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El Control Automático de Ganancia: topología, funcionamiento y uso (I)

Una de las topologías más comunes en el diseño electrónico la constituye el Control Automático de Ganancia (AGC). En esta entrada vamos a proceder a estudiar cuál es su filosofía de funcionamiento, la topología básica y su uso más común. Procederemos también a su simulación en MatLab, usando el simulador SIMULINK, para entender mejor el funcionamiento de este sistema.

LOS AMPLIFICADORES LINEALES

Uno de los bloques más comunes en un sistema es el amplificador lineal. Este es un dispositivo que proporciona una salida que es directamente proporcional a la entrada. Al ser el valor de salida mayor que el valor de entrada, el bloque realiza una elevación de nivel, por tanto, se trata de una amplificación. Si el nivel de salida fuese inferior al nivel de entrada, entonces hablaríamos de una reducción de nivel o atenuación.

Los amplificadores lineales pueden ser amplificadores con ganancia fija, que es la constante de proporcionalidad entre la entrada y la salida, y con ganancia variable, de modo que pueden variar su ganancia a través de una señal de control externa vc.

v_{out}(t)=g v_{in}(t)
v_{out}(t)=g(v_c(t)) v_{in}(t)

Esta señal de control es una variable que también depende del tiempo, aunque en condiciones de control libre, que es el realizado por el usuario, una vez elegido el valor del control esa variable pasa a ser estacionaria con el tiempo y el amplificador pasa a tener ganancia fija.

Sin embargo, las señales de entrada pueden tener oscilaciones debidas al canal de propagación, y subir o bajar de valor en función del tiempo. Si el amplificador tiene ganancia fija, la salida seguirá a las variaciones de entrada.

Por lo general los amplificadores convencionales suelen tener ganancia fija con una regulación externa manipulable por el usuario. Sin embargo, dentro de los sistemas de comunicaciones se pueden dar casos en los cuales hay que asegurar siempre que la salida tome un valor fijo. Y para ello es indispensable recurrir al Control Automático de Ganancia (AGC).

EL AGC O CONTROL AUTOMÁTICO DE GANANCIA

El AGC es un sistema realimentado, que usa la variable de salida, tomando una muestra, para procesarla debidamente y generar una señal de control vc(t) que permita variar la ganancia del amplificador en función del nivel de salida que se elija. Por tanto, un AGC proporciona una variable de salida fija frente a las variaciones de entrada.

El diagrama de bloques clásico de un AGC se puede ver en la siguiente figura

Fig. 1 – Diagrama de bloques de un AGC

Consta de un VGA o amplificador variable por tensión, que responde a la expresión vista en el apartado anterior, un detector de envolvente, porque la amplitud de la señal vout contiene la información de la variación de la señal de entrada, ya que vout es proporcional a vin, un comparador, que compara la señal detectada con una señal de referencia vref, que es la que gobernará el nivel de salida adecuado en vout y un filtro integrador, que proporciona la variable de control.

Al variar vin en el instante t0, el VGA está en estado estacionario, comportándose como un amplificador lineal de ganancia fija. Esto provoca una variación en la señal de salida vout que sigue a la entrada vin. Esta variación se detecta mediante el detector de envolvente provocando un cambio en la salida del comparador, que al ser integrado modifica el valor de vc adecuándolo para que vout se corrija y pase a mantener el valor antes del cambio.

Es un proceso dinámico: las señales vin y vout varían de forma temporal pero manteniendo un nivel estacionario de envolvente. Por ejemplo, una onda senoidal pura tiene una envolvente constante, ya que la función seno está acotada

Fig. 2 – Función variable de entrada de tipo senoidal

Cuando se detecta un cambio en la envolvente en un determinado instante de tiempo, el valor de pico de la amplitud cambia y es detectado por el detector, que inicia un proceso de realimentación temporal que no afecta a la forma de la onda, pero sí a su amplitud.

Fig. 3 – Variación de la amplitud en una señal senoidal

Este cambio es el que obligará a que vc tome el valor adecuado, realizándolo de forma gradual.

MECANISMOS DE CONTROL EN UN AGC

Volvemos al sistema de la Fig.1, donde el VGA tiene una ganancia representada por la expresión

g(v_c(t))=g_o e^{-\alpha v_c(t)}

En esta expresión se elimina el dominio temporal, puesto que en este instante no nos interesa la variación temporal de vc, ya que si no hay variación en vi, vc se mantiene estacionario.

La señal de entrada es una señal de la forma

v_{in}(t)=a \sin({\omega}t+{\theta})

La señal de salida será de la forma

v_{out}(t)=g_o a e^{-\alpha \cdot v_c(t)} \sin({\omega}t+{\theta})

Esta señal pasará por el detector de envolvente, cuya salida es una señal que es proporcional a la amplitud de la señal de entrada, siendo k la constante de proporcionalidad. Por tanto, la señal de salida del detector de envolvente será

v_e=k  g_o a e^{-\alpha v_c(t)}

Esta señal se pasa a través de un amplificador logarítmico, ya que la dependencia de vE con respecto a vc es exponencial. Como la base es natural, elegimos el logaritmo natural como amplificador logarítmico, y se obtiene una tensión de salida v2 cuya expresión es

v_2=-{\alpha}  v_c+\log(k  g_o a)

En esta expresión podemos comprobar que k y g0 son valores constantes, y que a y vc son los que pueden variar con respecto al tiempo. Si ahora incluimos la variación temporal de a, tendremos que la expresión toma la forma

v_2=-{\alpha}  v_c(t)+\log(k g_o a(t))

Por tanto una variación de a queda contrarrestada por una variación de vc para que v2 vuelva a tener el valor anterior al cambio en a.

Al realizar la comparación entre la tensión v2(t) y vR, que es un valor fijo y que marcará el nivel de salida que debe mantener el amplificador, tenemos una señal v1 que tiene la siguiente expresión

v_1=-{\alpha} v_c(t)+\log(k g_o a(t) e^{-v_R})

Esta señal se pasa a través de un filtrado paso bajo que la integra, proporcionando vC(t). Si el filtro tiene una respuesta temporal h(t), lo que realizamos es una convolución de la señal v1 con la respuesta temporal h(t)

v_c(t)=h(t)*v_1(t)

Y de aquí obtenemos

v_1(t)+{\alpha} h(t)*v_1(t)=\log(k g_o a(t) e^{-v_R})

En el dominio temporal la convolución es una ecuación integral dinámica, por lo que si usamos el dominio de Laplace, pasaremos esa respuesta convolucional a una respuesta en el dominio de la variable compleja s que es lineal. Usando este dominio, la ecuación anterior queda como

V_1(s)+{\alpha} H(s) V_1(s)=\mathcal{L}[log(k  g_o a(t) e^{-v_R})]

que es el resultado de aplicar el operador de la transformada de Laplace. Vamos a estudiar el valor de V1(s) si la salida tiene un valor una amplitud b

v_{out}(t)=b \sin({\omega}t+{\theta})

quitando la dependencia con k y con g0. En este casi, siguiendo los mismos pasos que en el caso anterior, tendremos que

v_1(t)=\log(b(t) e^{-v_R})

V_1(s)=\mathcal{L} [\log(b(t) e^{-v_R})]

(1+{\alpha} H(s)) \mathcal{L}[\log(b(t) e^{-v_R})]=\mathcal{L}[\log(k g_o a(t) e^{-v_R})]

\dfrac {\mathcal{L}[\log(b(t) e^{-v_R})]}{\mathcal{L}[\log(k g_o a(t) e^{-v_R})]}=\dfrac {1}{1+{\alpha} H(s)}

El primer término es el cociente de dos funciones, una que depende de la amplitud de salida y otra que depende de la amplitud de entrada. Si elegimos el producto k·g0=1, obtendremos que

\dfrac {\mathcal{L}[\log(b(t) e^{-v_R})]}{\mathcal{L}[\log(a(t) e^{-v_R})]}=\dfrac {\mathcal{L}[\log(b(t))]}{\mathcal{L}[\log(a(t)]}=\dfrac {1}{1+{\alpha} H(s)}

Como y(t) y x(t) tienen valores de tensión, podemos aplicar la definición de dB, que es:

b_{dB}(t)=20 \log_{10}(b(t))

a_{dB}(t)=20 \log_{10}(a(t))

por lo que el cociente anterior quedaría

\dfrac {\mathcal{L}[\log(b(t) e^{-v_R})]}{\mathcal{L}[\log(a(t) e^{-v_R})]}=\dfrac {\mathcal{L}[b_{dB}(t)]}{\mathcal{L}[a_{dB}(t)]}=\dfrac {B_{dB}(s)}{A_{dB}(s)}

eliminando el dominio temporal y convirtiendo el sistema en un sistema totalmente lineal. Entonces tendremos que

\dfrac {B_{dB}}{A_{dB}}=\dfrac {1}{1+{\alpha} H(s)}

siendo ésta la función de transferencia de la variación en dB de las amplitudes de salida y de entrada.

Si el filtro utilizado es un filtro integrador con polo en el origen, de la forma

H(s)= \dfrac {C}{s}

tendremos que la expresión nos quedará

\dfrac {B_{dB}}{A_{dB}}=\dfrac {1}{1+{\alpha} C}

Supongamos ahora que damos un salto de 1 dB a la envolvente de entrada AdB, pudiendo ser hacia arriba o hacia abajo. Llamamos a la nueva envolvente A’dB(s), y a la de salida B’dB(s). Como subimos o bajamos un 1 dB, tenemos que :

{A'}_{dB}(s)=A_{dB}(s) \pm 1

Y además tenemos que

\dfrac {B_{dB}}{A_{dB}}=\dfrac {{B'}_{dB}}{{A'}_{dB}}=\dfrac {1}{1+{\alpha} C}

ya que la realimentación debe responder siempre de la misma manera. Haciendo la sustiticuón de la expresión de la variación de entrada en la expresión anterior tenemos

\dfrac {B_{dB}}{A_{dB}}=\dfrac {{B'}_{dB}}{A_{dB}(s) \pm 1}=\dfrac {1}{1+{\alpha} C}

Por tanto, podremos calcular B’dB(s) multiplicando por la función de transferencia

{B'}_{dB}(s)=\dfrac {s}{s+{\alpha} \cdot C} \cdot A_{dB}(s) \pm \dfrac {s}{s+{\alpha} C}

Y sabiendo que el primer término es precisamente BdB(s), podemos poner la expresión como

{B'}_{dB}(s)-B_{dB}(s)=\pm \dfrac {s}{s+{\alpha} C}=\pm 1 \mp \dfrac {{\alpha} C}{s+{\alpha} C}

La ecuación anterior liga a la nueva envolvente B’dB(s) con la anterior BdB(s). Como es una respuesta temporal, tendremos que aplicar la transformada inversa, obteniendo

{B'}_{dB}(t)-B_{dB}(t)=\pm {\delta}(t) \mp {{\alpha} C e^{-{\alpha} C t}}

Estudiemos este resultado: Cuando subimos 1 dB (instante t=0), la ecuación queda como b’dB(t)–bdB(t)=+δ(t)=+1, ya que en t=0 el filtro h(t) todavía no ha respondido. Por tanto, en el instante inicial la diferencia entre la envolvente nueva y la inicial es de 1dB. Cuando t comienza a crecer, tenemos una respuesta exponencial decreciente debido al segundo término de la expresión anterior, por lo que a medida que va aumentando el tiempo, la diferencia entre la envolvente nueva b’dB(t) y la inicial bdB(t) va disminuyendo (inicialmente b’dB(t)>bdB(t)) hasta que ambas son iguales.

Si por el contrario, disminuimos la envolvente de entrada 1dB, la respuesta queda como b’dB(t)–bdB(t)=-δ(t)=-1, de modo que cuando disminuimos 1dB (instante t=0), la envolvente final disminuye en ese valor por la misma razón que en el caso anterior. Por tanto, en el instante inicial la diferencia entre la envolvente nueva y la inicial es de –1dB, que es el salto que se produce en la señal de entrada. Cuando t comienza a crecer, se produce una exponencial creciente que reduce esa diferencia (en este caso tenemos que b’dB(t)<bdB(t)), por lo que la diferencia también va disminuyendo hasta que ambas vuelven a ser iguales.

De aquí se deduce que cuando la envolvente de entrada sube o baja 1 dB, la de salida, en el instante inicial, tiende a subir o bajar siguiendo a la variación de la envolvente de entrada, pero cuando pasa un tiempo, la de salida se estabiliza hasta que llega al valor inicial ydB(t).

El tiempo de respuesta t del AGC, en el que la diferencia de envolventes es precisamente α·C/e es τ=1/α·C, que es la constante de tiempo de respuesta del AGC. Si ese tiempo es muy alto, el AGC responde lentamente, mientras que si ese tiempo es muy bajo, el AGC responde rápidamente. Es necesario un compromiso con el tiempo de respuesta del AGC en señales que contienen también variaciones nominales por su contenido, como las señales analógicas de audio o vídeo, para no confundir una variación de nivel con una variación de ese contenido.

CONCLUSION

En esta entrada hemos podido comprobar cómo es el diagrama de bloques de un AGC, estudiando su respuesta en el dominio de Laplace y en el dominio temporal. Hemos llegado a una relación de transferencia que nos permite relacionar las variaciones de la señal de salida con las de entrada y cómo podemos calcular el tiempo de respuesta del AGC, que tendremos que incluir a través del filtro integrador y del estudio de la constante de variación de la ganancia del amplificador.

En la siguiente entrada realizaremos el estudio este sistema mediante SIMULINK.

REFERENCIAS

  1. Benjamin C. Kuo; “Automatic Control Systems”; 2nd ed.; Englewood Cliffs, NJ; Prentice Hall; 1975
  2. Pere Matí i Puig; “Subsistemas de radiocomunicaciones analógicos”;Universitat Oberta de Catalunya;2010

 

Simulación de un PLL digital con SIMULINK

En Octubre de 2013 realizábamos un análisis de un PLL digital con un filtro de segundo orden. Llegábamos a las expresiones matemáticas y representábamos en MatLab la forma de la fase estimada. En esta entrada vamos a utilizar la herramienta SIMULINK integrada en MatLab, que nos permite realizar análisis de sistemas mediante bloques definidos dentro del propio simulador.

Representación de un ADPLL en bloques

Si recordamos la entrada de octubre, el diagrama de bloques del PLL digital era

Diagrama de bloques del PLL digital

Diagrama de bloques del PLL digital

donde teníamos un comparador de fase, del que se obtenía la estimación de fase, el filtro de lazo y un VCO. Recordemos también que el filtro de lazo H(z) genérico, para un PLL de segundo orden, era

H(z)=\alpha + \dfrac {\beta z^{-1}}{1-z^{-1}}

Tratándose de un filtro PI (proporcional-integrador), ya que la primera constante, α, es simplemente un factor multiplicador mientras que el segundo término es la transformada z de un integrador.

Para simular la respuesta de este diagrama de bloques, vamos a generar una serie de bloques que nos permitan realizar la simulación de la PLL.

Generación de la fase de entrada

Para generar la fase de entrada, lo que vamos a hacer es generar una onda que responda a un periodo concreto T, en el que tendremos n muestras que se hacen con un periodo de muestreo TS. Por tanto, el argumento ΦREF con el que vamos a comparar el argumento del VCO es

\phi_{REF}[n]=\dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n]

Esta señal se convierte en un fasor complejo del tipo

e^{j\phi_{REF}[n]}=e^{j \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)}

y separando las señales en su parte real e imaginaria, tendremos dos señales a comparar:

= A_R= Re \left[ e^{j \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)} \right]=\cos \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)

= A_I= Im \left[ e^{j \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)} \right]=\sin \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)

La fase θ(n) será la fase de referencia, la que queremos sintetizar con el ADPLL, mientras el el término discreto nos permite ver la evolución temporal de la fase.

Para realizar esta generación se recurre al siguiente diagrama de bloques en SIMULINK.

Diagrama de bloques SIMULINK del generador de argumento complejo

Diagrama de bloques SIMULINK del generador de argumento complejo

donde tenemos un bloque Clock que genera la base de tiempos discreta. Esa base de tiempos se multiplica por un valor K que corresponde a la pulsación 2π/T y se suma con la fase de referencia, que corresponde con la fase de referencia θ. La salida la multiplicamos por el valor complejo j y hacemos la exponencial de ese producto. Aplicando el bloque Complex to Real-Imag, podemos extraer dos líneas, una con el coseno del argumento y otra con el seno. De este modo podemos generar la fase de entrada.

Generación del VCO

El VCO será un dispositivo que posea la fase estimada de la forma

= B_R= Re \left[ e^{-j \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)} \right]=\cos \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)

= B_I= Im \left[ e^{-j \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)} \right]=-\sin \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)

Para realizar esta operación, tendremos que usar el siguiente diagrama de bloques.

Diagrama de bloques SIMULINK del VCO

Diagrama de bloques SIMULINK del VCO

En este caso, la estimación de fase del VCO se pondrá en función de la ganancia del VCO, Kv·T. A esta estimación de fase se le suma ωT, siendo ω la pulsación 2π/Ts, con Ts el periodo de muestreo de la señal.

El resultado pasa después por un integrador y le aplicamos una función coseno y otra función seno. El bloque ()*, que cambia de signo la línea de seno, convirtiendo la señal en una compleja conjugada, extrae a la salida las ecuaciones descritas para el NCO.

Representación del comparador de fase

El comparador de fase debe proporcionar a la salida la diferencia de fase, que es:

\Delta \theta=\theta [n] - \hat \theta [n]

A partir de las ecuaciones generadas para la fase de referencia y para la estimación de fase, tenemos que hacer un multiplicador de números complejos como el que se muestra en el diagrama de bloques

Multiplicador de números complejos

Multiplicador de números complejos

Con el bloque Real-Imag to Complex se convierte AR, AI, BR, BI en sendos números complejos A y B

A=\cos \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)+j\sin \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)=e^{j \left(\dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)}

B=\cos \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)-j\sin \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)=e^{-j \left(\dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)}

el resultado es un complejo CP cuyo valor es

CP=AB=e^{j \left(\dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)}e^{-j \left(\dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)}=e^{j \left(\theta[n] - \hat \theta[n] \right)}

y podemos ver que la diferencia de fase está en el argumento de la exponencial compleja. Aplicando ahora un bloque que convierte este número en Real-Imag, obtenemos

CP_R=\cos \left(\theta[n] - \hat \theta[n] \right)

CP_I=\sin \left(\theta[n] - \hat \theta[n] \right)

Aplicándole un bloque que convierta Real-Imag en Mag-Angle, como éste

Transformación Real-Imag a Mag-Ang

Transformación Real-Imag a Mag-Ang

obtendremos el error de fase

\Delta \theta=\theta [n] - \hat \theta [n]

que es la señal resultado del comparador de fase.

Filtro de lazo

El filtro de lazo utilizado en un ADPLL suele ser un filtro proporcional-integral

Diagrama de bloques de un filtro de lazo digital

Diagrama de bloques de un filtro de lazo digital

La transformada z de este filtro la hemos visto en la introducción. En SIMULINK vamos a poner la dependencia de α, β en función de dos variables externas. El filtro de lazo en SIMULINK es

Diagrama de bloques SIMULINK de un filtro de lazo digital

Diagrama de bloques SIMULINK de un filtro de lazo digital

Donde Kp es α (factor proporcional) y Ki es β (factor integrador). Por un lado, realizamos directamente el producto de Δθ por Kp y lo llevamos a un sumador, mientras que por otro lado hacemos el producto de Δθ por Kp, lo integramos y llevamos al sumador, y con la suma obtenemos el tune (T(n)) del VCO.

La respuesta de este filtro a una señal escalón u(n) es una señal de la forma

Respuesta del filtro de lazo a una señal escalón

Respuesta del filtro de lazo a una señal escalón

que se corresponde con la expresión

T[n]=\left(K_p+K_in \right)u[n]

Estudio completo del transitorio

En SIMULINK se pueden dibujar los bloques y crear un bloque nuevo, de tal modo que tengamos simplificados los mismos. El diagrama de bloques que vamos a simular en SIMULINK es

Diagrama de bloques SIMULINK del ADPLL

Diagrama de bloques SIMULINK del ADPLL

donde PhaseRef será la fase de entrada o referencia. Tomaremos como medidas Phase_error (donde se podrá comprobar la evolución del error de fase) y Loop, donde se podrá comparar la evolución de las señales de VCO y de referencia.

Para los valores Kp y Ki (α y β), tenemos que recordar que se debía cumplir que

\alpha^2 -4 \beta < 0

Eligiendo α=0.03 y β=0.002, obtenemos que el error de fase, para una fase de entrada de π/3, es

Respuesta el PLL a un cambio de fase en la entrada

Respuesta el PLL a un cambio de fase en la entrada

Como podemos comprobar, cuando se inicia, el error de fase toma un valor muy alto, que se va trasladando como una forma senoidal amortiguada, hasta que se convierte en cero. En ese momento la fase está enganchada. Como se puede comprobar, es la respuesta a un escalón en un filtro de segundo orden con factor de amortiguamiento.

Si ahora representamos Loop, obtendremos

Seguimiento de la fase con respecto a la fase de referencia

Seguimiento de la fase con respecto a la fase de referencia

Donde podremos ver que al principio las fases son muy diferentes, pero que ambas ondas tienden a converger a la misma fase, por lo que hemos igualado la fase a la fase de referencia, lo que significa el enganche de fase.

Si ahora usásemos sólo un filtro proporcional α (β=0), y simulásemos, obtendríamos

Respuesta a un escalón de un ADPLL de primer orden

Respuesta a un escalón de un ADPLL de primer orden

Que es la respuesta a un escalón de un filtro paso bajo de primer orden.

Conclusiones

En esta entrada hemos podido ver el comportamiento de un ADPLL en régimen transitorio mediante el uso de SIMULINK, que nos proporciona una herramienta de simulación potente para poder analizar sistemas en diagrama de bloques. Hemos podido comprobar que lo analizado en la entrada de octubre de 2013 es correcto y hemos podido comprobar su comportamiento transitorio.

Referencias

  1. C. Joubert, J. F. Bercher, G. Baudoin, T. Divel, S. Ramet, P. Level; “Time Behavioral Model for Phase-Domain ADPLL based frequency synthesizer”; Radio and Wireless Symposium, 2006 IEEE, January 2006
  2. S. Mendel, C. Vogel;”A z-domain model and analysis of phase-domain all-digital phase-locked loops”; Proceedings of the IEEE Norchip Conference 2007, November 2007
  3. R. B. Staszewski, P. T. Balsara; “Phase-Domain All-Digital Phase-Locked Loop”; IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs; vol. 52, no. 3, March 2005

Como simular parámetros S usando un simulador convencional

Simuladores de circuitos hay muchos. Los usuarios de este tipo de aplicaciones software podrían decir varios tipos, desde LTSpice, PSpice, Electronic Workbench, Microwave Office, Advance Design System, Genesys, etc. Se puede hacer una larga lista y se encontrarían para todos los gustos. Además, casi todos tienen las simulaciones importantes: análisis en DC, en AC, transitorios, análisis de ruido, etc. En esta entrada rememoro un artículo que escribí en octubre de 1997 y en el que mostraba cómo se podía simular un circuito de RF usando el simulador SPICE.

Un simulador de circuitos es una aplicación que permite analizar el comportamiento eléctrico de circuitos electrónicos a través de su descripción esquemática. Por tanto, una vez dibujado el circuito y a través de las librerías que describen el comportamiento de los componentes, es posible analizar la respuesta de un esquema eléctrico en diversos tipos de análisis. Así, podemos encontrarnos con posibilidad de analizar DC, AC, análisis transitorios, análisis de ruido, trasformadas de Fourier, etc.

Dentro de los simuladores existen varios tipos, algunos como el Advanced Design System o el Microwave Office, que están especialmente diseñados para analizar circuitos de alta frecuencia, usando las técnicas matriciales como los parámetros ABCDlas matrices Z e Y y los parámetros S. En los circuitos de alta frecuencia, el método de analizar el comportamiento en frecuencia de un circuito es a través de los parámetros S.

Para ello, el circuito se analiza como un cuadripolo, en el que se definen unas ondas incidentes (a1, a2) y unas ondas reflejadas (b1, b2), tal y como se muestra en la figura

Cuadripolo con ondas incidentes y reflejadas.

Cuadripolo con ondas incidentes y reflejadas.

Los parámetros S se definen a través de la siguiente relación matricial
\displaystyle {b_1 \choose b_2}=\begin{pmatrix} S_{11} & S_{12} \\ S_{21} & S_{22} \end{pmatrix}\displaystyle {a_1 \choose a_2} 

Relación entre las ondas a través de la matriz de parámetros Sde tal modo que cada uno de los parámetros S de la matriz refleja un significado eléctrico. Estos son:

  • S11: Es la relación entre la onda reflejada b1 y la onda incidente a1, cuando no hay onda incidente a2. El parámetro es equivalente al coeficiente de reflexión en la entrada, y representa la onda estacionaria que se produce en la entrada del cuadripolo.
  • S21: Es la relación entre onda saliente b2 y la onda incidente a1, cuando no hay onda incidente a2. El parámetro es equivalente a la transmisión de señal desde la entrada a la salida, y representa el trasvase de energía que se produce del puerto de entrada del cuadripolo al puerto de salida.
  • S12: Es la relación entre onda saliente b1 y la onda incidente a2, cuando no hay onda incidente a1. El parámetro es equivalente a la transmisión de señal desde la salida a la entrada, y representa el trasvase de energía que se produce del puerto de salida del cuadripolo al puerto de entrada.
  • S22: Es la relación entre la onda reflejada b2 y la onda incidente a2, cuando no hay onda incidente a1. El parámetro es equivalente al coeficiente de reflexión en la salida, y representa la onda estacionaria que se produce en la salida del cuadripolo.

Las ondas a1, a2 y b1, b2 se pueden escribir, en función de las tensiones incidente y reflejada, mediante las expresiones

a_n=\dfrac {V_n^{+}}{\sqrt{Z_0}}

b_n=\dfrac {V_n^{-}}{\sqrt{Z_0}}

siendo Vn+ la tensión incidente y Vn la reflejada, sobre una impedancia característica Z0.

Por tanto, la matriz de parámetros S ofrece una forma muy útil de analizar circuitos de alta frecuencia. Sin embargo, no todos los simuladores son capaces de ofrecer en sus tipos de análisis este tipo de representación de matricial.

¿Cómo construir una equivalencia que permita analizar parámetros S en un simulador que no tiene dicha función?

Ante todo hay que recordar que un análisis de parámetros S es una simulación específica de AC. Y este tipo de simulación está incluida en casi todos los simuladores de circuitos.  Sin embargo, el análisis AC sólo permite calcular tensiones y corrientes globales, no separando en incidentes y reflejadas. Por tanto, la única cuestión es que hay que realizar una transformación para encontrar un circuito equivalente que permita, usando las tensiones y corrientes globales del circuito, mediante el análisis AC, calcular los parámetros S.

Para ello se propone el siguiente cuadripolo:

Cuadripolo con tensiones y corrientes de AC

Cuadripolo con tensiones y corrientes de AC

En el cuadripolo tenemos una tensión de generador Vg, una resistencia de generador Rg, una resistencia de carga RL y unas tensiones Vi (generada por la impedancia Zi de entrada al cuadripolo) y una tensión Vo (que tiene una resistencia equivalente Zo en el cuadripolo). Vamos a suponer además, para simplificar los cálculos, que Rg=RL=Z0. A partir de ahora vamos a calcular, en primer lugar, el coeficiente de reflexión a la entrada y la transmisión entre entrada y salida. Las expresiones para calcular estos parámetros son:

S_{11}=\dfrac {Z_i-Z_0}{Z_i+Z_0}

S_{21}=\dfrac {V_o}{V_i}\left(1+S_{11} \right)

pero del circuito también tenemos que Vi se puede calcular a través del divisor de tensión de entrada formado por Vg, Z0 y Zi:

V_i=\dfrac {Z_i}{Z_i+Z_0}V_g

y sustituyendo esta expresión en la de S21 podemos obtener la relación entre la tensión de salida Vo y la del generador Vg

S_{21}=\dfrac {V_o}{V_g}\dfrac {Z_i+Z_0}{Z_i}\left(1+S_{11} \right)=

=\dfrac {V_o}{V_g}\dfrac {Z_i+Z_0}{Z_i}\left(1+\dfrac {Z_i-Z_0}{Z_i+Z_0} \right)=\dfrac {2 V_o}{V_g}

Por tanto, para calcular S21 basta con colocar en el generador una fuente de AC de amplitud Vg=2, y la tensión de salida Vo equivaldría al parámetro S21.

El parámetro S11 se calcularía a través de la expresión del coeficiente de reflexión y del cálculo del divisor de tensión, cuando Vg=2. Del divisor de tensión tenemos que

V_i=\dfrac {2 Z_i}{Z_i+Z_0}=\dfrac {Z_i-Z_0}{Z_i+Z_0}+\dfrac {Z_i+Z_0}{Z_i+Z_0}=S_{11}+1

S_{11}=V_i-1

por lo tanto, el parámetro S11 se puede calcular obteniendo la tensión en Vo y restando 1V.

Esquema de nuestro circuito equivalente

Ahora vamos a transformar en esquema eléctrico nuestro circuito equivalente. En principio tenemos un generador de AC de valor 2V, que equivale a Vg y la impedancia de generador y carga de valor Z0. A eso le añadimos un circuito en el punto de Vi consistente en un generador de 1V de AC y una resistencia de valor elevado, para que no circule corriente a través de ella.

Circuito equivalente para analizar S11 y S21 con un análisis en AC

Circuito equivalente para analizar S11 y S21 con un análisis en AC

Usando este circuito equivalente en un cuadripolo, se pueden entonces analizar los parámetros S del mismo usando el análisis AC de cualquier simulador. Es un circuito de mucha utilidad cuando se diseña en alta frecuencia, ya que los analizadores suelen usar los parámetros S para analizar los cuadripolos.

Comprobación del circuito equivalente.

Por último, para comprobar la fiabilidad del circuito equivalente confeccionado, vamos a estudiar el comportamiento de un cuadripolo sencillo, tipo filtro de alta frecuencia, y comparar con el resultado obtenido en un simulador convencional.

Cuadripolo a testear

Cuadripolo a testear

Realizando la simulación en un simulador de alta frecuencia se obtiene el siguiente resultado

Resultado de la simulación del filtro en un simulador de alta frecuencia

Resultado de la simulación del filtro en un simulador de alta frecuencia

Simulamos ahora el filtro en un simulador tipo Electronic Workbench, usando el circuito

Filtro simulado con Electronic Workbench

Filtro simulado con Electronic Workbench

y cuyo resultado es

Resultados en la simulación en Electronic Workbench

Resultados en la simulación en Electronic Workbench

y si lo comparamos con el resultado obtenido con el simulador de alta frecuencia, se puede comprobar que las gráficas son idénticas en módulo y fase.

Conclusiones

En esta entrada hemos conseguido un circuito sencillo que permite simular parámetros S de cualquier cuadripolo en un simulador convencional, no optimizado para el diseño en alta frecuencia. Este circuito nos proporciona una herramienta muy versátil si queremos trabajar con dispositivos que están caracterizados mediante parámetros S, o simplemente simular cuadripolos que después se vayan a medir con un analizador de redes. De esta manera, somos capaces de simular cualquier circuito en nuestro simulador habitual, sin tener que recurrir a otro tipo de simuladores.

REFERENCIAS

  1. T. Rosich; “Simulación de circuitos de RF con SPICE : parte 1”; Revista Española de Electrónica No. 515;  pp. 67-69; ISSN 0482-6396; oct 1997
  2. J. Everard; “Fundamentals of RF Circuit Design”; Wiley; IBSN 0-471-49793-2; 2001

Amplificador de Banda Ultra Ancha con Baja Ganancia y Alto Rango Dinámico

En la siguiente entrada vamos a analizar un tipo de amplificador que tiene la ventaja de funcionar en banda ultra ancha y que presenta un rango dinámico muy elevado, tanto por su baja figura de ruido como por su alto nivel de salida. El cuadripolo presentado funciona usando el principio de realimentación, si bien se sustituye la realimentación clásica de resistencias por una realimentación basada en acoplador direccional. A partir de este momento, conoceremos este tipo de configuración como “realimentación inductiva”.

En muchas ocasiones hemos tenido la necesidad de dotarnos de un amplificador que pueda cubrir un rango muy amplio de banda (en torno a varias octavas) y que mantenga el rango dinámico del dispositivo semiconductor utilizado. Los métodos clásicos de realimentar amplificadores, basados en sistemas resistivos, suelen ser muy eficientes en cobertura de banda, pero tienen el inconveniente de que las resistencias generan ruido térmico y disipan potencia, por lo que el amplificador siempre suele tener más ruido y menos nivel de salida que el transistor convencional.

El sistema inductivo presenta una ventaja considerable con respecto al resistivo convencional: un acoplador direccional es un dispositivo completamente reactivo, por lo que no presenta más pérdidas que las debidas a la resistencia parásita del acoplador, cuya contribución al ruido siempre es inferior a la de una resistencia convencional.

Pero antes de pasar a describir la aplicación, vamos a recordar en qué consiste un sistema realimentado.

SISTEMAS REALIMENTADOS

En Teoría de Sistemas, un sistema realimentado es aquel que toma una muestra de la señal de salida y la compara con la entrada para modificar, estabilizar u obtener una respuesta lo más adecuada posible. Se trata del sistema de control básico, ya que una señal y(t)=A(x(t), t)·x(t) puede variar en función de t y en función de x(t). Debemos recordar que en un sistema lineal, A=cte. Es decir, que en las condiciones básicas de trabajo, una variación de t o de x(t) no deberían influir en A. Por tanto, un amplificador lineal responderá de la forma y(t)=A·x(t), siendo A un valor constante, que es lo que denominamos ganancia.

En la mayoría de los casos, A responde de forma constante, pero al aplicar la transformada de Fourier a nuestro sistema, Y(ω)=A(ω)·X(ω). O sea, que la ganancia A(ω) depende de la frecuencia. Sin embargo, sigue respondiendo como un sistema lineal, ya que no hay dependencia de x(t).

En la mayor parte de los semiconductores usados como amplificadores, la ganancia A(ω) disminuye, del orden de 6dB/oct, por lo que conseguir la misma respuesta en un ancho de banda grande requiere de técnicas de realimentación.

Un sistema realimentado presenta un diagrama de bloques como el de la figura

Sistema realimentado clásico simple

Sistema realimentado clásico simple

La señal de salida Y(ω) se compara con la señal de entrada X(ω) a través de una red pasiva K. La respuesta en frecuencia del sistema es

\dfrac {Y(\omega)}{X(\omega)}=\dfrac {A(\omega)}{1+KA(\omega)}

Por tanto, la ganancia del sistema ya no es A(ω), sino que se ha reducido al dividirla por 1+K·A(ω). Si además elegimos un K·A(ω)>>1 en la zona donde queremos trabajar, podremos ver que la ganancia del sistema realimentado no depende de la zona activa A(ω), sino de la pasiva K. Si elegimos una red de realimentación K que no dependa de la pulsación ω, podremos realizar un dispositivo amplificador que no dependa del dispositivo utilizado, sino exclusivamente de la red de realimentación utilizada para obtener la ganancia

\dfrac {Y(\omega)}{X(\omega)} \approx \dfrac {A(\omega)}{KA(\omega)}=\dfrac {|}{K}

Al sólo depender de K, los sistemas realimentados resistivos suelen ser muy habituales para obtener respuestas en bandas ultra anchas, ya que las resistencias no dependen (salvo por sus comportamientos parásitos propios de la fabricación) de la frecuencia. Es por esto que la mayor parte de la bibliografía dedicada a los amplificadores se dedica a los realimentados resistivos, frente a otro tipo de amplificadores.

AMPLIFICADORES REALIMENTADOS RESISTIVOS

Vamos a ver brevemente cuál es el comportamiento de un amplificador realimentado resistivamente. Primero vamos a analizar el comportamiento de un dispositivo semiconductor, como un transistor bipolar (usaremos un BFG520 de NXP para hacer el análisis, con parámetros S y de ruido para Vce=5V e Ic=15mA), cuya ganancia disminuye a medida que aumenta la frecuencia un orden de 6dB/oct, como se puede ver en la siguiente gráfica.

Respuesta en frecuencia de la ganancia de un transistor bipolar

Respuesta en frecuencia de la ganancia de un transistor bipolar

En la gráfica podemos ver que el valor de la ganancia en 500MHz es de 22dB, mientras que al doble (1GHz) tenemos 16,7dB, lo que implica una caída de 5,3dB en la octava. Con estas características, se plantea el circuito realimentado siguiente

Amplificador realimentado

Amplificador realimentado

cuya ganancia, para una impedancia Z0, se puede calcular usando las expresiones

G \approx 10\log_{10} \left( \dfrac {R_1}{2R_2}\right)

Z_0=\sqrt {R_1R_2}

Para el amplificador propuesto, con R1=500Ω y R2=5Ω, tenemos que Z0=50Ω y G≈17dB. Si representamos la respuesta del transistor convencional con la del realimentado

Ganancia nominal (traza azul) frente a ganancia del amplificador realimentado.

Ganancia nominal (traza azul) frente a ganancia del amplificador realimentado (traza magenta).

Si trazamos asintóticamente una línea en la traza magenta, podremos comprobar que la curva del amplificador realimentado llega a cubrir en ancho de banda hasta la frecuencia donde la ganancia del transistor convencional coincide con la del realimentado. No obstante, como el transistor tiene caída, en la frecuencia donde se corta la asíntota la caída de ganancia es de unos 3dB.

Si calculamos el factor de ruido en el transistor convencional, podemos observar que, a 600MHz, es de 1,5dB para el convencional mientras que es de 2,5dB para el realimentado. Perdemos, por tanto, 1dB de figura de ruido. Por tanto, sacrificamos el factor de ruido para obtener una ganancia prácticamente independiente de la frecuencia en una banda muy ancha.

Si calculásemos un amplificador de 11dB, el ruido subiría en el amplificador realimentado a 3,5dB. Si esto mismo lo aplicásemos a la potencia, veríamos que en nivel de salida, en el primer caso, se pierde 1,5dB de nivel de salida, mientras que en el segundo caso perdemos 2,5dB. Esto implica reducir el rango dinámico de entrada del amplificador entre 3 y 6dB, con el fin de obtener una ganancia constante entre 11 y 17dB.

LA REALIMENTACIÓN INDUCTIVA

La realimentación inductiva consiste en introducir un elemento que compare la señal de salida hacia la entrada usando una red de bajas pérdidas. Como la realimentación es negativa (se compara la señal de salida en contrafase con la señal de entrada), el mejor dispositivo para hacer esta realimentación es el acoplador direccional.

Cuando se quiere cubrir una banda muy ancha, que empiece en frecuencias muy bajas, el método para hacer acopladores direccionales es el transformador de ferrita. De ahí el nombre de inductiva, ya que usa un sistema de acoplamiento inductivo. El esquema eléctrico de un acoplador direccional a transformador es

Acoplador direccional basado en transformador de ferrita

Acoplador direccional basado en transformador de ferrita

donde la transmisión va de la puerta 1 a la 3 (o de a 2 a a 4), la puerta acoplada respecto a la puerta 1 es 2 (o 4 respecto a 3) y la puerta aislada respecto a la puerta 1 es 4 (o 3 respecto a 2). Por tanto, si ponemos la base en la puerta 3 y el colector en la 4, cuando la señal entra por la puerta 1, pasa íntegra a la 3 (entra por base y es amplificada), y parte de la señal del colector va de la puerta 4 a la puerta 3, dependiendo del factor de acoplo, y al estar en contrafase (la fase de la puerta acoplada es π rad), se compara con la señal que viene de la puerta 1, realizando la realimentación. La señal de salida va del colector a la puerta 2 íntegra.

El factor de acoplo del acoplador direccional es función del ratio entre espiras n, siendo n el número de espiras de las bobinas interiores. Se puede calcular usando

C=20\log_{10}(n)

Para calcular un acoplador direccional de 11dB, el ratio de transformación debe ser n≈3,5.

Planteamos entonces el esquema del siguiente amplificador

Amplificador con realimentación basada en acoplador direccional

Amplificador con realimentación basada en acoplador direccional

y representamos la ganancia de este amplificador, para n=3,5

Ganancia del transistor convencional (traza azul) frente al realimentado (traza roja)

Ganancia del transistor convencional (traza azul) frente al realimentado (traza roja)

Podemos ver que trazando la línea asintótica, ocurre lo mismo que en el amplificador realimentado resistivo. Sin embargo, el ruido del amplificador se mantiene igual: si el ruido del transistor es de 1,5dB, el ruido del realimentado es también de 1,5dB, por lo que el ruido se mantiene, mientras que para una ganancia similar en el resistivo, el ruido pasaba a ser 3,5dB. En el caso del nivel de salida, se obtiene lo mismo, debido a que hay transferencia directa de energía sin pérdidas resistivas.

Por tanto, con el acoplador direccional hemos logrado un amplificador con baja ganancia sin perder el rango dinámico que tiene el transistor, lo que muestra la bondad del sistema realimentado por acoplador direccional o realimentación inductiva.

CONCLUSIONES

En esta entrada hemos repasado los amplificadores realimentados y hemos presentado la realimentación inductiva. Hemos analizado la realimentación resistiva en un transistor bipolar BFG520, y hemos hecho una comparativa con una realimentación inductiva. Hemos comprobado que la realimentación inductiva obtiene un mejor rango dinámico cuando se quieren ganancias muy bajas.

Acopladores direccionales de transformador pueden ser encontrados en varios fabricantes de componentes pasivos, o pueden ser diseñados por el propio desarrollador ya que se pueden encontrar ferritas en casi todos los catálogos.

El amplificador puede ser utilizado en etapas de entrada donde se requieran ganancias bajas, tanto por su característica de rango dinámico como por su cobertura de banda, ya que puede abarcar una banda superior a la de una realimentación resistiva.

REFERENCIAS

  1. Rowan Gilmore, Les Besser, “Practical RF Circuit Design for Modern Wireless Systems Vol. II”, Artech House Publishers, Norwood MA (USA), 2003
  2. Patente de invención industrial ES-2107351-B1, “Dispositivo amplicador de banda ancha”, publicada por Ángel Iglesias S.A., Madrid (Spain), 1998

Crecimiento de whiskers sobre capa de estaño y su solución

whiskersLa entrada trata de explicar los motivos físicos que generan la aparición de whiskers sobre superficies de estaño que bañan soportes de cobre o de zinz y los métodos que facilitan la prevención de su aparición. Los whiskers son filamentos de estaño que aparecen debido a las diferencias en la tensión superficial  en la suferficie unión de ambos metales cuando se produce un baño electroquímico. En 2006, el autor, junto a su equipo de desarrollo de I+D, se encontraron con este fenómeno mientras estaban renovando un producto del catálogo de ALCAD. El equipo de I+D, a la vista de este fenómeno, que con el tiempo estropeaba la funcionalidad del producto, sobre todo cuando llevaba almacenado más de tres meses, se propuso estudiar el fenómeno, comprender las causas que lo producen y buscar posibles soluciones para su prevención en futuros desarrollos.

INTRODUCCIÓN

No hay nada mejor que la aparición de fenómenos no controlados para que se produzca Investigación en una empresa. La mayoría de las veces, las empresas privadas usan más de la D que de la I, en el desarrollo de sus productos. Sin embargo, hay ocasiones en las que un desarrollo presenta inconvenientes y fenómenos que no aparecen en el “know how” de la empresa. Estos fenómenos permiten a los equipos de I+D adquirir nuevos conocimientos y aplicarlos en el futuro.

En el año 2006 mi equipo de I+D en ALCAD se encontró un fenómeno que afectaba al correcto funcionamiento de un producto en desarrollo. Un fenómeno totalmente desconocido para nosotros, pero que ya lo habían sufrido otros. Un fenómeno conocido como whiskers. La aparición de este fenómeno producía un defectivo en el producto que estábamos desarrollando. Siendo este producto uno de los más importantes de nuestro catálogo, nos obligó a plantearnos su estudio con mayor profundidad, a fin de buscar una solución, ya que había almacenado material que podría presentar un defectivo de dimensiones considerables. Así que nos pusimos manos a la obra y todo el equipo de I+D implicado nos dispusimos a acabar con este problema.

En inglés, whiskers hace mención a los pelos del bigote de los gatos. En ingeniería mecánica, los whiskers son filamentos metálicos que crecen sobre un material que ha sido bañado con estaño de forma electroquímica. El baño electroquímico de los metales es habitual en la industria, ya que sirve para obtener acabados finos, facilitar la soldabilidad o proteger materiales más propensos a la corrosión. En nuestro caso, el baño electroquímico de estaño se hacía sobre zamak (aleación de zinz, magnesio, aluminio y cobre, muy utilizada en los productos industriales por su facilidad para la inyección en molde), a fin de facilitar la soldabilidad del zamak, ya que éste no es soldable, y proporcionar un acabado al producto. Por tanto, conocer el fenómeno y sus posibles soluciones era importante para nuestro equipo de I+D.

WHISKERS DE ESTAÑO SOBRE ZAMAK

El fenómeno aparecía en los chasis de zamak que debían presentar un acabado de baño de estaño para poder realizar soldaduras en el soporte, pues el zamak no permite soldadura convencional.

El problema surgió cuando, después de un tiempo almacenado el material, el producto, que consistía en un amplificador de banda estrecha, con un filtro de cavidad ajustado a un canal de 8MHz, presentaba desviaciones en su respuesta eléctrica. Esto obligaba a un reprocesado del filtro en Producción. En versiones anteriores del mismo producto, la una característica de ajuste en Producción obligaba a sendos ajustes en el tiempo: el primero, realizado durante el ensamblado del producto y el segundo, a las 24 horas del primer ajuste. Una vez realizados ambos ajustes, el filtro de cavidad permanecía estable, aunque se recomendaba un tercer ajuste si el producto quedaba almacenado más de 3 meses (rotación del almacén).

Sin embargo, durante el desarrollo de este producto, el equipo de I+D descubrió que el filtro no permanecía estable y que, además, el deterioro en la respuesta crecía con el tiempo. Lo que implicaba que, a pesar de hacer un tercer ajuste, no se podía asegurar que el filtro se mantuviese estable, lo que podía llevar a un proceso sin fin.

Lo que al principio parecía un problema de componentes electrónicos, con un lote defectivo de condensadores, se convirtió en un fenómeno nuevo para nuestro equipo: habíamos generado, sin quererlo, whiskers sobre la superficie de estaño.

Crecimiento de los filamentos de estaño

Crecimiento de los filamentos de estaño

Como he dicho anteriormente, los whiskers son cristales tipo filamento que crecen sobre la superficie de estaño que baña el zamak. Son cristales tan finos que son quebradizos cuando se pasa la mano sobre la superficie, y funden cuando les atraviesa una corriente de cortocircuito, que no tiene por qué ser muy elevada. En el caso del filtro se producía una disminución volumétrica de la cavidad, y esto  modificaba la frecuencia de resonancia del filtro, desplazando la respuesta a frecuencias más altas y desadaptando el filtro.

Al estudiar el fenómeno, descubrimos que se conocía desde los años 40 y que incluso la NASA estudió el fenómeno con gran profundidad, por lo que parte del camino estaba hecho: comprobamos que tenía que ver con el tipo de superficie de contacto entre ambos materiales y el grosor aplicado al baño de estaño. También intervenía la tensión superficial de ambos materiales y la temperatura de funcionamiento. En resumen, el crecimiento de los whiskers se regía bajo las expresiones formuladas por la Dr. Irina Boguslavsky y su colaborador Peter Bush:

h_1=k_1 \dfrac {\sigma}{R_W \cdot T}

h_2=k_2 \left( {\sigma}- \dfrac {k_3}{L_W} \right)^n

Según las observaciones experimentales realizadas, ambas expresiones seguían con bastante precisión el crecimiento de los whiskers observados en las capas de estaño. En las expresiones, σ representa la fuerza de stress, relacionada con la tensión superficial, LW está relacionado con grosor de la unión y n es un valor que depende de la densidad en el desplazamiento y de la temperatura T. Los términos k1, k2 y k3 son constantes que dependen de las propiedades de los materiales utilizados y RW es el radio del filamento. Los términos h1 y h2 se refieren al crecimiento del filamento cuando ya se ha producido éste en la zona de unión (h1) y en el momento en el que se produce (h2).

Crecimiento del filamento de estaño a los 3 y a los 6 meses

Crecimiento del filamento de estaño a los 3 y a los 6 meses

Nótese de estas expresiones que a menor LW, el término de la expresión de h2 crece ya que es una función exponencial en términos de n>>1. Por tanto, el grosor del baño es una de las variables que hay que controlar. En nuestro caso, el grosor del baño había sido disminuido de 20μm a 6-8μm debido a que el producto en desarrollo incorporaba conector roscado de tipo “F”, en lugar de el antiguo conector DIN de 9 ½ mm. Como los conectores se obtenían en el proceso de moldeo y posterior roscado, que se realizaban antes de proceder al baño de estaño, un baño de 20μm no permitía el mantemiento de la rosca del conector.

El otro término, σ, está relacionado con las tensión superficial que se producía en la unión, y depende exclusivamente de los materiales utilizados. Estudiando con el fabricante de los baños distintos grosores para el baño de estaño, comprobamos que las expresiones se ajustaban, ya que para grosores mayores el crecimiento era mucho mayor que para menores, pero que siempre había tendencia a que saliese, aunque en menor medida en baños de 20μm. Una vez realizado el baño, las fuerzas de stress generadas por la tensión superficial del zamak “empujaban” a los átomos de estaño hacia el exterior, con el fin de mantener la posición de equilibrio. A ellas se oponía la tensión superficial del estaño. Pero con menor grosor del baño, la fuerza generada en la superficie de contacto era superior a la de la superficie del estaño, y al tener menos grosor, las fuerzas internas que se oponían a la fuerza de la superficie eran más débiles, permitiendo el crecimiento al exterior del filamento.

POSIBLES SOLUCIONES AL CRECIMIENTO DE LOS FILAMENTOS

Una de las soluciones que aportaron desde Lucent Technologies era la realización de un baño intermedio de níquel, depositado entre la aleación de zinz y el baño de estaño.

Baño intermedio de Ni químico entre el Sn y la aleación de Zn

Baño intermedio de Ni químico entre el Sn y la aleación de Zn

El equipo de materiales de Lucent Tech., después de varios experimentos, encontró que el crecimiento de los whiskers se eliminaba notablemente, llegando a valores prácticamente nulos.

Crecimiento de ambos tipos de baño de estaño (brillante y con antimonio).

Crecimiento de ambos tipos de baño de estaño (brillante y satinado).

En las gráficas podemos ver que el crecimiento del estaño brillante sobre una superficie de cobre, que presenta similar comportamiento que el zamak, a los 2 meses crece rápidamente. Sin embargo, cuando se le aplica una capa intermedia de Ni, el crecimiento se queda en valor nulo. En el caso del estaño satinado, el crecimiento se produce a los 4 meses, y es levemente inferior. Aplicando Ni, el crecimiento se anula.

El grosor del baño de níquel podía ser de entre 1μm y 2μm, mientras que el grosor del estaño se podría mantener en torno a 8μm. De este modo, se evitaba el defectivo del roscado al mismo tiempo que se eliminaban los filamentos. Sin embargo, el proceso era bastante caro, por lo que esta opción quedó descartada.

Por tanto, nos encontrábamos frente a un problema: cómo vencer al fenómeno, que implicaba aumentar el grosor de la superficie que baña al zamak, pero que también provocaba que desapareciese el roscado del conector “F”. Una modificación del molde para dotar de más material al conector era costosa y conllevaba bastante tiempo de modificación al tener que realizar postizos en el mismo. Sin embargo era la idónea para corregir el proceso.

El problema se planteaba con el material almacenado y el material en proceso. El material almacenado ya no podía ser reprocesado puesto que estaba montado y ya no se podía bañar de nuevo. La solución intermedia fue eliminar los cristales de estaño que habían crecido mediante su limpieza con aire comprimido.

Sobre el material en proceso (piezas desmoldeadas sin bañar), se aplicó una solución temporal que consistía en la sustitución del baño de estaño por baño de plata. La plata es soldable y se puede aplicar en capas muy finas manteniendo las características, pero presenta el inconveniente de que su óxido proporciona un acabado sucio y con manchas, afectando a la estética del producto.

Al final, el estudio en profundidad del fenómeno hizo que la opción de incrementar el grosor del estaño se convirtiese estándar y eliminado el defectivo del roscado mediante el uso de una terraja que realizase el roscado sobre el material, hasta que se realizase la modificación del molde, modificando el postizo de los conectores roscados para que un baño de 10 a 20 micras no obturase las roscas.

CONCLUSIÓN

Los whiskers de estaño es un fenómeno poco entendido, se produce a nivel microscópico y parece que sólo ha sido estudiado por agencias y laboratorios de investigación nacionales, con fuertes presupuestos y dotados con medios adecuados para la observación del fenómeno.

En España se han encontrado pocos, o prácticamente ningún laboratorio, que estudiase este fenómeno en profundidad, que tiene su aparición preferentemente en la industria, por la manipulación de los materiales, por lo que casi todo el trabajo fue realizado por el equipo de investigación y desarrollo de la empresa, adquiriendo el conocimiento del medio suficiente para corregirlo y evitar que aparezca en un futuro.

Sin embargo, hay muchos artículos relacionados con el fenómeno, lo que nos permitió conocerle, analizar sus causas y sus posibles soluciones.

Referencias:

[1] H. Livingston, “GEB-0002: Reducing the Risk of Tin Whisker-Induced Failures in Electronic Equipment”; GEIA Engineering Bulletin, GEIA-GEB-0002, 2003

[2] B. D. Dunn, “Whisker formation on electronic materials”, Circuit World, vol. 2, no. 4, pp.32 -40 1976

[3] R. Diehl, “Significant characteristics of Tin and Tin-lead contact electrodeposits for electronic connectors”, Metal Finish, pp.37-42 1993

[4] D. Pinsky and E. Lambert, “Tin whisker risk mitigation for high-reliability systems integrators and designers”, Proc. 5th Int. Conf. Lead Free Electronic Components and Assemblies, 2004

[5] Chen Xu, Yun Zhang, C. Fan and J. Abys, “Understanding Whisker Phenomenon: Driving Force for Whisker Formation”, Proceedings of IPC/SMEMA Council APEX, 2002

[6] I. Boguslavsky and P. Bush, “Recrystallization Principles Applied to Whisker Growth in Tin”, Proceedings of IPC/SMEMA Council APEX, 2003

El PLL digital (y II)

Hablábamos en la entrada anterior del ADPLL de primer orden. En esta entrada vamos a analizar el ADPLL de segundo orden, su función de transferencia y su respuesta.

DIAGRAMA DE BLOQUES GENERALIZADO DE UN ADPLL

En la entrada anterior pudimos ver cómo era el diagrama de bloques de un ADPLL. Como en el caso analógico, tenemos un comparador de fase, un filtro de lazo y un VCO, con sus funciones de transferencia en Transformada Z.

Diagrama de bloques del PLL digital

Diagrama de bloques del PLL digital

El filtro de lazo generalizado tiene un diagrama de bloques que es

Diagrama de bloques de un filtro de lazo digital

Diagrama de bloques de un filtro de lazo digital

Por lo que la función de transferencia del ADPLL generalizado es

\hat \Theta (z)=\dfrac {\alpha (z-1)+\beta}{(z-1)^2 +\alpha(z-1)+\beta}\Theta(z)

Y como el término del denominador de la función de transferencia es (z-1) al cuadrado, tenemos un sistema de segundo orden.

Vamos a estudiar la respuesta de este sistema a una señal del tipo escalón, de la forma

\theta [n]=\dfrac {\pi}{4}u[n]

RESPUESTA DE UN ESCALÓN A UN ADPLL DE SEGUNDO ORDEN

En el ADPLL de segundo orden tenemos que la respuesta a un escalón es:

\hat \Theta (z)=\dfrac {\pi}{4} \dfrac{z}{z-1} \dfrac {\alpha z-(\alpha-\beta)}{z^2 -(2-\alpha)z+(1-\alpha+\beta)}\Theta(z)

Para obtener la estimación de fase, deberemos resolver la inversa de la Transformada Z de esta expresión. Para ello, lo que hacemos es dividir la transformada en suma de transformadas, obteniendo

\hat \Theta (z)=\dfrac {\pi}{4}z \left[\dfrac{1}{z-1} - \dfrac {z-1}{z^2 -(2-\alpha)z+(1-\alpha+\beta)}\right]

Y ahora debemos poner el segundo término como suma de dos términos en z

\dfrac {z-1}{z^2 -(2-\alpha)z+(1-\alpha+\beta)}=\dfrac {A}{z-p_1}+\dfrac {B}{z-p_2}

con

p_{1,2}= \dfrac { (2-\alpha) \pm \sqrt {\alpha^2-4 \beta}}{2}

Y resolviendo estos términos, obtenemos que

\hat \Theta (z)=\dfrac {\pi}{4} \left[ \dfrac {z}{z-1} - \left( \dfrac {1}{2}- \dfrac {\alpha}{2 \sqrt {\alpha^2-4 \beta}} \right) \dfrac {z}{z-p_1} - \left( \dfrac {1}{2}+ \dfrac {\alpha}{2 \sqrt {\alpha^2-4 \beta}} \right) \dfrac {z}{z-p_2}  \right]

\hat \theta [n]=\dfrac {\pi}{4} \left[ 1 - \left( \dfrac {1}{2}- \dfrac {\alpha}{2 \sqrt {\alpha^2-4 \beta}} \right) \left (\dfrac { (2-\alpha) + \sqrt {\alpha^2-4 \beta}}{2} \right)^n - \left( \dfrac {1}{2}+ \dfrac {\alpha}{2 \sqrt {\alpha^2-4 \beta}} \right) \left (\dfrac { (2-\alpha) - \sqrt {\alpha^2-4 \beta}}{2} \right)^n \right]u[n]

Y aquí obtenemos varios resultados a estudiar. Vamos a suponer, primero, que β=0. Sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos que la estimación de fase es

\hat \theta[n]=\dfrac {\pi}{4} \left[ u[n] - (1-\alpha)^n u[n] \right]=\dfrac {\pi}{4} u[n]\left[ 1 - (1-\alpha)^n \right]

que es la estimación de fase obtenida en la entrada anterior.

Vamos a estudiar el caso de que α=0. Los polos p1 y p2 quedan ahora como siguen:

p_1= \dfrac { 2 + \sqrt {-4 \beta}}{2}=1+j\sqrt {\beta}=\sqrt {1+\beta ^2} e^{j\tan^-1 ({\beta})}

p_2= \dfrac { 2 - \sqrt {-4 \beta}}{2}=1-j\sqrt {\beta}=\sqrt {1+\beta ^2} e^{-j\tan^-1 ({\beta})}

y la estimación de fase queda

\hat \theta[n]=\dfrac {\pi}{4} u[n]\left[ 1 - \sqrt[n] {1+\beta ^2}\cos (n\tan^-1 ({\beta})) \right]

y podemos ver que se trata de una función que tiende a ser inestable, ya que el término en cuadrado de β tiende a crecer a medida que crece n, ya que el coseno es una función acotada. Por tanto, siempre tiene que haber un término α para que el ADPLL enganche.

De la expresión obtenida para la estimación de fase general, y del estudio de las condiciones particulares, hemos obtenido que α≠0. La siguiente condición que se tiene que dar para que el lazo enganche es que

\alpha^2 - 4 \beta < 0

De este modo obtenemos como resultado que

\hat \theta[n]=\dfrac {\pi}{4} u[n]\left[ 1 - \sqrt[n] {1-\alpha+\beta ^2}\left(\cos \left( n\tan^-1 \dfrac{\sqrt{4 \beta-\alpha^2}}{2-\alpha}\right)-\dfrac {\alpha}{\sqrt {4\beta-\alpha^2}}\sin \left( n\tan^-1 \dfrac{\sqrt{4 \beta-\alpha^2}}{2-\alpha}\right)\right) \right]

y si representamos esta función en el dominio de n, podremos comprobar que se trata de una función cosenoidal amortiguada.

Estimación de fase en el dominio del tiempo

Estimación de fase en el dominio del tiempo

COMPARATIVA CON EL PLL ANALÓGICO DE SEGUNDO ORDEN

Si comparamos la función de transferencia del ADPLL de segundo orden con la del PLL analógico, podremos sacar la interrelación entre la pulsación natural del lazo ωn, el coeficiente de amortiguamiento ξ y α, β, que son

\hat \Theta (s)=\dfrac {\alpha K_Vs+ \beta K_V^2}{s^2 +\alpha K_V s +\beta K_v^2} \Theta(s)

que comparamos con

H(s)=\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}

e igualando términos obtenemos que

\omega_n=K_v \sqrt {\beta}

\xi=\dfrac {\sqrt {\beta}}{2 \alpha}

donde obtenemos una relación directa entre los diferentes términos del ADPLL y el PLL analógico.

CONCLUSIÓN

En esta entrada hemos ampliado el estudio del ADPLL al segundo orden y hemos podido comprobar las condiciones que se deben dar para que se produzca enganche, así como la interrelación entre el ADPLL digital y su equivalente en analógico

Con esta entrada finalizamos el estudio del lazo de enganche de fase en ambas tecnologías, analógica y digital. El lazo de enganche de fase es uno de los sistemas de realimentación más utilizados en Telecomunicaciones, tanto para generar señales muy estables como para demodular señales o comparar fases, y conocer su metodología ayuda enormemente al diseño de este tipo de dispositivos.

Referencias

  1. C. Joubert, J. F. Bercher, G. Baudoin, T. Divel, S. Ramet, P. Level; “Time Behavioral Model for Phase-Domain ADPLL based frequency synthesizer”; Radio and Wireless Symposium, 2006 IEEE, January 2006
  2. S. Mendel, C. Vogel;”A z-domain model and analysis of phase-domain all-digital phase-locked loops”; Proceedings of the IEEE Norchip Conference 2007, November 2007
  3. R. B. Staszewski, P. T. Balsara; “Phase-Domain All-Digital Phase-Locked Loop”; IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs; vol. 52, no. 3, March 2005

 

 

 

 

EL PLL Digital (I)

En las entradas anteriores se analizaron las PLL analógicas y su comportamiento. En los sistemas digitales, del mismo modo que en los analógicos, podemos tener también lazos de enganche de fase digitales, en los que comparamos una fase, muestreada de forma discreta, y  le aplicamos una realimentación usando un comparador de fase digital y un VCO digital. En forma de diagrama de bloques, la forma más representativa de un PLL digital o ADPLL (All Digital Phase Locked Loop) es el que aparece en la figura, donde tenemos un VCO digital que genera una fase, que es comparada con la fase de entrada a través del comparador de fase (comparador en diferencia). Un filtro de lazo H(z) completa la realimentación, del mismo modo que ocurría en los PLL analógicos.

Un PLL analógico tiene combinaciones de circuitos analógicos y digitales. Sin embargo un ADPLL es un sistema donde todos los mecanismos que intervienen en la generación de la fase son digitales. Por eso el nombre de ADPLL.

La herramienta matemática para analizar un ADPLL, así como en analógico era la transformada de Laplace, es la transformada z, un mecanismo matemático que desplaza las señales discretas del espacio temporal no lineal a otro dominio donde las relaciones son lineales. Además, hay una relación directa entre la trasformada de Laplace y la transformada z, ya que la variable z es

z=e^{sT}

siendo s la variable independiente de Laplace y T el periodo de muestreo utilizado.

En realidad, el comparador de fase digital es bastante más complejo que lo que muestra nuestro diagrama de bloques. Sin embargo, para estimaciones de fase muy pequeñas podemos poner el comparador de fase como la diferencia entre la fase de entrada y la estimación de fase. En otra entrada analizaremos el comparador de fase digital con más profundidad.

Funcionamiento de un ADPLL

A la vista del diagrama, podemos ver que hay tres bloques principales:

  • Comparador de fase: es un dispositivo que da como resultado la diferencia entre la fase de entrada y la estimación de fase generada por un VCO. En realidad, el comparador de fase es algo más complejo, pero para valores pequeños de la diferencia de fase de entrada y la fase generada por el VCO podemos aproximar el error de fase a dicha diferencia.
  • Filtro de lazo: es un filtro digital que puede tener componentes de primer o segundo orden, transformando el lazo en un ADPLL de primer o orden, en función de su función de transferencia H(z). La función de transferencia estándar en el dominio de z de un filtro de lazo digital es
Diagrama de bloques de un filtro de lazo digital

Diagrama de bloques de un filtro de lazo digital

H(z)={\alpha}+\dfrac {{\beta} z^{-1}}{1-z^{-1}}

  • VCO digital: es un dispositivo digital que genera una fase en función de un nivel de entrada, siendo ambos discretos en el tiempo. En el dominio de Laplace, corresponde con un integrador, y su función de transferencia en el dominio de z es

VCO(z)=\dfrac {K_v T z^{-1}}{1-z^{-1}}

donde Kv es la ganancia del VCO (similar al analógico) y T es el periodo de muestreo utilizado.

Por tanto, volviendo a recuperar nuestro diagrama de bloques

Diagrama de bloques del PLL digital

Diagrama de bloques del PLL digital

podremos calcular la función de transferencia que relaciona la estimación de fase y la fase de entrada.

\hat {\theta}(z)=\dfrac {{\alpha}  (z-1)+{\beta}}{(z-1)^2 + {\alpha}  (z - 1) + {\beta}}  {\theta}(z)

Podemos comparar esta función de transferencia con la función de transferencia de un PLL analógico, que es

H(s)=\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\xi}{\omega}_n  s +{{\omega}_n}^2}

y veremos que se trata de un ADPLL de segundo orden.

ADPLL de primer orden

En esta primera entrada dedicada al ADPLL vamos a analizar el sistema de primer orden. Podemos ver, a partir de la función de transferencia obtenida, que si β=0, ésta se reduce a la expresión

\hat {\theta}(z)=\dfrac {\alpha}{(z-1) + {\alpha}} \ {\theta}(z)

y tendremos un ADPLL de primer orden. Vamos a ver ahora lo que ocurre cuando la fase de entrada cambia bruscamente, cuando introducimos una señal escalón

{\theta}[n] = \dfrac {\pi}{4}  u[n]

donde u[n] es una función de pulsos unidad discretos, en el dominio temporal n (muestras de fase). La forma de la función es

Forma de onda de la señal escalón

Forma de onda de la señal escalón

y su transformada z es

{\theta}(z)=\dfrac {\pi}{4} \dfrac {1}{1-z^{-1}}

Al sustituir esta expresión en la función de transferencia, obtenemos que la estimación de fase es

\hat {\theta}(z)=\dfrac {\pi}{4}  \dfrac {\alpha}{z-(1- {\alpha})}  \dfrac {1}{z-1}

Para resolver la transformada inversa de la estimación de fase, factorizaremos esta expresión, obteniendo el siguiente resultado

\hat {\theta}(z)=\dfrac {\pi}{4} \left[ \dfrac {z}{z-1}-\dfrac {z}{z-(1-{\alpha})} \right]=\dfrac {\pi}{4} \left[ \dfrac {1}{1-z^{-1}}-\dfrac {1}{1-(1-{\alpha})  z^{-1}} \right]

Y sabiendo que

Z(a^n  u[n])=\dfrac {1}{1-a  z^{-1}}

obtenemos como resultado la expresión

\hat {\theta}(n)=\dfrac {\pi}{4}  \left[1-(1-{\alpha})^n \right]  u[n]

y esta es una señal que, cuando n=0, vale 0, creciendo lentamente a medida que n sube, siempre que la diferencia 1–α<1. Si esa diferencia es mayor que la unidad, el ADPLL nunca engancharía. Esta es la condición para que el ADPLL tenga enganche.

Por tanto, si elegimos un α=0,5, obtendremos que la estimación de fase es una curva de la forma

Curva de la estimación de fase en el dominio del tiempo discreto

Curva de la estimación de fase en el dominio del tiempo discreto

Por tanto, cuando n→∞, si el ADPLL está diseñado correctamente, la estimación de fase debería seguir a la fase de entrada (condición de enganche).

La respuesta es similar a la del PLL analógico de primer orden, en el que la función de transferencia sería de la forma

\hat {\theta}(s)=\dfrac {{\omega}_n}{s+{\omega}_n}  {\theta}(s)

Para pasar del dominio de z al dominio de Laplace, hay que tener en cuenta la expresión del inicio y si elegimos un periodo de muestreo T tal que s·T<<1, podemos desarrollar esa expresión en un polinomio de la forma

z=e^{s  T}=1+s  T + O \left( (s  T)^2 \right)

y despreciando los términos superiores a 2, obtendremos que

z-1=s  T

y si sustituimos en la función de transferencia en z, podemos ver que

\hat {\theta}(s)=\dfrac {\alpha}{s  T+{\alpha}} {\theta}(s)=\dfrac {\dfrac {\alpha}{T}}{s+\dfrac{\alpha}{T}}  {\theta}(s)

Y como α es adimensional, el término α/T tiene unidades de pulsación. Esa pulsación determinará el tiempo de enganche del ADPLL, para obtener a la salida una estimación de fase que siga a la de la entrada.

Conclusión

En esta entrada hemos analizado el lazo de seguimiento de fase digital, y nos hemos centrado en analizar el caso del lazo de primer orden de un ADPLL lineal . Hemos observado las analogías existentes entre un PLL analógico y un ADPLL y cómo se pueden interrelacionar, así como la respuesta a una señal escalón del un ADPLL de primer orden.

En la siguiente entrada analizaremos el ADPLL de segundo orden y sus múltiples respuestas en función de los parámetros elegidos para realizar el filtro de lazo.

Referencias

  1. C. Joubert, J. F. Bercher, G. Baudoin, T. Divel, S. Ramet, P. Level; “Time Behavioral Model for Phase-Domain ADPLL based frequency synthesizer”; Radio and Wireless Symposium, 2006 IEEE, January 2006
  2. S. Mendel, C. Vogel;”A z-domain model and analysis of phase-domain all-digital phase-locked loops”; Proceedings of the IEEE Norchip Conference 2007, November 2007
  3. R. B. Staszewski, P. T. Balsara; “Phase-Domain All-Digital Phase-Locked Loop”; IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs; vol. 52, no. 3, March 2005

El PLL analógico y su simulación (y IV)

En esta entrada vamos a analizar el PLL como herramienta para la demodulación de señales analógicas moduladas en argumento, ya que es una de las maneras de transmitir información a través del espacio libre usando transmisión paso banda, a frecuencias más altas. Vamos a usar la modulación FM, porque es la más utilizada como transmisión en telecomunicaciones.

Para entender el principio de funcionamiento del PLL como demodulador de señales FM, vamos a hacer una breve introducción al principio de la modulación en argumento.

MODULACIÓN EN ARGUMENTO: PRINCIPIOS BÁSICOS

Denominamos modulación en argumento a una modulación paso banda en el que la información a transmitir, que denominamos banda base, viaja contenida en el argumento de la señal transmisora. A esta señal transmisora la denominaremos señal modulada, mientras que la señal en banda base la denominaremos señal moduladora. Así pues, si la señal banda base a transmitir es una señal x(t), transmitida sobre una señal cuya pulsación es ωo, la señal resultante será

y(t)=A\cos( \varphi(t))=A\cos({\omega_0}t+{\theta}(t))

El argumento de la señal que estamos transmitiendo, entonces, es

\varphi(t)={\omega_0}t+{\theta}(t)

Si la modulación es en fase (modulación PM), la señal viaja en argumento y tendremos que

\varphi(t)={\omega_0}t+{\theta}(t)={\omega_0}t+m_{PM}x(t)

donde mPM es el índice de modulación para la señal modulada en PM. En el caso de que la modulación viaje en la frecuencia (modulación FM), calculamos la pulsación instantánea calculando la derivada respecto al tiempo del argumento de la señal:

\omega(t)=\dfrac {d \varphi(t)}{dt}={\omega_0}+\dfrac {d{\theta}(t)}{dt}={\omega_0}+m_{FM}x(t)

donde mFM es el índice de modulación para la señal modulada en FM. De esta expresión tenemos que

\dfrac {d{\theta}(t)}{dt}=m_{FM}x(t)

por lo que tendremos que

{\theta}(t)=m_{FM} \displaystyle \int_0^t {x(t)dt}

Por tanto, nuestra señal FM será

y_{FM}(t)=A\cos \left( {\omega_0}t+m_{FM} \displaystyle \int_0^t {x(t)dt} \right)

La ventaja de la modulación FM sobre la modulación en amplitud es notoria, ya que al viajar la información en el argumento, es muy inmune al ruido térmico y a la distorsión, aunque no es inmune a la interferencia ni al ruido de fase de los osciladores. Con la interferencia la señal puede verse mezclada con la señal indeseada (lo veremos al analizar la PLL como demodulador) y con el ruido de fase, se introduce ruido sobre la señal banda base que reduce la calidad de la misma.

ANÁLISIS DE UN PLL COMO DEMODULADOR DE FM

El diagrama de bloques de un PLL como demodulador de FM es

Diagrama de bloques de un PLL como demodulador de FM

Diagrama de bloques de un PLL como demodulador de FM

La señal de FM entra en el PLL a través de comparador de fase, y es comparada con un VCO de la misma frecuencia que la señal modulada. A la salida del filtro de lazo se obtiene la señal original x(t). Si analizamos

{\varphi}_{FM}(t)={\omega_0}t+{\theta}(t)={\omega_0}t+m_{FM} \displaystyle \int_0^t {x(t)dt}

en el dominio de Laplace tenemos que:

{\Psi}_{FM}(s)=\dfrac {\omega_0}{s^2}+{\Theta}(s)=\dfrac {\omega_0}{s^2}+m_{FM} \dfrac {X(s)}{s}

El primer término corresponde a la transformada de ωo·t, mientras que el segundo corresponde a la integración de x(t).

El VCO proporciona un argumento ωo·t, por lo que

{\Psi}_{VCO}(s)=\dfrac {2{\pi}K_V}{s} \Xi_{phase}(s)

Siendo Ξphase(s) la señal de sintonía que ataca al VCO. Además, si la función de transferencia del PLL es H(s), podremos poner

{\Psi}_{VCO}(s)=\dfrac {2{\pi}K_V}{s} \Xi_{phase}(s)=H(s) \left[ {\dfrac {\omega_0}{s^2}+m_{FM} \dfrac {X(s)}{s}} \right]

y de aquí obtenemos que

\Xi_{phase}(s)=\dfrac {H(s)}{2{\pi}K_V} \left[ {\dfrac {\omega_0}{s}+m_{FM} {X(s)}} \right]

En las entradas anteriores habíamos obtenido que la función de transferencia H(s) es un filtro paso bajo, generalmente de primer o segundo orden, por lo que eligiendo la pulsación natural del lazo de un valor mayor a la anchura de banda de la señal X(s), podemos obtener que:

\Xi_{util}(s)=\dfrac {\omega_0}{{2{\pi}K_V}s}+\dfrac {m_{FM}}{2{\pi}K_V}X(s)

Vamos a ver ambos términos. El primero es la transformada de Laplace de un escalón unitario

{\mathcal L}^{^-1} \left[ {\dfrac {\omega_0}{{2{\pi}K_V}s}} \right] =\dfrac {\omega_0}{{2{\pi}K_V}}u(t)=\dfrac {f_0}{K_V}u(t)

donde u(t) es la señal escalón y como KV es la respuesta del VCO a una tensión de control, nos da como resultado una componente DC que corresponde a la tensión que sintetiza fo.

Hay que recordar que KV no es estrictamente lineal, sino que es función de la frecuencia (KV(f)). No obstante, si el índice de modulación no es muy elevado y hay poca excursión frecuencial , podemos considerar en el entorno de f0 a KV como una constante. Esto afectaría al segundo término, que es la propia señal X(s) multiplicada por un valor que tiene en el denominador a KV. Si KV depende de la frecuencia, la transformada inversa es bastante más compleja. Pero al ser aproximado KV por una constante, sólo aparece X(s) como función de la variable s=j·ω , por lo que podemos obtener el valor de la señal. En resumen, tendremos que la transformada inversa es

\xi_{util}(t)=\dfrac {\omega_0}{2{\pi}K_V}u(t)+\dfrac {m_{FM}}{2{\pi}K_V}x(t)

Señal de sintonía útil para el VCO.y eliminando la componente de DC mediante un condensador de desacoplo, obtendremos que

\xi_{demod}(t)=\dfrac {m_{FM}}{2{\pi}K_V}x(t)

Por tanto, con el PLL podremos demodular una señal modulada en FM a través de su salida del filtro de lazo.

Como podemos ver a lo largo de la explicación, la influencia de una señal interferente se puede sumar al argumento demodulado y montarse sobre la señal deseada, aplicando superposición, ya que el PLL encuentra dos frecuencias similares y no es capaz de discernir cuál de ellas es la útil.

También podemos ver que si hay un ruido de argumento θn(t), tendremos que

\Xi_{phase}(s)=\dfrac{H(s)}{2{\pi}K_V} \left[ \dfrac {\omega_0}{s}+m_{FM}X(s)+s{\Theta_n}(s) \right]

por lo que el ruido de fase quedaría filtrado por el H(s) salvo en las frecuencias correspondientes a X(s), ruido que llamaremos ΘnBW(s). Aplicando la transformada inversa, obtendremos que

\xi_{util}(t)=\dfrac {\omega_0}{2{\pi}K_V}u(t)+\dfrac {m_{FM}}{2{\pi}K_V}x(t)+\dfrac {d{\Theta_{nBW}}(t)}{dt}

La influencia de este ruido, en analógico no suele ser muy grande, pero en digital puede provocar “jitter” en los flancos de subida y bajada de la señal demodulada, que habría que tratar mejorando el ruido de fase de los osciladores.

DISEÑO DE UN PLL PARA DEMODULAR UNA SEÑAL FM

Vamos a suponer un PLL que tenga los siguientes parámetros:

  • Kd=1 V/rad
  • KV= 10 KHz/V

y usamos una señal moduladora cosenoidal

x(t)=A_{mod} \cos {\left( \omega_{mod}t \right)}

con fmod=5 KHz. La señal modulada tiene una frecuencia fo=100 MHz, por lo que la señal FM será

y_{FM}= A \cos { \left( 2{\pi} \cdot 100 \cdot 10^6\cdot t + m_{FM}A_{mod} \displaystyle \int_0^t {\cos {\left( 2{\pi} \cdot 5 \cdot 10^3\cdot t \right)} dt} \right)}

Nuestro filtro de lazo va a ser un filtro del tipo

F(s)=\dfrac {1+{\tau_2}s}{{\tau_1}s}

La función de transferencia H(s) es:

H(s)=\dfrac {{\Psi_{VCO}}(s)}{{\Psi_I}(s)}=\dfrac {K {\dfrac {1+{\tau_2}s}{{\tau_1}s}}}{s+\dfrac {1+{\tau_2}s}{{\tau_1}s}}

K=2{\pi} K_D K_V=2{\pi} \cdot 10^4

De aquí obtendremos que

H(s)=\dfrac {{\Psi_{VCO}}(s)}{{\Psi_I}(s)}=\dfrac {2{\pi} \cdot 10^4 \cdot {\tau_2}s+2{\pi} \cdot 10^4}{ {\tau_1}s^2 +2{\pi} \cdot 10^4 \cdot {\tau_2} \cdot s +2{\pi} \cdot 10^4} =\dfrac {2{\pi} \cdot 10^4 \cdot \dfrac {\tau_2}{\tau_1}s+\dfrac {2{\pi} \cdot 10^4}{\tau_1}}{ s^2 +2{\pi} \cdot 10^4 \cdot \dfrac {\tau_2}{\tau_1} \cdot s +\dfrac {2{\pi} \cdot 10^4}{\tau_1}}

y además, tendremos que

H(s)=\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}

por lo que

{\tau_1}=\dfrac {2{\pi} \cdot 10^4}{\omega_n^2}

{\tau_2}=\dfrac {2{\xi}}{\omega_n}

Como tenemos que filtrar por encima de 5 KHz, podemos elegir una frecuencia natural de lazo de 10KHz, y un amortiguamiento de 0,707. Entonces las constantes de tiempo del filtro de lazo son:

{\tau_1}=\dfrac {2{\pi} \cdot 10^4}{\left( {2{\pi} \cdot 6 \cdot 10^3} \right)^2}=15,92 {\mu}s

{\tau_2}=\dfrac {2 \cdot 0,707}{2{\pi} \cdot 6 \cdot 10^3}=22,51 {\mu}s

Eligiendo filtro del tipo

Filtro de lazo de primer orden

Filtro de lazo de primer orden

tendremos que

\tau_1=R_1C_1

\tau_2=R_2C_1

Y si R2=10KΩ, tendremos que

C_1= \dfrac {\tau_2}{R_2}=\dfrac{22,51 {\mu}s}{10^4}=2,25nF \approx 2n2

R_1= \dfrac {\tau_1}{C_1}=\dfrac{15,92 {\mu}s}{2,25nF}=7,07k{\Omega} \approx 6k8

SIMULACIÓN DE UN PLL COMO DEMODULADOR DE FM

En algunos simuladores podemos usar bloques para estudiar el comportamiento como demodulador de FM de un PLL. Sin embargo, no todos los simuladores contienen en sus librerías estos bloques.

Sí se puede hacer un estudio, sin embargo, de la función de transferencia en el punto de sintonía del PLL, que marcaremos como x(t). El diagrama de bloques de nuestro PLL será, entonces

PLL para calcular la respuesta en frecuencia del filtro anterior

PLL para calcular la respuesta en frecuencia del filtro anterior

La transformada de ξ(t) la llamábamos Ξ(s), y el argumento yFM(t) tiene una transformada YFM(s). La función de transferencia a estudiar es

\dfrac {{\Xi}(s)}{{\Psi_{FM}}(s)}=\dfrac {s}{2{\pi}K_V}H(s)

donde H(s) es la función de transferencia del PLL en lazo cerrado. Por tanto, la función de transferencia es

\dfrac {{\Xi}(s)}{{\Psi_{FM}}(s)}=\dfrac {s}{2{\pi}K_V}\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}

Estudiando los límites, tendremos que

\displaystyle\lim_{s \to 0} \dfrac {{\Xi}(s)}{{\Psi_{FM}}(s)}=\displaystyle\lim_{s \to 0} \dfrac {s}{2{\pi}K_V}\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}=0

\displaystyle\lim_{s \to {+}\infty} \dfrac {{\Xi}(s)}{{\Psi_{FM}}(s)}=\displaystyle\lim_{s \to {+}\infty} \dfrac {s}{2{\pi}K_V}\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}=\dfrac {{\xi}{\omega_n}}{{\pi}K_V}=\dfrac {\tau_2}{\tau_1}=\sqrt{2}

Por tanto, podemos concluir que se trata de un filtro paso alto que sube con una pendiente de 20dB/dec hasta la pulsación natural del lazo ωn, y a partir de ahí se mantiene constante.

Un filtro paso alto hace una función de derivación, por lo que podemos aproximar por

{\xi}(t)={cte} \dfrac {d{\psi}(t)}{dt}

Trazando el Bode de esta función, podemos comprobar la pendiente de nuestra función de transferencia y estudiar el comportamiento paso alto.

Y si estudiamos el comportamiento de esta función de transferencia, vemos que se comporta como un filtro paso alto donde la señal útil se encuentra entre DC y 5KHz, y en la parte plana tenemos 3dB, que es la relación entre el tiempoτ2 y τ1.

Bode de la función de transferencia para la tensión de sintonía

Bode de la función de transferencia para la tensión de sintonía

Por encima de los 100KHz el filtro vuelve a caer debido al comportamiento paso bajo del amplificador operacional.

En la zona de la pulsación natural podemos ver que existe cierta distorsión debido al cambio de pendiente de la función de transferencia. Es por eso que es recomendable siempre buscar una pulsación natural de lazo cuya frecuencia sea una octava de la máxima frecuencia de la señal útil, para reducir esta distorsión.

CONCLUSIONES

En esta entrada hemos analizado el comportamiento de un PLL como demodulador de señal en FM, y cómo se puede analizar la función de transferencia entre la señal de FM y la señal demodulada. Con esta entrada, finalizamos en capítulo de las PLL analógicas y sus posibilidades de simulación usando simuladores convencionales.

La siguiente entrada tratará de las PLL digitales, su estudio y comparación con las PLL analógicas y cómo se pueden sintetizar las mismas.

REFERENCIAS

  1. Benjamin C. Kuo.; “Automatic Control Systems”; 2nd ed.; Englewood Cliffs, NJ; Prentice Hall; 1975
  2. F.M Gardner; “Phase Locked Loop Techniques”; 2nd ed.; New York; Wiley; 1979
  3. Varsha Prasad & Dr Chirag Sharma; “A Review of Phase Locked Loop”; International Journal of Emerging Technology and Advanced Engineering; vol. 2, no.6, pp.98-104; June 2012.
  4. F. M. Gardner; “Charge-Pump Phase-Lock Loops”; IEEE Transactions on Communications; vol. 28, no. 11, pp. 1849-1858; Nov 1980.
  5. Marc Tiebout; “Low-Power Low-Phase-Noise Differentially Tuned Quadrature VCO Design in Standard CMOS”; IEEE Journal of solid-state circuits; vol. 36, no. 7; July 2001
  6. Kim Beomsup, T.C. Weigandt, P.R. Gray; “PLL/DLL system noise analysis for low jitter clock synthesizer design”; IEEE International Symposium on Circuits and Systems; vol. 4, pp. 31-34; Jun. 1994
  7. Dai Liang, R. Harjani; “Design of low-phase-noise CMOS ring oscillators”; IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing; vol. 49, no.5, pp. 328-338; May 2002
  8. “Phase locked loop fundamentals”; Mini-Circuits; VCO Application Notes

El PLL analógico y su simulación (III)

Seguimos con este monográfico dedicado al lazo de seguimiento de fase o PLL. En esta entrada vamos a analizar el comportamiento transitorio del PLL, cuando se produce un arranque en el mismo. De este modo, podremos analizar cómo se comporta en función del factor de amortiguamiento ξ y de la pulsación natural del lazo ωn. Además, mostraremos una forma sencilla de medir estos parámetros con un osciloscopio.

ANÁLISIS EN EL DOMINIO TEMPORAL

En el momento inicial del arranque, tanto la frecuencia de referencia fr como la frecuencia del VCO fVCO son nulas. En el momento del arranque, t0, la frecuencia de referencia pasa de ser nula al valor elegido, en forma de señal escalón:

f_r \left( t-t_0 \right)=\left \{ \begin{matrix} 0 { } \mbox { }t<t_0\\ f_r { } \mbox { }t \ge t_0\end{matrix}\right.

cuya transformada de Laplace es

F_r(s)=f_r\dfrac {e^{-st_0}}{s}

Si elegimos t0=0, la transformada de Laplace pasa a ser

F_r(s)=\dfrac {f_r}{s}

La función de transferencia H(s) del PLL es de la forma

H(s)=\dfrac {\dfrac {NKF(s)}{s}}{1+\dfrac {KF(s)}{s}}

por lo que la respuesta del VCO será

f_{VCO}(S)=H(s)U(s)=\dfrac {\dfrac {NKF(s)}{s}}{1+\dfrac {KF(s)}{s}}\dfrac {f_r}{s}=\dfrac {NKF(s)}{1+\dfrac {KF(s)}{s}}f_r

La respuesta de la función de transferencia es un filtro paso bajo y la de la frecuencia de referencia un integrador. Además, en la PLL analizada el filtro paso bajo es un filtro de segundo orden cuya función de transferencia se puede poner de la forma

H(s)=\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}

La respuesta impulsiva a este tipo de función de transferencia (la respuesta impulsiva es la respuesta a una señal tipo escalón) se obtiene de la transformada inversa de esta función. Para ello analizamos los polos de la misma, que son

p_{1,2}=-{\xi}{\omega}_n \pm j{\omega}_n \sqrt {1-{\xi}^2}

por lo que la función de transferencia H(s) se escribe como

H(s)=\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{\left( -{\xi}{\omega}_n + j{\omega}_n \sqrt {1-{\xi}^2} \right) \left(-{\xi}{\omega}_n - j{\omega}_n \sqrt {1-{\xi}^2} \right)}

y si ahora separamos la fracción en dos fracciones independientes

H(s)=\dfrac {A}{\left( -{\xi}{\omega}_n + j{\omega}_n \sqrt {1-{\xi}^2} \right)}+\dfrac {B}{\left( -{\xi}{\omega}_n - j{\omega}_n \sqrt {1-{\xi}^2} \right)}

sacamos que A=B={\omega}_n^2

Y la transformada inversa, cuando le aplicamos un escalón, es

f_{VCO}(t)=\left[ {1-{\omega}_n^2 e^{-{\xi}{\omega}_nt}}{\left( e^{+ j{\omega}_n t \sqrt {1-{\xi}^2}}+e^{- j{\omega}_n t \sqrt {1-{\xi}^2}} \right)}\right]{Nf_r}

f_{VCO}(t)=\left[ {1-2{\omega}_n^2 e^{-{\xi}{\omega}_nt}}cos {\left( { {\omega}_n }t {\sqrt {1-{\xi}^2}}\right)}\right]{Nf_r}

Por tanto, obtenemos una función periódica (cosenoidal) amortiguada. Vamos a analizar qué es lo que ocurre cuando ξ=0. La función toma el valor

f_{VCO}(t)=\left[ {1-2{\omega}_n^2 cos {\left( { {\omega}_n }t \right)} }\right]{Nf_r}

y por tanto la señal se mantiene oscilando. Cuando 0<ξ<1, la señal mantiene una respuesta cosenoidal, pero que se va amortiguando en el tiempo. Y cuando ξ=1, la señal toma el valor

f_{VCO}(t)=\left[ {1-2{\omega}_n^2 }e^{-{\omega}_nt}\right]{Nf_r}

y se convierte en una señal que va creciendo de forma exponencial. A medida que subimos ξ=1, retardamos más la señal. Las diferentes formas de onda que vamos a ver son

Diferentes respuestas de la señal en función del amortiguamiento

Diferentes respuestas de la señal en función del amortiguamiento

Por tanto, para que nuestro PLL tenga enganche y no oscile hace falta que 0<ξ<1.

ESTUDIO EN EL SIMULADOR DE LA PLL

Volvemos a analizar el diagrama de bloques que teníamos en las dos entradas anteriores, pero en este caso vamos a analizar el dominio temporal

Diagrama de bloques del PLL

Diagrama de bloques del PLL

Vamos a introducir una señal de entrada que corresponde a una señal escalón del tipo

f_r t)=\left \{ \begin{matrix} 0 { } \mbox { }t< {1 ms}\\ {25K   } \mbox { }t \ge {1,1 ms} \end{matrix}\right.

La subida es una rampa lineal entre 1 y 1,1ms. La forma de onda que tenemos a la entrada es, entonces

Respuesta temporal de la señal de entrada

Respuesta temporal de la señal de entrada

y la respuesta de salida obtenida tras pasar por el PLL es

Respuesta de salida (VCO) para el PLL calculado

Respuesta de salida (VCO) para el PLL calculado

donde podemos ver que la respuesta es cosenoidal y amortiguada, ya que hemos introducido un factor de amortiguamiento ξ=0,707. Cuando después de un tiempo la señal se estabiliza, la salida pasa a ser 850MHz, que es la frecuencia a la que habíamos diseñado el PLL.

Si disminuimos este factor de amortiguamiento, podremos ver que la función coseno va haciéndose más pronunciada:

Respuesta de salida para un amortiguamiento cercano a cero

Respuesta de salida para un amortiguamiento  cercano a cero

FORMA DE MEDIR EN EL OSCILOSCOPIO EL ENGANCHE DE FASE DE UN PLL

Si queremos medir el enganche de fase de un PLL y evaluar la respuesta de éste, podemos hacerlo usando un osciloscopio. En este caso, la tensión correspondiente a 850MHz es de 7,5V, por lo que basta con colocar la sonda del osciloscopio justo en el nudo de control del VCO, y colocar la tensión de disparo del osciloscopio en modo de subida, a unos 8,5V, y con el modo de disparo en NORMAL, podremos capturar la traza del arranque

Traza obtenida en el osciloscopio, para medir la señal en el VCO

Traza obtenida en el osciloscopio, para medir la señal en el VCO

Y teniendo la señal de ataque al VCO, podremos comprobar el factor de amortiguamiento ξ y la pulsación natural del lazo ωn, midiendo las crestas y el tiempo entre crestas de la señal capturada.

CONCLUSIÓN

En esta entrada hemos podido comprobar la viabilidad de un simulador para analizar el comportamiento temporal de un PLL y comprobar la influencia del factor de amortiguamiento en el enganche de la frecuencia de un VCO. En la siguiente entrega comprobaremos cómo se puede usar un PLL para demodular una señal FM.

REFERENCIAS

  1. Benjamin C. Kuo.; “Automatic Control Systems”; 2nd ed.; Englewood Cliffs, NJ; Prentice Hall; 1975
  2. F.M Gardner; “Phase Locked Loop Techniques”; 2nd ed.; New York; Wiley; 1979
  3. Varsha Prasad & Dr Chirag Sharma; “A Review of Phase Locked Loop”; International Journal of Emerging Technology and Advanced Engineering; vol. 2, no.6, pp.98-104; June 2012.
  4. F. M. Gardner; “Charge-Pump Phase-Lock Loops”; IEEE Transactions on Communications; vol. 28, no. 11, pp. 1849-1858; Nov 1980.
  5. Marc Tiebout; “Low-Power Low-Phase-Noise Differentially Tuned Quadrature VCO Design in Standard CMOS”; IEEE Journal of solid-state circuits; vol. 36, no. 7; July 2001
  6. Kim Beomsup, T.C. Weigandt, P.R. Gray; “PLL/DLL system noise analysis for low jitter clock synthesizer design”; IEEE International Symposium on Circuits and Systems; vol. 4, pp. 31-34; Jun. 1994
  7. Dai Liang, R. Harjani; “Design of low-phase-noise CMOS ring oscillators”; IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing; vol. 49, no.5, pp. 328-338; May 2002
  8. “Phase locked loop fundamentals”; Mini-Circuits; VCO Application Notes

El PLL analógico y su simulación (II)

Habíamos analizado en la entrada del mes pasado la forma de estudiar la estabilidad de un PLL analógico en términos de margenes de ganancia y de fase, para poder analizar y optimizar el lazo lo mejor posible y conseguir un enganche sin problemas.

En esta entrada vamos a analizar la simulación del modelo de ruido de un PLL, para analizar cuáles son los parámetros más críticos a la hora de obtener un oscilador con un buen ruido de fase, hoy en día muy necesario para usarlo en telecomunicaciones digitales.

EL RUIDO DE FASE

No es el objetivo de esta entrada profundizar en los efectos del ruido de fase, pero sí es conveniente para el profano conocer qué es lo que provoca la existencia de ese ruido. Por tanto, vamos a estudiar cómo se genera y lo que normalmente provoca.

Un oscilador convencional oscila en una frecuencia en función del circuito resonante utilizado. La estabilidad de la frecuencia de salida depende, entonces, del factor de calidad usado en el circuito resonante. Contra mayor es el Q del circuito, mejor será la estabilidad de la frecuencia de salida.

Sin embargo, a la estabilidad del oscilador hay que añadir un parámetro que está afectando cada vez más a los sistemas de comunicaciones. Este parámetro es el ruido de fase.

El ruido de fase se define como la variación aleatoria de la fase instantánea de una señal periódica respecto a la señal ideal. Es, por tanto, un ruido que viaja en el argumento de la señal y no en la amplitud, como puede ocurrir con el ruido térmico. Sin embargo, puede afectar muy negativamente en las señales si éste no se controla, del mismo modo que pasa con el ruido térmico.

Se suele representar como una densidad espectral de potencia de ruido distribuida en las bandas laterales de la frecuencia de la señal, y se mide en dBc/Hz.

Representación de la densidad espectral del ruido de fase

Representación de la densidad espectral del ruido de fase

El ruido de fase se puede calcular mediante el modelo de Leeson a través de la expresión

L(f)= \dfrac {kT_0}{2P_0} \left( {1+ \dfrac {f_0}{f}} \right) \left[{1+ \left( \dfrac {f_0}{2Qf} \right)^2} \right]

donde

  • Po es la amplitud de la señal de salida del oscilador
  • k.T0 es la amplitud del ruido térmico (T0 temperatura de ruido, k constante de Boltzmann)
  • f0 la frecuencia del oscilador
  • Q el factor de calidad del circuito resonante y
  • f la frecuencia de offset en el que se mide la densidad de potencia de ruido

El ruido de fase provoca fluctuaciones en los flancos de subida y bajada de las señales digitales, que afectan a la correcta interpretación del dato enviado. A esta fluctuación se le suele denominar “jitter” y es uno de los inconvenientes que se pueden encontrar en las comunicaciones digitales.

Fluctuación o "jitter" provocado en los flancos de una señal digital

Fluctuación o “jitter” provocado en los flancos de una señal digital

En los sistemas analógicos, el ruido de fase influía, sobre todo, en las modulaciones de tipo angular, ya que la información viaja en el argumento. Si tenemos una señal portadora sinusoidal y(t) de pulsación ω, y le añadimos un ruido de fase Δθn, la señal real será

y(t)=A_m \sin {\left( {\omega}t + {\Delta}{\theta}_n\right)}

y_{FM}(t)=A_m \sin {\left( {\omega}t + k_f \displaystyle \int {f(t) dt} + {\Delta}{\theta}_n\right)}

y_{FM}(t)=A_m \sin {\left( {\omega}t + k_pf(t) + {\Delta}{\theta}_n\right)}

Por lo que podemos observar, el ruido de fase es un ruido que se puede sumar a la señal original y provocar una incorrecta recepción del sistema demodulador. Sin embargo, estos sistemas son más inmunes al ruido térmico puesto que la información no viaja en la amplitud.

En los sistemas digitales en transmisión pasobanda, la información digital se asocia a un símbolo, que es una representación espacial en fase y cuadratura y que tiene una amplitud y una fase, por lo que el ruido térmico (ruido de amplitud) tiene influencia, pero al haber también fase asociada el ruido de fase también afecta a la señal recibida

s_m(t)=Re \left[ {g(t)} {\left( A_m+{\Delta}n_e \right)}e^{j{\theta}_m}e^{j \left({ {\omega}t+{\Delta}{\theta}_n} \right)} \right]

con g(t) respuesta del filtro conformador

s_m(t)=Re \left[ {g(t)} {\left( A_m+{\Delta}n_e \right)}{e^{j \left({ {\theta}_m+{\Delta}{\theta}_n} \right)}}e^{j{ {\omega}t}}\right]

Y de aquí obtendremos que el símbolo tiene añadido en su amplitud y fase ruido que es tanto de amplitud y fase

{A'}_m =A_m + {\Delta}n_e

{{\theta}'}_m ={\theta}_m + {\Delta}{\theta}_n

Si estos símbolos los representamos en una constelación (como por ejemplo una QPSK), la señal recibida será

Símbolos de la señal QPSK recibida, junto con el ruido de amplitud y de fase.

Símbolos de la señal QPSK recibida, junto con el ruido de amplitud y de fase

Por tanto, si no se controlan los niveles de ambos ruidos (amplitud y fase), la información digital recibida podría no ser demodulada. Este fenómeno se estudia a partir del B.E.R. (bit error rate), que es un factor que mide la probabilidad de error en la recepción de bits en función del tipo de modulación digital que se utilice (QPSK o QAM).

SÍNTESIS DE OSCILADORES CON PLL

Como hemos dicho en la entrada anterior, la mayoría de los osciladores usados en frecuencias que son moduladas para transmitir la señal en forma pasobanda se realizan con VCO’s. Y como los VCO’s no suelen ser osciladores estables, se suele recurrir al PLL para realizar la síntesis.

En la entrada anterior estudiamos el diagrama de bloques del PLL y cómo se puede estudiar su estabilidad. Ahora vamos a estudiar el comportamiento cuando se añade ruido al sistema.

Para ello representamos el modelo de ruido del PLL, que es

Diagrama de bloques para analizar el ruido de una PLL

Diagrama de bloques para analizar el ruido de una PLL

donde tenemos que Δθr es el ruido de fase que introduce la referencia, Δθk es el ruido que introduce el detector de fase, Δθn es el ruido que aparece justo en la entrada del VCO, Δθmin es el ruido que introduce el divisor y Δθvco es el ruido de fase que tiene el propio oscilador a sintetizar.

Vamos a analizar por partes, aplicando superposición, cada una de las contribuciones de ruido, comenzando por el ruido de la frecuencia de referencia Δθr, al que hay que añadir el ruido que sale del divisor ÷N, Δθmin. La contribución al ruido de salida Δθout de ambas componentes de ruido es

\left[ {\Delta}{{\theta}_{out}}^2\right]_r=\left[ \dfrac{N}{1+\dfrac {s}{KF(s)}}\right]^2\left({\Delta}{{\theta}_r}^2+{\Delta}{{\theta}_{min}}^2\right)=x^2

siendo K=\dfrac {2{\pi}K_OK_D}{N}. Analizando la función de transferencia

\left[ \dfrac {1}{1+\dfrac {s}{KF(s)}} \right]

y sabiendo que F(s) es un filtro pasobajo, la función resultante coincide con la función de transferencia H(s) del PLL, se puede concluir la función de transferencia se comporta como un paso bajo para el ruido de referencia. Además, podemos comprobar que el ruido en la zona de paso de la función de transferencia queda multiplicada por N, que es la relación de división. Por tanto, un factor N bajo reduce el ruido introducido por la referencia.

En una PLL, una vez elegida la pulsación natural del lazo ωn, que es la frecuencia de corte de la función de transferencia pasobajo H(s), el ruido por debajo de esa pulsación natural del lazo es debido al ruido de la referencia, multiplicada por N. La contribución del ruido del divisor Δθmin se puede reducir si el sintetizador utilizado se le alimenta con una buena tensión de continua Vdd, muy bien filtrada para que no se reduzca al máximo el piso de ruido que genera el propio componente. Así, podemos decir que Δθmin≈0.

El comparador, como también es un dispositivo electrónico y por lo general está integrado en el propio sintetizador, también genera un piso de ruido Δθk. La contribución al ruido de salida del ruido generado por el comparador es:

\left[ {\Delta}{{\theta}_{out}}^2\right]_k=\dfrac {1}{K_D^2}\left[ \dfrac{N}{1+\dfrac {s}{KF(s)}}\right]^2{\Delta}{{\theta}_k}^2=y^2

En este caso, el comportamiento del comparador también es un paso bajo, pero en este caso está dividido por la ganancia del comparador de fase. Del mismo modo que Δθmin, Δθk está generado por el propio sintetizador y puede minimizarse realizando un buen filtrado de las alimentaciones del sintetizador, y usando una tensión Vdd muy limpia. Si se cumplen estas condiciones, podemos considerar también que Δθk≈0.

Por último, vamos a ver cómo contribuyen a la salida el ruido de fase propio del VCO, Δθvco, y el ruido presente justo a la entrada del VCO, Δθn. Analizando el sistema, podemos poner que la contribución al ruido de Δθvco y Δθn es

\left[ {\Delta}{{\theta}_{out}}^2\right]_{vco}=\left[ \dfrac {s}{s+KF(s)} \right]^2 \left ({\Delta}{{\theta}_{vco}}^2+\dfrac {K_O}{s}{\Delta}{{\theta}_n}^2 \right)=z^2

Y analizando la función de transferencia de esta contribución de ruido, podemos ver que hay un cero en el origen, que hace que el comportamiento de esa función de transferencia sea el de un filtro pasoalto del tipo \dfrac {s}{s+KF(s)}

Al ser un filtro pasoalto, su frecuencia de corte será la pulsación natural del lazo ωn, lo que viene a indicar que la PLL filtra el ruido del oscilador VCO hasta la pulsación natural del lazo ωn, y que por encima, el ruido de fase del VCO es el que predomina en el ruido de salida.

En este caso, Δθn también es un piso de ruido que se puede minimizar usando técnicas de filtrado eficientes. Además, el propio VCO lo filtra, por lo que en la mayoría de los casos, podemos considerar que Δθn≈0.

La contribución a la potencia ruido es la suma de las tres componentes por separado, y despreciando el ruido del divisor, del comparador y del nodo de entrada del VCO, podemos escribir que

{\Delta}{{\theta}_{out}}^2=\left[ {\Delta}{{\theta}_{out}}^2\right]_r+\left[ {\Delta}{{\theta}_{out}}^2\right]_k+\left[ {\Delta}{{\theta}_{out}}^2\right]_{vco}

{\Delta}{{\theta}_{out}}^2=\left[ \dfrac{N}{1+\dfrac {s}{KF(s)}}\right]^2 {\Delta}{{\theta}_r}^2+\left[ \dfrac {s}{s+KF(s)} \right]^2 {\Delta}{{\theta}_{vco}}^2

por lo que tenemos que en la PLL, cuya función de transferencia H(s) es un filtro pasobajo con una pulsación natural ωn, la contribución al ruido por debajo de esa frecuencia es debida al ruido de fase de la frecuencia de referencia (por lo general un oscilador a cristal de cuarzo), multiplicado por el factor de división N usado en el VCO, mientras que a frecuencias superiores a la pulsación natural del lazo ωn, el ruido de salida es el ruido del oscilador local.

Por tanto, el ruido de fase de un oscilador sintetizado con una PLL será siempre un compromiso entre la pulsación de referencia utilizada, que es la que proporciona el salto frecuencial del VCO, y la pulsación ωn del pasobajo que forma la PLL. Debido a que en la PLL está presente la frecuencia de referencia ωr, a medida que ωn se acerca a ésta, aparecen frecuencias espurias en el VCO a una distancia de la señal deseada que vale fr. Se filtra el ruido, pero aparecen espurias en la señal de salida. Sin embargo, si se quieren hacer saltos muy bajos, el factor N será muy alto, por lo que el ruido de la referencia será cada vez mayor.

Por lo general, en la mayoría de los sintetizadores el factor N es entero, por lo que suele tomar valores muy elevados. Hoy en día, sin embargo, se están comercializando sintetizadores con divisores N fracionales, de tal modo que se puede elegir una frecuencia de referencia muy alta y hacer el salto gracias a que N es un número fraccionario, consiguiendo ruidos de fase muy buenos. Sin embargo, la mayoría de los sintetizadores comerciales siguen siendo de divisores por N enteros, por lo que hay que seguir vigilando el ruido.

Hay que destacar que ωn muy bajas hacen que el lazo sea de enganche lento, mientras que cuando son muy altas, suele ser de enganche muy rápido. Ambas versiones presentan ventajas e inconvenientes, que hay que analizar a la hora de conseguir una PLL óptima. Las diferencias fundamentales son:

  • Una ωn baja (PLL lenta) introduce más ruido de fase, pero es más inmune fenómenos de desenganche provocados por la vibración.
  • Una ωn alta (PLL rápida) reduce mucho el ruido de fase, pero puede introducir frecuencias espurias y puede tener mayor tendencia a oscilar, aparte de que es muy sensible al microfonismo o acoplamiento por vibración.

Lo normal es elegir una ωn que sea 10 veces inferior a ωr (pulsación de referencia) para el diseño de cualquier PLL.

SIMULACIÓN DE LAS FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DEL RUIDO

Del mismo modo que hemos simulado en la entrada anterior los márgenes de amplitud y de fase, es posible simular también el comportamiento del ruido de referencia y el ruido del VCO. Para ello usamos los mismos datos que en el caso anterior

  • Frecuencia del VCO fo : 850 MHz
  • Ganancia del VCO Ko : 20 MHz/volt
  • Frecuencia de referencia fr : 25 KHz
  • Relación de división N: 34000
  • Ganancia del comparador de fase : 1 mA/rad
  • Frecuencia natural del lazo : 3 KHz

Y el diagrama de bloques, en este caso ya en lazo cerrado, será

Diagrama de bloques en lazo cerrado del PLL

Diagrama de bloques en lazo cerrado del PLL

donde la función de transferencia es la ya conocida \left[ \dfrac {N}{1+\dfrac {s}{KF(s)}}\right] siendo su respuesta una curva de la forma

Función de transferencia H(s). Contribución al ruido de la frecuencia de referencia

Función de transferencia H(s). Contribución al ruido de la frecuencia de referencia

En la función de transferencia se puede apreciar el pico del amortiguamiento ξ, ya que para un PLL de segundo orden genérico, la función de transferencia H(s)

H(s)=\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}

con ξ el factor de amortiguamiento y ωn la pulsación natural del lazo.

Para comprobar el funcionamiento pasoalto del lazo, simplemente tenemos que tomar la diferencia entre fr y el valor que toma en el nodo VCO, para comprobar que la función de transferencia es \dfrac {s}{s+KF(s)}Por tanto, simulando tomando como variables de salida la diferencia de tensión entre los nodos conectados REF y VCO en el comparador de fase, obtendremos una curva

Función de transferencia de la contribución del ruido del VCO a la frecuencia de salida

Función de transferencia de la contribución del ruido del VCO a la frecuencia de salida

El factor ξ se provoca, a frecuencias cercanas a ωn un pico de amortiguamiento. Hay que optimizar el filtro de lazo para que ese pico de amortiguamiento sea más bajo lo más bajo posible, evitando que el PLL oscile.

Como se puede ver en la gráfica, el ruido del VCO por debajo de la pulsación ωn queda filtrado, por lo que podemos ver que sólo contribuye el ruido de la frecuencia de referencia. Por encima, el paso alto tiene un valor de ganancia 0dB, por lo que el PLL deja pasar el ruido de fase del VCO.

Si combinamos ambas respuestas, correctamente escaladas, obtenemos

Composición de ambas respuestas en frecuencia

Composición de ambas respuestas en frecuencia

Se puede observar que la ganancia en pasobajo de la función de transferencia que contribuye al ruido de la frecuencia de referencia es de 90,63dB (20.log (34000)), mientras que e la ganancia en pasoalto de la otra función de transferencia es 0dB, por lo que el ruido del VCO queda igual. En la zona donde coinciden ambas, correspondiente a la pulsación ωn, ambos ruidos se suman.

CONCLUSIÓN

En esta entrada hemos podido comprobar un método para estudiar el comportamiento de un PLL con respecto al ruido de fase del VCO y comprobado que el modelo propuesto es válido para optimizar el ruido de fase de cualquier oscilador sintetizado. En la siguiente entrada estudiaremos la síntesis usando un oscilador VCO de ruido de fase conocido, junto con un XO con ruido de fase conocido, y comprobaremos que ambas componentes espectrales se suman siguiendo el modelo propuesto.

REFERENCIAS

  1. F.M Gardner; “Phase Locked Loop Techniques”; 2nd ed.; New York; Wiley; 1979
  2. Varsha Prasad & Dr Chirag Sharma; “A Review of Phase Locked Loop”; International Journal of Emerging Technology and Advanced Engineering; vol. 2, no.6, pp.98-104; June 2012.
  3. F. M. Gardner; “Charge-Pump Phase-Lock Loops”; IEEE Transactions on Communications; vol. 28, no. 11, pp. 1849-1858; Nov 1980.
  4. Marc Tiebout; “Low-Power Low-Phase-Noise Differentially Tuned Quadrature VCO Design in Standard CMOS”; IEEE Journal of solid-state circuits; vol. 36, no. 7; July 2001
  5. Kim Beomsup, T.C. Weigandt, P.R. Gray; “PLL/DLL system noise analysis for low jitter clock synthesizer design”; IEEE International Symposium on Circuits and Systems; vol. 4, pp. 31-34; Jun. 1994
  6. Dai Liang, R. Harjani; “Design of low-phase-noise CMOS ring oscillators”; IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing; vol. 49, no.5, pp. 328-338; May 2002
  7. “Phase locked loop fundamentals”; Mini-Circuits; VCO Application Notes