicaremos un apartado a concretar el uso más habitual de este tipo de configuraciones.

DIAGRAMAS DE BLOQUES DE UN AGC EN SIMULINK

En primer lugar, vamos a recordar que el diagrama de bloques usual de un AGC es el siguiente

Diagrama de bloques de un AGC

Diagrama de bloques de un AGC

Es importante la traslación de este sistema a SIMULINK, para poder estudiar cómo funciona. Comenzamos por el VGA (amplificador controlado por tensión). En el apartado anterior comprobamos que la expresión que relaciona la tensión de salida con la tensión de entrada es una expresión definida por

V_{out}=g(V_c) \cdot V_{in}=g_o \cdot {10^{-{\alpha} \cdot V_c}} \cdot V_{in}

por tanto, tenemos que construir un diagrama de bloques SIMULINK que realice esta expresión. El diagrama de bloques es

img1

Diagrama SIMULINK del VGA

Tenemos dos puertas de entrada: la puerta In1 es la puerta donde se aplicará VIN en unidades de magnitud, mientras que la entrada In2 es la puerta donde se aplicará VC, también en unidades de magnitud. Esta tensión VC pasa por un amplificador de ganancia -1 y por una función matemática 10u, para realizar la parte exponencial de la ganancia, que se multiplica mediante una función producto a la tensión de In1, correspondiente a VIN. Luego aplicamos un bloque Gain3, en el que proporcionamos la máxima ganancia de nuestro amplificador, que en este caso es 10. De este modo, nuestro amplificador tiene la siguiente expresión

V_{out}=10 \cdot {10^{-{V_c}}} \cdot V_{in}

VOUT, en unidades de magnitud, sale por Det a través de la salida Out2, mientras que por la salida Out1 sacamos VOUT en dB, ya que nos interesa más esa escala a la hora de realizar las medidas. La salida Det será utilizada para realizar la parte de la detección y aplicar un amplificador logarítmico.

El diagrama de bloques, entonces, queda como sigue

img2

Diagrama de bloques SIMULINK del AGC

Por un lado, tenemos Control Amp, que es nuestro VGA. La entrada, que se expresa en magnitud, entra en el amplificador y se lleva, a través de una conversión a dB, al Scope. La salida Out, que sale en dB, se lleva también al Scope.

La salida Det pasa por un detector de envolvente de ganancia unidad y un amplificador logarítmico de base 10. El resultado de esa operación se compara con el valor VREF, que es, en dB, el valor que queremos a la salida. Mediante el bloque dB to Mag se pasa VREF a unidades de magnitud.

El resultado se pasa por un integrador que tiene una constante de proporcionalidad 0,5. En el visualizador Control podemos estudiar la respuesta temporal de la salida del integrador, que nos proporcionará información acerca del tiempo que le lleva al AGC volver al estado nominal cuando haya un cambio en el valor de entrada.

La entrada está formada por los bloques In_dB (el valor nominal de entrada en dB) y dB_Step, en donde introduciremos el salto que se va a producir en el valor de entrada. Por ejemplo, en la figura tenemos un salto de 10dB, por lo que si el valor inicial de entrada In_dB es de 10dB, en el momento en que se produzca el salto tendremos 20dB, que el AGC tendrá que corregir.

El bloque dB to Mag with step es un bloque que nos proporcionará el valor de entrada en magnitud VIN, con el salto en dB en el tiempo que deseamos. Este bloque es

img3

Diagrama de bloques del dB to Mag with step

La entrada dB_Step se multiplica a un escalón retardado, para que el salto se produzca en ese momento, y la salida (que sigue estando expresada en dB) se suma a la entrada nominal dB_In, que es el valor inicial. Un bloque Gain (1/20) y un bloque 10u pasan los dB a magnitud, que es la que se introducirá en el amplificador.

PROCESO DE SIMULACIÓN

Vamos a proceder a la simulación de nuestro AGC. En primer lugar, vamos a ver cuál es la salida del amplificador cuando no tenemos salto.

img4

Respuesta del AGC cuando no hay variación en el valor de entrada (dB_Step=0)

Como podemos ver en la gráfica, cuando entramos con 10dB, el amplificador se va a su máxima ganancia (10dB+20dB de ganancia pasa a 30dB de nivel de salida). El AGC corrige la ganancia hasta que se obtienen los 15dB de VREF. Si cambiamos VREF a 20dB, el resultado en la salida es similar, pero se obtienen 20dB.

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Respuesta con Vref=20dB

Por tanto, queda comprobado que el amplificador está funcionando correctamente, por lo que aplicamos ahora los cambios en amplitud.

En primer lugar, introducimos un retardo en el bloque Step de dB to Mag with step de 15s. Esto quiere decir que la amplitud del amplificador cambiará a partir de la posición 15. Ahora introducimos un salto en dB_Step de 5dB, manteniendo la VREF en 15dB. El resultado es

img6

Respuesta del AGC a un incremento en la entrada de 5dB

Podemos ver que el amplificador ya se encuentra en estado estacionario a partir del instante 10, con 15dB de salida, y en el instante 15 la entrada sube 5 dB. El amplificador incrementa su salida a 20dB, pero el AGC realimenta la ganancia hasta que en el instante 25 volvemos a tener 15dB.

Apliquemos ahora la misma variación, pero negativa, disminuyendo el valor de entrada en 5dB. El resultado es

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Respuesta del AGC a una disminución en la entrada de 5dB

Donde vemos que el nivel de entrada, en el instante 15, pasa de 10dB a 5dB, provocando que el nivel de salida caiga a 10dB. Entonces comienza a actuar el AGC hasta que en el instante 25 se estabiliza y vuelve a los 15dB de salida.

¿Cómo es la señal de Control? En esta última gráfica, podemos comprobar que la señal de Control es

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Respuesta del control Vc

Por tanto, podemos ver el cambio que se produce en la ganancia, cuando VC pasa de 0,75 a 0,5 para estabilizar el nivel de salida.

Este AGC es muy sencillo. El tiempo de respuesta del AGC venía dado por la expresiónτ=1/α·A cuando el valor de la amplitud sube o cae α·A/e, donde A era el factor multiplicador del integrador y α la constante de proporcionalidad de la parte exponencial de la ganancia. Por tanto tenemos que t vale, con los números que hemos utilizado, 2.

Este valor se corresponde al instante en que la envolvente cae 0,18, que en la gráfica anterior se corresponde a un valor aproximado de 0,57. Podemos comprobar que ese valor cae en una posición inferior a la mitad del intervalo entre 15 y 20, por lo que los números son coherentes.

En esta simulación no hemos puesto limitación al valor del salto. Esto significa que si sobrepasamos el rango del AGC podremos tener valores de VC incoherentes. Pero dentro del rango del AGC, podemos estudiar el comportamiento de los integradores y de la respuesta del VGA de forma temporal, si introducimos dichos datos en el sistema.

USO HABITUAL DE LOS AGC

Por último, y para cerrar esta entrada correspondiente a los AGC, vamos a comentar brevemente el uso de los mismos en los equipos de telecomunicaciones.

Por lo general, cuando tenemos comunicación radiada a través del espacio libre, podemos encontrarnos con una gran diversidad de valor de campo eléctrico, que, al acoplarse a la antena, proporciona diferentes niveles de señal a la entrada de un receptor. Y las variaciones pueden ser del orden de decenas de dB.

Los receptores suelen tener un margen dinámico limitado. Por debajo de un determinado valor, el ruido interfiere en la señal dejándola irrecuperable, y por encima de un determinado valor, se produce la intermodulación, que genera señales indeseadas que también pueden hacer irrecuperable la señal. Se hace, por tanto, necesario que exista un rango dinámico controlado por el propio equipo para que absorba las variaciones propias de la señal de entrada. Es aquí donde entra el AGC.

Si observamos el diagrama de bloques de un equipo receptor, tendremos que los bloques principales son

img9

Diagrama de bloques típico de un receptor de telecomunicaciones

El primer amplificador, que está antes del mezclador de FI, es un amplificador controlado por tensión que realiza el AGC para garantizar que en el receptor (en este caso un demodulador I-Q) el nivel sea el óptimo.

Hay ocasiones que el propio receptor tiene un rango de AGC, que combinado con el rango del amplificador de entrada incrementa el rango dinámico del receptor.

Los AGC, aunque menos habituales, también se suelen usar en transmisión, aunque en este caso lo más habitual es tomar una muestra del nivel de salida y pasarlo por un ADC para que a través de un microcontrolador se corrija el nivel de ataque al amplificador, sin que el amplificador esté controlado por tensión.

CONCLUSIONES

Con esta entrada damos por cerrado el capítulo del estudio de los AGC y su uso. La mayoría de los equipos de telecomunicaciones tienen, hoy día AGC digitales que controlan las variaciones de la señal de entrada a través de los microprocesadores. Sin embargo, la gran ventaja del AGC analógico clásico es la rapidez de su respuesta y la alta estabilidad que se obtiene, ya que corrige un sistema exponencial que, a la hora de ser cuantificado, puede necesitar al menos de 8 bits para controlarlo y obtener un buen margen de estabilidad de nivel en el AGC. Su mayor inconveniente suele ser el espacio, la variación del margen con la temperatura y la necesidad de obtener una muestra de nivel lo suficientemente elevada para que el detector no introduzca ruido.

También hemos podido comprobar la utilidad de una herramienta como SIMULINK para analizar este tipo de sistemas, que nos puede proporcionar información de primera mano para comprobar si el sistema es viable.

REFERENCIAS

  1. Benjamin C. Kuo; “Automatic Control Systems”; 2nd ed.; Englewood Cliffs, NJ; Prentice Hall; 1975
  2. Pere Matí i Puig; “Subsistemas de radiocomunicaciones analógicos”;Universitat Oberta de Catalunya;2010

El Control Automático de Ganancia: topología, funcionamiento y uso (I)

Una de las topologías más comunes en el diseño electrónico la constituye el Control Automático de Ganancia (AGC). En esta entrada vamos a proceder a estudiar cuál es su filosofía de funcionamiento, la topología básica y su uso más común. Procederemos también a su simulación en MatLab, usando el simulador SIMULINK, para entender mejor el funcionamiento de este sistema.

LOS AMPLIFICADORES LINEALES

Uno de los bloques más comunes en un sistema es el amplificador lineal. Este es un dispositivo que proporciona una salida que es directamente proporcional a la entrada. Al ser el valor de salida mayor que el valor de entrada, el bloque realiza una elevación de nivel, por tanto, se trata de una amplificación. Si el nivel de salida fuese inferior al nivel de entrada, entonces hablaríamos de una reducción de nivel o atenuación.

Los amplificadores lineales pueden ser amplificadores con ganancia fija, que es la constante de proporcionalidad entre la entrada y la salida, y con ganancia variable, de modo que pueden variar su ganancia a través de una señal de control externa vc.

v_{out}(t)=g v_{in}(t)
v_{out}(t)=g(v_c(t)) v_{in}(t)

Esta señal de control es una variable que también depende del tiempo, aunque en condiciones de control libre, que es el realizado por el usuario, una vez elegido el valor del control esa variable pasa a ser estacionaria con el tiempo y el amplificador pasa a tener ganancia fija.

Sin embargo, las señales de entrada pueden tener oscilaciones debidas al canal de propagación, y subir o bajar de valor en función del tiempo. Si el amplificador tiene ganancia fija, la salida seguirá a las variaciones de entrada.

Por lo general los amplificadores convencionales suelen tener ganancia fija con una regulación externa manipulable por el usuario. Sin embargo, dentro de los sistemas de comunicaciones se pueden dar casos en los cuales hay que asegurar siempre que la salida tome un valor fijo. Y para ello es indispensable recurrir al Control Automático de Ganancia (AGC).

EL AGC O CONTROL AUTOMÁTICO DE GANANCIA

El AGC es un sistema realimentado, que usa la variable de salida, tomando una muestra, para procesarla debidamente y generar una señal de control vc(t) que permita variar la ganancia del amplificador en función del nivel de salida que se elija. Por tanto, un AGC proporciona una variable de salida fija frente a las variaciones de entrada.

El diagrama de bloques clásico de un AGC se puede ver en la siguiente figura

Fig. 1 – Diagrama de bloques de un AGC

Consta de un VGA o amplificador variable por tensión, que responde a la expresión vista en el apartado anterior, un detector de envolvente, porque la amplitud de la señal vout contiene la información de la variación de la señal de entrada, ya que vout es proporcional a vin, un comparador, que compara la señal detectada con una señal de referencia vref, que es la que gobernará el nivel de salida adecuado en vout y un filtro integrador, que proporciona la variable de control.

Al variar vin en el instante t0, el VGA está en estado estacionario, comportándose como un amplificador lineal de ganancia fija. Esto provoca una variación en la señal de salida vout que sigue a la entrada vin. Esta variación se detecta mediante el detector de envolvente provocando un cambio en la salida del comparador, que al ser integrado modifica el valor de vc adecuándolo para que vout se corrija y pase a mantener el valor antes del cambio.

Es un proceso dinámico: las señales vin y vout varían de forma temporal pero manteniendo un nivel estacionario de envolvente. Por ejemplo, una onda senoidal pura tiene una envolvente constante, ya que la función seno está acotada

Fig. 2 – Función variable de entrada de tipo senoidal

Cuando se detecta un cambio en la envolvente en un determinado instante de tiempo, el valor de pico de la amplitud cambia y es detectado por el detector, que inicia un proceso de realimentación temporal que no afecta a la forma de la onda, pero sí a su amplitud.

Fig. 3 – Variación de la amplitud en una señal senoidal

Este cambio es el que obligará a que vc tome el valor adecuado, realizándolo de forma gradual.

MECANISMOS DE CONTROL EN UN AGC

Volvemos al sistema de la Fig.1, donde el VGA tiene una ganancia representada por la expresión

g(v_c(t))=g_o e^{-\alpha v_c(t)}

En esta expresión se elimina el dominio temporal, puesto que en este instante no nos interesa la variación temporal de vc, ya que si no hay variación en vi, vc se mantiene estacionario.

La señal de entrada es una señal de la forma

v_{in}(t)=a \sin({\omega}t+{\theta})

La señal de salida será de la forma

v_{out}(t)=g_o a e^{-\alpha \cdot v_c(t)} \sin({\omega}t+{\theta})

Esta señal pasará por el detector de envolvente, cuya salida es una señal que es proporcional a la amplitud de la señal de entrada, siendo k la constante de proporcionalidad. Por tanto, la señal de salida del detector de envolvente será

v_e=k  g_o a e^{-\alpha v_c(t)}

Esta señal se pasa a través de un amplificador logarítmico, ya que la dependencia de vE con respecto a vc es exponencial. Como la base es natural, elegimos el logaritmo natural como amplificador logarítmico, y se obtiene una tensión de salida v2 cuya expresión es

v_2=-{\alpha}  v_c+\log(k  g_o a)

En esta expresión podemos comprobar que k y g0 son valores constantes, y que a y vc son los que pueden variar con respecto al tiempo. Si ahora incluimos la variación temporal de a, tendremos que la expresión toma la forma

v_2=-{\alpha}  v_c(t)+\log(k g_o a(t))

Por tanto una variación de a queda contrarrestada por una variación de vc para que v2 vuelva a tener el valor anterior al cambio en a.

Al realizar la comparación entre la tensión v2(t) y vR, que es un valor fijo y que marcará el nivel de salida que debe mantener el amplificador, tenemos una señal v1 que tiene la siguiente expresión

v_1=-{\alpha} v_c(t)+\log(k g_o a(t) e^{-v_R})

Esta señal se pasa a través de un filtrado paso bajo que la integra, proporcionando vC(t). Si el filtro tiene una respuesta temporal h(t), lo que realizamos es una convolución de la señal v1 con la respuesta temporal h(t)

v_c(t)=h(t)*v_1(t)

Y de aquí obtenemos

v_1(t)+{\alpha} h(t)*v_1(t)=\log(k g_o a(t) e^{-v_R})

En el dominio temporal la convolución es una ecuación integral dinámica, por lo que si usamos el dominio de Laplace, pasaremos esa respuesta convolucional a una respuesta en el dominio de la variable compleja s que es lineal. Usando este dominio, la ecuación anterior queda como

V_1(s)+{\alpha} H(s) V_1(s)=\mathcal{L}[log(k  g_o a(t) e^{-v_R})]

que es el resultado de aplicar el operador de la transformada de Laplace. Vamos a estudiar el valor de V1(s) si la salida tiene un valor una amplitud b

v_{out}(t)=b \sin({\omega}t+{\theta})

quitando la dependencia con k y con g0. En este casi, siguiendo los mismos pasos que en el caso anterior, tendremos que

v_1(t)=\log(b(t) e^{-v_R})

V_1(s)=\mathcal{L} [\log(b(t) e^{-v_R})]

(1+{\alpha} H(s)) \mathcal{L}[\log(b(t) e^{-v_R})]=\mathcal{L}[\log(k g_o a(t) e^{-v_R})]

\dfrac {\mathcal{L}[\log(b(t) e^{-v_R})]}{\mathcal{L}[\log(k g_o a(t) e^{-v_R})]}=\dfrac {1}{1+{\alpha} H(s)}

El primer término es el cociente de dos funciones, una que depende de la amplitud de salida y otra que depende de la amplitud de entrada. Si elegimos el producto k·g0=1, obtendremos que

\dfrac {\mathcal{L}[\log(b(t) e^{-v_R})]}{\mathcal{L}[\log(a(t) e^{-v_R})]}=\dfrac {\mathcal{L}[\log(b(t))]}{\mathcal{L}[\log(a(t)]}=\dfrac {1}{1+{\alpha} H(s)}

Como y(t) y x(t) tienen valores de tensión, podemos aplicar la definición de dB, que es:

b_{dB}(t)=20 \log_{10}(b(t))

a_{dB}(t)=20 \log_{10}(a(t))

por lo que el cociente anterior quedaría

\dfrac {\mathcal{L}[\log(b(t) e^{-v_R})]}{\mathcal{L}[\log(a(t) e^{-v_R})]}=\dfrac {\mathcal{L}[b_{dB}(t)]}{\mathcal{L}[a_{dB}(t)]}=\dfrac {B_{dB}(s)}{A_{dB}(s)}

eliminando el dominio temporal y convirtiendo el sistema en un sistema totalmente lineal. Entonces tendremos que

\dfrac {B_{dB}}{A_{dB}}=\dfrac {1}{1+{\alpha} H(s)}

siendo ésta la función de transferencia de la variación en dB de las amplitudes de salida y de entrada.

Si el filtro utilizado es un filtro integrador con polo en el origen, de la forma

H(s)= \dfrac {C}{s}

tendremos que la expresión nos quedará

\dfrac {B_{dB}}{A_{dB}}=\dfrac {1}{1+{\alpha} C}

Supongamos ahora que damos un salto de 1 dB a la envolvente de entrada AdB, pudiendo ser hacia arriba o hacia abajo. Llamamos a la nueva envolvente A’dB(s), y a la de salida B’dB(s). Como subimos o bajamos un 1 dB, tenemos que :

{A'}_{dB}(s)=A_{dB}(s) \pm 1

Y además tenemos que

\dfrac {B_{dB}}{A_{dB}}=\dfrac {{B'}_{dB}}{{A'}_{dB}}=\dfrac {1}{1+{\alpha} C}

ya que la realimentación debe responder siempre de la misma manera. Haciendo la sustiticuón de la expresión de la variación de entrada en la expresión anterior tenemos

\dfrac {B_{dB}}{A_{dB}}=\dfrac {{B'}_{dB}}{A_{dB}(s) \pm 1}=\dfrac {1}{1+{\alpha} C}

Por tanto, podremos calcular B’dB(s) multiplicando por la función de transferencia

{B'}_{dB}(s)=\dfrac {s}{s+{\alpha} \cdot C} \cdot A_{dB}(s) \pm \dfrac {s}{s+{\alpha} C}

Y sabiendo que el primer término es precisamente BdB(s), podemos poner la expresión como

{B'}_{dB}(s)-B_{dB}(s)=\pm \dfrac {s}{s+{\alpha} C}=\pm 1 \mp \dfrac {{\alpha} C}{s+{\alpha} C}

La ecuación anterior liga a la nueva envolvente B’dB(s) con la anterior BdB(s). Como es una respuesta temporal, tendremos que aplicar la transformada inversa, obteniendo

{B'}_{dB}(t)-B_{dB}(t)=\pm {\delta}(t) \mp {{\alpha} C e^{-{\alpha} C t}}

Estudiemos este resultado: Cuando subimos 1 dB (instante t=0), la ecuación queda como b’dB(t)–bdB(t)=+δ(t)=+1, ya que en t=0 el filtro h(t) todavía no ha respondido. Por tanto, en el instante inicial la diferencia entre la envolvente nueva y la inicial es de 1dB. Cuando t comienza a crecer, tenemos una respuesta exponencial decreciente debido al segundo término de la expresión anterior, por lo que a medida que va aumentando el tiempo, la diferencia entre la envolvente nueva b’dB(t) y la inicial bdB(t) va disminuyendo (inicialmente b’dB(t)>bdB(t)) hasta que ambas son iguales.

Si por el contrario, disminuimos la envolvente de entrada 1dB, la respuesta queda como b’dB(t)–bdB(t)=-δ(t)=-1, de modo que cuando disminuimos 1dB (instante t=0), la envolvente final disminuye en ese valor por la misma razón que en el caso anterior. Por tanto, en el instante inicial la diferencia entre la envolvente nueva y la inicial es de –1dB, que es el salto que se produce en la señal de entrada. Cuando t comienza a crecer, se produce una exponencial creciente que reduce esa diferencia (en este caso tenemos que b’dB(t)<bdB(t)), por lo que la diferencia también va disminuyendo hasta que ambas vuelven a ser iguales.

De aquí se deduce que cuando la envolvente de entrada sube o baja 1 dB, la de salida, en el instante inicial, tiende a subir o bajar siguiendo a la variación de la envolvente de entrada, pero cuando pasa un tiempo, la de salida se estabiliza hasta que llega al valor inicial ydB(t).

El tiempo de respuesta t del AGC, en el que la diferencia de envolventes es precisamente α·C/e es τ=1/α·C, que es la constante de tiempo de respuesta del AGC. Si ese tiempo es muy alto, el AGC responde lentamente, mientras que si ese tiempo es muy bajo, el AGC responde rápidamente. Es necesario un compromiso con el tiempo de respuesta del AGC en señales que contienen también variaciones nominales por su contenido, como las señales analógicas de audio o vídeo, para no confundir una variación de nivel con una variación de ese contenido.

CONCLUSION

En esta entrada hemos podido comprobar cómo es el diagrama de bloques de un AGC, estudiando su respuesta en el dominio de Laplace y en el dominio temporal. Hemos llegado a una relación de transferencia que nos permite relacionar las variaciones de la señal de salida con las de entrada y cómo podemos calcular el tiempo de respuesta del AGC, que tendremos que incluir a través del filtro integrador y del estudio de la constante de variación de la ganancia del amplificador.

En la siguiente entrada realizaremos el estudio este sistema mediante SIMULINK.

REFERENCIAS

  1. Benjamin C. Kuo; “Automatic Control Systems”; 2nd ed.; Englewood Cliffs, NJ; Prentice Hall; 1975
  2. Pere Matí i Puig; “Subsistemas de radiocomunicaciones analógicos”;Universitat Oberta de Catalunya;2010

 

Simulación de un PLL digital con SIMULINK

En Octubre de 2013 realizábamos un análisis de un PLL digital con un filtro de segundo orden. Llegábamos a las expresiones matemáticas y representábamos en MatLab la forma de la fase estimada. En esta entrada vamos a utilizar la herramienta SIMULINK integrada en MatLab, que nos permite realizar análisis de sistemas mediante bloques definidos dentro del propio simulador.

Representación de un ADPLL en bloques

Si recordamos la entrada de octubre, el diagrama de bloques del PLL digital era

Diagrama de bloques del PLL digital

Diagrama de bloques del PLL digital

donde teníamos un comparador de fase, del que se obtenía la estimación de fase, el filtro de lazo y un VCO. Recordemos también que el filtro de lazo H(z) genérico, para un PLL de segundo orden, era

H(z)=\alpha + \dfrac {\beta z^{-1}}{1-z^{-1}}

Tratándose de un filtro PI (proporcional-integrador), ya que la primera constante, α, es simplemente un factor multiplicador mientras que el segundo término es la transformada z de un integrador.

Para simular la respuesta de este diagrama de bloques, vamos a generar una serie de bloques que nos permitan realizar la simulación de la PLL.

Generación de la fase de entrada

Para generar la fase de entrada, lo que vamos a hacer es generar una onda que responda a un periodo concreto T, en el que tendremos n muestras que se hacen con un periodo de muestreo TS. Por tanto, el argumento ΦREF con el que vamos a comparar el argumento del VCO es

\phi_{REF}[n]=\dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n]

Esta señal se convierte en un fasor complejo del tipo

e^{j\phi_{REF}[n]}=e^{j \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)}

y separando las señales en su parte real e imaginaria, tendremos dos señales a comparar:

= A_R= Re \left[ e^{j \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)} \right]=\cos \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)

= A_I= Im \left[ e^{j \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)} \right]=\sin \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)

La fase θ(n) será la fase de referencia, la que queremos sintetizar con el ADPLL, mientras el el término discreto nos permite ver la evolución temporal de la fase.

Para realizar esta generación se recurre al siguiente diagrama de bloques en SIMULINK.

Diagrama de bloques SIMULINK del generador de argumento complejo

Diagrama de bloques SIMULINK del generador de argumento complejo

donde tenemos un bloque Clock que genera la base de tiempos discreta. Esa base de tiempos se multiplica por un valor K que corresponde a la pulsación 2π/T y se suma con la fase de referencia, que corresponde con la fase de referencia θ. La salida la multiplicamos por el valor complejo j y hacemos la exponencial de ese producto. Aplicando el bloque Complex to Real-Imag, podemos extraer dos líneas, una con el coseno del argumento y otra con el seno. De este modo podemos generar la fase de entrada.

Generación del VCO

El VCO será un dispositivo que posea la fase estimada de la forma

= B_R= Re \left[ e^{-j \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)} \right]=\cos \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)

= B_I= Im \left[ e^{-j \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)} \right]=-\sin \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)

Para realizar esta operación, tendremos que usar el siguiente diagrama de bloques.

Diagrama de bloques SIMULINK del VCO

Diagrama de bloques SIMULINK del VCO

En este caso, la estimación de fase del VCO se pondrá en función de la ganancia del VCO, Kv·T. A esta estimación de fase se le suma ωT, siendo ω la pulsación 2π/Ts, con Ts el periodo de muestreo de la señal.

El resultado pasa después por un integrador y le aplicamos una función coseno y otra función seno. El bloque ()*, que cambia de signo la línea de seno, convirtiendo la señal en una compleja conjugada, extrae a la salida las ecuaciones descritas para el NCO.

Representación del comparador de fase

El comparador de fase debe proporcionar a la salida la diferencia de fase, que es:

\Delta \theta=\theta [n] - \hat \theta [n]

A partir de las ecuaciones generadas para la fase de referencia y para la estimación de fase, tenemos que hacer un multiplicador de números complejos como el que se muestra en el diagrama de bloques

Multiplicador de números complejos

Multiplicador de números complejos

Con el bloque Real-Imag to Complex se convierte AR, AI, BR, BI en sendos números complejos A y B

A=\cos \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)+j\sin \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)=e^{j \left(\dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)}

B=\cos \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)-j\sin \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)=e^{-j \left(\dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)}

el resultado es un complejo CP cuyo valor es

CP=AB=e^{j \left(\dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)}e^{-j \left(\dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)}=e^{j \left(\theta[n] - \hat \theta[n] \right)}

y podemos ver que la diferencia de fase está en el argumento de la exponencial compleja. Aplicando ahora un bloque que convierte este número en Real-Imag, obtenemos

CP_R=\cos \left(\theta[n] - \hat \theta[n] \right)

CP_I=\sin \left(\theta[n] - \hat \theta[n] \right)

Aplicándole un bloque que convierta Real-Imag en Mag-Angle, como éste

Transformación Real-Imag a Mag-Ang

Transformación Real-Imag a Mag-Ang

obtendremos el error de fase

\Delta \theta=\theta [n] - \hat \theta [n]

que es la señal resultado del comparador de fase.

Filtro de lazo

El filtro de lazo utilizado en un ADPLL suele ser un filtro proporcional-integral

Diagrama de bloques de un filtro de lazo digital

Diagrama de bloques de un filtro de lazo digital

La transformada z de este filtro la hemos visto en la introducción. En SIMULINK vamos a poner la dependencia de α, β en función de dos variables externas. El filtro de lazo en SIMULINK es

Diagrama de bloques SIMULINK de un filtro de lazo digital

Diagrama de bloques SIMULINK de un filtro de lazo digital

Donde Kp es α (factor proporcional) y Ki es β (factor integrador). Por un lado, realizamos directamente el producto de Δθ por Kp y lo llevamos a un sumador, mientras que por otro lado hacemos el producto de Δθ por Kp, lo integramos y llevamos al sumador, y con la suma obtenemos el tune (T(n)) del VCO.

La respuesta de este filtro a una señal escalón u(n) es una señal de la forma

Respuesta del filtro de lazo a una señal escalón

Respuesta del filtro de lazo a una señal escalón

que se corresponde con la expresión

T[n]=\left(K_p+K_in \right)u[n]

Estudio completo del transitorio

En SIMULINK se pueden dibujar los bloques y crear un bloque nuevo, de tal modo que tengamos simplificados los mismos. El diagrama de bloques que vamos a simular en SIMULINK es

Diagrama de bloques SIMULINK del ADPLL

Diagrama de bloques SIMULINK del ADPLL

donde PhaseRef será la fase de entrada o referencia. Tomaremos como medidas Phase_error (donde se podrá comprobar la evolución del error de fase) y Loop, donde se podrá comparar la evolución de las señales de VCO y de referencia.

Para los valores Kp y Ki (α y β), tenemos que recordar que se debía cumplir que

\alpha^2 -4 \beta < 0

Eligiendo α=0.03 y β=0.002, obtenemos que el error de fase, para una fase de entrada de π/3, es

Respuesta el PLL a un cambio de fase en la entrada

Respuesta el PLL a un cambio de fase en la entrada

Como podemos comprobar, cuando se inicia, el error de fase toma un valor muy alto, que se va trasladando como una forma senoidal amortiguada, hasta que se convierte en cero. En ese momento la fase está enganchada. Como se puede comprobar, es la respuesta a un escalón en un filtro de segundo orden con factor de amortiguamiento.

Si ahora representamos Loop, obtendremos

Seguimiento de la fase con respecto a la fase de referencia

Seguimiento de la fase con respecto a la fase de referencia

Donde podremos ver que al principio las fases son muy diferentes, pero que ambas ondas tienden a converger a la misma fase, por lo que hemos igualado la fase a la fase de referencia, lo que significa el enganche de fase.

Si ahora usásemos sólo un filtro proporcional α (β=0), y simulásemos, obtendríamos

Respuesta a un escalón de un ADPLL de primer orden

Respuesta a un escalón de un ADPLL de primer orden

Que es la respuesta a un escalón de un filtro paso bajo de primer orden.

Conclusiones

En esta entrada hemos podido ver el comportamiento de un ADPLL en régimen transitorio mediante el uso de SIMULINK, que nos proporciona una herramienta de simulación potente para poder analizar sistemas en diagrama de bloques. Hemos podido comprobar que lo analizado en la entrada de octubre de 2013 es correcto y hemos podido comprobar su comportamiento transitorio.

Referencias

  1. C. Joubert, J. F. Bercher, G. Baudoin, T. Divel, S. Ramet, P. Level; “Time Behavioral Model for Phase-Domain ADPLL based frequency synthesizer”; Radio and Wireless Symposium, 2006 IEEE, January 2006
  2. S. Mendel, C. Vogel;”A z-domain model and analysis of phase-domain all-digital phase-locked loops”; Proceedings of the IEEE Norchip Conference 2007, November 2007
  3. R. B. Staszewski, P. T. Balsara; “Phase-Domain All-Digital Phase-Locked Loop”; IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs; vol. 52, no. 3, March 2005

Como simular parámetros S usando un simulador convencional

Simuladores de circuitos hay muchos. Los usuarios de este tipo de aplicaciones software podrían decir varios tipos, desde LTSpice, PSpice, Electronic Workbench, Microwave Office, Advance Design System, Genesys, etc. Se puede hacer una larga lista y se encontrarían para todos los gustos. Además, casi todos tienen las simulaciones importantes: análisis en DC, en AC, transitorios, análisis de ruido, etc. En esta entrada rememoro un artículo que escribí en octubre de 1997 y en el que mostraba cómo se podía simular un circuito de RF usando el simulador SPICE.

Un simulador de circuitos es una aplicación que permite analizar el comportamiento eléctrico de circuitos electrónicos a través de su descripción esquemática. Por tanto, una vez dibujado el circuito y a través de las librerías que describen el comportamiento de los componentes, es posible analizar la respuesta de un esquema eléctrico en diversos tipos de análisis. Así, podemos encontrarnos con posibilidad de analizar DC, AC, análisis transitorios, análisis de ruido, trasformadas de Fourier, etc.

Dentro de los simuladores existen varios tipos, algunos como el Advanced Design System o el Microwave Office, que están especialmente diseñados para analizar circuitos de alta frecuencia, usando las técnicas matriciales como los parámetros ABCDlas matrices Z e Y y los parámetros S. En los circuitos de alta frecuencia, el método de analizar el comportamiento en frecuencia de un circuito es a través de los parámetros S.

Para ello, el circuito se analiza como un cuadripolo, en el que se definen unas ondas incidentes (a1, a2) y unas ondas reflejadas (b1, b2), tal y como se muestra en la figura

Cuadripolo con ondas incidentes y reflejadas.

Cuadripolo con ondas incidentes y reflejadas.

Los parámetros S se definen a través de la siguiente relación matricial
\displaystyle {b_1 \choose b_2}=\begin{pmatrix} S_{11} & S_{12} \\ S_{21} & S_{22} \end{pmatrix}\displaystyle {a_1 \choose a_2} 

Relación entre las ondas a través de la matriz de parámetros Sde tal modo que cada uno de los parámetros S de la matriz refleja un significado eléctrico. Estos son:

  • S11: Es la relación entre la onda reflejada b1 y la onda incidente a1, cuando no hay onda incidente a2. El parámetro es equivalente al coeficiente de reflexión en la entrada, y representa la onda estacionaria que se produce en la entrada del cuadripolo.
  • S21: Es la relación entre onda saliente b2 y la onda incidente a1, cuando no hay onda incidente a2. El parámetro es equivalente a la transmisión de señal desde la entrada a la salida, y representa el trasvase de energía que se produce del puerto de entrada del cuadripolo al puerto de salida.
  • S12: Es la relación entre onda saliente b1 y la onda incidente a2, cuando no hay onda incidente a1. El parámetro es equivalente a la transmisión de señal desde la salida a la entrada, y representa el trasvase de energía que se produce del puerto de salida del cuadripolo al puerto de entrada.
  • S22: Es la relación entre la onda reflejada b2 y la onda incidente a2, cuando no hay onda incidente a1. El parámetro es equivalente al coeficiente de reflexión en la salida, y representa la onda estacionaria que se produce en la salida del cuadripolo.

Las ondas a1, a2 y b1, b2 se pueden escribir, en función de las tensiones incidente y reflejada, mediante las expresiones

a_n=\dfrac {V_n^{+}}{\sqrt{Z_0}}

b_n=\dfrac {V_n^{-}}{\sqrt{Z_0}}

siendo Vn+ la tensión incidente y Vn la reflejada, sobre una impedancia característica Z0.

Por tanto, la matriz de parámetros S ofrece una forma muy útil de analizar circuitos de alta frecuencia. Sin embargo, no todos los simuladores son capaces de ofrecer en sus tipos de análisis este tipo de representación de matricial.

¿Cómo construir una equivalencia que permita analizar parámetros S en un simulador que no tiene dicha función?

Ante todo hay que recordar que un análisis de parámetros S es una simulación específica de AC. Y este tipo de simulación está incluida en casi todos los simuladores de circuitos.  Sin embargo, el análisis AC sólo permite calcular tensiones y corrientes globales, no separando en incidentes y reflejadas. Por tanto, la única cuestión es que hay que realizar una transformación para encontrar un circuito equivalente que permita, usando las tensiones y corrientes globales del circuito, mediante el análisis AC, calcular los parámetros S.

Para ello se propone el siguiente cuadripolo:

Cuadripolo con tensiones y corrientes de AC

Cuadripolo con tensiones y corrientes de AC

En el cuadripolo tenemos una tensión de generador Vg, una resistencia de generador Rg, una resistencia de carga RL y unas tensiones Vi (generada por la impedancia Zi de entrada al cuadripolo) y una tensión Vo (que tiene una resistencia equivalente Zo en el cuadripolo). Vamos a suponer además, para simplificar los cálculos, que Rg=RL=Z0. A partir de ahora vamos a calcular, en primer lugar, el coeficiente de reflexión a la entrada y la transmisión entre entrada y salida. Las expresiones para calcular estos parámetros son:

S_{11}=\dfrac {Z_i-Z_0}{Z_i+Z_0}

S_{21}=\dfrac {V_o}{V_i}\left(1+S_{11} \right)

pero del circuito también tenemos que Vi se puede calcular a través del divisor de tensión de entrada formado por Vg, Z0 y Zi:

V_i=\dfrac {Z_i}{Z_i+Z_0}V_g

y sustituyendo esta expresión en la de S21 podemos obtener la relación entre la tensión de salida Vo y la del generador Vg

S_{21}=\dfrac {V_o}{V_g}\dfrac {Z_i+Z_0}{Z_i}\left(1+S_{11} \right)=

=\dfrac {V_o}{V_g}\dfrac {Z_i+Z_0}{Z_i}\left(1+\dfrac {Z_i-Z_0}{Z_i+Z_0} \right)=\dfrac {2 V_o}{V_g}

Por tanto, para calcular S21 basta con colocar en el generador una fuente de AC de amplitud Vg=2, y la tensión de salida Vo equivaldría al parámetro S21.

El parámetro S11 se calcularía a través de la expresión del coeficiente de reflexión y del cálculo del divisor de tensión, cuando Vg=2. Del divisor de tensión tenemos que

V_i=\dfrac {2 Z_i}{Z_i+Z_0}=\dfrac {Z_i-Z_0}{Z_i+Z_0}+\dfrac {Z_i+Z_0}{Z_i+Z_0}=S_{11}+1

S_{11}=V_i-1

por lo tanto, el parámetro S11 se puede calcular obteniendo la tensión en Vo y restando 1V.

Esquema de nuestro circuito equivalente

Ahora vamos a transformar en esquema eléctrico nuestro circuito equivalente. En principio tenemos un generador de AC de valor 2V, que equivale a Vg y la impedancia de generador y carga de valor Z0. A eso le añadimos un circuito en el punto de Vi consistente en un generador de 1V de AC y una resistencia de valor elevado, para que no circule corriente a través de ella.

Circuito equivalente para analizar S11 y S21 con un análisis en AC

Circuito equivalente para analizar S11 y S21 con un análisis en AC

Usando este circuito equivalente en un cuadripolo, se pueden entonces analizar los parámetros S del mismo usando el análisis AC de cualquier simulador. Es un circuito de mucha utilidad cuando se diseña en alta frecuencia, ya que los analizadores suelen usar los parámetros S para analizar los cuadripolos.

Comprobación del circuito equivalente.

Por último, para comprobar la fiabilidad del circuito equivalente confeccionado, vamos a estudiar el comportamiento de un cuadripolo sencillo, tipo filtro de alta frecuencia, y comparar con el resultado obtenido en un simulador convencional.

Cuadripolo a testear

Cuadripolo a testear

Realizando la simulación en un simulador de alta frecuencia se obtiene el siguiente resultado

Resultado de la simulación del filtro en un simulador de alta frecuencia

Resultado de la simulación del filtro en un simulador de alta frecuencia

Simulamos ahora el filtro en un simulador tipo Electronic Workbench, usando el circuito

Filtro simulado con Electronic Workbench

Filtro simulado con Electronic Workbench

y cuyo resultado es

Resultados en la simulación en Electronic Workbench

Resultados en la simulación en Electronic Workbench

y si lo comparamos con el resultado obtenido con el simulador de alta frecuencia, se puede comprobar que las gráficas son idénticas en módulo y fase.

Conclusiones

En esta entrada hemos conseguido un circuito sencillo que permite simular parámetros S de cualquier cuadripolo en un simulador convencional, no optimizado para el diseño en alta frecuencia. Este circuito nos proporciona una herramienta muy versátil si queremos trabajar con dispositivos que están caracterizados mediante parámetros S, o simplemente simular cuadripolos que después se vayan a medir con un analizador de redes. De esta manera, somos capaces de simular cualquier circuito en nuestro simulador habitual, sin tener que recurrir a otro tipo de simuladores.

REFERENCIAS

  1. T. Rosich; “Simulación de circuitos de RF con SPICE : parte 1”; Revista Española de Electrónica No. 515;  pp. 67-69; ISSN 0482-6396; oct 1997
  2. J. Everard; “Fundamentals of RF Circuit Design”; Wiley; IBSN 0-471-49793-2; 2001

Amplificador de Banda Ultra Ancha con Baja Ganancia y Alto Rango Dinámico

En la siguiente entrada vamos a analizar un tipo de amplificador que tiene la ventaja de funcionar en banda ultra ancha y que presenta un rango dinámico muy elevado, tanto por su baja figura de ruido como por su alto nivel de salida. El cuadripolo presentado funciona usando el principio de realimentación, si bien se sustituye la realimentación clásica de resistencias por una realimentación basada en acoplador direccional. A partir de este momento, conoceremos este tipo de configuración como “realimentación inductiva”.

En muchas ocasiones hemos tenido la necesidad de dotarnos de un amplificador que pueda cubrir un rango muy amplio de banda (en torno a varias octavas) y que mantenga el rango dinámico del dispositivo semiconductor utilizado. Los métodos clásicos de realimentar amplificadores, basados en sistemas resistivos, suelen ser muy eficientes en cobertura de banda, pero tienen el inconveniente de que las resistencias generan ruido térmico y disipan potencia, por lo que el amplificador siempre suele tener más ruido y menos nivel de salida que el transistor convencional.

El sistema inductivo presenta una ventaja considerable con respecto al resistivo convencional: un acoplador direccional es un dispositivo completamente reactivo, por lo que no presenta más pérdidas que las debidas a la resistencia parásita del acoplador, cuya contribución al ruido siempre es inferior a la de una resistencia convencional.

Pero antes de pasar a describir la aplicación, vamos a recordar en qué consiste un sistema realimentado.

SISTEMAS REALIMENTADOS

En Teoría de Sistemas, un sistema realimentado es aquel que toma una muestra de la señal de salida y la compara con la entrada para modificar, estabilizar u obtener una respuesta lo más adecuada posible. Se trata del sistema de control básico, ya que una señal y(t)=A(x(t), t)·x(t) puede variar en función de t y en función de x(t). Debemos recordar que en un sistema lineal, A=cte. Es decir, que en las condiciones básicas de trabajo, una variación de t o de x(t) no deberían influir en A. Por tanto, un amplificador lineal responderá de la forma y(t)=A·x(t), siendo A un valor constante, que es lo que denominamos ganancia.

En la mayoría de los casos, A responde de forma constante, pero al aplicar la transformada de Fourier a nuestro sistema, Y(ω)=A(ω)·X(ω). O sea, que la ganancia A(ω) depende de la frecuencia. Sin embargo, sigue respondiendo como un sistema lineal, ya que no hay dependencia de x(t).

En la mayor parte de los semiconductores usados como amplificadores, la ganancia A(ω) disminuye, del orden de 6dB/oct, por lo que conseguir la misma respuesta en un ancho de banda grande requiere de técnicas de realimentación.

Un sistema realimentado presenta un diagrama de bloques como el de la figura

Sistema realimentado clásico simple

Sistema realimentado clásico simple

La señal de salida Y(ω) se compara con la señal de entrada X(ω) a través de una red pasiva K. La respuesta en frecuencia del sistema es

\dfrac {Y(\omega)}{X(\omega)}=\dfrac {A(\omega)}{1+KA(\omega)}

Por tanto, la ganancia del sistema ya no es A(ω), sino que se ha reducido al dividirla por 1+K·A(ω). Si además elegimos un K·A(ω)>>1 en la zona donde queremos trabajar, podremos ver que la ganancia del sistema realimentado no depende de la zona activa A(ω), sino de la pasiva K. Si elegimos una red de realimentación K que no dependa de la pulsación ω, podremos realizar un dispositivo amplificador que no dependa del dispositivo utilizado, sino exclusivamente de la red de realimentación utilizada para obtener la ganancia

\dfrac {Y(\omega)}{X(\omega)} \approx \dfrac {A(\omega)}{KA(\omega)}=\dfrac {|}{K}

Al sólo depender de K, los sistemas realimentados resistivos suelen ser muy habituales para obtener respuestas en bandas ultra anchas, ya que las resistencias no dependen (salvo por sus comportamientos parásitos propios de la fabricación) de la frecuencia. Es por esto que la mayor parte de la bibliografía dedicada a los amplificadores se dedica a los realimentados resistivos, frente a otro tipo de amplificadores.

AMPLIFICADORES REALIMENTADOS RESISTIVOS

Vamos a ver brevemente cuál es el comportamiento de un amplificador realimentado resistivamente. Primero vamos a analizar el comportamiento de un dispositivo semiconductor, como un transistor bipolar (usaremos un BFG520 de NXP para hacer el análisis, con parámetros S y de ruido para Vce=5V e Ic=15mA), cuya ganancia disminuye a medida que aumenta la frecuencia un orden de 6dB/oct, como se puede ver en la siguiente gráfica.

Respuesta en frecuencia de la ganancia de un transistor bipolar

Respuesta en frecuencia de la ganancia de un transistor bipolar

En la gráfica podemos ver que el valor de la ganancia en 500MHz es de 22dB, mientras que al doble (1GHz) tenemos 16,7dB, lo que implica una caída de 5,3dB en la octava. Con estas características, se plantea el circuito realimentado siguiente

Amplificador realimentado

Amplificador realimentado

cuya ganancia, para una impedancia Z0, se puede calcular usando las expresiones

G \approx 10\log_{10} \left( \dfrac {R_1}{2R_2}\right)

Z_0=\sqrt {R_1R_2}

Para el amplificador propuesto, con R1=500Ω y R2=5Ω, tenemos que Z0=50Ω y G≈17dB. Si representamos la respuesta del transistor convencional con la del realimentado

Ganancia nominal (traza azul) frente a ganancia del amplificador realimentado.

Ganancia nominal (traza azul) frente a ganancia del amplificador realimentado (traza magenta).

Si trazamos asintóticamente una línea en la traza magenta, podremos comprobar que la curva del amplificador realimentado llega a cubrir en ancho de banda hasta la frecuencia donde la ganancia del transistor convencional coincide con la del realimentado. No obstante, como el transistor tiene caída, en la frecuencia donde se corta la asíntota la caída de ganancia es de unos 3dB.

Si calculamos el factor de ruido en el transistor convencional, podemos observar que, a 600MHz, es de 1,5dB para el convencional mientras que es de 2,5dB para el realimentado. Perdemos, por tanto, 1dB de figura de ruido. Por tanto, sacrificamos el factor de ruido para obtener una ganancia prácticamente independiente de la frecuencia en una banda muy ancha.

Si calculásemos un amplificador de 11dB, el ruido subiría en el amplificador realimentado a 3,5dB. Si esto mismo lo aplicásemos a la potencia, veríamos que en nivel de salida, en el primer caso, se pierde 1,5dB de nivel de salida, mientras que en el segundo caso perdemos 2,5dB. Esto implica reducir el rango dinámico de entrada del amplificador entre 3 y 6dB, con el fin de obtener una ganancia constante entre 11 y 17dB.

LA REALIMENTACIÓN INDUCTIVA

La realimentación inductiva consiste en introducir un elemento que compare la señal de salida hacia la entrada usando una red de bajas pérdidas. Como la realimentación es negativa (se compara la señal de salida en contrafase con la señal de entrada), el mejor dispositivo para hacer esta realimentación es el acoplador direccional.

Cuando se quiere cubrir una banda muy ancha, que empiece en frecuencias muy bajas, el método para hacer acopladores direccionales es el transformador de ferrita. De ahí el nombre de inductiva, ya que usa un sistema de acoplamiento inductivo. El esquema eléctrico de un acoplador direccional a transformador es

Acoplador direccional basado en transformador de ferrita

Acoplador direccional basado en transformador de ferrita

donde la transmisión va de la puerta 1 a la 3 (o de a 2 a a 4), la puerta acoplada respecto a la puerta 1 es 2 (o 4 respecto a 3) y la puerta aislada respecto a la puerta 1 es 4 (o 3 respecto a 2). Por tanto, si ponemos la base en la puerta 3 y el colector en la 4, cuando la señal entra por la puerta 1, pasa íntegra a la 3 (entra por base y es amplificada), y parte de la señal del colector va de la puerta 4 a la puerta 3, dependiendo del factor de acoplo, y al estar en contrafase (la fase de la puerta acoplada es π rad), se compara con la señal que viene de la puerta 1, realizando la realimentación. La señal de salida va del colector a la puerta 2 íntegra.

El factor de acoplo del acoplador direccional es función del ratio entre espiras n, siendo n el número de espiras de las bobinas interiores. Se puede calcular usando

C=20\log_{10}(n)

Para calcular un acoplador direccional de 11dB, el ratio de transformación debe ser n≈3,5.

Planteamos entonces el esquema del siguiente amplificador

Amplificador con realimentación basada en acoplador direccional

Amplificador con realimentación basada en acoplador direccional

y representamos la ganancia de este amplificador, para n=3,5

Ganancia del transistor convencional (traza azul) frente al realimentado (traza roja)

Ganancia del transistor convencional (traza azul) frente al realimentado (traza roja)

Podemos ver que trazando la línea asintótica, ocurre lo mismo que en el amplificador realimentado resistivo. Sin embargo, el ruido del amplificador se mantiene igual: si el ruido del transistor es de 1,5dB, el ruido del realimentado es también de 1,5dB, por lo que el ruido se mantiene, mientras que para una ganancia similar en el resistivo, el ruido pasaba a ser 3,5dB. En el caso del nivel de salida, se obtiene lo mismo, debido a que hay transferencia directa de energía sin pérdidas resistivas.

Por tanto, con el acoplador direccional hemos logrado un amplificador con baja ganancia sin perder el rango dinámico que tiene el transistor, lo que muestra la bondad del sistema realimentado por acoplador direccional o realimentación inductiva.

CONCLUSIONES

En esta entrada hemos repasado los amplificadores realimentados y hemos presentado la realimentación inductiva. Hemos analizado la realimentación resistiva en un transistor bipolar BFG520, y hemos hecho una comparativa con una realimentación inductiva. Hemos comprobado que la realimentación inductiva obtiene un mejor rango dinámico cuando se quieren ganancias muy bajas.

Acopladores direccionales de transformador pueden ser encontrados en varios fabricantes de componentes pasivos, o pueden ser diseñados por el propio desarrollador ya que se pueden encontrar ferritas en casi todos los catálogos.

El amplificador puede ser utilizado en etapas de entrada donde se requieran ganancias bajas, tanto por su característica de rango dinámico como por su cobertura de banda, ya que puede abarcar una banda superior a la de una realimentación resistiva.

REFERENCIAS

  1. Rowan Gilmore, Les Besser, “Practical RF Circuit Design for Modern Wireless Systems Vol. II”, Artech House Publishers, Norwood MA (USA), 2003
  2. Patente de invención industrial ES-2107351-B1, “Dispositivo amplicador de banda ancha”, publicada por Ángel Iglesias S.A., Madrid (Spain), 1998