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Análisis estadísticos usando el método de Monte Carlo (I)

imagesCuando nos enfrentamos a cualquier diseño electrónico, por lo general disponemos de métodos deterministas que permiten el cálculo de lo que estamos diseñando, de modo que podemos prever los parámetros que vamos a encontrar en la medida física de cualquier dispositivo o sistema. Estos cálculos previos facilitan el desarrollo y normalmente los resultados suelen coincidir en gran medida con la predicción. Sin embargo, sabemos que todo aquello que creemos o fabriquemos siempre está sometido a tolerancias. Y esas tolerancias provocan variaciones en los resultados que muchas veces no se pueden analizar de forma sencilla, sin una herramienta de cálculo potente. En 1944, Newmann y Ulam desarrollaron un método estadístico no determinista que denominaron Método de Monte Carlo. En las siguientes entradas vamos a analizar el uso de este potente método para la predicción de posibles tolerancias en circuitos, sobre todo cuando son fabricados de forma industrial.

En un sistema o proceso, el resultado final es consecuencia de las variables de entrada. Estas generan una respuesta que puede ser determinada tanto si el sistema es lineal como si es no lineal. A la relación entre la respuesta o salida del sistema y las variables de entrada la denominamos función de transferencia, y su conocimiento nos permite evaluar cualquier resultado en función de la excitación de entrada.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que las variables de entrada son variables aleatorias, con su propia función de distribución, debido a que están sometidas a procesos estocásticos, aunque su comportamiento es predecible gracias a la teoría de la probabilidad. Por ejemplo, cuando describimos una medida de cualquier tipo, solemos representar su valor nominal o medio, así como el entorno de error asociado en el que esa magnitud medida puede estar. Esto nos permite limitar el entorno en el cual la magnitud es correcta y decidir cuándo la magnitud se comporta de modo incorrecto.

Durante muchos años, después de haber aprendido a transformar con éxito los resultados obtenidos mediante simulación en resultados físicos reales, con comportamientos predecibles y extrayendo conclusiones válidas, me he dado cuenta que en la mayoría de las ocasiones la simulación se reduce a obtener un resultado apetecido, sin profundizar en absoluto en ese resultado. Sin embargo, la mayoría de los simuladores están dotados de algoritmos estadísticos útiles que, correctamente utilizados, permiten al usuario de la aplicación obtener una serie de datos que puede usar para el futuro y permiten predecir el comportamiento de cualquier sistema, o al menos, analizar qué es lo que se puede producir.

Sin embargo, esos métodos que los simuladores incluyen nos suelen ser utilizados. Ya sea por falta de conocimiento de patrones estadísticos, ya sea por desconocimiento de cómo usar esos patrones. Por tanto, en esta serie de entradas vamos a desgranar el método de Monte Carlo que podemos encontrar en un simulador de circuitos e descubrir un potencial importante que es desconocido para muchos de los usuarios de los simuladores de circuitos.

LOS COMPONENTES COMO VARIABLES ALEATORIAS

Los circuitos electrónicos están formados por componentes electrónicos simples, pero que tienen un comportamiento estadístico, debido a los procesos de fabricación. No obstante, los fabricantes de componentes delimitan correctamente los valores nominales y el entorno de error en que se mueven. Así, un fabricante de resistencias no sólo publica sus valores nominales y dimensiones. También publica los entornos de error en los que esa resistencia varía, el comportamiento con la temperatura, el comportamiento con la tensión, etc. Todos estos parámetros, convenientemente analizados, proporcionan una información importante que, bien analizada dentro de una potente herramienta de cálculo como es el simulador, permite predecir el comportamiento de circuito total.

En este caso se va a analizar exclusivamente el entorno de error en el valor nominal. En una resistencia, cuando el fabricante define el valor nominal (en este caso, vamos a suponer 1kΩ) y expresa que tiene una tolerancia de ±5%, quiere decir que el valor de la resistencia puede estar comprendido entre 950Ω y 1,05kΩ. En el caso de un transistor, su ganancia de corriente β puede tomar un valor entre 100 y 600 (por ejemplo, el BC817 de NXP), por lo que puede haber una variación de corriente de colector importante e incontrolable. Por tanto, conociendo estos datos, podemos analizar el comportamiento estadístico de un circuito eléctrico gracias a la rutina de Monte Carlo.

Analicemos primero la resistencia: hemos dicho que la resistencia tiene una tolerancia de ±5%. Entonces, vamos a analizar usando el simulador el comportamiento de esta resistencia usando la rutina de Monte Carlo. A priori, desconocemos qué función densidad de probabilidad tiene la resistencia, aunque lo más habitual es una función de tipo gaussiano, cuya expresión es ya conocida

f_{\mu,\sigma^2}(x)=\dfrac {1}{\sigma \sqrt {2 \pi}}e^{\dfrac {(x-\mu)^2}{\sigma^2}}

donde μ es el valor medio y σ² es la varianza. Analizando con el simulador, mediante el método de Monte Carlo y para 2000 muestras, se puede obtener una representación de la variación del valor nominal de la resistencia, obteniendo un histograma como el que se muestra en la figura siguiente

Distribución de los valores de la resistencia usando el análisis de Monte Carlo

Distribución de los valores de la resistencia usando el análisis de Monte Carlo

El algoritmo de Monte Carlo introduce valor en la variable cuya distribución corresponde a una gaussiana, pero los valores que toma son en todo momento aleatorios. Si esas 2000 muestras se tomasen en 5 procesos de 400 muestras cada uno, seguiríamos teniendo una tendencia a la gaussiana, pero sus distribuciones serían diferentes

Distribuciones gaussianas con varios lotes

Distribuciones gaussianas con varios lotes

Por tanto, trabajando convenientemente con las variables aleatorias, se puede extraer un estudio completo de la fiabilidad del diseño realizado, así como de la sensibilidad que tiene cada una de las variables que se utilizan. En el siguiente ejemplo, vamos a proceder al análisis del punto de operación de un transistor bipolar convencional, cuya variación de β está comprendida entre 100 y 600, con un valor medio de 350 (comprendida β con una distribución gaussiana), polarizado con resistencias con una tolerancia nominal de ±5%, y estudiando la variación de la corriente de colector en 100 muestras.

ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO ESTADÍSTICO DE UN BJT EN DC

Para estudiar el comportamiento de un circuito de polarización con transistor bipolar, partimos del circuito como el de la figura

Circuito de polarización de un BJT

Circuito de polarización de un BJT

donde las resistencias tienen tolerancias totales de ±5% y el transistor tiene una variación de β entre 100 y 600, con un valor nominal de 350. El punto de operación es Ic=1,8mA, Vce=3,2V. Haciendo el análisis de Monte Carlo para 100 muestras, obtenemos el siguiente resultado

Variación de la corriente del BJT en función de las variables aleatorias

Variación de la corriente del BJT en función de las variables aleatorias

Por la forma de la gráfica, se puede comprobar que el resultado converge a una gaussiana, donde el valor medio predominante es Ic=1,8mA, con una tolerancia de ±28%. Supongamos ahora que hacemos el mismo barrido que antes, en varios lotes de proceso, de 100 muestras cada uno. El resultado obtenido es

Variación de la corriente del BJT para varios lotes

Variación de la corriente del BJT para varios lotes

donde podemos ver que en cada lote tendremos una curva que converge a una gaussiana. En este caso, la gaussiana tiene un valor medio μ=1,8mA y una varianza σ²=7%. De este modo, podemos analizar cada proceso como un análisis estadístico global como por lotes. Supongamos que ahora β es una variable aleatoria con una función de distribución uniforme entre 100 y 600. Analizando sólo para las 100 muestras, se obtiene la curva

Distribución con b uniforme

Distribución con BETA uniforme

y se puede observar que la tendencia de la corriente es a converger a una distribución uniforme, aumentando el rango de tolerancia de la corriente y aumentando la probabilidad en los extremos de su valor. Por tanto, también podemos estudiar cómo se comporta el circuito cuando tenemos distintas funciones de distribución gobernando cada una de las variables.

Visto que, con el método de Monte Carlo podemos analizar el comportamiento en términos de tolerancias de un circuito complejo, también del mismo modo nos ayudará a estudiar cómo podemos corregir esos resultados. Por tanto, a lo largo de las entradas vamos a profundizar cada vez más en el potencial del método y lo que se puede conseguir con él.

CORRIGIENDO LAS TOLERANCIAS

En el circuito básico que hemos utilizado, al caracterizar la β del transistor como una variable uniforme, hemos aumentado la probabilidad de haya posibles valores de corriente que caigan en valores indeseados. Esto es uno de los puntos más problemáticos de los transistores bipolares y de efecto campo, las variaciones de sus ganancias en corriente. Vamos a ver, con un sencillo ejemplo, qué es lo que ocurre cuando usamos un circuito de corrección de la variación de β, como puede ser el circuito clásico de autopolarización por emisor

Circuito con autopolarización por emisor

Circuito con autopolarización por emisor

Usando este circuito, volvemos a hacer un análisis de Monte Carlo y lo comparamos con el análisis obtenido en el caso anterior,pero usando 1000 muestras. El resultado obtenido es

Resultados con ambos circuitos

Resultados con ambos circuitos

donde se puede ver que se ha incrementado la probabilidad en valores en torno a los 2mA, reduciendo la densidad de probabilidad en valores bajos de corriente y estrechando la distribución. Por tanto, el método de Monte Carlo no sólo es un método que nos permite analizar el comportamiento de un circuito cuando se somete a una estadística, sino que nos permitirá optimizar nuestro circuito y ajustarlo a los valores límite deseados. Usado convenientemente, es una potente herramienta de cálculo que mejorará el conocimiento de nuestros circuitos.

CONCLUSIONES

En esta primera entrada de una serie dedicada al método de Monte Carlo, en la que hemos querido presentar el método y su utilidad. Como hemos podido ver en el ejemplo, el uso del método de Monte Carlo proporciona datos de mucha utilidad, sobre todo si deseamos conocer cuáles son las limitaciones y variaciones del circuito que estamos analizando. Por otro lado, nos permite mejorar éste a través de los estudios estadísticos, además de fijar los patrones para la verificación del mismo en un proceso productivo.

En las siguientes entradas profundizaremos más en el método, realizando un estudio más exhaustivo del método a través de un circuito concreto de uno de mis proyectos más recientes, analizando cuáles son los resultados esperados y las diferentes simulaciones que se pueden realizar usando el método de Monte Carlo, como las de caso peor, sensibilidad, y optimización post-producción.

REFERENCIAS

  1. Castillo Ron, Enrique, “Introducción a la Estadística Aplicada”, Santander, NORAY, 1978, ISBN 84-300-0021-6.
  2. Peña Sánchez de Rivera, Daniel, “Fundamentos de Estadística”, Madrid,  Alianza Editorial, 2001, ISBN 84-206-8696-4.
  3. Kroese, Dirk P., y otros, “Why the Monte Carlo method is so important today”, 2014, WIREs Comp Stat, Vol. 6, págs. 386-392, DOI: 10.1002/wics.1314.

 

Estudio del comportamiento de un material piezoeléctrico (II)

En la entrada anterior habíamos estudiado el fenómeno piezoeléctrico a partir de las ecuaciones constitutivas que relacionan los campos eléctricos y mecánicos generados en el material. Los materiales piezoeléctricos se utilizan, gracias a este comportamiento, como componentes electrónicos con muy alta calidad. Su uso en filtros SAW, en resonadores BAW, en cristales de Cuarzo, para zumbadores e incluso como cargadores en Energy Harvesting hacen necesario, cada vez más, tener un modelo de circuito equivalente que defina correctamente el componente y su respuesta electroacústica. En esta entrada vamos a presentar un modelo, extraído en los años 40-50 por W.P. Mason y que sintetiza con bastante precisión los fenómenos electroacústicos tanto en su modelo lineal como no lineal.

MODELO DE MASON: EXTRACCIÓN

piezoelectrico

Esquema de un piezoeléctrico

Hemos dicho que un piezoeléctrico es un material electromecánico en el que aparecen fuerzas mecánicas cuando se le aplican fuerzas eléctricas y, recíprocamente, eléctricas cuando se aplican fuerzas mecánicas. La figura muestra un esquema dimensional de un material piezoeléctrico.

En el piezoeléctrico aplicamos un potencial eléctrico E⋅δz, y en ambas superficies del piezoeléctrico aparecen sendas tensiones T1 y T2, en cada una de las superficies del material. Aparecen también las velocidades de desplazamiento v1 y v2, que están relacionadas con el desplazamiento u a través de

v=\dfrac {\partial u}{\partial t}

Por último, aparece una corriente eléctrica I en los electrodos del potencial eléctrico. Por último, las magnitudes de A y d son la superficie en m2 y el espesor del dieléctrico en m.

En la entrada anterior estudiamos el comportamiento piezoeléctrico a partir de sus ecuaciones constitutivas. Recordando entonces cómo se escribían estas ecuaciones, teníamos

T=c^ES-e_{33}E

D=e_{33}S+{\epsilon}^SE

Se tiene que cumplir, además, la conservación de la energía a través de la ecuación de Lipmann

{\left[ \dfrac {\partial D}{\partial S} \right]}_E=-{\left[ \dfrac {\partial T}{\partial E} \right]}_S

Combinando adecuadamente estas ecuaciones, habíamos obtenido una ecuación de onda definida por

\left(\rho \dfrac {{\partial}^2}{\partial t^2} -c^D \dfrac {{\partial}^2}{\partial z^2} \right)u=0

que corresponde a una onda de propagación.

Utilizando la expresión que liga v con la variación temporal de u, podemos escribir la 2ª Ley de Newton como

\dfrac {\partial}{\partial z}(-T)=-\rho \dfrac {\partial v}{\partial t}

Recordando, además, que la deformación S derivaba del gradiente de u, calculamos la variación de S con respecto al tiempo y obtenemos su relación con el gradiente de v. Expresándolo para un sistema unidimensional en el eje z, obtenemos

\dfrac {\partial S}{\partial t}=\dfrac {{\partial}^2 u}{\partial z \partial t}=\dfrac {\partial v}{\partial z}

y despejando S de las ecuaciones constitutivas, obtenemos

\dfrac {\partial v}{\partial z}=-\dfrac {1}{c^D}\dfrac {\partial}{\partial t} \left( -T-\dfrac {e_{33}}{{\epsilon}^S}D \right)

Escalamos ahora las ecuaciones, multiplicando por A  los términos de ambas ecuaciones, y agrupándolas, obtenemos

\dfrac {\partial}{\partial z}(-A \cdot T)=-\rho \dfrac {\partial A \cdot v}{\partial t}

\dfrac {\partial A \cdot v}{\partial z}=-\dfrac {1}{c^D}\dfrac {\partial}{\partial t} \left( -A \cdot T\right)-\dfrac {1}{c^D}\left( -\dfrac {e_{33}}{{\epsilon}^S}A \cdot D \right)

Si comparamos este resultado con las ecuaciones del Telegrafista que define una línea de transmisión para las ondas electromagnéticas, podemos comprobar que son similares. La primera relaciona la variación espacial de la tensión -A·T con la variación temporal de la corriente A·v, y correspondería a una inducción por unidad de longitud similar a la de un elemento diferencial de una línea de transmisión.

En la segunda ecuación, que relaciona la variación espacial de la corriente A·v, con respecto a una variación temporal de una tensión, representa una capacidad por unidad de longitud similar a la de la línea de transmisión. Sin embargo, en el segundo término de la ecuación, tenemos una dependencia con la tensión -A·T, que sería una línea de transmisión convencional, y otra dependencia con el desplazamiento eléctrico D. Esa dependencia se representa mediante una línea de transmisión flotante como la que se muestra en la figura siguiente.

linea_t

Modelo acústico del piezoeléctrico, en línea de transmisión, a partir de las ecuaciones del Telegrafista

De este modo ya tenemos asemejada la parte acústica a una línea de transmisión definida por los campos que actúan en las ecuaciones constitutivas.

Sin embargo, esta línea no está del todo completa, ya que hay que incluir el efecto de los electrodos, aislando los campos acústicos de los campos eléctricos. El término que relaciona la variación espacial de A·v con el desplazamiento D puede ser acoplado a través de un transformador ideal N:1, como se muestra en la figura

Acoplamiento de la parte acústica y la eléctrica mediante un transformador N:1

Acoplamiento de la parte acústica y la eléctrica mediante un transformador N:1

y la relación de N se puede calcular por

N=-\dfrac {e_{33}}{d}A

Vamos ahora a estudiar la corriente I. Esta corriente se produce cuando se aplica una tensión E⋅δz en los electrodos del piezoeléctrico. Al aplicar esa tensión, generamos una polarización P, debido al carácter dieléctrico del material. Del mismo modo, sabemos que la corriente I es una variación de la carga Q, y que sólo se producía variación de la carga superficial σ del piezoeléctrico, y que ésta es debida a la polarización P, no variando la carga volumétrica, por lo que

I=\dfrac {\partial Q}{\partial t}=A \dfrac {\partial \sigma}{\partial t}=A \dfrac {\partial P}{\partial t}

y como a la polarización P se opone el desplazamiento eléctrico D para mantener el campo electrico E, obtenemos que

I=-A \dfrac {\partial D}{\partial t}

Estudiamos ahora el potencial E⋅δz aplicado en los electrodos. Usando las ecuaciones constitutivas, obtenemos que el potencial es

{\delta}V=E \cdot {\delta}z=-\dfrac {1}{{\epsilon}^S} \left( {e_{33}S-D} \right) \cdot {\delta}z

Derivando esta expresión con respecto al tiempo, obtenemos

\dfrac {\partial ({\delta}V)}{\partial t}=-\dfrac {1}{{\epsilon}^S} \left( {e_{33} \dfrac {\partial S}{\partial t}-\dfrac {\partial D}{\partial t}} \right) \cdot {\delta}z-\dfrac {1}{{\epsilon}^S} \left( {e_{33} \dfrac {\partial v}{\partial z}-\dfrac {I}{A}} \right) \cdot {\delta}z=\dfrac {\partial ({\delta}V_1)}{\partial t}+\dfrac {\partial ({\delta}V_2)}{\partial t}

Estudiemos ahora los términos en δV1 y  δV2. En el término en δV1 podemos obtener la expresión

I=-\dfrac {{\epsilon}^S A}{{\delta}z} \dfrac {\partial ({\delta}V_2)}{\partial t}=-C_o \dfrac {\partial ({\delta}V_2)}{\partial t}

y es la corriente que fluye a través de un condensador de valor CO , en paralelo con la tensión aplicada. Mientras, el término en δV2 se puede relacionar con la corriente que circula en la parte acústica a través de transformador, siendo Iprim la corriente que circula por el devanado primario del transformador. Usando las relaciones del transformador, podemos encontrar la relación de dicha corriente con esta tensión a través de

-\dfrac {{\delta}z}{e_{33}} \dfrac {\partial \left( I_{prim} \right)}{\partial z}=-\dfrac {{\epsilon}^S A}{e_{33}{\delta}z} \dfrac {\partial ({\delta}V_2)}{\partial t}

I_{prim}=- \left( -\dfrac {{\epsilon}^S A}{{\delta}z} \right) \dfrac {\partial ({\delta}V_2)}{\partial t}=-(-C_o) \dfrac {\partial ({\delta}V_2)}{\partial t}

Tenemos que hacer la consideración de que el peso de la tensión δV1>>δV2 , ya que al calcular la relación de transformación en el transformador hemos supuesto que es E⋅δz=δV, por lo que δV1δVδV20. De este modo, la corriente del primario es una corriente que circula a través de una capacidad negativa de valor CO.

Usando estos parámetros, deducidos de las ecuaciones constitutivas, es posible hacer un modelo completo del circuito equivalente de un piezoeléctrico, que se puede ver en la figura siguiente

mason_model

Circuito equivalente de Mason de un piezoeléctrico

CONDICIONES DE CONTORNO

Cualquier medio material está dentro de otros medios materiales (aire, agua, substratos semiconductores, metales, etc), y todos los medios materiales propagan ondas acústicas. Por tanto, así como en electromagnetismo definimos una impedancia de carga eléctrica sobre la que se transfiere la energía entregada desde el generador eléctrico, podemos definir una resistencia de carga acústica, que es donde se transfiere la energía acústica de la deformación. Esta resistencia de carga acústica está relacionada con la impedancia acústica del medio, y se transforma en una resistencia eléctrica a través de la expresión

R_L=Z_0 A= \rho v^DA

Por ejemplo, el aire tiene una impedancia acústica de 471 Rayls, así que para un piezoeléctrico AlN, con una superficie de 10.000μm2, si ambas superficies estuviesen en contacto con el aire, las impedancias de carga a conectar en los puertos A·T1 y A·T2 serían iguales y valdrían 4,71μΩ, lo que vendría a ser como colocar un cortocircuito en ambos puertos.

En el caso de que uno de los medios fuese aire y el otro, silicio, el silicio tiene una impedancia acústica de 8,35·105 Rayls, en el puerto del silicio habría que poner 8,35mΩ.

Hay que notar que, aunque la impedancia obtenida sea baja. no es estrictamente un cortocircuito. De hecho, al aire, que es el que más baja impedancia presenta, es al que consideramos un cortocircuito, mientras que el resto de materiales presentan impedancias acústicas más elevadas.

También es posible que tengamos un material compuesto de varios espesores de materiales, siendo uno de ellos piezoeléctrico, mientras que los demás son conductores o aislantes. Cuando esto ocurre, cada material puede ser representado por una línea de transmisión de igual modo que el piezoeléctrico. Por ejemplo, si el piezoeléctrico está encapsulado entre dos materiales diferentes, como el wolframio (W) y el molibdeno (Mo), y el wolframio está en contacto con el aire y el molibdeno con silicio, habría que añadir sendas líneas de transmisión entre las cargas y el piezoeléctrico, como se muestra en la figura siguiente

piezo_total

 

NO LINEALIDAD EN LOS MATERIALES: EL MODELO NO LINEAL DE MASON

En las condiciones de trabajo habituales de los piezoeléctricos, el funcionamiento debe de ser lineal. Sin embargo, los materiales presentan limitaciones que hay que tener en cuenta a la hora de trabajar con tensiones elevadas. Estas no linealidades introducen frecuencias espurias que reducen la calidad de la señal. Si estamos usando estos materiales en filtros de recepción, las no linealidades pueden representar un problema cuando una señal interferente de valor elevado atraviesa el material.

El piezoeléctrico es un resonador de muy alto factor de calidad. Traducido a parámetros discretos, se comporta como el circuito de la figura

Resonador equivalente de un piezoeléctrico

Resonador equivalente de un piezoeléctrico

La impedancia del resonador se puede representar en función de la frecuencia, obteniendo una gráfica similar a

impedancia

Impedancia del resonador en función de la frecuencia

El modelo, para bajos potenciales eléctricos, responderá correctamente de forma lineal. Sin embargo, a medida que aumentamos el valor del potencial eléctrico aplicado, empiezan a aparecer condiciones no lineales que limitarán su uso. Estas condiciones no lineales afectan, sobre todo, a las distorsiones de 2º y 3er orden, que son las que pueden afectar en mayor medida sobre la señal útil.

Una forma muy efectiva de simular no linealidades en circuitos eléctricos es el uso de las series de Volterra, una variante de los polinomios de Taylor en el que la respuesta depende en todo momento de los valores de los parámetros de entrada, incluyendo efectos de “memoria”, mediante acumulación de energía, de las capacidades e inducciones.

Como en las series de Taylor, las series de Volterra pueden ser truncadas en aquellos ordenes que sean superiores al que se considera dominante, por lo que nuestro modelo, considerando dominantes sobre todo el 2º y 3er orden de distorsión, puede truncarse a partir del 4º orden .

La distorsión afectará tanto al campo eléctrico como a la tensión mecánica. Las ecuaciones constitutivas, incluyendo estos efectos no lineales, quedarán descritas como

T=c^ES-e_{33}E+{\Delta}T

D=e_{33}S+{\epsilon}^SE+{\Delta}D

siendo ΔT un polinomio de 3er orden que se expresa mediante la suma de 2 términos ΔT2T3, donde el subíndice indica que el polinomio es de 2º o de 3er orden. El caso de ΔD es similar.

Los polinomios que ΔT2, ΔT3, ΔD2 yΔD3 se muestran a continuación:

{\Delta}T_2=\dfrac {1}{2}{\delta}_3 c^E S^2-{\delta}_1 e_{33} S E +\dfrac {1}{2}{\delta}_2 {\epsilon}^S E^2

{\Delta}T_3=\dfrac {1}{3}{\gamma}_4 c^E S^3-{\gamma}_1 e_{33} S^2 E+{\gamma}_2 {\epsilon}^S S E^2 +\dfrac {1}{3}{\gamma}_2 \dfrac {{\epsilon}^S e_{33}}{c^E} E^3

{\Delta}D_2=\dfrac {1}{2}{\delta}_1 e_{33} S^2-{\delta}_2 {\epsilon}^S S E +\dfrac {1}{2}{\delta}_4 \dfrac {{\epsilon}^S e_{33}}{c^E} E^2

{\Delta}D_3=\dfrac {1}{3}{\gamma}_1 e_{33} S^3-{\gamma}_2 {\epsilon}^S S^2 E-{\gamma}_3 \dfrac {{\epsilon}^S e_{33}}{c^E} S E^2 +\dfrac {1}{3}{\gamma}_5 \dfrac {({\epsilon}^S)^2}{c^E} E^3

y además, se sigue teniendo que cumplir la ecuación de Lipmann para la conservación de la energía.

Las series que definen el modelo no lineal se pueden introducir en el modelo lineal de Mason a través de fuentes de tensión dependientes, tanto en la zona eléctrica como en la zona acústica. A dichas fuentes las denominamos VC y TC y están situadas, dentro del modelo, en la entrada eléctrica (caso de VC) y en línea común de la corriente de secundario (caso de  TC), tal y como se muestra en la figura.

Modelo de Mason con las fuentes no lineales

Modelo de Mason con las fuentes no lineales

Estas fuentes se derivan de las ecuaciones constitutivas del mismo modo que hemos derivado el modelo lineal, y se obtienen sus expresiones, que son

T_C=A \left( \dfrac {e_{33}}{{\epsilon}^S}{\Delta}D+{\Delta}T \right)

V_C=\dfrac {d}{{\epsilon}^S}{\Delta}D

Con estas expresiones en el modelo de Mason, tenemos un modelo equivalente no lineal de un material piezoeléctrico, que incluye los efectos de 2º y 3er orden de distorsión, y podemos estudiar el comportamiento de un componente fabricado con este tipo de materiales en presencia de señales interferentes.

CONCLUSIÓN

En esta entrada hemos querido presentar un modelo eléctrico útil para representar un material piezoeléctrico, extraído a partir de las ecuaciones constitutivas. Esto nos ha permitido llegar al modelo que W.P. Mason obtuvo en los años 40, y entender cómo realizó la extracción de los parámetros del modelo.

No sólo hemos obtenido el modelo de Mason, sino que hemos parametrizado un modelo que pueda representar las variaciones no lineales a partir de las series de Volterra, que nos permitirán realizar un modelo no lineal que incluya los efectos de 2º y 3er orden de distorsión, y poder predecir la respuesta de un dispositivo de estas características en condiciones de señales interferentes.

En la próxima entrada vamos a proceder a estudiar el modelo en un simulador, mostrando cómo se realiza un modelo equivalente del piezoeléctrico incluyendo los parámetros no lineales, describiremos un método de medida para extraer los parámetros no lineales y mostraremos los resultados obtenidos mediante simulación.

REFERENCIAS

  1. W.P. Mason, Electromechanical Transducers and Wave Filters”, Princeton NJ, Van Nostrand, 1948
  2. J. F. Rosenbaum, “Bulk Acoustic Wave Theory and Devices”, Artech House, Boston, 1988.
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  4. R. Krimholtz, D.A. Leedom, G.L. Mathaei, “New Equivalent Circuit for Elementary Piezoelectric Transducers”, Electron. Lett. 6, pp. 398-399, June 1970.
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  6. C. Collado, E. Rocas, J. Mateu, A. Padilla, and J. M. O’Callaghan, “Nonlinear Distributed Model for BAW Resonators”, IEEE Trans. On Microwave Theory and Techniques, vol. 57, no. 12, pp. 3019-3029, Dec. 2009.
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  8. M. Ueda, M Iwaki, T. Nishihara, Y. Satoh, and K Hashimoto, “Investigation on Nonlinear Distortion of Acoustic Devices for Radio-Freqquency Applications and Its Suppression”, Proc. 2009 IEEE Ultrasonics Symposium, pp. 876-879, Sept. 2009.
  9. M. Ueda, M Iwaki, T. Nishihara, Y. Satoh, and K Hashimoto, “A Circuit Model for Nonlinear Simulation of Radio-Frequency Filters Employing Bulk Acoustic Wave Resonators”, IEEE Trans. On Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency control, vol. 55, 2008, pp. 849-856.
  10. D. S. Shim and D. Feld, “A General Nonlinear Mason Model of Arbitrary Nonlinearities in a Piezoelectric Film”, Proc. 2010 IEEE Ultrasonics Symposium, pp. 295-300, Oct. 2010.
  11. D. Feld, “One-Parameter Nonlinear Mason Model for Predicting 2nd & 3rd Order Nonlinearities in BAW Devices”, Proc. 2009 IEEE Ultrasonics Symposium, pp. 1082-1087, Sept. 2009.

Estudio del comportamiento de un material piezoeléctrico (I)

Los dispositivos electrónicos, cada vez más, forman parte de nuestras herramientas de comunicación, y los componentes electrónicos son cada vez más conocidos, lo que permite aprovechar su potencial en el proceso de diseño. En esta entrada vamos a estudiar el comportamiento electromecánico de un material muy popular: el piezoeléctrico, explicaremos las ecuaciones constitutivas del fenómeno y realizaremos un modelo que permita el estudio del comportamiento en un simulador de circuitos.

LOS MATERIALES PIEZOELÉCTRICOS

Un piezoeléctrico consiste en un material no conductor que posee propiedades mecánicas activadas por la aplicación de campos eléctricos. Por reciprocidad, cuando a ese dispositivo piezoeléctrico le aplicamos torsiones y deformaciones mecánicas, también se generan fuerzas de tipo eléctrico.

El material piezoeléctrico más conocido por los diseñadores electrónicos es el cuarzo (SiO2), cristalizado en trigonal (cuarzo-α) hasta 570°C y en hexagonal (cuarzo-β) a temperaturas entre 570° y 870°C. A temperaturas superiores, el cuarzo se transforma en otro compuesto de sílice denominado tridimita.

La cristalización del cuarzo en su variedad hexagonal proporciona propiedades piezoeléctricas cuando se aplica al material campos eléctricos o tensiones mecánicas, y es muy utilizado en electrónica por este comportamiento, logrando obtener resonadores electromecánicos con muy alto factor de calidad.

Otros materiales piezoeléctricos muy utilizados en la industria electrónica son el nitruro de Aluminio (AlN), el óxido de Zinz (ZnO) y los materiales PZT, en diversas variantes.

En esta entrada vamos a estudiar el comportamiento piezoeléctrico a partir de las ecuaciones constitutivas que relacionan las propiedades mecánicas con las eléctricas, y a partir de ahí, obtener un modelo eléctrico que permita su uso en una herramienta de simulación de circuitos.

CONCEPTO DE ONDAS ACÚSTICAS

En Física denominamos onda acústica a un fenómeno mecánico de propagación de una onda de presión a lo largo de un material. Al poseer esta onda de presión una variación temporal periódica, puede propagarse a diversas frecuencias. Las ondas de presión que están situadas en la banda desde 100Hz a 10KHz se caracterizan porque son audibles, esto es, nuestro sentido del oído puede captarlas, enviar la información captada al cerebro y ser procesada para realizar una determinada acción. Sin embargo, todas las ondas de presión entran dentro del concepto de onda acústica, puesto que es un campo de fuerzas que se asemeja al campo eléctrico por su comportamiento.

En las ondas de presión acústicas distinguimos dos magnitudes importantes: la tensión T y la deformación S. La primera, T, es la fuerza por unidad de superficie que aparece en el entorno de un punto material de un medio continuo. Es, por tanto, una presión mecánica cuyas unidades son N/m2.

Descripción de la tensión mecánica

Asociada a ésta aparece la deformación S, que es desplazamiento que se produce en las partículas del material al aplicar una presión sobre éstas. La deformación se mide en m/m.

Desplazamiento producido por una deformación

Desplazamiento producido por una deformación

La relación entre ambas magnitudes se puede expresar asemejando la tensión T con el desplazamiento eléctrico D y la deformación S con el campo eléctrico E. Por tanto, si el campo eléctrico E es proporcional al desplazamiento eléctrico D a través de la constante dieléctrica del material ε, la deformación S es proporcional a la tensión T a través de un tensor constante [cE], como se puede ver en la expresión

\vec{T}=\left[ c^E \right] \vec{S}

Si al desplazamiento mecánico producido le denominamos u, podemos poner la deformación S como un gradiente de este desplazamiento mecánico a través de

\vec{S}=\vec{\nabla}u

Con lo que se puede ver la similitud con el campo eléctrico, que deriva en forma de gradiente de un potencial eléctrico V.

Normalmente T y S son magnitudes vectoriales, y [cE]  es un tensor. Pero si manipulamos el material de modo que sólo tengamos deformación en uno de los ejes (por convenio, a partir de aquí vamos a usar el eje Z), las expresiones se simplifican siendo T y S simples magnitudes escalares, y cE una constante de proporcionalidad. Las dimensiones de esta constante son las mismas que la tensión, tiene dimensiones de presión (N/m2).

La deformación está sujeta a la 2ª ley de Newton, que relaciona la velocidad de deformación con la tensión aplicada a través de

\rho \dfrac {{\partial}^2 u}{\partial t^2}=\vec{\nabla} \vec{T}

 donde ρ es la densidad de masa por unidad de volumen. Como hemos escogido trabajar sólo en una dirección de propagación, podemos poner la divergencia de T como

\vec{\nabla} \vec{T}=\dfrac {\partial T}{\partial z}=c^E \dfrac {\partial S}{\partial z}

y teniendo en cuenta que S es la derivada con respecto a z del desplazamiento mecánico u, introduciendo ésto en la expresión de la Ley de Newton y agrupando los términos obtenemos

\left( \rho \dfrac {{\partial}^2}{\partial t^2} - c^E \dfrac {{\partial}^2}{\partial z^2} \right)u=0

que es una ecuación de onda similar a la que se obtiene del desarrollo de las ecuaciones de Maxwell en electromagnetismo. De esta ecuación se puede derivar la ecuación de Helmholtz, asumiendo que la solución de esta ecuación es una solución del tipo

u=\left( Ae^{-jKz}+Be^{jKz} \right)e^{j \omega t}

y usando esta solución en la ecuación de onda anterior, obtenemos que

\left( \dfrac {{\partial}^2}{\partial z^2} + \dfrac {{\omega}^2 \rho}{c^E} \right)u=0

que corresponde a la ecuación de Helmholtz. En la ecuación de Helmholtz, la constante de propagación K se define por

K=\dfrac {\omega}{v}

donde v es la velocidad de propagación de la onda acústica (velocidad del sonido en el medio acústico). De aquí se puede obtener la constante cE, que está relacionada con el material a través de su densidad y de la velocidad de propagación de la onda acústica en el mismo.

c^E=\rho v^2

Al tratarse de una onda viajando a través de un medio material, podemos tratar la misma como una onda que se propaga a través de una línea de transmisión, cuya impedancia Z0 se obtiene por

Z_0=\rho v

que denominamos impedancia acústica del medio y que se expresa en Rayl o N⋅s/m3. La velocidad de propagación v, que es la velocidad del sonido en el medio material, está relacionada con el desplazamiento acústico lineal a través de

v=\dfrac {\partial u}{\partial t}

y el desplazamiento acústico angular se puede expresar por

\Delta \theta=K \Delta z

Viendo la similitud entre las ecuaciones de la acústica y las ecuaciones del campo electromagnéticos, podemos establecer una analogía en ambos tipos de interacciones que nos va a permitir desarrollar correctamente el estudio de los materiales piezoeléctricos.

ECUACIONES CONSTITUTIVAS DE UN MATERIAL PIEZOELÉCTRICO

En un medio piezoeléctrico, como en cualquier otro material, se producen tensiones y deformaciones acústicas. La peculiaridad del piezoeléctrico es que esas tensiones que aplicamos generan campos eléctricos. Del mismo modo, por reciprocidad, cuando aplicamos un campo eléctrico a un piezoeléctrico, generamos tensiones acústicas en el material. Por tanto, podemos relacionar estas tensiones y campos eléctricos mediante las ecuaciones constitutivas del piezoeléctrico, que son

T=c^ES-e_{33}E

D=e_{33}S+{\epsilon}^SE

Estas ecuaciones muestran la relación entre la tensión generada en la superficie del piezoeléctrico T con la deformación S, cuando se le aplica un campo eléctrico E. Recíprocamente, se produce un desplazamiento eléctrico en el piezoeléctrico cuando se aplica una deformación S, apareciendo un campo eléctrico E. En este caso, además de la constante que relaciona la deformación con la tensión cE, también aparece la constante dieléctrica del material εS y la constante piezoeléctrica e33, que liga la tensión T con el campo eléctrico E en la dirección Z. En un sistema tridimensional, esa constante estaría representada por un tensor.

Con estas ecuaciones constitutivas, podemos obtener la ecuación de onda anterior, teniendo en cuenta las mismas condiciones. Sabiendo que el desplazamiento eléctrico es, por el teorema de Gauss

\dfrac {\partial D}{\partial z}={\rho}_m

y que aunque se le aplique una deformación o un campo eléctrico no hay variación de la carga espacial, podemos reescribir la ecuación de onda anterior como

\left(\rho \dfrac {{\partial}^2}{\partial t^2} -c^D \dfrac {{\partial}^2}{\partial z^2} \right)u=0

donde la constante cD es la constante de deformación cuando aparece un campo electrostático en el medio material y se puede escribir por

c^D=c^E+\dfrac {e_{33}^2}{{\epsilon}^S}

que es característica de un medio piezoeléctrico. Así, la solución a la ecuación de onda será similar a la del caso de un medio material acústico, donde esa constante cD, se puede calcular a través de

c^D=\rho v^2

manteniéndose el resto de ecuaciones igual.

Como la solución de la ecuación de onda del piezoeléctrico es una onda que se propaga en una dirección determinada, podemos representar el medio de propagación como una línea de transmisión de impedancia A⋅Z0, donde Z0 es la impedancia acústica que depende exclusivamente del medio material a través de su densidad ρ y la velocidad de propagación del sonido v en el medio material; y A es la superficie del material piezoeléctrico.

linea

Línea de transmisión equivalente de la parte acústica

Al ser una línea de transmisión, tendrá resonancias cada n·λ/4, siendo λ la longitud de onda de la onda acústica. Si el dieléctrico tiene un espesor d, una resonancia λ/4 en la línea de transmisión. Por tanto, el material piezoeléctrico se puede usar para realizar resonadores eléctricos, ya que la resonancia acústica se puede relacionar, a través de las ecuaciones constitutivas, con la resonancia eléctrica.

CONCLUSIÓN

Hemos visto en esta entrada cómo se producen las ondas acústicas en un material, y la relación existente, a través de las ecuaciones constitutivas, entre los campos acústico y eléctrico.

Los materiales piezoeléctricos son de uso cada vez más común en electrónica, ya sea como resonadores, como generadores de sonido o como generadores de energía eléctrica para Energy Harvesting, realizando alimentadores eléctricos que usan la energía procedente de la vibración acústica para generar una tensión eléctrica.

El modelado circuital equivalente de estos componentes está resuelto a través de las ecuaciones constitutivas, siendo los modelos más habituales el modelo de Redwood o el de Mason.

En las próximas entradas trataremos de explicar el modelo equivalente de Mason de un piezoeléctrico, tanto en su versión lineal como no lineal.

REFERENCIAS

  1. W.P. Mason, Electromechanical Transducers and Wave Filters”Princeton NJ, Van Nostrand, 1948
  2. J. F. Rosenbaum, “Bulk Acoustic Wave Theory and Devices”, Artech House, Boston, 1988.
  3. M. Redwood, “Transient performance of a piezoelectric transducer”, J. Acoust. Soc. Amer., vol. 33, no. 4, pp. 527-536, April 1961.
  4. R. Krimholtz, D.A. Leedom, G.L. Mathaei, “New Equivalent Circuit for Elementary Piezoelectric Transducers”, Electron. Lett. 6, pp. 398-399, June 1970.

El Control Automático de Ganancia: topología, funcionamiento y uso (II)

En la entrada del mes pasado estudiábamos la filosofía de un amplificador con Control Automático de Ganancia. Para terminar este capítulo dedicado al AGC, vamos a estudiar la simulación del sistema usando la aplicación SIMULINK de MatLab, y dedicaremos un apartado a concretar el uso más habitual de este tipo de configuraciones.

DIAGRAMAS DE BLOQUES DE UN AGC EN SIMULINK

En primer lugar, vamos a recordar que el diagrama de bloques usual de un AGC es el siguiente

Diagrama de bloques de un AGC

Diagrama de bloques de un AGC

Es importante la traslación de este sistema a SIMULINK, para poder estudiar cómo funciona. Comenzamos por el VGA (amplificador controlado por tensión). En el apartado anterior comprobamos que la expresión que relaciona la tensión de salida con la tensión de entrada es una expresión definida por

V_{out}=g(V_c) \cdot V_{in}=g_o \cdot {10^{-{\alpha} \cdot V_c}} \cdot V_{in}

por tanto, tenemos que construir un diagrama de bloques SIMULINK que realice esta expresión. El diagrama de bloques es

img1

Diagrama SIMULINK del VGA

Tenemos dos puertas de entrada: la puerta In1 es la puerta donde se aplicará VIN en unidades de magnitud, mientras que la entrada In2 es la puerta donde se aplicará VC, también en unidades de magnitud. Esta tensión VC pasa por un amplificador de ganancia -1 y por una función matemática 10u, para realizar la parte exponencial de la ganancia, que se multiplica mediante una función producto a la tensión de In1, correspondiente a VIN. Luego aplicamos un bloque Gain3, en el que proporcionamos la máxima ganancia de nuestro amplificador, que en este caso es 10. De este modo, nuestro amplificador tiene la siguiente expresión

V_{out}=10 \cdot {10^{-{V_c}}} \cdot V_{in}

VOUT, en unidades de magnitud, sale por Det a través de la salida Out2, mientras que por la salida Out1 sacamos VOUT en dB, ya que nos interesa más esa escala a la hora de realizar las medidas. La salida Det será utilizada para realizar la parte de la detección y aplicar un amplificador logarítmico.

El diagrama de bloques, entonces, queda como sigue

img2

Diagrama de bloques SIMULINK del AGC

Por un lado, tenemos Control Amp, que es nuestro VGA. La entrada, que se expresa en magnitud, entra en el amplificador y se lleva, a través de una conversión a dB, al Scope. La salida Out, que sale en dB, se lleva también al Scope.

La salida Det pasa por un detector de envolvente de ganancia unidad y un amplificador logarítmico de base 10. El resultado de esa operación se compara con el valor VREF, que es, en dB, el valor que queremos a la salida. Mediante el bloque dB to Mag se pasa VREF a unidades de magnitud.

El resultado se pasa por un integrador que tiene una constante de proporcionalidad 0,5. En el visualizador Control podemos estudiar la respuesta temporal de la salida del integrador, que nos proporcionará información acerca del tiempo que le lleva al AGC volver al estado nominal cuando haya un cambio en el valor de entrada.

La entrada está formada por los bloques In_dB (el valor nominal de entrada en dB) y dB_Step, en donde introduciremos el salto que se va a producir en el valor de entrada. Por ejemplo, en la figura tenemos un salto de 10dB, por lo que si el valor inicial de entrada In_dB es de 10dB, en el momento en que se produzca el salto tendremos 20dB, que el AGC tendrá que corregir.

El bloque dB to Mag with step es un bloque que nos proporcionará el valor de entrada en magnitud VIN, con el salto en dB en el tiempo que deseamos. Este bloque es

img3

Diagrama de bloques del dB to Mag with step

La entrada dB_Step se multiplica a un escalón retardado, para que el salto se produzca en ese momento, y la salida (que sigue estando expresada en dB) se suma a la entrada nominal dB_In, que es el valor inicial. Un bloque Gain (1/20) y un bloque 10u pasan los dB a magnitud, que es la que se introducirá en el amplificador.

PROCESO DE SIMULACIÓN

Vamos a proceder a la simulación de nuestro AGC. En primer lugar, vamos a ver cuál es la salida del amplificador cuando no tenemos salto.

img4

Respuesta del AGC cuando no hay variación en el valor de entrada (dB_Step=0)

Como podemos ver en la gráfica, cuando entramos con 10dB, el amplificador se va a su máxima ganancia (10dB+20dB de ganancia pasa a 30dB de nivel de salida). El AGC corrige la ganancia hasta que se obtienen los 15dB de VREF. Si cambiamos VREF a 20dB, el resultado en la salida es similar, pero se obtienen 20dB.

img5

Respuesta con Vref=20dB

Por tanto, queda comprobado que el amplificador está funcionando correctamente, por lo que aplicamos ahora los cambios en amplitud.

En primer lugar, introducimos un retardo en el bloque Step de dB to Mag with step de 15s. Esto quiere decir que la amplitud del amplificador cambiará a partir de la posición 15. Ahora introducimos un salto en dB_Step de 5dB, manteniendo la VREF en 15dB. El resultado es

img6

Respuesta del AGC a un incremento en la entrada de 5dB

Podemos ver que el amplificador ya se encuentra en estado estacionario a partir del instante 10, con 15dB de salida, y en el instante 15 la entrada sube 5 dB. El amplificador incrementa su salida a 20dB, pero el AGC realimenta la ganancia hasta que en el instante 25 volvemos a tener 15dB.

Apliquemos ahora la misma variación, pero negativa, disminuyendo el valor de entrada en 5dB. El resultado es

img7

Respuesta del AGC a una disminución en la entrada de 5dB

Donde vemos que el nivel de entrada, en el instante 15, pasa de 10dB a 5dB, provocando que el nivel de salida caiga a 10dB. Entonces comienza a actuar el AGC hasta que en el instante 25 se estabiliza y vuelve a los 15dB de salida.

¿Cómo es la señal de Control? En esta última gráfica, podemos comprobar que la señal de Control es

img8

Respuesta del control Vc

Por tanto, podemos ver el cambio que se produce en la ganancia, cuando VC pasa de 0,75 a 0,5 para estabilizar el nivel de salida.

Este AGC es muy sencillo. El tiempo de respuesta del AGC venía dado por la expresiónτ=1/α·A cuando el valor de la amplitud sube o cae α·A/e, donde A era el factor multiplicador del integrador y α la constante de proporcionalidad de la parte exponencial de la ganancia. Por tanto tenemos que t vale, con los números que hemos utilizado, 2.

Este valor se corresponde al instante en que la envolvente cae 0,18, que en la gráfica anterior se corresponde a un valor aproximado de 0,57. Podemos comprobar que ese valor cae en una posición inferior a la mitad del intervalo entre 15 y 20, por lo que los números son coherentes.

En esta simulación no hemos puesto limitación al valor del salto. Esto significa que si sobrepasamos el rango del AGC podremos tener valores de VC incoherentes. Pero dentro del rango del AGC, podemos estudiar el comportamiento de los integradores y de la respuesta del VGA de forma temporal, si introducimos dichos datos en el sistema.

USO HABITUAL DE LOS AGC

Por último, y para cerrar esta entrada correspondiente a los AGC, vamos a comentar brevemente el uso de los mismos en los equipos de telecomunicaciones.

Por lo general, cuando tenemos comunicación radiada a través del espacio libre, podemos encontrarnos con una gran diversidad de valor de campo eléctrico, que, al acoplarse a la antena, proporciona diferentes niveles de señal a la entrada de un receptor. Y las variaciones pueden ser del orden de decenas de dB.

Los receptores suelen tener un margen dinámico limitado. Por debajo de un determinado valor, el ruido interfiere en la señal dejándola irrecuperable, y por encima de un determinado valor, se produce la intermodulación, que genera señales indeseadas que también pueden hacer irrecuperable la señal. Se hace, por tanto, necesario que exista un rango dinámico controlado por el propio equipo para que absorba las variaciones propias de la señal de entrada. Es aquí donde entra el AGC.

Si observamos el diagrama de bloques de un equipo receptor, tendremos que los bloques principales son

img9

Diagrama de bloques típico de un receptor de telecomunicaciones

El primer amplificador, que está antes del mezclador de FI, es un amplificador controlado por tensión que realiza el AGC para garantizar que en el receptor (en este caso un demodulador I-Q) el nivel sea el óptimo.

Hay ocasiones que el propio receptor tiene un rango de AGC, que combinado con el rango del amplificador de entrada incrementa el rango dinámico del receptor.

Los AGC, aunque menos habituales, también se suelen usar en transmisión, aunque en este caso lo más habitual es tomar una muestra del nivel de salida y pasarlo por un ADC para que a través de un microcontrolador se corrija el nivel de ataque al amplificador, sin que el amplificador esté controlado por tensión.

CONCLUSIONES

Con esta entrada damos por cerrado el capítulo del estudio de los AGC y su uso. La mayoría de los equipos de telecomunicaciones tienen, hoy día AGC digitales que controlan las variaciones de la señal de entrada a través de los microprocesadores. Sin embargo, la gran ventaja del AGC analógico clásico es la rapidez de su respuesta y la alta estabilidad que se obtiene, ya que corrige un sistema exponencial que, a la hora de ser cuantificado, puede necesitar al menos de 8 bits para controlarlo y obtener un buen margen de estabilidad de nivel en el AGC. Su mayor inconveniente suele ser el espacio, la variación del margen con la temperatura y la necesidad de obtener una muestra de nivel lo suficientemente elevada para que el detector no introduzca ruido.

También hemos podido comprobar la utilidad de una herramienta como SIMULINK para analizar este tipo de sistemas, que nos puede proporcionar información de primera mano para comprobar si el sistema es viable.

REFERENCIAS

  1. Benjamin C. Kuo; “Automatic Control Systems”; 2nd ed.; Englewood Cliffs, NJ; Prentice Hall; 1975
  2. Pere Matí i Puig; “Subsistemas de radiocomunicaciones analógicos”;Universitat Oberta de Catalunya;2010

Simulación de un PLL digital con SIMULINK

En Octubre de 2013 realizábamos un análisis de un PLL digital con un filtro de segundo orden. Llegábamos a las expresiones matemáticas y representábamos en MatLab la forma de la fase estimada. En esta entrada vamos a utilizar la herramienta SIMULINK integrada en MatLab, que nos permite realizar análisis de sistemas mediante bloques definidos dentro del propio simulador.

Representación de un ADPLL en bloques

Si recordamos la entrada de octubre, el diagrama de bloques del PLL digital era

Diagrama de bloques del PLL digital

Diagrama de bloques del PLL digital

donde teníamos un comparador de fase, del que se obtenía la estimación de fase, el filtro de lazo y un VCO. Recordemos también que el filtro de lazo H(z) genérico, para un PLL de segundo orden, era

H(z)=\alpha + \dfrac {\beta z^{-1}}{1-z^{-1}}

Tratándose de un filtro PI (proporcional-integrador), ya que la primera constante, α, es simplemente un factor multiplicador mientras que el segundo término es la transformada z de un integrador.

Para simular la respuesta de este diagrama de bloques, vamos a generar una serie de bloques que nos permitan realizar la simulación de la PLL.

Generación de la fase de entrada

Para generar la fase de entrada, lo que vamos a hacer es generar una onda que responda a un periodo concreto T, en el que tendremos n muestras que se hacen con un periodo de muestreo TS. Por tanto, el argumento ΦREF con el que vamos a comparar el argumento del VCO es

\phi_{REF}[n]=\dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n]

Esta señal se convierte en un fasor complejo del tipo

e^{j\phi_{REF}[n]}=e^{j \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)}

y separando las señales en su parte real e imaginaria, tendremos dos señales a comparar:

= A_R= Re \left[ e^{j \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)} \right]=\cos \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)

= A_I= Im \left[ e^{j \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)} \right]=\sin \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)

La fase θ(n) será la fase de referencia, la que queremos sintetizar con el ADPLL, mientras el el término discreto nos permite ver la evolución temporal de la fase.

Para realizar esta generación se recurre al siguiente diagrama de bloques en SIMULINK.

Diagrama de bloques SIMULINK del generador de argumento complejo

Diagrama de bloques SIMULINK del generador de argumento complejo

donde tenemos un bloque Clock que genera la base de tiempos discreta. Esa base de tiempos se multiplica por un valor K que corresponde a la pulsación 2π/T y se suma con la fase de referencia, que corresponde con la fase de referencia θ. La salida la multiplicamos por el valor complejo j y hacemos la exponencial de ese producto. Aplicando el bloque Complex to Real-Imag, podemos extraer dos líneas, una con el coseno del argumento y otra con el seno. De este modo podemos generar la fase de entrada.

Generación del VCO

El VCO será un dispositivo que posea la fase estimada de la forma

= B_R= Re \left[ e^{-j \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)} \right]=\cos \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)

= B_I= Im \left[ e^{-j \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)} \right]=-\sin \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)

Para realizar esta operación, tendremos que usar el siguiente diagrama de bloques.

Diagrama de bloques SIMULINK del VCO

Diagrama de bloques SIMULINK del VCO

En este caso, la estimación de fase del VCO se pondrá en función de la ganancia del VCO, Kv·T. A esta estimación de fase se le suma ωT, siendo ω la pulsación 2π/Ts, con Ts el periodo de muestreo de la señal.

El resultado pasa después por un integrador y le aplicamos una función coseno y otra función seno. El bloque ()*, que cambia de signo la línea de seno, convirtiendo la señal en una compleja conjugada, extrae a la salida las ecuaciones descritas para el NCO.

Representación del comparador de fase

El comparador de fase debe proporcionar a la salida la diferencia de fase, que es:

\Delta \theta=\theta [n] - \hat \theta [n]

A partir de las ecuaciones generadas para la fase de referencia y para la estimación de fase, tenemos que hacer un multiplicador de números complejos como el que se muestra en el diagrama de bloques

Multiplicador de números complejos

Multiplicador de números complejos

Con el bloque Real-Imag to Complex se convierte AR, AI, BR, BI en sendos números complejos A y B

A=\cos \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)+j\sin \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)=e^{j \left(\dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)}

B=\cos \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)-j\sin \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)=e^{-j \left(\dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)}

el resultado es un complejo CP cuyo valor es

CP=AB=e^{j \left(\dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)}e^{-j \left(\dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)}=e^{j \left(\theta[n] - \hat \theta[n] \right)}

y podemos ver que la diferencia de fase está en el argumento de la exponencial compleja. Aplicando ahora un bloque que convierte este número en Real-Imag, obtenemos

CP_R=\cos \left(\theta[n] - \hat \theta[n] \right)

CP_I=\sin \left(\theta[n] - \hat \theta[n] \right)

Aplicándole un bloque que convierta Real-Imag en Mag-Angle, como éste

Transformación Real-Imag a Mag-Ang

Transformación Real-Imag a Mag-Ang

obtendremos el error de fase

\Delta \theta=\theta [n] - \hat \theta [n]

que es la señal resultado del comparador de fase.

Filtro de lazo

El filtro de lazo utilizado en un ADPLL suele ser un filtro proporcional-integral

Diagrama de bloques de un filtro de lazo digital

Diagrama de bloques de un filtro de lazo digital

La transformada z de este filtro la hemos visto en la introducción. En SIMULINK vamos a poner la dependencia de α, β en función de dos variables externas. El filtro de lazo en SIMULINK es

Diagrama de bloques SIMULINK de un filtro de lazo digital

Diagrama de bloques SIMULINK de un filtro de lazo digital

Donde Kp es α (factor proporcional) y Ki es β (factor integrador). Por un lado, realizamos directamente el producto de Δθ por Kp y lo llevamos a un sumador, mientras que por otro lado hacemos el producto de Δθ por Kp, lo integramos y llevamos al sumador, y con la suma obtenemos el tune (T(n)) del VCO.

La respuesta de este filtro a una señal escalón u(n) es una señal de la forma

Respuesta del filtro de lazo a una señal escalón

Respuesta del filtro de lazo a una señal escalón

que se corresponde con la expresión

T[n]=\left(K_p+K_in \right)u[n]

Estudio completo del transitorio

En SIMULINK se pueden dibujar los bloques y crear un bloque nuevo, de tal modo que tengamos simplificados los mismos. El diagrama de bloques que vamos a simular en SIMULINK es

Diagrama de bloques SIMULINK del ADPLL

Diagrama de bloques SIMULINK del ADPLL

donde PhaseRef será la fase de entrada o referencia. Tomaremos como medidas Phase_error (donde se podrá comprobar la evolución del error de fase) y Loop, donde se podrá comparar la evolución de las señales de VCO y de referencia.

Para los valores Kp y Ki (α y β), tenemos que recordar que se debía cumplir que

\alpha^2 -4 \beta < 0

Eligiendo α=0.03 y β=0.002, obtenemos que el error de fase, para una fase de entrada de π/3, es

Respuesta el PLL a un cambio de fase en la entrada

Respuesta el PLL a un cambio de fase en la entrada

Como podemos comprobar, cuando se inicia, el error de fase toma un valor muy alto, que se va trasladando como una forma senoidal amortiguada, hasta que se convierte en cero. En ese momento la fase está enganchada. Como se puede comprobar, es la respuesta a un escalón en un filtro de segundo orden con factor de amortiguamiento.

Si ahora representamos Loop, obtendremos

Seguimiento de la fase con respecto a la fase de referencia

Seguimiento de la fase con respecto a la fase de referencia

Donde podremos ver que al principio las fases son muy diferentes, pero que ambas ondas tienden a converger a la misma fase, por lo que hemos igualado la fase a la fase de referencia, lo que significa el enganche de fase.

Si ahora usásemos sólo un filtro proporcional α (β=0), y simulásemos, obtendríamos

Respuesta a un escalón de un ADPLL de primer orden

Respuesta a un escalón de un ADPLL de primer orden

Que es la respuesta a un escalón de un filtro paso bajo de primer orden.

Conclusiones

En esta entrada hemos podido ver el comportamiento de un ADPLL en régimen transitorio mediante el uso de SIMULINK, que nos proporciona una herramienta de simulación potente para poder analizar sistemas en diagrama de bloques. Hemos podido comprobar que lo analizado en la entrada de octubre de 2013 es correcto y hemos podido comprobar su comportamiento transitorio.

Referencias

  1. C. Joubert, J. F. Bercher, G. Baudoin, T. Divel, S. Ramet, P. Level; “Time Behavioral Model for Phase-Domain ADPLL based frequency synthesizer”; Radio and Wireless Symposium, 2006 IEEE, January 2006
  2. S. Mendel, C. Vogel;”A z-domain model and analysis of phase-domain all-digital phase-locked loops”; Proceedings of the IEEE Norchip Conference 2007, November 2007
  3. R. B. Staszewski, P. T. Balsara; “Phase-Domain All-Digital Phase-Locked Loop”; IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs; vol. 52, no. 3, March 2005

Como simular parámetros S usando un simulador convencional

Simuladores de circuitos hay muchos. Los usuarios de este tipo de aplicaciones software podrían decir varios tipos, desde LTSpice, PSpice, Electronic Workbench, Microwave Office, Advance Design System, Genesys, etc. Se puede hacer una larga lista y se encontrarían para todos los gustos. Además, casi todos tienen las simulaciones importantes: análisis en DC, en AC, transitorios, análisis de ruido, etc. En esta entrada rememoro un artículo que escribí en octubre de 1997 y en el que mostraba cómo se podía simular un circuito de RF usando el simulador SPICE.

Un simulador de circuitos es una aplicación que permite analizar el comportamiento eléctrico de circuitos electrónicos a través de su descripción esquemática. Por tanto, una vez dibujado el circuito y a través de las librerías que describen el comportamiento de los componentes, es posible analizar la respuesta de un esquema eléctrico en diversos tipos de análisis. Así, podemos encontrarnos con posibilidad de analizar DC, AC, análisis transitorios, análisis de ruido, trasformadas de Fourier, etc.

Dentro de los simuladores existen varios tipos, algunos como el Advanced Design System o el Microwave Office, que están especialmente diseñados para analizar circuitos de alta frecuencia, usando las técnicas matriciales como los parámetros ABCDlas matrices Z e Y y los parámetros S. En los circuitos de alta frecuencia, el método de analizar el comportamiento en frecuencia de un circuito es a través de los parámetros S.

Para ello, el circuito se analiza como un cuadripolo, en el que se definen unas ondas incidentes (a1, a2) y unas ondas reflejadas (b1, b2), tal y como se muestra en la figura

Cuadripolo con ondas incidentes y reflejadas.

Cuadripolo con ondas incidentes y reflejadas.

Los parámetros S se definen a través de la siguiente relación matricial
\displaystyle {b_1 \choose b_2}=\begin{pmatrix} S_{11} & S_{12} \\ S_{21} & S_{22} \end{pmatrix}\displaystyle {a_1 \choose a_2} 

Relación entre las ondas a través de la matriz de parámetros Sde tal modo que cada uno de los parámetros S de la matriz refleja un significado eléctrico. Estos son:

  • S11: Es la relación entre la onda reflejada b1 y la onda incidente a1, cuando no hay onda incidente a2. El parámetro es equivalente al coeficiente de reflexión en la entrada, y representa la onda estacionaria que se produce en la entrada del cuadripolo.
  • S21: Es la relación entre onda saliente b2 y la onda incidente a1, cuando no hay onda incidente a2. El parámetro es equivalente a la transmisión de señal desde la entrada a la salida, y representa el trasvase de energía que se produce del puerto de entrada del cuadripolo al puerto de salida.
  • S12: Es la relación entre onda saliente b1 y la onda incidente a2, cuando no hay onda incidente a1. El parámetro es equivalente a la transmisión de señal desde la salida a la entrada, y representa el trasvase de energía que se produce del puerto de salida del cuadripolo al puerto de entrada.
  • S22: Es la relación entre la onda reflejada b2 y la onda incidente a2, cuando no hay onda incidente a1. El parámetro es equivalente al coeficiente de reflexión en la salida, y representa la onda estacionaria que se produce en la salida del cuadripolo.

Las ondas a1, a2 y b1, b2 se pueden escribir, en función de las tensiones incidente y reflejada, mediante las expresiones

a_n=\dfrac {V_n^{+}}{\sqrt{Z_0}}

b_n=\dfrac {V_n^{-}}{\sqrt{Z_0}}

siendo Vn+ la tensión incidente y Vn la reflejada, sobre una impedancia característica Z0.

Por tanto, la matriz de parámetros S ofrece una forma muy útil de analizar circuitos de alta frecuencia. Sin embargo, no todos los simuladores son capaces de ofrecer en sus tipos de análisis este tipo de representación de matricial.

¿Cómo construir una equivalencia que permita analizar parámetros S en un simulador que no tiene dicha función?

Ante todo hay que recordar que un análisis de parámetros S es una simulación específica de AC. Y este tipo de simulación está incluida en casi todos los simuladores de circuitos.  Sin embargo, el análisis AC sólo permite calcular tensiones y corrientes globales, no separando en incidentes y reflejadas. Por tanto, la única cuestión es que hay que realizar una transformación para encontrar un circuito equivalente que permita, usando las tensiones y corrientes globales del circuito, mediante el análisis AC, calcular los parámetros S.

Para ello se propone el siguiente cuadripolo:

Cuadripolo con tensiones y corrientes de AC

Cuadripolo con tensiones y corrientes de AC

En el cuadripolo tenemos una tensión de generador Vg, una resistencia de generador Rg, una resistencia de carga RL y unas tensiones Vi (generada por la impedancia Zi de entrada al cuadripolo) y una tensión Vo (que tiene una resistencia equivalente Zo en el cuadripolo). Vamos a suponer además, para simplificar los cálculos, que Rg=RL=Z0. A partir de ahora vamos a calcular, en primer lugar, el coeficiente de reflexión a la entrada y la transmisión entre entrada y salida. Las expresiones para calcular estos parámetros son:

S_{11}=\dfrac {Z_i-Z_0}{Z_i+Z_0}

S_{21}=\dfrac {V_o}{V_i}\left(1+S_{11} \right)

pero del circuito también tenemos que Vi se puede calcular a través del divisor de tensión de entrada formado por Vg, Z0 y Zi:

V_i=\dfrac {Z_i}{Z_i+Z_0}V_g

y sustituyendo esta expresión en la de S21 podemos obtener la relación entre la tensión de salida Vo y la del generador Vg

S_{21}=\dfrac {V_o}{V_g}\dfrac {Z_i+Z_0}{Z_i}\left(1+S_{11} \right)=

=\dfrac {V_o}{V_g}\dfrac {Z_i+Z_0}{Z_i}\left(1+\dfrac {Z_i-Z_0}{Z_i+Z_0} \right)=\dfrac {2 V_o}{V_g}

Por tanto, para calcular S21 basta con colocar en el generador una fuente de AC de amplitud Vg=2, y la tensión de salida Vo equivaldría al parámetro S21.

El parámetro S11 se calcularía a través de la expresión del coeficiente de reflexión y del cálculo del divisor de tensión, cuando Vg=2. Del divisor de tensión tenemos que

V_i=\dfrac {2 Z_i}{Z_i+Z_0}=\dfrac {Z_i-Z_0}{Z_i+Z_0}+\dfrac {Z_i+Z_0}{Z_i+Z_0}=S_{11}+1

S_{11}=V_i-1

por lo tanto, el parámetro S11 se puede calcular obteniendo la tensión en Vo y restando 1V.

Esquema de nuestro circuito equivalente

Ahora vamos a transformar en esquema eléctrico nuestro circuito equivalente. En principio tenemos un generador de AC de valor 2V, que equivale a Vg y la impedancia de generador y carga de valor Z0. A eso le añadimos un circuito en el punto de Vi consistente en un generador de 1V de AC y una resistencia de valor elevado, para que no circule corriente a través de ella.

Circuito equivalente para analizar S11 y S21 con un análisis en AC

Circuito equivalente para analizar S11 y S21 con un análisis en AC

Usando este circuito equivalente en un cuadripolo, se pueden entonces analizar los parámetros S del mismo usando el análisis AC de cualquier simulador. Es un circuito de mucha utilidad cuando se diseña en alta frecuencia, ya que los analizadores suelen usar los parámetros S para analizar los cuadripolos.

Comprobación del circuito equivalente.

Por último, para comprobar la fiabilidad del circuito equivalente confeccionado, vamos a estudiar el comportamiento de un cuadripolo sencillo, tipo filtro de alta frecuencia, y comparar con el resultado obtenido en un simulador convencional.

Cuadripolo a testear

Cuadripolo a testear

Realizando la simulación en un simulador de alta frecuencia se obtiene el siguiente resultado

Resultado de la simulación del filtro en un simulador de alta frecuencia

Resultado de la simulación del filtro en un simulador de alta frecuencia

Simulamos ahora el filtro en un simulador tipo Electronic Workbench, usando el circuito

Filtro simulado con Electronic Workbench

Filtro simulado con Electronic Workbench

y cuyo resultado es

Resultados en la simulación en Electronic Workbench

Resultados en la simulación en Electronic Workbench

y si lo comparamos con el resultado obtenido con el simulador de alta frecuencia, se puede comprobar que las gráficas son idénticas en módulo y fase.

Conclusiones

En esta entrada hemos conseguido un circuito sencillo que permite simular parámetros S de cualquier cuadripolo en un simulador convencional, no optimizado para el diseño en alta frecuencia. Este circuito nos proporciona una herramienta muy versátil si queremos trabajar con dispositivos que están caracterizados mediante parámetros S, o simplemente simular cuadripolos que después se vayan a medir con un analizador de redes. De esta manera, somos capaces de simular cualquier circuito en nuestro simulador habitual, sin tener que recurrir a otro tipo de simuladores.

REFERENCIAS

  1. T. Rosich; “Simulación de circuitos de RF con SPICE : parte 1”; Revista Española de Electrónica No. 515;  pp. 67-69; ISSN 0482-6396; oct 1997
  2. J. Everard; “Fundamentals of RF Circuit Design”; Wiley; IBSN 0-471-49793-2; 2001

Amplificador de Banda Ultra Ancha con Baja Ganancia y Alto Rango Dinámico

En la siguiente entrada vamos a analizar un tipo de amplificador que tiene la ventaja de funcionar en banda ultra ancha y que presenta un rango dinámico muy elevado, tanto por su baja figura de ruido como por su alto nivel de salida. El cuadripolo presentado funciona usando el principio de realimentación, si bien se sustituye la realimentación clásica de resistencias por una realimentación basada en acoplador direccional. A partir de este momento, conoceremos este tipo de configuración como “realimentación inductiva”.

En muchas ocasiones hemos tenido la necesidad de dotarnos de un amplificador que pueda cubrir un rango muy amplio de banda (en torno a varias octavas) y que mantenga el rango dinámico del dispositivo semiconductor utilizado. Los métodos clásicos de realimentar amplificadores, basados en sistemas resistivos, suelen ser muy eficientes en cobertura de banda, pero tienen el inconveniente de que las resistencias generan ruido térmico y disipan potencia, por lo que el amplificador siempre suele tener más ruido y menos nivel de salida que el transistor convencional.

El sistema inductivo presenta una ventaja considerable con respecto al resistivo convencional: un acoplador direccional es un dispositivo completamente reactivo, por lo que no presenta más pérdidas que las debidas a la resistencia parásita del acoplador, cuya contribución al ruido siempre es inferior a la de una resistencia convencional.

Pero antes de pasar a describir la aplicación, vamos a recordar en qué consiste un sistema realimentado.

SISTEMAS REALIMENTADOS

En Teoría de Sistemas, un sistema realimentado es aquel que toma una muestra de la señal de salida y la compara con la entrada para modificar, estabilizar u obtener una respuesta lo más adecuada posible. Se trata del sistema de control básico, ya que una señal y(t)=A(x(t), t)·x(t) puede variar en función de t y en función de x(t). Debemos recordar que en un sistema lineal, A=cte. Es decir, que en las condiciones básicas de trabajo, una variación de t o de x(t) no deberían influir en A. Por tanto, un amplificador lineal responderá de la forma y(t)=A·x(t), siendo A un valor constante, que es lo que denominamos ganancia.

En la mayoría de los casos, A responde de forma constante, pero al aplicar la transformada de Fourier a nuestro sistema, Y(ω)=A(ω)·X(ω). O sea, que la ganancia A(ω) depende de la frecuencia. Sin embargo, sigue respondiendo como un sistema lineal, ya que no hay dependencia de x(t).

En la mayor parte de los semiconductores usados como amplificadores, la ganancia A(ω) disminuye, del orden de 6dB/oct, por lo que conseguir la misma respuesta en un ancho de banda grande requiere de técnicas de realimentación.

Un sistema realimentado presenta un diagrama de bloques como el de la figura

Sistema realimentado clásico simple

Sistema realimentado clásico simple

La señal de salida Y(ω) se compara con la señal de entrada X(ω) a través de una red pasiva K. La respuesta en frecuencia del sistema es

\dfrac {Y(\omega)}{X(\omega)}=\dfrac {A(\omega)}{1+KA(\omega)}

Por tanto, la ganancia del sistema ya no es A(ω), sino que se ha reducido al dividirla por 1+K·A(ω). Si además elegimos un K·A(ω)>>1 en la zona donde queremos trabajar, podremos ver que la ganancia del sistema realimentado no depende de la zona activa A(ω), sino de la pasiva K. Si elegimos una red de realimentación K que no dependa de la pulsación ω, podremos realizar un dispositivo amplificador que no dependa del dispositivo utilizado, sino exclusivamente de la red de realimentación utilizada para obtener la ganancia

\dfrac {Y(\omega)}{X(\omega)} \approx \dfrac {A(\omega)}{KA(\omega)}=\dfrac {|}{K}

Al sólo depender de K, los sistemas realimentados resistivos suelen ser muy habituales para obtener respuestas en bandas ultra anchas, ya que las resistencias no dependen (salvo por sus comportamientos parásitos propios de la fabricación) de la frecuencia. Es por esto que la mayor parte de la bibliografía dedicada a los amplificadores se dedica a los realimentados resistivos, frente a otro tipo de amplificadores.

AMPLIFICADORES REALIMENTADOS RESISTIVOS

Vamos a ver brevemente cuál es el comportamiento de un amplificador realimentado resistivamente. Primero vamos a analizar el comportamiento de un dispositivo semiconductor, como un transistor bipolar (usaremos un BFG520 de NXP para hacer el análisis, con parámetros S y de ruido para Vce=5V e Ic=15mA), cuya ganancia disminuye a medida que aumenta la frecuencia un orden de 6dB/oct, como se puede ver en la siguiente gráfica.

Respuesta en frecuencia de la ganancia de un transistor bipolar

Respuesta en frecuencia de la ganancia de un transistor bipolar

En la gráfica podemos ver que el valor de la ganancia en 500MHz es de 22dB, mientras que al doble (1GHz) tenemos 16,7dB, lo que implica una caída de 5,3dB en la octava. Con estas características, se plantea el circuito realimentado siguiente

Amplificador realimentado

Amplificador realimentado

cuya ganancia, para una impedancia Z0, se puede calcular usando las expresiones

G \approx 10\log_{10} \left( \dfrac {R_1}{2R_2}\right)

Z_0=\sqrt {R_1R_2}

Para el amplificador propuesto, con R1=500Ω y R2=5Ω, tenemos que Z0=50Ω y G≈17dB. Si representamos la respuesta del transistor convencional con la del realimentado

Ganancia nominal (traza azul) frente a ganancia del amplificador realimentado.

Ganancia nominal (traza azul) frente a ganancia del amplificador realimentado (traza magenta).

Si trazamos asintóticamente una línea en la traza magenta, podremos comprobar que la curva del amplificador realimentado llega a cubrir en ancho de banda hasta la frecuencia donde la ganancia del transistor convencional coincide con la del realimentado. No obstante, como el transistor tiene caída, en la frecuencia donde se corta la asíntota la caída de ganancia es de unos 3dB.

Si calculamos el factor de ruido en el transistor convencional, podemos observar que, a 600MHz, es de 1,5dB para el convencional mientras que es de 2,5dB para el realimentado. Perdemos, por tanto, 1dB de figura de ruido. Por tanto, sacrificamos el factor de ruido para obtener una ganancia prácticamente independiente de la frecuencia en una banda muy ancha.

Si calculásemos un amplificador de 11dB, el ruido subiría en el amplificador realimentado a 3,5dB. Si esto mismo lo aplicásemos a la potencia, veríamos que en nivel de salida, en el primer caso, se pierde 1,5dB de nivel de salida, mientras que en el segundo caso perdemos 2,5dB. Esto implica reducir el rango dinámico de entrada del amplificador entre 3 y 6dB, con el fin de obtener una ganancia constante entre 11 y 17dB.

LA REALIMENTACIÓN INDUCTIVA

La realimentación inductiva consiste en introducir un elemento que compare la señal de salida hacia la entrada usando una red de bajas pérdidas. Como la realimentación es negativa (se compara la señal de salida en contrafase con la señal de entrada), el mejor dispositivo para hacer esta realimentación es el acoplador direccional.

Cuando se quiere cubrir una banda muy ancha, que empiece en frecuencias muy bajas, el método para hacer acopladores direccionales es el transformador de ferrita. De ahí el nombre de inductiva, ya que usa un sistema de acoplamiento inductivo. El esquema eléctrico de un acoplador direccional a transformador es

Acoplador direccional basado en transformador de ferrita

Acoplador direccional basado en transformador de ferrita

donde la transmisión va de la puerta 1 a la 3 (o de a 2 a a 4), la puerta acoplada respecto a la puerta 1 es 2 (o 4 respecto a 3) y la puerta aislada respecto a la puerta 1 es 4 (o 3 respecto a 2). Por tanto, si ponemos la base en la puerta 3 y el colector en la 4, cuando la señal entra por la puerta 1, pasa íntegra a la 3 (entra por base y es amplificada), y parte de la señal del colector va de la puerta 4 a la puerta 3, dependiendo del factor de acoplo, y al estar en contrafase (la fase de la puerta acoplada es π rad), se compara con la señal que viene de la puerta 1, realizando la realimentación. La señal de salida va del colector a la puerta 2 íntegra.

El factor de acoplo del acoplador direccional es función del ratio entre espiras n, siendo n el número de espiras de las bobinas interiores. Se puede calcular usando

C=20\log_{10}(n)

Para calcular un acoplador direccional de 11dB, el ratio de transformación debe ser n≈3,5.

Planteamos entonces el esquema del siguiente amplificador

Amplificador con realimentación basada en acoplador direccional

Amplificador con realimentación basada en acoplador direccional

y representamos la ganancia de este amplificador, para n=3,5

Ganancia del transistor convencional (traza azul) frente al realimentado (traza roja)

Ganancia del transistor convencional (traza azul) frente al realimentado (traza roja)

Podemos ver que trazando la línea asintótica, ocurre lo mismo que en el amplificador realimentado resistivo. Sin embargo, el ruido del amplificador se mantiene igual: si el ruido del transistor es de 1,5dB, el ruido del realimentado es también de 1,5dB, por lo que el ruido se mantiene, mientras que para una ganancia similar en el resistivo, el ruido pasaba a ser 3,5dB. En el caso del nivel de salida, se obtiene lo mismo, debido a que hay transferencia directa de energía sin pérdidas resistivas.

Por tanto, con el acoplador direccional hemos logrado un amplificador con baja ganancia sin perder el rango dinámico que tiene el transistor, lo que muestra la bondad del sistema realimentado por acoplador direccional o realimentación inductiva.

CONCLUSIONES

En esta entrada hemos repasado los amplificadores realimentados y hemos presentado la realimentación inductiva. Hemos analizado la realimentación resistiva en un transistor bipolar BFG520, y hemos hecho una comparativa con una realimentación inductiva. Hemos comprobado que la realimentación inductiva obtiene un mejor rango dinámico cuando se quieren ganancias muy bajas.

Acopladores direccionales de transformador pueden ser encontrados en varios fabricantes de componentes pasivos, o pueden ser diseñados por el propio desarrollador ya que se pueden encontrar ferritas en casi todos los catálogos.

El amplificador puede ser utilizado en etapas de entrada donde se requieran ganancias bajas, tanto por su característica de rango dinámico como por su cobertura de banda, ya que puede abarcar una banda superior a la de una realimentación resistiva.

REFERENCIAS

  1. Rowan Gilmore, Les Besser, “Practical RF Circuit Design for Modern Wireless Systems Vol. II”, Artech House Publishers, Norwood MA (USA), 2003
  2. Patente de invención industrial ES-2107351-B1, “Dispositivo amplicador de banda ancha”, publicada por Ángel Iglesias S.A., Madrid (Spain), 1998

El PLL digital (y II)

Hablábamos en la entrada anterior del ADPLL de primer orden. En esta entrada vamos a analizar el ADPLL de segundo orden, su función de transferencia y su respuesta.

DIAGRAMA DE BLOQUES GENERALIZADO DE UN ADPLL

En la entrada anterior pudimos ver cómo era el diagrama de bloques de un ADPLL. Como en el caso analógico, tenemos un comparador de fase, un filtro de lazo y un VCO, con sus funciones de transferencia en Transformada Z.

Diagrama de bloques del PLL digital

Diagrama de bloques del PLL digital

El filtro de lazo generalizado tiene un diagrama de bloques que es

Diagrama de bloques de un filtro de lazo digital

Diagrama de bloques de un filtro de lazo digital

Por lo que la función de transferencia del ADPLL generalizado es

\hat \Theta (z)=\dfrac {\alpha (z-1)+\beta}{(z-1)^2 +\alpha(z-1)+\beta}\Theta(z)

Y como el término del denominador de la función de transferencia es (z-1) al cuadrado, tenemos un sistema de segundo orden.

Vamos a estudiar la respuesta de este sistema a una señal del tipo escalón, de la forma

\theta [n]=\dfrac {\pi}{4}u[n]

RESPUESTA DE UN ESCALÓN A UN ADPLL DE SEGUNDO ORDEN

En el ADPLL de segundo orden tenemos que la respuesta a un escalón es:

\hat \Theta (z)=\dfrac {\pi}{4} \dfrac{z}{z-1} \dfrac {\alpha z-(\alpha-\beta)}{z^2 -(2-\alpha)z+(1-\alpha+\beta)}\Theta(z)

Para obtener la estimación de fase, deberemos resolver la inversa de la Transformada Z de esta expresión. Para ello, lo que hacemos es dividir la transformada en suma de transformadas, obteniendo

\hat \Theta (z)=\dfrac {\pi}{4}z \left[\dfrac{1}{z-1} - \dfrac {z-1}{z^2 -(2-\alpha)z+(1-\alpha+\beta)}\right]

Y ahora debemos poner el segundo término como suma de dos términos en z

\dfrac {z-1}{z^2 -(2-\alpha)z+(1-\alpha+\beta)}=\dfrac {A}{z-p_1}+\dfrac {B}{z-p_2}

con

p_{1,2}= \dfrac { (2-\alpha) \pm \sqrt {\alpha^2-4 \beta}}{2}

Y resolviendo estos términos, obtenemos que

\hat \Theta (z)=\dfrac {\pi}{4} \left[ \dfrac {z}{z-1} - \left( \dfrac {1}{2}- \dfrac {\alpha}{2 \sqrt {\alpha^2-4 \beta}} \right) \dfrac {z}{z-p_1} - \left( \dfrac {1}{2}+ \dfrac {\alpha}{2 \sqrt {\alpha^2-4 \beta}} \right) \dfrac {z}{z-p_2}  \right]

\hat \theta [n]=\dfrac {\pi}{4} \left[ 1 - \left( \dfrac {1}{2}- \dfrac {\alpha}{2 \sqrt {\alpha^2-4 \beta}} \right) \left (\dfrac { (2-\alpha) + \sqrt {\alpha^2-4 \beta}}{2} \right)^n - \left( \dfrac {1}{2}+ \dfrac {\alpha}{2 \sqrt {\alpha^2-4 \beta}} \right) \left (\dfrac { (2-\alpha) - \sqrt {\alpha^2-4 \beta}}{2} \right)^n \right]u[n]

Y aquí obtenemos varios resultados a estudiar. Vamos a suponer, primero, que β=0. Sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos que la estimación de fase es

\hat \theta[n]=\dfrac {\pi}{4} \left[ u[n] - (1-\alpha)^n u[n] \right]=\dfrac {\pi}{4} u[n]\left[ 1 - (1-\alpha)^n \right]

que es la estimación de fase obtenida en la entrada anterior.

Vamos a estudiar el caso de que α=0. Los polos p1 y p2 quedan ahora como siguen:

p_1= \dfrac { 2 + \sqrt {-4 \beta}}{2}=1+j\sqrt {\beta}=\sqrt {1+\beta ^2} e^{j\tan^-1 ({\beta})}

p_2= \dfrac { 2 - \sqrt {-4 \beta}}{2}=1-j\sqrt {\beta}=\sqrt {1+\beta ^2} e^{-j\tan^-1 ({\beta})}

y la estimación de fase queda

\hat \theta[n]=\dfrac {\pi}{4} u[n]\left[ 1 - \sqrt[n] {1+\beta ^2}\cos (n\tan^-1 ({\beta})) \right]

y podemos ver que se trata de una función que tiende a ser inestable, ya que el término en cuadrado de β tiende a crecer a medida que crece n, ya que el coseno es una función acotada. Por tanto, siempre tiene que haber un término α para que el ADPLL enganche.

De la expresión obtenida para la estimación de fase general, y del estudio de las condiciones particulares, hemos obtenido que α≠0. La siguiente condición que se tiene que dar para que el lazo enganche es que

\alpha^2 - 4 \beta < 0

De este modo obtenemos como resultado que

\hat \theta[n]=\dfrac {\pi}{4} u[n]\left[ 1 - \sqrt[n] {1-\alpha+\beta ^2}\left(\cos \left( n\tan^-1 \dfrac{\sqrt{4 \beta-\alpha^2}}{2-\alpha}\right)-\dfrac {\alpha}{\sqrt {4\beta-\alpha^2}}\sin \left( n\tan^-1 \dfrac{\sqrt{4 \beta-\alpha^2}}{2-\alpha}\right)\right) \right]

y si representamos esta función en el dominio de n, podremos comprobar que se trata de una función cosenoidal amortiguada.

Estimación de fase en el dominio del tiempo

Estimación de fase en el dominio del tiempo

COMPARATIVA CON EL PLL ANALÓGICO DE SEGUNDO ORDEN

Si comparamos la función de transferencia del ADPLL de segundo orden con la del PLL analógico, podremos sacar la interrelación entre la pulsación natural del lazo ωn, el coeficiente de amortiguamiento ξ y α, β, que son

\hat \Theta (s)=\dfrac {\alpha K_Vs+ \beta K_V^2}{s^2 +\alpha K_V s +\beta K_v^2} \Theta(s)

que comparamos con

H(s)=\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}

e igualando términos obtenemos que

\omega_n=K_v \sqrt {\beta}

\xi=\dfrac {\sqrt {\beta}}{2 \alpha}

donde obtenemos una relación directa entre los diferentes términos del ADPLL y el PLL analógico.

CONCLUSIÓN

En esta entrada hemos ampliado el estudio del ADPLL al segundo orden y hemos podido comprobar las condiciones que se deben dar para que se produzca enganche, así como la interrelación entre el ADPLL digital y su equivalente en analógico

Con esta entrada finalizamos el estudio del lazo de enganche de fase en ambas tecnologías, analógica y digital. El lazo de enganche de fase es uno de los sistemas de realimentación más utilizados en Telecomunicaciones, tanto para generar señales muy estables como para demodular señales o comparar fases, y conocer su metodología ayuda enormemente al diseño de este tipo de dispositivos.

Referencias

  1. C. Joubert, J. F. Bercher, G. Baudoin, T. Divel, S. Ramet, P. Level; “Time Behavioral Model for Phase-Domain ADPLL based frequency synthesizer”; Radio and Wireless Symposium, 2006 IEEE, January 2006
  2. S. Mendel, C. Vogel;”A z-domain model and analysis of phase-domain all-digital phase-locked loops”; Proceedings of the IEEE Norchip Conference 2007, November 2007
  3. R. B. Staszewski, P. T. Balsara; “Phase-Domain All-Digital Phase-Locked Loop”; IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs; vol. 52, no. 3, March 2005

 

 

 

 

EL PLL Digital (I)

En las entradas anteriores se analizaron las PLL analógicas y su comportamiento. En los sistemas digitales, del mismo modo que en los analógicos, podemos tener también lazos de enganche de fase digitales, en los que comparamos una fase, muestreada de forma discreta, y  le aplicamos una realimentación usando un comparador de fase digital y un VCO digital. En forma de diagrama de bloques, la forma más representativa de un PLL digital o ADPLL (All Digital Phase Locked Loop) es el que aparece en la figura, donde tenemos un VCO digital que genera una fase, que es comparada con la fase de entrada a través del comparador de fase (comparador en diferencia). Un filtro de lazo H(z) completa la realimentación, del mismo modo que ocurría en los PLL analógicos.

Un PLL analógico tiene combinaciones de circuitos analógicos y digitales. Sin embargo un ADPLL es un sistema donde todos los mecanismos que intervienen en la generación de la fase son digitales. Por eso el nombre de ADPLL.

La herramienta matemática para analizar un ADPLL, así como en analógico era la transformada de Laplace, es la transformada z, un mecanismo matemático que desplaza las señales discretas del espacio temporal no lineal a otro dominio donde las relaciones son lineales. Además, hay una relación directa entre la trasformada de Laplace y la transformada z, ya que la variable z es

z=e^{sT}

siendo s la variable independiente de Laplace y T el periodo de muestreo utilizado.

En realidad, el comparador de fase digital es bastante más complejo que lo que muestra nuestro diagrama de bloques. Sin embargo, para estimaciones de fase muy pequeñas podemos poner el comparador de fase como la diferencia entre la fase de entrada y la estimación de fase. En otra entrada analizaremos el comparador de fase digital con más profundidad.

Funcionamiento de un ADPLL

A la vista del diagrama, podemos ver que hay tres bloques principales:

  • Comparador de fase: es un dispositivo que da como resultado la diferencia entre la fase de entrada y la estimación de fase generada por un VCO. En realidad, el comparador de fase es algo más complejo, pero para valores pequeños de la diferencia de fase de entrada y la fase generada por el VCO podemos aproximar el error de fase a dicha diferencia.
  • Filtro de lazo: es un filtro digital que puede tener componentes de primer o segundo orden, transformando el lazo en un ADPLL de primer o orden, en función de su función de transferencia H(z). La función de transferencia estándar en el dominio de z de un filtro de lazo digital es
Diagrama de bloques de un filtro de lazo digital

Diagrama de bloques de un filtro de lazo digital

H(z)={\alpha}+\dfrac {{\beta} z^{-1}}{1-z^{-1}}

  • VCO digital: es un dispositivo digital que genera una fase en función de un nivel de entrada, siendo ambos discretos en el tiempo. En el dominio de Laplace, corresponde con un integrador, y su función de transferencia en el dominio de z es

VCO(z)=\dfrac {K_v T z^{-1}}{1-z^{-1}}

donde Kv es la ganancia del VCO (similar al analógico) y T es el periodo de muestreo utilizado.

Por tanto, volviendo a recuperar nuestro diagrama de bloques

Diagrama de bloques del PLL digital

Diagrama de bloques del PLL digital

podremos calcular la función de transferencia que relaciona la estimación de fase y la fase de entrada.

\hat {\theta}(z)=\dfrac {{\alpha}  (z-1)+{\beta}}{(z-1)^2 + {\alpha}  (z - 1) + {\beta}}  {\theta}(z)

Podemos comparar esta función de transferencia con la función de transferencia de un PLL analógico, que es

H(s)=\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\xi}{\omega}_n  s +{{\omega}_n}^2}

y veremos que se trata de un ADPLL de segundo orden.

ADPLL de primer orden

En esta primera entrada dedicada al ADPLL vamos a analizar el sistema de primer orden. Podemos ver, a partir de la función de transferencia obtenida, que si β=0, ésta se reduce a la expresión

\hat {\theta}(z)=\dfrac {\alpha}{(z-1) + {\alpha}} \ {\theta}(z)

y tendremos un ADPLL de primer orden. Vamos a ver ahora lo que ocurre cuando la fase de entrada cambia bruscamente, cuando introducimos una señal escalón

{\theta}[n] = \dfrac {\pi}{4}  u[n]

donde u[n] es una función de pulsos unidad discretos, en el dominio temporal n (muestras de fase). La forma de la función es

Forma de onda de la señal escalón

Forma de onda de la señal escalón

y su transformada z es

{\theta}(z)=\dfrac {\pi}{4} \dfrac {1}{1-z^{-1}}

Al sustituir esta expresión en la función de transferencia, obtenemos que la estimación de fase es

\hat {\theta}(z)=\dfrac {\pi}{4}  \dfrac {\alpha}{z-(1- {\alpha})}  \dfrac {1}{z-1}

Para resolver la transformada inversa de la estimación de fase, factorizaremos esta expresión, obteniendo el siguiente resultado

\hat {\theta}(z)=\dfrac {\pi}{4} \left[ \dfrac {z}{z-1}-\dfrac {z}{z-(1-{\alpha})} \right]=\dfrac {\pi}{4} \left[ \dfrac {1}{1-z^{-1}}-\dfrac {1}{1-(1-{\alpha})  z^{-1}} \right]

Y sabiendo que

Z(a^n  u[n])=\dfrac {1}{1-a  z^{-1}}

obtenemos como resultado la expresión

\hat {\theta}(n)=\dfrac {\pi}{4}  \left[1-(1-{\alpha})^n \right]  u[n]

y esta es una señal que, cuando n=0, vale 0, creciendo lentamente a medida que n sube, siempre que la diferencia 1–α<1. Si esa diferencia es mayor que la unidad, el ADPLL nunca engancharía. Esta es la condición para que el ADPLL tenga enganche.

Por tanto, si elegimos un α=0,5, obtendremos que la estimación de fase es una curva de la forma

Curva de la estimación de fase en el dominio del tiempo discreto

Curva de la estimación de fase en el dominio del tiempo discreto

Por tanto, cuando n→∞, si el ADPLL está diseñado correctamente, la estimación de fase debería seguir a la fase de entrada (condición de enganche).

La respuesta es similar a la del PLL analógico de primer orden, en el que la función de transferencia sería de la forma

\hat {\theta}(s)=\dfrac {{\omega}_n}{s+{\omega}_n}  {\theta}(s)

Para pasar del dominio de z al dominio de Laplace, hay que tener en cuenta la expresión del inicio y si elegimos un periodo de muestreo T tal que s·T<<1, podemos desarrollar esa expresión en un polinomio de la forma

z=e^{s  T}=1+s  T + O \left( (s  T)^2 \right)

y despreciando los términos superiores a 2, obtendremos que

z-1=s  T

y si sustituimos en la función de transferencia en z, podemos ver que

\hat {\theta}(s)=\dfrac {\alpha}{s  T+{\alpha}} {\theta}(s)=\dfrac {\dfrac {\alpha}{T}}{s+\dfrac{\alpha}{T}}  {\theta}(s)

Y como α es adimensional, el término α/T tiene unidades de pulsación. Esa pulsación determinará el tiempo de enganche del ADPLL, para obtener a la salida una estimación de fase que siga a la de la entrada.

Conclusión

En esta entrada hemos analizado el lazo de seguimiento de fase digital, y nos hemos centrado en analizar el caso del lazo de primer orden de un ADPLL lineal . Hemos observado las analogías existentes entre un PLL analógico y un ADPLL y cómo se pueden interrelacionar, así como la respuesta a una señal escalón del un ADPLL de primer orden.

En la siguiente entrada analizaremos el ADPLL de segundo orden y sus múltiples respuestas en función de los parámetros elegidos para realizar el filtro de lazo.

Referencias

  1. C. Joubert, J. F. Bercher, G. Baudoin, T. Divel, S. Ramet, P. Level; “Time Behavioral Model for Phase-Domain ADPLL based frequency synthesizer”; Radio and Wireless Symposium, 2006 IEEE, January 2006
  2. S. Mendel, C. Vogel;”A z-domain model and analysis of phase-domain all-digital phase-locked loops”; Proceedings of the IEEE Norchip Conference 2007, November 2007
  3. R. B. Staszewski, P. T. Balsara; “Phase-Domain All-Digital Phase-Locked Loop”; IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs; vol. 52, no. 3, March 2005

El PLL analógico y su simulación (y IV)

En esta entrada vamos a analizar el PLL como herramienta para la demodulación de señales analógicas moduladas en argumento, ya que es una de las maneras de transmitir información a través del espacio libre usando transmisión paso banda, a frecuencias más altas. Vamos a usar la modulación FM, porque es la más utilizada como transmisión en telecomunicaciones.

Para entender el principio de funcionamiento del PLL como demodulador de señales FM, vamos a hacer una breve introducción al principio de la modulación en argumento.

MODULACIÓN EN ARGUMENTO: PRINCIPIOS BÁSICOS

Denominamos modulación en argumento a una modulación paso banda en el que la información a transmitir, que denominamos banda base, viaja contenida en el argumento de la señal transmisora. A esta señal transmisora la denominaremos señal modulada, mientras que la señal en banda base la denominaremos señal moduladora. Así pues, si la señal banda base a transmitir es una señal x(t), transmitida sobre una señal cuya pulsación es ωo, la señal resultante será

y(t)=A\cos( \varphi(t))=A\cos({\omega_0}t+{\theta}(t))

El argumento de la señal que estamos transmitiendo, entonces, es

\varphi(t)={\omega_0}t+{\theta}(t)

Si la modulación es en fase (modulación PM), la señal viaja en argumento y tendremos que

\varphi(t)={\omega_0}t+{\theta}(t)={\omega_0}t+m_{PM}x(t)

donde mPM es el índice de modulación para la señal modulada en PM. En el caso de que la modulación viaje en la frecuencia (modulación FM), calculamos la pulsación instantánea calculando la derivada respecto al tiempo del argumento de la señal:

\omega(t)=\dfrac {d \varphi(t)}{dt}={\omega_0}+\dfrac {d{\theta}(t)}{dt}={\omega_0}+m_{FM}x(t)

donde mFM es el índice de modulación para la señal modulada en FM. De esta expresión tenemos que

\dfrac {d{\theta}(t)}{dt}=m_{FM}x(t)

por lo que tendremos que

{\theta}(t)=m_{FM} \displaystyle \int_0^t {x(t)dt}

Por tanto, nuestra señal FM será

y_{FM}(t)=A\cos \left( {\omega_0}t+m_{FM} \displaystyle \int_0^t {x(t)dt} \right)

La ventaja de la modulación FM sobre la modulación en amplitud es notoria, ya que al viajar la información en el argumento, es muy inmune al ruido térmico y a la distorsión, aunque no es inmune a la interferencia ni al ruido de fase de los osciladores. Con la interferencia la señal puede verse mezclada con la señal indeseada (lo veremos al analizar la PLL como demodulador) y con el ruido de fase, se introduce ruido sobre la señal banda base que reduce la calidad de la misma.

ANÁLISIS DE UN PLL COMO DEMODULADOR DE FM

El diagrama de bloques de un PLL como demodulador de FM es

Diagrama de bloques de un PLL como demodulador de FM

Diagrama de bloques de un PLL como demodulador de FM

La señal de FM entra en el PLL a través de comparador de fase, y es comparada con un VCO de la misma frecuencia que la señal modulada. A la salida del filtro de lazo se obtiene la señal original x(t). Si analizamos

{\varphi}_{FM}(t)={\omega_0}t+{\theta}(t)={\omega_0}t+m_{FM} \displaystyle \int_0^t {x(t)dt}

en el dominio de Laplace tenemos que:

{\Psi}_{FM}(s)=\dfrac {\omega_0}{s^2}+{\Theta}(s)=\dfrac {\omega_0}{s^2}+m_{FM} \dfrac {X(s)}{s}

El primer término corresponde a la transformada de ωo·t, mientras que el segundo corresponde a la integración de x(t).

El VCO proporciona un argumento ωo·t, por lo que

{\Psi}_{VCO}(s)=\dfrac {2{\pi}K_V}{s} \Xi_{phase}(s)

Siendo Ξphase(s) la señal de sintonía que ataca al VCO. Además, si la función de transferencia del PLL es H(s), podremos poner

{\Psi}_{VCO}(s)=\dfrac {2{\pi}K_V}{s} \Xi_{phase}(s)=H(s) \left[ {\dfrac {\omega_0}{s^2}+m_{FM} \dfrac {X(s)}{s}} \right]

y de aquí obtenemos que

\Xi_{phase}(s)=\dfrac {H(s)}{2{\pi}K_V} \left[ {\dfrac {\omega_0}{s}+m_{FM} {X(s)}} \right]

En las entradas anteriores habíamos obtenido que la función de transferencia H(s) es un filtro paso bajo, generalmente de primer o segundo orden, por lo que eligiendo la pulsación natural del lazo de un valor mayor a la anchura de banda de la señal X(s), podemos obtener que:

\Xi_{util}(s)=\dfrac {\omega_0}{{2{\pi}K_V}s}+\dfrac {m_{FM}}{2{\pi}K_V}X(s)

Vamos a ver ambos términos. El primero es la transformada de Laplace de un escalón unitario

{\mathcal L}^{^-1} \left[ {\dfrac {\omega_0}{{2{\pi}K_V}s}} \right] =\dfrac {\omega_0}{{2{\pi}K_V}}u(t)=\dfrac {f_0}{K_V}u(t)

donde u(t) es la señal escalón y como KV es la respuesta del VCO a una tensión de control, nos da como resultado una componente DC que corresponde a la tensión que sintetiza fo.

Hay que recordar que KV no es estrictamente lineal, sino que es función de la frecuencia (KV(f)). No obstante, si el índice de modulación no es muy elevado y hay poca excursión frecuencial , podemos considerar en el entorno de f0 a KV como una constante. Esto afectaría al segundo término, que es la propia señal X(s) multiplicada por un valor que tiene en el denominador a KV. Si KV depende de la frecuencia, la transformada inversa es bastante más compleja. Pero al ser aproximado KV por una constante, sólo aparece X(s) como función de la variable s=j·ω , por lo que podemos obtener el valor de la señal. En resumen, tendremos que la transformada inversa es

\xi_{util}(t)=\dfrac {\omega_0}{2{\pi}K_V}u(t)+\dfrac {m_{FM}}{2{\pi}K_V}x(t)

Señal de sintonía útil para el VCO.y eliminando la componente de DC mediante un condensador de desacoplo, obtendremos que

\xi_{demod}(t)=\dfrac {m_{FM}}{2{\pi}K_V}x(t)

Por tanto, con el PLL podremos demodular una señal modulada en FM a través de su salida del filtro de lazo.

Como podemos ver a lo largo de la explicación, la influencia de una señal interferente se puede sumar al argumento demodulado y montarse sobre la señal deseada, aplicando superposición, ya que el PLL encuentra dos frecuencias similares y no es capaz de discernir cuál de ellas es la útil.

También podemos ver que si hay un ruido de argumento θn(t), tendremos que

\Xi_{phase}(s)=\dfrac{H(s)}{2{\pi}K_V} \left[ \dfrac {\omega_0}{s}+m_{FM}X(s)+s{\Theta_n}(s) \right]

por lo que el ruido de fase quedaría filtrado por el H(s) salvo en las frecuencias correspondientes a X(s), ruido que llamaremos ΘnBW(s). Aplicando la transformada inversa, obtendremos que

\xi_{util}(t)=\dfrac {\omega_0}{2{\pi}K_V}u(t)+\dfrac {m_{FM}}{2{\pi}K_V}x(t)+\dfrac {d{\Theta_{nBW}}(t)}{dt}

La influencia de este ruido, en analógico no suele ser muy grande, pero en digital puede provocar “jitter” en los flancos de subida y bajada de la señal demodulada, que habría que tratar mejorando el ruido de fase de los osciladores.

DISEÑO DE UN PLL PARA DEMODULAR UNA SEÑAL FM

Vamos a suponer un PLL que tenga los siguientes parámetros:

  • Kd=1 V/rad
  • KV= 10 KHz/V

y usamos una señal moduladora cosenoidal

x(t)=A_{mod} \cos {\left( \omega_{mod}t \right)}

con fmod=5 KHz. La señal modulada tiene una frecuencia fo=100 MHz, por lo que la señal FM será

y_{FM}= A \cos { \left( 2{\pi} \cdot 100 \cdot 10^6\cdot t + m_{FM}A_{mod} \displaystyle \int_0^t {\cos {\left( 2{\pi} \cdot 5 \cdot 10^3\cdot t \right)} dt} \right)}

Nuestro filtro de lazo va a ser un filtro del tipo

F(s)=\dfrac {1+{\tau_2}s}{{\tau_1}s}

La función de transferencia H(s) es:

H(s)=\dfrac {{\Psi_{VCO}}(s)}{{\Psi_I}(s)}=\dfrac {K {\dfrac {1+{\tau_2}s}{{\tau_1}s}}}{s+\dfrac {1+{\tau_2}s}{{\tau_1}s}}

K=2{\pi} K_D K_V=2{\pi} \cdot 10^4

De aquí obtendremos que

H(s)=\dfrac {{\Psi_{VCO}}(s)}{{\Psi_I}(s)}=\dfrac {2{\pi} \cdot 10^4 \cdot {\tau_2}s+2{\pi} \cdot 10^4}{ {\tau_1}s^2 +2{\pi} \cdot 10^4 \cdot {\tau_2} \cdot s +2{\pi} \cdot 10^4} =\dfrac {2{\pi} \cdot 10^4 \cdot \dfrac {\tau_2}{\tau_1}s+\dfrac {2{\pi} \cdot 10^4}{\tau_1}}{ s^2 +2{\pi} \cdot 10^4 \cdot \dfrac {\tau_2}{\tau_1} \cdot s +\dfrac {2{\pi} \cdot 10^4}{\tau_1}}

y además, tendremos que

H(s)=\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}

por lo que

{\tau_1}=\dfrac {2{\pi} \cdot 10^4}{\omega_n^2}

{\tau_2}=\dfrac {2{\xi}}{\omega_n}

Como tenemos que filtrar por encima de 5 KHz, podemos elegir una frecuencia natural de lazo de 10KHz, y un amortiguamiento de 0,707. Entonces las constantes de tiempo del filtro de lazo son:

{\tau_1}=\dfrac {2{\pi} \cdot 10^4}{\left( {2{\pi} \cdot 6 \cdot 10^3} \right)^2}=15,92 {\mu}s

{\tau_2}=\dfrac {2 \cdot 0,707}{2{\pi} \cdot 6 \cdot 10^3}=22,51 {\mu}s

Eligiendo filtro del tipo

Filtro de lazo de primer orden

Filtro de lazo de primer orden

tendremos que

\tau_1=R_1C_1

\tau_2=R_2C_1

Y si R2=10KΩ, tendremos que

C_1= \dfrac {\tau_2}{R_2}=\dfrac{22,51 {\mu}s}{10^4}=2,25nF \approx 2n2

R_1= \dfrac {\tau_1}{C_1}=\dfrac{15,92 {\mu}s}{2,25nF}=7,07k{\Omega} \approx 6k8

SIMULACIÓN DE UN PLL COMO DEMODULADOR DE FM

En algunos simuladores podemos usar bloques para estudiar el comportamiento como demodulador de FM de un PLL. Sin embargo, no todos los simuladores contienen en sus librerías estos bloques.

Sí se puede hacer un estudio, sin embargo, de la función de transferencia en el punto de sintonía del PLL, que marcaremos como x(t). El diagrama de bloques de nuestro PLL será, entonces

PLL para calcular la respuesta en frecuencia del filtro anterior

PLL para calcular la respuesta en frecuencia del filtro anterior

La transformada de ξ(t) la llamábamos Ξ(s), y el argumento yFM(t) tiene una transformada YFM(s). La función de transferencia a estudiar es

\dfrac {{\Xi}(s)}{{\Psi_{FM}}(s)}=\dfrac {s}{2{\pi}K_V}H(s)

donde H(s) es la función de transferencia del PLL en lazo cerrado. Por tanto, la función de transferencia es

\dfrac {{\Xi}(s)}{{\Psi_{FM}}(s)}=\dfrac {s}{2{\pi}K_V}\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}

Estudiando los límites, tendremos que

\displaystyle\lim_{s \to 0} \dfrac {{\Xi}(s)}{{\Psi_{FM}}(s)}=\displaystyle\lim_{s \to 0} \dfrac {s}{2{\pi}K_V}\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}=0

\displaystyle\lim_{s \to {+}\infty} \dfrac {{\Xi}(s)}{{\Psi_{FM}}(s)}=\displaystyle\lim_{s \to {+}\infty} \dfrac {s}{2{\pi}K_V}\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}=\dfrac {{\xi}{\omega_n}}{{\pi}K_V}=\dfrac {\tau_2}{\tau_1}=\sqrt{2}

Por tanto, podemos concluir que se trata de un filtro paso alto que sube con una pendiente de 20dB/dec hasta la pulsación natural del lazo ωn, y a partir de ahí se mantiene constante.

Un filtro paso alto hace una función de derivación, por lo que podemos aproximar por

{\xi}(t)={cte} \dfrac {d{\psi}(t)}{dt}

Trazando el Bode de esta función, podemos comprobar la pendiente de nuestra función de transferencia y estudiar el comportamiento paso alto.

Y si estudiamos el comportamiento de esta función de transferencia, vemos que se comporta como un filtro paso alto donde la señal útil se encuentra entre DC y 5KHz, y en la parte plana tenemos 3dB, que es la relación entre el tiempoτ2 y τ1.

Bode de la función de transferencia para la tensión de sintonía

Bode de la función de transferencia para la tensión de sintonía

Por encima de los 100KHz el filtro vuelve a caer debido al comportamiento paso bajo del amplificador operacional.

En la zona de la pulsación natural podemos ver que existe cierta distorsión debido al cambio de pendiente de la función de transferencia. Es por eso que es recomendable siempre buscar una pulsación natural de lazo cuya frecuencia sea una octava de la máxima frecuencia de la señal útil, para reducir esta distorsión.

CONCLUSIONES

En esta entrada hemos analizado el comportamiento de un PLL como demodulador de señal en FM, y cómo se puede analizar la función de transferencia entre la señal de FM y la señal demodulada. Con esta entrada, finalizamos en capítulo de las PLL analógicas y sus posibilidades de simulación usando simuladores convencionales.

La siguiente entrada tratará de las PLL digitales, su estudio y comparación con las PLL analógicas y cómo se pueden sintetizar las mismas.

REFERENCIAS

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