A 900Mhz Feedfordward Amplifier with MOSFET

In this article, we are going to demonstrate a 900Mhz feedforward amplifier design. Feedforward is a linearization technique for the IM distortion, caused by the nonlinear feature of the active device. Lateral interference, generated by the IM distortion on both sides of the main frequency, affecting the Adjacent Channel. Decreasing this interference is the purpose of this entry.

We are going start with a LDMOS amplifier, tuned to 900Mhz. The active device is a STMicroelectronics’ MOSFET, PD84001, It
operates at 8 V in common source mode at frequencies of up to 1 GHz. POUT is 31dBm (IDQ=50mA) and Drain Efficiency, 60%. Once we have designed the amplifier, we’ll make the linearization of the IM products, using the feedforward technique.


The amplifier is designed in common source mode. The Operating Point is chosen as the optimal features of the manufacturer: VDS=8V, IDQ=50mA . At this OP, and at 900MHz, ZIN=3,6+j·4,3Ω and ZOUT= 3,9 + j·5,5Ω. Maximum power transfer is obtained with a conjugate matching network at the generator and load impedances, which are Z0=50. Once the matching networks are calculated, the purposed schema for the amplifier is

PD84001 Two-Stage Amplifier

PD84001 Two-Stage Amplifier

Amplifier’s gain is 34,3dB, and its phase is 76,4deg. Input and Output Return Losses are respectively 30,7 and 39,8dB. Then, the amplifier is matched and the maximum power at 900MHz is 27dBm, for 1-Tone.

2 Tone Output Power and TOD vs. Input Power, at 900Mhz

2 Tone Output Power and TOD vs. Input Power, at 900Mhz

For a 2-Tone input, the IM distortion generates a power drop, caused by the Third Order Distortion. TOI (Third Order Intercept) is 31,7dBm, near of the maximum output power of the datasheet, and it causes the power drop.

Intermodulation products are 12dB below the carrier, and this value may cause interference on the Adjacent Channel. Therefore, we must reduce this value as much as possible, using a linearization technique.

There are many linearization techniques, but we are going to use the feedforward technique, because it is a technique that requires only the use of RF networks.

The amplifier gain, including the second and third order distortions, could be expressed by

P_o= \hat{g} (P_i)=\hat{g}_1 P_i+\hat {g}_2 P_i^2+\hat {g}_3 P_i^3


\hat{g}_1=g_1e^{j \theta_1}

\hat{g}_2=g_2e^{j \theta_2}

\hat{g}_3=g_3e^{j \theta_3}

Where the input signal Pi is a 2-Tone signal. In this case, we will not take into consideration the second order distortion, since the Pfrequencies will be very close together. A bandpass filter could remove the second order spurious.

The amplifier gain is complex, The coefficients g1 and g3 could be expressed using the polar notation (in mag/phase). Then, these are

\hat{g}_1=2961,54 \cdot e^{j 76,4}

\hat{g}_3=11,43 \cdot e^{-j 95,3}

These coefficients are going to use to calculate the phase shifter of the first stage. Now, we shall describe shortly the feedforward technique.


The Feedfordward Principle is based on reducing the distortion by mixing in phase opposition with the same distortion. In a RF amplifier, an output distorted signal is generated due to the active device’s nonlinearity. It could be mixed with the input signal in phase opposition, adjusting the levels of both signals.  So, we get the distorted signal on one port, and on the other port, only the distortion spurious.

Cancellation of the main signals on the second port is achieved by placing a delay line (τ1), in the secondary network of the first stage. One sample of the signal output of the amplifier (G1) is derived to combine with the secondary network, with a combiner. The levels of both signals are equalized by an inter-stage attenuator (β). Then, both signals are combined. Then, the ouput signal of the amplifier is called MAIN, and the combined signal, AUX.

Feedforward Principle

AUX is now used as an error signal in the second stage, which is amplified by an error amplifier (G2), while the MAIN is delayed with another delay line (τ2). In this second stage, we want to get the same effect than the first stage: put both signals in phase opposition, and combine them. Then, the distortion is cancelled and reduced the interference on the Adjacent Channel.

The level at the output of the amplifier could be written as

P_{MAIN}= \hat{g} \left( \dfrac {P_i}{2} \right)=g_1e^{j \theta_1} \dfrac {P_i}{2}+g_2e^{j \theta_2} \dfrac {P_i^2}{4}+g_3e^{j \theta_3} \dfrac {P_i^3}{8}

and PAUX1 (the sample level before the error combiner) could be expressed by

P_{AUX_1}=\beta g_1e^{j \theta_{A1}} \dfrac {P_i}{2}+\beta g_2e^{j \theta_{A2}} \dfrac {P_i^2}{4}+\beta g_3e^{j \theta_{A3}} \dfrac {P_i^3}{8}

and \theta_{Ai}=\theta_i + \theta_{\beta}

The level PAUX2 at the secondary network is

P_{AUX_1}=\dfrac {P_i}{2} e^{j{\theta}_{A2}}

In these expressions, β is the magnitude of the losses of the inter-stage attenuator and θβ is its phase; and θA2 is the phase of the delay line τ1. It must be satisfied

\theta_1+\theta_{\beta}=\theta_{A2} \pm 180

\dfrac {d \theta_1}{d \omega}+\dfrac {d \theta_{\beta}}{d \omega}=\dfrac {d \theta_{A2}}{d \omega}

θ1 is the phase of the linear gain of the amplifier. Then, not only the phases must be in phase opposition, but also the delay time must be the same in every subnetworks. In magnitude, it must be satisfied |β·g1|=1.

In the second stage, the gain of the amplifier must equalize the g2 and g3 levels, and their phases must satisfy the same equations (absolute phase and delay time) of the first stage, to combine and cancel the distortions.

\left| \beta G_2 \right|=1

\theta_{\beta}+\theta_{G_2}=\theta_{\tau 2} \pm 180

\dfrac {d \theta_{\beta}}{d \omega}+\dfrac {d \theta_{G_2}}{d \omega}=\dfrac {d \theta_{\tau 2}}{d \omega}

In RF designs, the adders must be replace by hybrid couplers or directional couplers, which have insertion and coupler losses. Using two hybrid couplers (3dB for insertion losses) to split Pi and combine PAUX1 and PAUX2, and two directional couplers (with C for coupler losses) to take the sample in the first stage and combine the error sample in the second stage, the expressions are now

\left| \dfrac {\beta}{IL_{hyb} C_{coup}}g_1 \right|=1

\theta_1+\theta_{\beta}+\theta_{coup}=\theta_{A2} \pm 180

\dfrac {d \theta_1}{d \omega}+\dfrac {d \theta_{\beta}}{d \omega}+\dfrac {d \theta_{coup}}{d \omega}=\dfrac {d \theta_{A2}}{d \omega}

at the first stage and

\left| \dfrac {\beta}{IL_{hyb}^2 C_{coup}^2}G_2 \right|=1

\theta_{\beta}+2 \theta_{coup}+\theta_{G2}=\theta_{\tau 2} \pm 180

\dfrac {d \theta_{\beta}}{d \omega}+2\dfrac {d \theta_{coup}}{d \omega}+\dfrac {d \theta_{G2}}{d \omega}=\dfrac {d \theta_{\tau 2}}{d \omega}

at the second stage.

In a narrowband amplifier, delay time could not be considered, because its phase slope will be smallest than the phase slope of a broadband amplifier.


Now, we are going to design our feedforward amplifier, based in our two-stage LDMOS amplifier. In first, we must split the input signal in two outputs, one to the amplifier and the other to the phase shifter. We are going to use an 180-deg hybrid coupler, with 3dB of insertion losses. At this frequencies, hybrid couplers could be easily found in the market, as a Surface Mounting Device (SMD). The designed amplifier is a narrowband amplifier.

The output levels of the hybrid coupler are the same, in magnitude and phase. The phase of the amplifier gain was 76,4deg in linear mode, but in nonlinear mode, we have got a phase of 69,4deg, with 0dBm of input power. Taking a sample of the output level of the amplifier with a directional coupler, which introduces a 90deg coupling phase, with 10dB of coupling level, we have got a sample level of 12dBm, with a phase of 159,4deg.

Then, we are going to combine with another hybrid coupler, and as in the secondary network the level is -6dBm, we have to equalize both levels with the attenuator, whose attenuation must be ≈20dB. The phase shifter should be adjusted to a phase of ≈-12 deg.

First stage for AUX adjustment

First stage for AUX adjustment

Adjusting the phase and the level with the phase shifter and the attenuator, we are able to optimize the response for several input levels.

AUX Main an Intermodulation Frequencies, vs Input Power

AUX Main an Intermodulation Frequencies, vs Input Power

We are going to complete now the second stage amplifier, where an error amplifier increases the level of AUX spurious intermodulation to combine in phase opposition with the MAIN line. The error amplifier G2 should not be a power amplifier, at this stage. A linear, general-purpose amplifier maybe used. The gain is calculated by the difference between the MAIN and AUX IM spurious. This value is 45,5dB, because we are combining with a directional coupler, to reduce the insertion losses in the MAIN line. Using an amplifier with a magnitude of 45,5dB and a phase of -145deg, we have got a phase shifter with the same value, and after the coupler, the IM distortion decreases around 65dB. The output level is now 31dBm, and the TOI increases to 75dBm.

Output level and TOD, after the feedforward correction

Output level and TOD, after the feedforward correction

The definitive amplifier is

Definitive Feedforward Amplifier

Definitive Feedforward Amplifier


With the amplifier designed we have achieved a significant improvement: increasing efficiency around 40dB for the same output level, on adjacent channel. Furthermore, the amplifier is very simple to realize with a few RF devices. The design is very easy and intuitive.

However, the Feedforward has two serious disadvantages: on the PCB, it needs a lot of surface; and the input level cannot be increased above the input level that provides maximum output level of the MOSFET, because the distortion can be increased above the value we have corrected.

In broadband we must take into consideration not only the phase of the amplifiers but also the group delay, because the phase slope of the amplifiers has to be compensated by the phase shifter. Then, the phase shifter could have a larger surface dimensions, because it must be a delay line, too.


  1. R. Cordell, “A MOSFET Power Amplifier with Error Correction”; JAES, vol. 32, nr. 1/2, 1984 Jan/Feb
  2. J. Vanderkooy, S.P. Lipshitz, “Feed-Forward Error Correction in Power Amplifiers”, JAES, Vol. 28, Nr. 1/2, 1980 Feb
  3. A.M. Sandman, “Reducing Distortion by ‘Error add-on‘”, Wireless World, vol.79, p.32, 1974 Oct

Tin whiskers growing on Zamak alloys


From today, some interesting entries for readers will be published in English. This first entry will explain the physical reasons because tin whiskers are generated on surfaces of copper or zinz, and methods to prevent this phenomenon.

Whiskers are a small tin wires, growing due to differences in surface tension at the binding surface of the metals, when an electrochemical plating is applied. In 2006, the author and his R&D team had to research this phenomenon. Researchers found the functionality of one product is spoiled along the time. Particularly, when it was stored more than three months. Then, we decided to study this phenomenon, to understand the causes because it produces and find possible solutions to prevent in future developments.


Occurrence of uncontrolled phenomena is important for the Research & Development in any factory. Most of the time, private companies applied more the Development than the Research in their products. However, there are many times where the development has drawbacks and phenomena that are not in the company “know how”. These phenomena enable R&D teams to acquire new knowledge and apply it in the future.

In 2006, my R&D team found a phenomenon affecting the proper operation of one popular product. It was completely unknown to us, but experienced by others: whiskers. It occurred in one important product that we were developing. Because this product was the most important in our catalog, forcing us to do a deeper research, to find a solution, because there were stored material which might be defective. So my R&D team got to work to solve this phenomenon.

Whiskers are a type of mammalian hair, with large size. In Mechanical Engineering, whiskers are tin filaments that grow on a material that has been processing by electroplating. Electroplating is used in the industry, because it serves for fine finishes, easy weldability or protect to corrosion. In our case, electroplating is made with tin and zamak (a zinz, magnesium, aluminum and copper alloy, widely used in industrial housings), to facilitate the weldability on the zamak (it is not weldable), and provide a well-finished product. Therefore, the knowledge of the phenomenon and the possible solutions was very important for us.


This phenomenon appeared on Zamak housings, because they must submit a tin plating to weld on the housings, because Zamak does not allow conventional welding.

A drawback happened when, after a large time stored material, this product,  a narrow-band amplifier with an 8MHz cavity filter, had a strong deviations in its electrical features. This phenomenon forced to do a new resetting of the filter. In this product, there were two separate settings: first, made during the assembly, and second, 24 hours from the first adjustment. After completing both settings, the cavity filter usually remained stable, but a third setting was recommended if the product was stored over 3 months (storage rotation).

However, along the product development, my R&D team discovered that the cavity filter was not stable and the failure of the selectivity and insertion losses grew along the time. Implying that, despite the third adjustment, could not ensure the filter stability. This failure meant that we could not ensure that the filter was stable in spite of third adjustment.

Tin whiskers growth

At first, the phenomenon looked like a failure in the electronic components, caused by a defective lot of capacitors. Then it became a new phenomenon for us: we had accidentally generated whiskers on tin surface.

As I said, whiskers are metal filament-like crystals, which grow on the surface of tin which covers the zamak housing. Crystals are so fine that they are very brittle when the hand is passed over the surface and melt when a short circuit current crosses through them, which it does not have to be very high. In this case, it reduced the cavity volume of the filter, and it changed its resonant frequency, moving the insertion response to higher frequencies.

When we start to study this phenomenon, we discovered that it had been known since the 40’s and even NASA studied deeply the phenomenon, so that part of the way was made: we verified that it was associated with the type of contact surface between the two materials and the thickness applied to the tin plating. Surface tension of the materials and storage temperature were involved, too. In summary, whiskers growth was ruled under the equations of PhD. Irina Boguslavsky and her collaborator Peter Bush:

h_1=k_1 \dfrac {\sigma}{R_W T}

h_2=k_2 \left( {\sigma}- \dfrac {k_3}{L_W} \right)^n

According to the experimental observations, both equations predicted rather accurately the whiskers growth which was observed in the tin layers. In these equations, σ represents the stress strength, related to the surface tension. LW is related to thickness of the surface bonding and n is a value, dependent on the displacement density and the temperature, T. The k1, k2 and k3 terms are constants which depend on the material properties and RW is the radius of the filament. The h1 and h2 terms refer to the filament growth where it has already happened in the bonding area (h1) and the time at which happens (h2).

Crecimiento del filamento de estaño a los 3 y a los 6 meses

Tin whisker growth at the 3rd and 6th month

In these equations, when LW decreases, h2 increases, because it is an exponential function with n>>1. Therefore, the plating thickness is one of the variables which can be controlled. In our case, this thickness had been decreased from 20μm to 6-8μm because the development incorporated a “F” plug-type, threading, instead of the former 9 ½mm DIN connector. Since the connectors were made in the molding manufacture and they were subsequently threaded, they were made before the tin plating. A 20μm tin plating did not allow that the connectors were threaded.

The σ term is related to the surface tension in the junction and depends only on the materials used. Studying with the plating manufacturer for different thicknesses, we verified that the expressions were consistent, since for larger thicknesses, the growth was always much higher than for smaller thicknesses, and there was always a tendency to grow, although it was lower in 20μm platings. Once the plating was made, the stress forces which were applied by the surface tension of zamak, “pushed” to the tin atoms outwards, to maintain the equilibrium conditions. Opposite to them, the surface tension of tin appeared. With less tin thickness, the forces applied at the contact surface were higher than the opposite forces on the tin surface, and with less tin thickness, internal forces which opposed to the surface forces were weaker, allowing the whisker growth outside.


One solution, that was provided from Lucent Technologies, was performing an intermediate nickel plating, between zinz surface and the tin plating.

Ni plating between Sn and Zn surfaces

Researchers from Lucent Tech., after several experiments, found that the growth of whiskers was eliminated significantly, to nearly zero values.

Crecimiento de ambos tipos de baño de estaño (brillante y con antimonio).

Growth in the two types of tin plating (bright tin and satin tin)

In the graphs, we can see that the growth of bright tin over a copper surface which has a similar performance to the zamak. It grows rapidly after 2 months. The growth slope is very high in bright tin. However, when it is applied an intermediate Ni layer, the growth is practically zero. For the satin tin, the growth slope happens after 4 months, and it shows a slightly lower slope. After applying the Ni layer, the growth is practically zero.

The thickness of the Ni plating could be between 1μm and 2μm, while the thickness of tin plating could be maintained around 8μm. Thus, the defective threading is avoided while the whiskers were removed. However, the process was quite expensive, so this option was discarded.

Therefore, we were confronting another problem: how to eliminate the phenomenon, which implied increasing the thickness of the tin plating on the zamak alloy, but also caused the defective in threading at “F” connector. A molding modification, to provide more material on the connector, was quite expensive and involved a larger modification time, having to include inserts. However, it was right to correct the whiskers.

Another problem was raised with the stored material and the material which was being manufactured. The stored material could not be reprocessed because it had been assembled and could not be plated again. The intermediate solution was to remove the tin crystals by cleaning with compressed air.

About the material in manufacturing process (non-plating pieces), a temporary solution was to replace the tin plating. Silver plating was applied. Silver is weldable and can be applied in very thin layers, keeping the features, but it has the disadvantage that its oxide shows a dirty and stained finish, affecting to the product esthetics.

Finally, in-depth study of the phenomenon laid down that increasing the tin thickness should be standard. Defective in threading should be removed by a tool, to make correctly the threading on the connector, and the mold modification could be made, by modifying the inserts of the threaded connectors, to get a 10-20μm plating which do not fill the threadings.


Tin whiskers is a little-known phenomenon. It happens at the microscopic level and seems to have only been studied by agencies and national research laboratories, with strong budgets and appropriate means for its observation.

In Spain, we have found few laboratories which study it. It happens preferably in the industry, caused by the handling of materials. This job was done by my R&D team, allowing us to acquire enough knowledge to correct and prevent it, as well as to avoid its occurrence again.

However, there are many items about it on the web, which allowed us to know, analyze its causes and possible solutions.


  1. H. Livingston, “GEB-0002: Reducing the Risk of Tin Whisker-Induced Failures in Electronic Equipment”; GEIA Engineering Bulletin, GEIA-GEB-0002, 2003
  2. B. D. Dunn, “Whisker formation on electronic materials”, Circuit World, vol. 2, no. 4, pp.32 -40 1976
  3. R. Diehl, “Significant characteristics of Tin and Tin-lead contact electrodeposits for electronic connectors”, Metal Finish, pp.37-42 1993
  4. D. Pinsky and E. Lambert, “Tin whisker risk mitigation for high-reliability systems integrators and designers”, Proc. 5th Int. Conf. Lead Free Electronic Components and Assemblies, 2004
  5. Chen Xu, Yun Zhang, C. Fan and J. Abys, “Understanding Whisker Phenomenon: Driving Force for Whisker Formation”, Proceedings of IPC/SMEMA Council APEX, 2002
  6. I. Boguslavsky and P. Bush, “Recrystallization Principles Applied to Whisker Growth in Tin”, Proceedings of IPC/SMEMA Council APEX, 2003

Estudio avanzado de los radioenlaces

Hablabamos en diciembre del año pasado del cálculo de radioenlaces. Habíamos puesto como modelos iniciales para dicho cálculo el del espacio libre (representado por la fórmula de Friis) y los modelos de Okumura y Okumura-Hata, que son modelos extrapolados de cálculos estadísticos realizados a través de mediciones reales en entornos urbanos. Sin embargo, estos modelos no incluyen la orografía del terreno, la obstrucción debida a los propios enlaces o fenómenos como la difracción. Estos fenómenos físicos son bastante complejos de analizar, pero cualquier radioenlace que los incluya tendrá más posibilidades de éxito que los que se realicen con el simple modelo del espacio libre o el de Okumura-Hata. En esta entrada estudiamos el modelo de Longley-Rice, basado en el modelo de tierra irregular, que data de los años 60 y que fue desarrollado debido a la que los EE.UU. estaban realizando un plan de asignación de frecuencias para la difusión de TV (Broadcast).


El modelo de Longley-Rice es un modelo de tierra irregular, conocido por las siglas ITM. Es un modelo de estudio de cobertura de radioenlaces, inicialmente pensado para la cobertura broadcast de TV, dentro del plan de asignación de frecuencias del espectro radioeléctrico.

El modelo se basa en la aplicación de los fenómenos físicos ya conocidos: atenuación en el espacio libre de Friis, elipsoides de Fresnel, difracción, trayectorias multicamino, etc., a los que se añade el efecto de la irregularidad de la Tierra. A partir de ese modelo, se realizan análisis estadísticos de cobertura que se plasman en algoritmos que permitan una predicción lo más atinada posible de esa cobertura.

Imagen de una Tierra con orografía irregular

La Tierra no es regular. Si añadimos al fenómeno de la curvatura terrestre el de la orografía, la propagación electromagnética se encuentra con muchos obstáculos. A frecuencias por debajo de los 30MHz, la emisión radiada suele ser bastante eficaz (las célebres emisoras de Onda Media y Onda Corta), llegando a muchas partes del planeta gracias a la reflexión en la ionosfera, permitiendo que lleguen a otras partes del planeta e incluso dar una vuelta completa. Son las bandas de transmisión de radio y de los radioaficionados, y por lo general es el propio planeta el repetidor.

En función de la banda, las frecuencias radiadas se verán favorecidas en la radioemisión, siendo la banda más baja (Onda Media) una banda nocturna (se ve más favorecida en alcance por la noche), y pasando a diurna hasta que los fenómenos de reflexión debidos a la ionosfera desaparecen y se vuelven caprichosos.

El modelo ITM cubre la banda de 20MHz÷20GHz y hasta 2000km, aunque se está extendiendo ya, debido a la necesidad de realizar radioenlaces a más alta frecuencia, hasta los 40GHz.

El modelo, que incluye los fenómenos electromagnéticos ya conocidos y los combina con una cartografía terrestre donde se incluyen los fenómenos urbanos, de bosque, orográficos y de obstáculos, permite, mediante un análisis estadístico, conocer las posibilidades de una cobertura realizada por un repetidor, estimando cuáles son los valores medios que se pueden llegar a tener en un receptor fijo y en uno móvil.

No obstante, el modelo, que nació en 1968, está en continua evolución, puesto que algunos resultados muestran diferencias con las medidas realizadas, por lo que se hace necesaria una combinación de diversos modelos para tener una estimación más realista.


Existen varias aplicaciones basadas en el modelo de Longley-Rice. Una de ellas, libre y muy sencilla de usar, está realizada por el ingeniero de RF canadiense Roger Coudé, denominada Radio Mobile. Con ella es posible cargar un mapa de una cierta zona, abarcando un determinado territorio, y establecer una red de radioenlaces en la que podamos estudiar la cobertura con cierta seguridad.

El software, de tipo freeware, establece la definición de los sistemas, del tipo de red, de la orografía del terreno, del entorno climático, del tipo de orografía del terreno. También permite la definición de las potencias emitidas por el transmisor y las recibidas por el receptor, así como las ganancias de antena y el tipo de antena utilizado.

Análisis de un enlace de radio punto a punto.

El software permite el análisis punto a punto con la transcripción de la orografía del terreno, representando, además, las elipsoides de Fresnel, y mostrando las contribuciones a las pérdidas en el espacio libre de las obstrucciones, los entornos urbanos y las zonas boscosas.

También es posible analizar redes punto-multipunto, topologías de tipo estrella o de tipo cluster.

Una de las cosas más interesantes del programa es la posibilidad de realizar sobre el mapa diagramas de cobertura, limitando los parámetros óptimos de la red y caracterizándola en función de la posición sobre el terreno, así como de obtener localizaciones favorecidas para obtener la mejor ubicación.

No obstante, tenemos que recordar que se trata de un simulador, y como todos los simuladores, tiene la eficiencia de la cantidad de datos que proporcionemos, y muchos de ellos no son de fácil modelización. Para ello, voy a estudiar un ejemplo que realicé hace unos años con un radioenlace que tuve que colocar en un camping de la Bretaña francesa, en Quimper.


En el año 2008 tuve que ir a instalar un radioenlace en el camping Port de Plaisance, en Quimper. Se trataba de una instalación destinada a emitir la TNT (Télévision Numérique Terrestre) dentro del entorno del camping, ya que la señal del repetidor llegaba con una señal ya muy baja a algunos de los bungalows del camping.

Parecía que se trataba de una instalación sencilla: el camping no tenía más de 700m de longitud, por lo que un repetidor de 500mW parecía más que suficiente para cubrir el terreno. El problema partía de la normativa de TNT en Francia exigía que cualquier repetidor tenía que ponerse en modo SFN (Single Frequency Network), por lo que había que emitir en el mismo canal que se recibía. No era posible realizar, pues, cambio de canalización.

Esta situación limitaba mucho la potencia de nuestro repetidor, ya que al emitir en la misma frecuencia y carecer de un sistema de cancelación de ecos (realimentación producida al acoplarse la frecuencia emitida en la antena de recepción del repetidor), había que disminuir el nivel de salida del repetidor para evitar oscilaciones.

El camping tenía una distribución que podemos ver en el siguiente mapa:


Camping “Port de Plaisance”

Por supuesto, el objetivo era cubrir todos los bungalows, y para ello utilizamos el modelo de espacio libre. La ubicación tanto de la antena de recepción como la de transmisión fueron definidas por la dirección del camping, así como la ubicación de los equipos, que serían colocados en unas dependencias a las que no podían acceder los clientes.

Atendiendo al modelo de cobertura del espacio libre, teníamos entre 70 y 80dB de pérdidas en las frecuencias de UHF en las que íbamos a emitir. Por tanto, el problema de la potencia quedaba resuelto, ya que con 50mW de emisión llegábamos perfectamente a cualquier punto del camping con una antena omnidireccional, con una ganancia del orden de 9dBi. De hecho, en el peor punto llegábamos con 57dBμV, 10dB más que los que se recomiendan como límite inferior para recibir una señal de TV COFDM correcta. Así que con la alegría de que íbamos a poner un repetidor en Francia, nos acercamos a Quimper a finales del invierno de 2008, a hacer la instalación y tomar las medidas.

El primer inconveniente con el que nos encontramos fue, precisamente, el problema de la realimentación. Ya sabíamos que podría ocurrir, pero las estimaciones calculadas y las reales nos mostraron que no podíamos sacar más de 75mW en el mejor de los casos, y con este nivel en algunas ocasiones el canal concreto se ponía a oscilar. El valor de 50mW era también algo optimista, aunque era un valor, en principio, seguro.

Otra de las cosas que no introdujimos en los cálculos era el gran número de ostáculos a los que se enfrentaba nuestro repetidor. Como buen camping situado en una zona tan húmeda como la Bretaña francesa, el terreno tenía abundante vegetación y arbolado, y en muchas ocasiones los árboles se topaban con el camino radioeléctrico como si fuesen un muro. No obstante, logramos colocar el repetidor y de las mediciones que hicimos, vimos que teníamos nivel de señal óptimo, aunque 6 o 7 dB inferior al que el modelo del espacio libre nos predecía.

Al cabo de dos meses, desde la dirección del camping nos telefonearon indicando que en muchos sitios del camping no se recibía la señal de TNT, y que los clientes se quejaban porque era un servicio ofertado por el camping y querían dicho servicio. Así que con los equipos en la mano, volvimos para estudiar “in situ” lo que ocurría.

A nuestra llegada, pudimos comprobar con estupor que las arboledas sin hojas de marzo se habían convertido en un frondoso bosque. Teniendo a mano las medidas realizadas, volvimos a hacer la comparativa y donde antes teníamos del orden de 50dBμV, ahora teníamos menos de 45dBμV, por lo que en algunos sitios la señal estaba pixelando continuamente o entraba a negro, dependiendo de la calidad del receptor. Un desastre, vamos.

Así que tuvimos que recurrir a reajustar el repetidor, teniendo en cuenta que no podíamos dar más de 75mW, si no queríamos que el canal oscilase. La dirección del camping tampoco permitía el cambio de canal, por lo que teníamos pocas opciones. Así que la solución fue buscar un punto de potencia de salida que permitiese la cobertura justa, e intentar buscar los lugares donde esta cobertura era mala, para intentar dar con una solución, que consistía en la instalación de un microrrepetidor de menos potencia.

Por tanto, ahí descubrí que el modelo del espacio libre era eso: del espacio libre. No era válido para realizar una estimación de cobertura para una instalación sobre un determinado terreno.


Hoy, después de 6 años y medio de aquella instalación, he hecho el análisis de la misma a través del software Radio Mobile y me he encontrado con que aquellos datos que tomé en su momento eran correctos, y que mi hipótesis inicial, presentada en el informe de la instalación, era acertada. Al justificar que la existencia de obstrucciones en el camping no me permitían una cobertura total, las conclusiones eran discutidas y tomadas como poco rigurosas.

De hecho, al tomar el peor punto de la red, que llamaremos Receptor 2, pude comprobar que en condiciones de obstrucción la señal, que en espacio libre estaba sobrada, estaba atenuada en 12dB más, lo que hacía que la señal cayese por debajo de la señal que habíamos puesto como límite, e incluso por debajo de la señal óptima.

Transmisión simulada en el punto peor del camping Port de Plaisance

Entonces, decidí hacer una simulación de la cobertura desde el repetidor, para ver cómo se distribuía la señal, y obtuve el siguiente plano de cobertura

Mapa de cobertura del camping “Port de Plaisance”. En rojo, fuera de cobertura. En amarillo, cobertura débil. En verde, buena cobertura.

donde pude comprobar, a partir del mapa de terreno que usa el programa, que había zonas internas de mala cobertura y que las zonas donde tenía una cobertura débil (que dependiendo de las condiciones climatológicas podía ser incluso mala), eran superiores a las que en principio me mostraba el modelo del espacio libre. Y que la zona en la que el modelo de espacio libre nos daba como peor, pero dentro de características, se ajustaba a los valores obtenidos en las medidas.


Si hubiese tenido este software de simulación en el momento de estudiar la instalación del repetidor en “Port de Plaisance”, para nada hubiese acudido a montar el repetidor si no tengo la cobertura garantizada. Incluso con el máximo nivel de 500mW la cobertura no estaba garantizada, con algunas zonas de sombra que no podríamos cubrir.


Cobertura con el máximo nivel de 500mW.

El programa me ha demostrado, pues, mucha utilidad para el cálculo de coberturas. Al menos, se obtienen cosas bastante más realistas que el optimismo inicial del modelo del espacio libre.


  1. P.L. Rice, “Transmission loss predictions for tropospheric communication circuits”, Volume I & II, National Bureau of Standards, Tech. Note 101
  2. A. G. Longley and P. L. Rice, “Prediction of tropospheric radio transmission loss over irregular terrain. A computer method-1968”, ESSA Tech. Rep. ERL 79-ITS 67, U.S. Government Printing Office, Washington, DC, July 1968

MATELEC 2014. ¿Qué ha supuesto el evento?

3bc2c8d39db90e514ada-a4136d9e83Bueno, como cada dos años, éste también me ha tocado acercarme a la cita de MATELEC, una feria en la que se puede testar muy bien el estado de nuestra industria eléctrica y electrónica. Y quiero con esta entrada dar mi opinión de lo visto este año, en comparación con la edición de 2012, en la que la feria había vuelto a resurgir frente al gran batacazo, en mi opinión, que supuso la edición de 2010.


Una feria sectorial es algo muy complejo. Las primeras ediciones de MATELEC eran anuales, lo que implicaba mucho gasto en las empresas para poder acudir a exponer sus novedades. Además, un producto novedoso no suele salir de un año para otro. El paso de una convocatoria anual a la actual, cada dos años, fue una medida acertada, porque permitía a las empresas plantear su asistencia desde el punto de vista de las novedades y no sólo desde un marcado carácter comercial. Una feria tecnológica se debe de nutrir no sólo de oportunidades para hacer negocio, sino que debe de mostrar el músculo de las empresas, en forma de Investigación, Desarrollo e Innovación.

Durante muchos años, las telecomunicaciones ocuparon el eje central de la feria, en lo tocante a la industria electrónica. La feria se planteaba así como una feria sectorial en la que todos los sectores (industria eléctrica, iluminación, electrónica, manufactura, etc) acudían a mostrar sus novedades, pero sin mostrar nexos de unión entre los distintos sectores. Por tanto, en aquellos años MATELEC era una feria sectorial que, internamente, también estaba fuertemente sectorizada, como si no hubiese interdependencia entre sectores.

Al ser el eje de la industria electrónica las telecomunicaciones, la desaparición en la edición de 2010 de los grandes fabricantes españoles del sector deslució enormemente la feria, reduciendola a los distribuidores, sin duda más necesitados de oportunidades de negocio, pero con incapacidad de mostrar más novedades que las que los fabricantes les presentasen. Sin la presión de exponer, los grandes fabricantes no necesitaban ya mostrar su potencial innovador y eso repercutía en los pequeños distribuidores. Personalmente, la edición de 2010 represento, a mi modo de ver, uno de los más sonoros fracasos de la historia de la feria. ¿Estaba sentenciada de muerte?

10689570_566581643487470_4057597374882271081_nLA EDICIÓN DE 2012, UNA PUERTA PARA LA ESPERANZA

Es importante que recuerde porqué concedo tanta importancia a lo que se puede considerar un evento puramente sectorial: es un momento en el que se puede testar la situación real de una determinada industria. En este caso, esta feria es el termómetro de nuestra industria eléctrica y electrónica, y como otras ferias, representa el escaparate de cómo está evolucionando en unos momentos difíciles, debido a la gran caída de consumo interno que supuso la crisis y de la enorme cantidad de empresas industriales que se han visto abocadas al cierre y desaparición. MATELEC 2010 mostró un mazazo considerable de la industria eléctrica y electrónica, con pocos stands, muchos huecos libres y la mitad de los pabellones sin llenar. El escenario era, cuanto menos, atroz.

Así que el equipo directivo de la feria, conscientes de que si no se remediaba esto en la siguiente edición, significaría la desaparición de la feria, abordaron una estrategia que considero fue muy acertada: hay que abrir la feria a sectores nuevos, incidir en nuevas tecnologías, y convertir la feria en una feria única sectorialmente, sin las divisiones que antes presentaban los diversos subsectores. Hay que aunar industria eléctrica y electrónica, que la feria presente una única voz, y todo ello lo consiguieron con el lema de la eficiencia energética. Eso hizo que la edición de 2012 fuese, también bajo mi opinión, un acierto y un éxito rotundo, que abrió las puertas a la feria a una nueva etapa de esplendor como la que vivió en las dos décadas pasadas. Aún así, quedaba el test de la consolidación, ver si esa tendencia abierta funcionaba en nuevas ediciones. Y ahora estamos en la edición de 2014, idónea para ese test.


10710697_566642286814739_7258534809365919608_nMATELEC 2014 se ha presentando con el mismo lema que hace dos años, y la misma estructura organizativa y de presentación sectorial que le supuso un acierto en 2012. Partiendo de esas premisas, parece que la feria debería haber tenido, si no un éxito claro como 2012, un peso específico importante en el sector. ¿Ha sido así?

Buena pregunta. En primer lugar, algo realmente interesante del evento, y que a mi modo de ver es el objetivo que debe tener toda feria sectorial, es ver las novedades que se producen en la industria y, además, comprobar si se están creando nuevas industrias, si la industria electrica y electrónica de nuestro país sigue viva.

Hablábamos antes de lo que pasó en MATELEC 2010, cuando los grandes fabricantes dejaron de acudir la feria, dejando solos a los distribuidores como expositores. Sin embargo, tanto en 2012 como en 2014 hemos asistido al surgimiento de nuevas industrias en el sector, unidas bajo lema de la eficiencia energética. Bajo esta premisa, la edición de 2014 no ha sido un éxito colosal pero sí ha cumplido con su objetivo principal, que es mostrar una industria viva, en un momento en el que el sector está pasando por sus horas más bajas. Han aparecido nuevos fabricantes, que han ido sustituyendo a los que dominaron la década pasada, por lo que podemos darle una buena nota en este sentido.

Los foros han funcionado correctamente, compartiendo el espacio con los expositores, y la innovación también se ha centrado en la feria. Muchas de las nuevas empresas han confiado en la innovación como motor de su crecimiento, y hay que reconocer que en este apartado también la nota puede ponerse alta.

Pero aunque esta edición nos muestra que todavía hay en España una industria viva e innovadora, que quiere sustituir a aquella industria que dominó durante la década pasada, esta edición también nos muestra que el crecimiento de esta nueva industria es sensiblemente inferior al de aquella: o sea, que nacen nuevos fabricantes, pero no lo hacen al ritmo de los que se desaparecen, y muchos de estos nuevos fabricantes son resultado de negocios iniciados por emprendedores, por lo que muchos de ellos se habrán quedado en el camino.

Una muestra clara de esa situación es la gran presencia del gigante asiático en la feria: tanto en el área de eficiencia energética como en el de iluminación, la industria china muestra una fuerte presencia, lo que indica claramente el dinamismo de este país en el tema de la industria eléctrica y electrónica y su capacidad de generación y consolidación de nuevas empresas frente a la nuestra. Empresas, que en nuestro país se podrían considerar microempresas o pequeñas empresas se han lanzado a la internacionalización, apostando fuerte por la difícil y tortuosa vía de la exportación.


Como ya he mencionado, que MATELEC haya orientado su vista al campo de la eficiencia energética, en un mundo que tiene los recursos cada vez más comprometidos, ha sido un acierto en toda regla, si bien hace falta comprobar si este giro va consolidándose en la siguiente edición. Que la industria eléctrica y electrónica consolide estas nuevas oportunidades de negocio y que sustituya de forma eficaz al modelo anterior es condición necesaria para que el corazón industrial tecnológico vuelva a latir como en épocas pasadas. Por tanto, considero que la edición de 2016 será determinante para comprobar si este sector vuelve vitaminado a los mercados o no. Por eso, a mi modo de ver, esta edición se puede considerar sólo como una edición de transición en la consolidación del nuevo modelo productivo.

El Control Automático de Ganancia: topología, funcionamiento y uso (II)

En la entrada del mes pasado estudiábamos la filosofía de un amplificador con Control Automático de Ganancia. Para terminar este capítulo dedicado al AGC, vamos a estudiar la simulación del sistema usando la aplicación SIMULINK de MatLab, y dedicaremos un apartado a concretar el uso más habitual de este tipo de configuraciones.


En primer lugar, vamos a recordar que el diagrama de bloques usual de un AGC es el siguiente

Diagrama de bloques de un AGC

Diagrama de bloques de un AGC

Es importante la traslación de este sistema a SIMULINK, para poder estudiar cómo funciona. Comenzamos por el VGA (amplificador controlado por tensión). En el apartado anterior comprobamos que la expresión que relaciona la tensión de salida con la tensión de entrada es una expresión definida por

V_{out}=g(V_c) \cdot V_{in}=g_o \cdot {10^{-{\alpha} \cdot V_c}} \cdot V_{in}

por tanto, tenemos que construir un diagrama de bloques SIMULINK que realice esta expresión. El diagrama de bloques es


Diagrama SIMULINK del VGA

Tenemos dos puertas de entrada: la puerta In1 es la puerta donde se aplicará VIN en unidades de magnitud, mientras que la entrada In2 es la puerta donde se aplicará VC, también en unidades de magnitud. Esta tensión VC pasa por un amplificador de ganancia -1 y por una función matemática 10u, para realizar la parte exponencial de la ganancia, que se multiplica mediante una función producto a la tensión de In1, correspondiente a VIN. Luego aplicamos un bloque Gain3, en el que proporcionamos la máxima ganancia de nuestro amplificador, que en este caso es 10. De este modo, nuestro amplificador tiene la siguiente expresión

V_{out}=10 \cdot {10^{-{V_c}}} \cdot V_{in}

VOUT, en unidades de magnitud, sale por Det a través de la salida Out2, mientras que por la salida Out1 sacamos VOUT en dB, ya que nos interesa más esa escala a la hora de realizar las medidas. La salida Det será utilizada para realizar la parte de la detección y aplicar un amplificador logarítmico.

El diagrama de bloques, entonces, queda como sigue


Diagrama de bloques SIMULINK del AGC

Por un lado, tenemos Control Amp, que es nuestro VGA. La entrada, que se expresa en magnitud, entra en el amplificador y se lleva, a través de una conversión a dB, al Scope. La salida Out, que sale en dB, se lleva también al Scope.

La salida Det pasa por un detector de envolvente de ganancia unidad y un amplificador logarítmico de base 10. El resultado de esa operación se compara con el valor VREF, que es, en dB, el valor que queremos a la salida. Mediante el bloque dB to Mag se pasa VREF a unidades de magnitud.

El resultado se pasa por un integrador que tiene una constante de proporcionalidad 0,5. En el visualizador Control podemos estudiar la respuesta temporal de la salida del integrador, que nos proporcionará información acerca del tiempo que le lleva al AGC volver al estado nominal cuando haya un cambio en el valor de entrada.

La entrada está formada por los bloques In_dB (el valor nominal de entrada en dB) y dB_Step, en donde introduciremos el salto que se va a producir en el valor de entrada. Por ejemplo, en la figura tenemos un salto de 10dB, por lo que si el valor inicial de entrada In_dB es de 10dB, en el momento en que se produzca el salto tendremos 20dB, que el AGC tendrá que corregir.

El bloque dB to Mag with step es un bloque que nos proporcionará el valor de entrada en magnitud VIN, con el salto en dB en el tiempo que deseamos. Este bloque es


Diagrama de bloques del dB to Mag with step

La entrada dB_Step se multiplica a un escalón retardado, para que el salto se produzca en ese momento, y la salida (que sigue estando expresada en dB) se suma a la entrada nominal dB_In, que es el valor inicial. Un bloque Gain (1/20) y un bloque 10u pasan los dB a magnitud, que es la que se introducirá en el amplificador.


Vamos a proceder a la simulación de nuestro AGC. En primer lugar, vamos a ver cuál es la salida del amplificador cuando no tenemos salto.


Respuesta del AGC cuando no hay variación en el valor de entrada (dB_Step=0)

Como podemos ver en la gráfica, cuando entramos con 10dB, el amplificador se va a su máxima ganancia (10dB+20dB de ganancia pasa a 30dB de nivel de salida). El AGC corrige la ganancia hasta que se obtienen los 15dB de VREF. Si cambiamos VREF a 20dB, el resultado en la salida es similar, pero se obtienen 20dB.


Respuesta con Vref=20dB

Por tanto, queda comprobado que el amplificador está funcionando correctamente, por lo que aplicamos ahora los cambios en amplitud.

En primer lugar, introducimos un retardo en el bloque Step de dB to Mag with step de 15s. Esto quiere decir que la amplitud del amplificador cambiará a partir de la posición 15. Ahora introducimos un salto en dB_Step de 5dB, manteniendo la VREF en 15dB. El resultado es


Respuesta del AGC a un incremento en la entrada de 5dB

Podemos ver que el amplificador ya se encuentra en estado estacionario a partir del instante 10, con 15dB de salida, y en el instante 15 la entrada sube 5 dB. El amplificador incrementa su salida a 20dB, pero el AGC realimenta la ganancia hasta que en el instante 25 volvemos a tener 15dB.

Apliquemos ahora la misma variación, pero negativa, disminuyendo el valor de entrada en 5dB. El resultado es


Respuesta del AGC a una disminución en la entrada de 5dB

Donde vemos que el nivel de entrada, en el instante 15, pasa de 10dB a 5dB, provocando que el nivel de salida caiga a 10dB. Entonces comienza a actuar el AGC hasta que en el instante 25 se estabiliza y vuelve a los 15dB de salida.

¿Cómo es la señal de Control? En esta última gráfica, podemos comprobar que la señal de Control es


Respuesta del control Vc

Por tanto, podemos ver el cambio que se produce en la ganancia, cuando VC pasa de 0,75 a 0,5 para estabilizar el nivel de salida.

Este AGC es muy sencillo. El tiempo de respuesta del AGC venía dado por la expresiónτ=1/α·A cuando el valor de la amplitud sube o cae α·A/e, donde A era el factor multiplicador del integrador y α la constante de proporcionalidad de la parte exponencial de la ganancia. Por tanto tenemos que t vale, con los números que hemos utilizado, 2.

Este valor se corresponde al instante en que la envolvente cae 0,18, que en la gráfica anterior se corresponde a un valor aproximado de 0,57. Podemos comprobar que ese valor cae en una posición inferior a la mitad del intervalo entre 15 y 20, por lo que los números son coherentes.

En esta simulación no hemos puesto limitación al valor del salto. Esto significa que si sobrepasamos el rango del AGC podremos tener valores de VC incoherentes. Pero dentro del rango del AGC, podemos estudiar el comportamiento de los integradores y de la respuesta del VGA de forma temporal, si introducimos dichos datos en el sistema.


Por último, y para cerrar esta entrada correspondiente a los AGC, vamos a comentar brevemente el uso de los mismos en los equipos de telecomunicaciones.

Por lo general, cuando tenemos comunicación radiada a través del espacio libre, podemos encontrarnos con una gran diversidad de valor de campo eléctrico, que, al acoplarse a la antena, proporciona diferentes niveles de señal a la entrada de un receptor. Y las variaciones pueden ser del orden de decenas de dB.

Los receptores suelen tener un margen dinámico limitado. Por debajo de un determinado valor, el ruido interfiere en la señal dejándola irrecuperable, y por encima de un determinado valor, se produce la intermodulación, que genera señales indeseadas que también pueden hacer irrecuperable la señal. Se hace, por tanto, necesario que exista un rango dinámico controlado por el propio equipo para que absorba las variaciones propias de la señal de entrada. Es aquí donde entra el AGC.

Si observamos el diagrama de bloques de un equipo receptor, tendremos que los bloques principales son


Diagrama de bloques típico de un receptor de telecomunicaciones

El primer amplificador, que está antes del mezclador de FI, es un amplificador controlado por tensión que realiza el AGC para garantizar que en el receptor (en este caso un demodulador I-Q) el nivel sea el óptimo.

Hay ocasiones que el propio receptor tiene un rango de AGC, que combinado con el rango del amplificador de entrada incrementa el rango dinámico del receptor.

Los AGC, aunque menos habituales, también se suelen usar en transmisión, aunque en este caso lo más habitual es tomar una muestra del nivel de salida y pasarlo por un ADC para que a través de un microcontrolador se corrija el nivel de ataque al amplificador, sin que el amplificador esté controlado por tensión.


Con esta entrada damos por cerrado el capítulo del estudio de los AGC y su uso. La mayoría de los equipos de telecomunicaciones tienen, hoy día AGC digitales que controlan las variaciones de la señal de entrada a través de los microprocesadores. Sin embargo, la gran ventaja del AGC analógico clásico es la rapidez de su respuesta y la alta estabilidad que se obtiene, ya que corrige un sistema exponencial que, a la hora de ser cuantificado, puede necesitar al menos de 8 bits para controlarlo y obtener un buen margen de estabilidad de nivel en el AGC. Su mayor inconveniente suele ser el espacio, la variación del margen con la temperatura y la necesidad de obtener una muestra de nivel lo suficientemente elevada para que el detector no introduzca ruido.

También hemos podido comprobar la utilidad de una herramienta como SIMULINK para analizar este tipo de sistemas, que nos puede proporcionar información de primera mano para comprobar si el sistema es viable.


  1. Benjamin C. Kuo; “Automatic Control Systems”; 2nd ed.; Englewood Cliffs, NJ; Prentice Hall; 1975
  2. Pere Matí i Puig; “Subsistemas de radiocomunicaciones analógicos”;Universitat Oberta de Catalunya;2010

El Control Automático de Ganancia: topología, funcionamiento y uso (I)

Una de las topologías más comunes en el diseño electrónico la constituye el Control Automático de Ganancia (AGC). En esta entrada vamos a proceder a estudiar cuál es su filosofía de funcionamiento, la topología básica y su uso más común. Procederemos también a su simulación en MatLab, usando el simulador SIMULINK, para entender mejor el funcionamiento de este sistema.


Uno de los bloques más comunes en un sistema es el amplificador lineal. Este es un dispositivo que proporciona una salida que es directamente proporcional a la entrada. Al ser el valor de salida mayor que el valor de entrada, el bloque realiza una elevación de nivel, por tanto, se trata de una amplificación. Si el nivel de salida fuese inferior al nivel de entrada, entonces hablaríamos de una reducción de nivel o atenuación.

Los amplificadores lineales pueden ser amplificadores con ganancia fija, que es la constante de proporcionalidad entre la entrada y la salida, y con ganancia variable, de modo que pueden variar su ganancia a través de una señal de control externa vc.

v_{out}(t)=g v_{in}(t)
v_{out}(t)=g(v_c(t)) v_{in}(t)

Esta señal de control es una variable que también depende del tiempo, aunque en condiciones de control libre, que es el realizado por el usuario, una vez elegido el valor del control esa variable pasa a ser estacionaria con el tiempo y el amplificador pasa a tener ganancia fija.

Sin embargo, las señales de entrada pueden tener oscilaciones debidas al canal de propagación, y subir o bajar de valor en función del tiempo. Si el amplificador tiene ganancia fija, la salida seguirá a las variaciones de entrada.

Por lo general los amplificadores convencionales suelen tener ganancia fija con una regulación externa manipulable por el usuario. Sin embargo, dentro de los sistemas de comunicaciones se pueden dar casos en los cuales hay que asegurar siempre que la salida tome un valor fijo. Y para ello es indispensable recurrir al Control Automático de Ganancia (AGC).


El AGC es un sistema realimentado, que usa la variable de salida, tomando una muestra, para procesarla debidamente y generar una señal de control vc(t) que permita variar la ganancia del amplificador en función del nivel de salida que se elija. Por tanto, un AGC proporciona una variable de salida fija frente a las variaciones de entrada.

El diagrama de bloques clásico de un AGC se puede ver en la siguiente figura

Fig. 1 – Diagrama de bloques de un AGC

Consta de un VGA o amplificador variable por tensión, que responde a la expresión vista en el apartado anterior, un detector de envolvente, porque la amplitud de la señal vout contiene la información de la variación de la señal de entrada, ya que vout es proporcional a vin, un comparador, que compara la señal detectada con una señal de referencia vref, que es la que gobernará el nivel de salida adecuado en vout y un filtro integrador, que proporciona la variable de control.

Al variar vin en el instante t0, el VGA está en estado estacionario, comportándose como un amplificador lineal de ganancia fija. Esto provoca una variación en la señal de salida vout que sigue a la entrada vin. Esta variación se detecta mediante el detector de envolvente provocando un cambio en la salida del comparador, que al ser integrado modifica el valor de vc adecuándolo para que vout se corrija y pase a mantener el valor antes del cambio.

Es un proceso dinámico: las señales vin y vout varían de forma temporal pero manteniendo un nivel estacionario de envolvente. Por ejemplo, una onda senoidal pura tiene una envolvente constante, ya que la función seno está acotada

Fig. 2 – Función variable de entrada de tipo senoidal

Cuando se detecta un cambio en la envolvente en un determinado instante de tiempo, el valor de pico de la amplitud cambia y es detectado por el detector, que inicia un proceso de realimentación temporal que no afecta a la forma de la onda, pero sí a su amplitud.

Fig. 3 – Variación de la amplitud en una señal senoidal

Este cambio es el que obligará a que vc tome el valor adecuado, realizándolo de forma gradual.


Volvemos al sistema de la Fig.1, donde el VGA tiene una ganancia representada por la expresión

g(v_c(t))=g_o e^{-\alpha v_c(t)}

En esta expresión se elimina el dominio temporal, puesto que en este instante no nos interesa la variación temporal de vc, ya que si no hay variación en vi, vc se mantiene estacionario.

La señal de entrada es una señal de la forma

v_{in}(t)=a \sin({\omega}t+{\theta})

La señal de salida será de la forma

v_{out}(t)=g_o a e^{-\alpha \cdot v_c(t)} \sin({\omega}t+{\theta})

Esta señal pasará por el detector de envolvente, cuya salida es una señal que es proporcional a la amplitud de la señal de entrada, siendo k la constante de proporcionalidad. Por tanto, la señal de salida del detector de envolvente será

v_e=k  g_o a e^{-\alpha v_c(t)}

Esta señal se pasa a través de un amplificador logarítmico, ya que la dependencia de vE con respecto a vc es exponencial. Como la base es natural, elegimos el logaritmo natural como amplificador logarítmico, y se obtiene una tensión de salida v2 cuya expresión es

v_2=-{\alpha}  v_c+\log(k  g_o a)

En esta expresión podemos comprobar que k y g0 son valores constantes, y que a y vc son los que pueden variar con respecto al tiempo. Si ahora incluimos la variación temporal de a, tendremos que la expresión toma la forma

v_2=-{\alpha}  v_c(t)+\log(k g_o a(t))

Por tanto una variación de a queda contrarrestada por una variación de vc para que v2 vuelva a tener el valor anterior al cambio en a.

Al realizar la comparación entre la tensión v2(t) y vR, que es un valor fijo y que marcará el nivel de salida que debe mantener el amplificador, tenemos una señal v1 que tiene la siguiente expresión

v_1=-{\alpha} v_c(t)+\log(k g_o a(t) e^{-v_R})

Esta señal se pasa a través de un filtrado paso bajo que la integra, proporcionando vC(t). Si el filtro tiene una respuesta temporal h(t), lo que realizamos es una convolución de la señal v1 con la respuesta temporal h(t)


Y de aquí obtenemos

v_1(t)+{\alpha} h(t)*v_1(t)=\log(k g_o a(t) e^{-v_R})

En el dominio temporal la convolución es una ecuación integral dinámica, por lo que si usamos el dominio de Laplace, pasaremos esa respuesta convolucional a una respuesta en el dominio de la variable compleja s que es lineal. Usando este dominio, la ecuación anterior queda como

V_1(s)+{\alpha} H(s) V_1(s)=\mathcal{L}[log(k  g_o a(t) e^{-v_R})]

que es el resultado de aplicar el operador de la transformada de Laplace. Vamos a estudiar el valor de V1(s) si la salida tiene un valor una amplitud b

v_{out}(t)=b \sin({\omega}t+{\theta})

quitando la dependencia con k y con g0. En este casi, siguiendo los mismos pasos que en el caso anterior, tendremos que

v_1(t)=\log(b(t) e^{-v_R})

V_1(s)=\mathcal{L} [\log(b(t) e^{-v_R})]

(1+{\alpha} H(s)) \mathcal{L}[\log(b(t) e^{-v_R})]=\mathcal{L}[\log(k g_o a(t) e^{-v_R})]

\dfrac {\mathcal{L}[\log(b(t) e^{-v_R})]}{\mathcal{L}[\log(k g_o a(t) e^{-v_R})]}=\dfrac {1}{1+{\alpha} H(s)}

El primer término es el cociente de dos funciones, una que depende de la amplitud de salida y otra que depende de la amplitud de entrada. Si elegimos el producto k·g0=1, obtendremos que

\dfrac {\mathcal{L}[\log(b(t) e^{-v_R})]}{\mathcal{L}[\log(a(t) e^{-v_R})]}=\dfrac {\mathcal{L}[\log(b(t))]}{\mathcal{L}[\log(a(t)]}=\dfrac {1}{1+{\alpha} H(s)}

Como y(t) y x(t) tienen valores de tensión, podemos aplicar la definición de dB, que es:

b_{dB}(t)=20 \log_{10}(b(t))

a_{dB}(t)=20 \log_{10}(a(t))

por lo que el cociente anterior quedaría

\dfrac {\mathcal{L}[\log(b(t) e^{-v_R})]}{\mathcal{L}[\log(a(t) e^{-v_R})]}=\dfrac {\mathcal{L}[b_{dB}(t)]}{\mathcal{L}[a_{dB}(t)]}=\dfrac {B_{dB}(s)}{A_{dB}(s)}

eliminando el dominio temporal y convirtiendo el sistema en un sistema totalmente lineal. Entonces tendremos que

\dfrac {B_{dB}}{A_{dB}}=\dfrac {1}{1+{\alpha} H(s)}

siendo ésta la función de transferencia de la variación en dB de las amplitudes de salida y de entrada.

Si el filtro utilizado es un filtro integrador con polo en el origen, de la forma

H(s)= \dfrac {C}{s}

tendremos que la expresión nos quedará

\dfrac {B_{dB}}{A_{dB}}=\dfrac {1}{1+{\alpha} C}

Supongamos ahora que damos un salto de 1 dB a la envolvente de entrada AdB, pudiendo ser hacia arriba o hacia abajo. Llamamos a la nueva envolvente A’dB(s), y a la de salida B’dB(s). Como subimos o bajamos un 1 dB, tenemos que :

{A'}_{dB}(s)=A_{dB}(s) \pm 1

Y además tenemos que

\dfrac {B_{dB}}{A_{dB}}=\dfrac {{B'}_{dB}}{{A'}_{dB}}=\dfrac {1}{1+{\alpha} C}

ya que la realimentación debe responder siempre de la misma manera. Haciendo la sustiticuón de la expresión de la variación de entrada en la expresión anterior tenemos

\dfrac {B_{dB}}{A_{dB}}=\dfrac {{B'}_{dB}}{A_{dB}(s) \pm 1}=\dfrac {1}{1+{\alpha} C}

Por tanto, podremos calcular B’dB(s) multiplicando por la función de transferencia

{B'}_{dB}(s)=\dfrac {s}{s+{\alpha} \cdot C} \cdot A_{dB}(s) \pm \dfrac {s}{s+{\alpha} C}

Y sabiendo que el primer término es precisamente BdB(s), podemos poner la expresión como

{B'}_{dB}(s)-B_{dB}(s)=\pm \dfrac {s}{s+{\alpha} C}=\pm 1 \mp \dfrac {{\alpha} C}{s+{\alpha} C}

La ecuación anterior liga a la nueva envolvente B’dB(s) con la anterior BdB(s). Como es una respuesta temporal, tendremos que aplicar la transformada inversa, obteniendo

{B'}_{dB}(t)-B_{dB}(t)=\pm {\delta}(t) \mp {{\alpha} C e^{-{\alpha} C t}}

Estudiemos este resultado: Cuando subimos 1 dB (instante t=0), la ecuación queda como b’dB(t)–bdB(t)=+δ(t)=+1, ya que en t=0 el filtro h(t) todavía no ha respondido. Por tanto, en el instante inicial la diferencia entre la envolvente nueva y la inicial es de 1dB. Cuando t comienza a crecer, tenemos una respuesta exponencial decreciente debido al segundo término de la expresión anterior, por lo que a medida que va aumentando el tiempo, la diferencia entre la envolvente nueva b’dB(t) y la inicial bdB(t) va disminuyendo (inicialmente b’dB(t)>bdB(t)) hasta que ambas son iguales.

Si por el contrario, disminuimos la envolvente de entrada 1dB, la respuesta queda como b’dB(t)–bdB(t)=-δ(t)=-1, de modo que cuando disminuimos 1dB (instante t=0), la envolvente final disminuye en ese valor por la misma razón que en el caso anterior. Por tanto, en el instante inicial la diferencia entre la envolvente nueva y la inicial es de –1dB, que es el salto que se produce en la señal de entrada. Cuando t comienza a crecer, se produce una exponencial creciente que reduce esa diferencia (en este caso tenemos que b’dB(t)<bdB(t)), por lo que la diferencia también va disminuyendo hasta que ambas vuelven a ser iguales.

De aquí se deduce que cuando la envolvente de entrada sube o baja 1 dB, la de salida, en el instante inicial, tiende a subir o bajar siguiendo a la variación de la envolvente de entrada, pero cuando pasa un tiempo, la de salida se estabiliza hasta que llega al valor inicial ydB(t).

El tiempo de respuesta t del AGC, en el que la diferencia de envolventes es precisamente α·C/e es τ=1/α·C, que es la constante de tiempo de respuesta del AGC. Si ese tiempo es muy alto, el AGC responde lentamente, mientras que si ese tiempo es muy bajo, el AGC responde rápidamente. Es necesario un compromiso con el tiempo de respuesta del AGC en señales que contienen también variaciones nominales por su contenido, como las señales analógicas de audio o vídeo, para no confundir una variación de nivel con una variación de ese contenido.


En esta entrada hemos podido comprobar cómo es el diagrama de bloques de un AGC, estudiando su respuesta en el dominio de Laplace y en el dominio temporal. Hemos llegado a una relación de transferencia que nos permite relacionar las variaciones de la señal de salida con las de entrada y cómo podemos calcular el tiempo de respuesta del AGC, que tendremos que incluir a través del filtro integrador y del estudio de la constante de variación de la ganancia del amplificador.

En la siguiente entrada realizaremos el estudio este sistema mediante SIMULINK.


  1. Benjamin C. Kuo; “Automatic Control Systems”; 2nd ed.; Englewood Cliffs, NJ; Prentice Hall; 1975
  2. Pere Matí i Puig; “Subsistemas de radiocomunicaciones analógicos”;Universitat Oberta de Catalunya;2010


Simulación de un PLL digital con SIMULINK

En Octubre de 2013 realizábamos un análisis de un PLL digital con un filtro de segundo orden. Llegábamos a las expresiones matemáticas y representábamos en MatLab la forma de la fase estimada. En esta entrada vamos a utilizar la herramienta SIMULINK integrada en MatLab, que nos permite realizar análisis de sistemas mediante bloques definidos dentro del propio simulador.

Representación de un ADPLL en bloques

Si recordamos la entrada de octubre, el diagrama de bloques del PLL digital era

Diagrama de bloques del PLL digital

Diagrama de bloques del PLL digital

donde teníamos un comparador de fase, del que se obtenía la estimación de fase, el filtro de lazo y un VCO. Recordemos también que el filtro de lazo H(z) genérico, para un PLL de segundo orden, era

H(z)=\alpha + \dfrac {\beta z^{-1}}{1-z^{-1}}

Tratándose de un filtro PI (proporcional-integrador), ya que la primera constante, α, es simplemente un factor multiplicador mientras que el segundo término es la transformada z de un integrador.

Para simular la respuesta de este diagrama de bloques, vamos a generar una serie de bloques que nos permitan realizar la simulación de la PLL.

Generación de la fase de entrada

Para generar la fase de entrada, lo que vamos a hacer es generar una onda que responda a un periodo concreto T, en el que tendremos n muestras que se hacen con un periodo de muestreo TS. Por tanto, el argumento ΦREF con el que vamos a comparar el argumento del VCO es

\phi_{REF}[n]=\dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n]

Esta señal se convierte en un fasor complejo del tipo

e^{j\phi_{REF}[n]}=e^{j \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)}

y separando las señales en su parte real e imaginaria, tendremos dos señales a comparar:

= A_R= Re \left[ e^{j \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)} \right]=\cos \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)

= A_I= Im \left[ e^{j \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)} \right]=\sin \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)

La fase θ(n) será la fase de referencia, la que queremos sintetizar con el ADPLL, mientras el el término discreto nos permite ver la evolución temporal de la fase.

Para realizar esta generación se recurre al siguiente diagrama de bloques en SIMULINK.

Diagrama de bloques SIMULINK del generador de argumento complejo

Diagrama de bloques SIMULINK del generador de argumento complejo

donde tenemos un bloque Clock que genera la base de tiempos discreta. Esa base de tiempos se multiplica por un valor K que corresponde a la pulsación 2π/T y se suma con la fase de referencia, que corresponde con la fase de referencia θ. La salida la multiplicamos por el valor complejo j y hacemos la exponencial de ese producto. Aplicando el bloque Complex to Real-Imag, podemos extraer dos líneas, una con el coseno del argumento y otra con el seno. De este modo podemos generar la fase de entrada.

Generación del VCO

El VCO será un dispositivo que posea la fase estimada de la forma

= B_R= Re \left[ e^{-j \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)} \right]=\cos \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)

= B_I= Im \left[ e^{-j \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)} \right]=-\sin \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)

Para realizar esta operación, tendremos que usar el siguiente diagrama de bloques.

Diagrama de bloques SIMULINK del VCO

Diagrama de bloques SIMULINK del VCO

En este caso, la estimación de fase del VCO se pondrá en función de la ganancia del VCO, Kv·T. A esta estimación de fase se le suma ωT, siendo ω la pulsación 2π/Ts, con Ts el periodo de muestreo de la señal.

El resultado pasa después por un integrador y le aplicamos una función coseno y otra función seno. El bloque ()*, que cambia de signo la línea de seno, convirtiendo la señal en una compleja conjugada, extrae a la salida las ecuaciones descritas para el NCO.

Representación del comparador de fase

El comparador de fase debe proporcionar a la salida la diferencia de fase, que es:

\Delta \theta=\theta [n] - \hat \theta [n]

A partir de las ecuaciones generadas para la fase de referencia y para la estimación de fase, tenemos que hacer un multiplicador de números complejos como el que se muestra en el diagrama de bloques

Multiplicador de números complejos

Multiplicador de números complejos

Con el bloque Real-Imag to Complex se convierte AR, AI, BR, BI en sendos números complejos A y B

A=\cos \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)+j\sin \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)=e^{j \left(\dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)}

B=\cos \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)-j\sin \left( \dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)=e^{-j \left(\dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)}

el resultado es un complejo CP cuyo valor es

CP=AB=e^{j \left(\dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \theta[n] \right)}e^{-j \left(\dfrac {2 {\pi}}{T}n+ \hat \theta[n] \right)}=e^{j \left(\theta[n] - \hat \theta[n] \right)}

y podemos ver que la diferencia de fase está en el argumento de la exponencial compleja. Aplicando ahora un bloque que convierte este número en Real-Imag, obtenemos

CP_R=\cos \left(\theta[n] - \hat \theta[n] \right)

CP_I=\sin \left(\theta[n] - \hat \theta[n] \right)

Aplicándole un bloque que convierta Real-Imag en Mag-Angle, como éste

Transformación Real-Imag a Mag-Ang

Transformación Real-Imag a Mag-Ang

obtendremos el error de fase

\Delta \theta=\theta [n] - \hat \theta [n]

que es la señal resultado del comparador de fase.

Filtro de lazo

El filtro de lazo utilizado en un ADPLL suele ser un filtro proporcional-integral

Diagrama de bloques de un filtro de lazo digital

Diagrama de bloques de un filtro de lazo digital

La transformada z de este filtro la hemos visto en la introducción. En SIMULINK vamos a poner la dependencia de α, β en función de dos variables externas. El filtro de lazo en SIMULINK es

Diagrama de bloques SIMULINK de un filtro de lazo digital

Diagrama de bloques SIMULINK de un filtro de lazo digital

Donde Kp es α (factor proporcional) y Ki es β (factor integrador). Por un lado, realizamos directamente el producto de Δθ por Kp y lo llevamos a un sumador, mientras que por otro lado hacemos el producto de Δθ por Kp, lo integramos y llevamos al sumador, y con la suma obtenemos el tune (T(n)) del VCO.

La respuesta de este filtro a una señal escalón u(n) es una señal de la forma

Respuesta del filtro de lazo a una señal escalón

Respuesta del filtro de lazo a una señal escalón

que se corresponde con la expresión

T[n]=\left(K_p+K_in \right)u[n]

Estudio completo del transitorio

En SIMULINK se pueden dibujar los bloques y crear un bloque nuevo, de tal modo que tengamos simplificados los mismos. El diagrama de bloques que vamos a simular en SIMULINK es

Diagrama de bloques SIMULINK del ADPLL

Diagrama de bloques SIMULINK del ADPLL

donde PhaseRef será la fase de entrada o referencia. Tomaremos como medidas Phase_error (donde se podrá comprobar la evolución del error de fase) y Loop, donde se podrá comparar la evolución de las señales de VCO y de referencia.

Para los valores Kp y Ki (α y β), tenemos que recordar que se debía cumplir que

\alpha^2 -4 \beta < 0

Eligiendo α=0.03 y β=0.002, obtenemos que el error de fase, para una fase de entrada de π/3, es

Respuesta el PLL a un cambio de fase en la entrada

Respuesta el PLL a un cambio de fase en la entrada

Como podemos comprobar, cuando se inicia, el error de fase toma un valor muy alto, que se va trasladando como una forma senoidal amortiguada, hasta que se convierte en cero. En ese momento la fase está enganchada. Como se puede comprobar, es la respuesta a un escalón en un filtro de segundo orden con factor de amortiguamiento.

Si ahora representamos Loop, obtendremos

Seguimiento de la fase con respecto a la fase de referencia

Seguimiento de la fase con respecto a la fase de referencia

Donde podremos ver que al principio las fases son muy diferentes, pero que ambas ondas tienden a converger a la misma fase, por lo que hemos igualado la fase a la fase de referencia, lo que significa el enganche de fase.

Si ahora usásemos sólo un filtro proporcional α (β=0), y simulásemos, obtendríamos

Respuesta a un escalón de un ADPLL de primer orden

Respuesta a un escalón de un ADPLL de primer orden

Que es la respuesta a un escalón de un filtro paso bajo de primer orden.


En esta entrada hemos podido ver el comportamiento de un ADPLL en régimen transitorio mediante el uso de SIMULINK, que nos proporciona una herramienta de simulación potente para poder analizar sistemas en diagrama de bloques. Hemos podido comprobar que lo analizado en la entrada de octubre de 2013 es correcto y hemos podido comprobar su comportamiento transitorio.


  1. C. Joubert, J. F. Bercher, G. Baudoin, T. Divel, S. Ramet, P. Level; “Time Behavioral Model for Phase-Domain ADPLL based frequency synthesizer”; Radio and Wireless Symposium, 2006 IEEE, January 2006
  2. S. Mendel, C. Vogel;”A z-domain model and analysis of phase-domain all-digital phase-locked loops”; Proceedings of the IEEE Norchip Conference 2007, November 2007
  3. R. B. Staszewski, P. T. Balsara; “Phase-Domain All-Digital Phase-Locked Loop”; IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs; vol. 52, no. 3, March 2005

Como simular parámetros S usando un simulador convencional

Simuladores de circuitos hay muchos. Los usuarios de este tipo de aplicaciones software podrían decir varios tipos, desde LTSpice, PSpice, Electronic Workbench, Microwave Office, Advance Design System, Genesys, etc. Se puede hacer una larga lista y se encontrarían para todos los gustos. Además, casi todos tienen las simulaciones importantes: análisis en DC, en AC, transitorios, análisis de ruido, etc. En esta entrada rememoro un artículo que escribí en octubre de 1997 y en el que mostraba cómo se podía simular un circuito de RF usando el simulador SPICE.

Un simulador de circuitos es una aplicación que permite analizar el comportamiento eléctrico de circuitos electrónicos a través de su descripción esquemática. Por tanto, una vez dibujado el circuito y a través de las librerías que describen el comportamiento de los componentes, es posible analizar la respuesta de un esquema eléctrico en diversos tipos de análisis. Así, podemos encontrarnos con posibilidad de analizar DC, AC, análisis transitorios, análisis de ruido, trasformadas de Fourier, etc.

Dentro de los simuladores existen varios tipos, algunos como el Advanced Design System o el Microwave Office, que están especialmente diseñados para analizar circuitos de alta frecuencia, usando las técnicas matriciales como los parámetros ABCDlas matrices Z e Y y los parámetros S. En los circuitos de alta frecuencia, el método de analizar el comportamiento en frecuencia de un circuito es a través de los parámetros S.

Para ello, el circuito se analiza como un cuadripolo, en el que se definen unas ondas incidentes (a1, a2) y unas ondas reflejadas (b1, b2), tal y como se muestra en la figura

Cuadripolo con ondas incidentes y reflejadas.

Cuadripolo con ondas incidentes y reflejadas.

Los parámetros S se definen a través de la siguiente relación matricial
\displaystyle {b_1 \choose b_2}=\begin{pmatrix} S_{11} & S_{12} \\ S_{21} & S_{22} \end{pmatrix}\displaystyle {a_1 \choose a_2} 

Relación entre las ondas a través de la matriz de parámetros Sde tal modo que cada uno de los parámetros S de la matriz refleja un significado eléctrico. Estos son:

  • S11: Es la relación entre la onda reflejada b1 y la onda incidente a1, cuando no hay onda incidente a2. El parámetro es equivalente al coeficiente de reflexión en la entrada, y representa la onda estacionaria que se produce en la entrada del cuadripolo.
  • S21: Es la relación entre onda saliente b2 y la onda incidente a1, cuando no hay onda incidente a2. El parámetro es equivalente a la transmisión de señal desde la entrada a la salida, y representa el trasvase de energía que se produce del puerto de entrada del cuadripolo al puerto de salida.
  • S12: Es la relación entre onda saliente b1 y la onda incidente a2, cuando no hay onda incidente a1. El parámetro es equivalente a la transmisión de señal desde la salida a la entrada, y representa el trasvase de energía que se produce del puerto de salida del cuadripolo al puerto de entrada.
  • S22: Es la relación entre la onda reflejada b2 y la onda incidente a2, cuando no hay onda incidente a1. El parámetro es equivalente al coeficiente de reflexión en la salida, y representa la onda estacionaria que se produce en la salida del cuadripolo.

Las ondas a1, a2 y b1, b2 se pueden escribir, en función de las tensiones incidente y reflejada, mediante las expresiones

a_n=\dfrac {V_n^{+}}{\sqrt{Z_0}}

b_n=\dfrac {V_n^{-}}{\sqrt{Z_0}}

siendo Vn+ la tensión incidente y Vn la reflejada, sobre una impedancia característica Z0.

Por tanto, la matriz de parámetros S ofrece una forma muy útil de analizar circuitos de alta frecuencia. Sin embargo, no todos los simuladores son capaces de ofrecer en sus tipos de análisis este tipo de representación de matricial.

¿Cómo construir una equivalencia que permita analizar parámetros S en un simulador que no tiene dicha función?

Ante todo hay que recordar que un análisis de parámetros S es una simulación específica de AC. Y este tipo de simulación está incluida en casi todos los simuladores de circuitos.  Sin embargo, el análisis AC sólo permite calcular tensiones y corrientes globales, no separando en incidentes y reflejadas. Por tanto, la única cuestión es que hay que realizar una transformación para encontrar un circuito equivalente que permita, usando las tensiones y corrientes globales del circuito, mediante el análisis AC, calcular los parámetros S.

Para ello se propone el siguiente cuadripolo:

Cuadripolo con tensiones y corrientes de AC

Cuadripolo con tensiones y corrientes de AC

En el cuadripolo tenemos una tensión de generador Vg, una resistencia de generador Rg, una resistencia de carga RL y unas tensiones Vi (generada por la impedancia Zi de entrada al cuadripolo) y una tensión Vo (que tiene una resistencia equivalente Zo en el cuadripolo). Vamos a suponer además, para simplificar los cálculos, que Rg=RL=Z0. A partir de ahora vamos a calcular, en primer lugar, el coeficiente de reflexión a la entrada y la transmisión entre entrada y salida. Las expresiones para calcular estos parámetros son:

S_{11}=\dfrac {Z_i-Z_0}{Z_i+Z_0}

S_{21}=\dfrac {V_o}{V_i}\left(1+S_{11} \right)

pero del circuito también tenemos que Vi se puede calcular a través del divisor de tensión de entrada formado por Vg, Z0 y Zi:

V_i=\dfrac {Z_i}{Z_i+Z_0}V_g

y sustituyendo esta expresión en la de S21 podemos obtener la relación entre la tensión de salida Vo y la del generador Vg

S_{21}=\dfrac {V_o}{V_g}\dfrac {Z_i+Z_0}{Z_i}\left(1+S_{11} \right)=

=\dfrac {V_o}{V_g}\dfrac {Z_i+Z_0}{Z_i}\left(1+\dfrac {Z_i-Z_0}{Z_i+Z_0} \right)=\dfrac {2 V_o}{V_g}

Por tanto, para calcular S21 basta con colocar en el generador una fuente de AC de amplitud Vg=2, y la tensión de salida Vo equivaldría al parámetro S21.

El parámetro S11 se calcularía a través de la expresión del coeficiente de reflexión y del cálculo del divisor de tensión, cuando Vg=2. Del divisor de tensión tenemos que

V_i=\dfrac {2 Z_i}{Z_i+Z_0}=\dfrac {Z_i-Z_0}{Z_i+Z_0}+\dfrac {Z_i+Z_0}{Z_i+Z_0}=S_{11}+1


por lo tanto, el parámetro S11 se puede calcular obteniendo la tensión en Vo y restando 1V.

Esquema de nuestro circuito equivalente

Ahora vamos a transformar en esquema eléctrico nuestro circuito equivalente. En principio tenemos un generador de AC de valor 2V, que equivale a Vg y la impedancia de generador y carga de valor Z0. A eso le añadimos un circuito en el punto de Vi consistente en un generador de 1V de AC y una resistencia de valor elevado, para que no circule corriente a través de ella.

Circuito equivalente para analizar S11 y S21 con un análisis en AC

Circuito equivalente para analizar S11 y S21 con un análisis en AC

Usando este circuito equivalente en un cuadripolo, se pueden entonces analizar los parámetros S del mismo usando el análisis AC de cualquier simulador. Es un circuito de mucha utilidad cuando se diseña en alta frecuencia, ya que los analizadores suelen usar los parámetros S para analizar los cuadripolos.

Comprobación del circuito equivalente.

Por último, para comprobar la fiabilidad del circuito equivalente confeccionado, vamos a estudiar el comportamiento de un cuadripolo sencillo, tipo filtro de alta frecuencia, y comparar con el resultado obtenido en un simulador convencional.

Cuadripolo a testear

Cuadripolo a testear

Realizando la simulación en un simulador de alta frecuencia se obtiene el siguiente resultado

Resultado de la simulación del filtro en un simulador de alta frecuencia

Resultado de la simulación del filtro en un simulador de alta frecuencia

Simulamos ahora el filtro en un simulador tipo Electronic Workbench, usando el circuito

Filtro simulado con Electronic Workbench

Filtro simulado con Electronic Workbench

y cuyo resultado es

Resultados en la simulación en Electronic Workbench

Resultados en la simulación en Electronic Workbench

y si lo comparamos con el resultado obtenido con el simulador de alta frecuencia, se puede comprobar que las gráficas son idénticas en módulo y fase.


En esta entrada hemos conseguido un circuito sencillo que permite simular parámetros S de cualquier cuadripolo en un simulador convencional, no optimizado para el diseño en alta frecuencia. Este circuito nos proporciona una herramienta muy versátil si queremos trabajar con dispositivos que están caracterizados mediante parámetros S, o simplemente simular cuadripolos que después se vayan a medir con un analizador de redes. De esta manera, somos capaces de simular cualquier circuito en nuestro simulador habitual, sin tener que recurrir a otro tipo de simuladores.


  1. T. Rosich; “Simulación de circuitos de RF con SPICE : parte 1”; Revista Española de Electrónica No. 515;  pp. 67-69; ISSN 0482-6396; oct 1997
  2. J. Everard; “Fundamentals of RF Circuit Design”; Wiley; IBSN 0-471-49793-2; 2001

Amplificador de Banda Ultra Ancha con Baja Ganancia y Alto Rango Dinámico

En la siguiente entrada vamos a analizar un tipo de amplificador que tiene la ventaja de funcionar en banda ultra ancha y que presenta un rango dinámico muy elevado, tanto por su baja figura de ruido como por su alto nivel de salida. El cuadripolo presentado funciona usando el principio de realimentación, si bien se sustituye la realimentación clásica de resistencias por una realimentación basada en acoplador direccional. A partir de este momento, conoceremos este tipo de configuración como “realimentación inductiva”.

En muchas ocasiones hemos tenido la necesidad de dotarnos de un amplificador que pueda cubrir un rango muy amplio de banda (en torno a varias octavas) y que mantenga el rango dinámico del dispositivo semiconductor utilizado. Los métodos clásicos de realimentar amplificadores, basados en sistemas resistivos, suelen ser muy eficientes en cobertura de banda, pero tienen el inconveniente de que las resistencias generan ruido térmico y disipan potencia, por lo que el amplificador siempre suele tener más ruido y menos nivel de salida que el transistor convencional.

El sistema inductivo presenta una ventaja considerable con respecto al resistivo convencional: un acoplador direccional es un dispositivo completamente reactivo, por lo que no presenta más pérdidas que las debidas a la resistencia parásita del acoplador, cuya contribución al ruido siempre es inferior a la de una resistencia convencional.

Pero antes de pasar a describir la aplicación, vamos a recordar en qué consiste un sistema realimentado.


En Teoría de Sistemas, un sistema realimentado es aquel que toma una muestra de la señal de salida y la compara con la entrada para modificar, estabilizar u obtener una respuesta lo más adecuada posible. Se trata del sistema de control básico, ya que una señal y(t)=A(x(t), t)·x(t) puede variar en función de t y en función de x(t). Debemos recordar que en un sistema lineal, A=cte. Es decir, que en las condiciones básicas de trabajo, una variación de t o de x(t) no deberían influir en A. Por tanto, un amplificador lineal responderá de la forma y(t)=A·x(t), siendo A un valor constante, que es lo que denominamos ganancia.

En la mayoría de los casos, A responde de forma constante, pero al aplicar la transformada de Fourier a nuestro sistema, Y(ω)=A(ω)·X(ω). O sea, que la ganancia A(ω) depende de la frecuencia. Sin embargo, sigue respondiendo como un sistema lineal, ya que no hay dependencia de x(t).

En la mayor parte de los semiconductores usados como amplificadores, la ganancia A(ω) disminuye, del orden de 6dB/oct, por lo que conseguir la misma respuesta en un ancho de banda grande requiere de técnicas de realimentación.

Un sistema realimentado presenta un diagrama de bloques como el de la figura

Sistema realimentado clásico simple

Sistema realimentado clásico simple

La señal de salida Y(ω) se compara con la señal de entrada X(ω) a través de una red pasiva K. La respuesta en frecuencia del sistema es

\dfrac {Y(\omega)}{X(\omega)}=\dfrac {A(\omega)}{1+KA(\omega)}

Por tanto, la ganancia del sistema ya no es A(ω), sino que se ha reducido al dividirla por 1+K·A(ω). Si además elegimos un K·A(ω)>>1 en la zona donde queremos trabajar, podremos ver que la ganancia del sistema realimentado no depende de la zona activa A(ω), sino de la pasiva K. Si elegimos una red de realimentación K que no dependa de la pulsación ω, podremos realizar un dispositivo amplificador que no dependa del dispositivo utilizado, sino exclusivamente de la red de realimentación utilizada para obtener la ganancia

\dfrac {Y(\omega)}{X(\omega)} \approx \dfrac {A(\omega)}{KA(\omega)}=\dfrac {|}{K}

Al sólo depender de K, los sistemas realimentados resistivos suelen ser muy habituales para obtener respuestas en bandas ultra anchas, ya que las resistencias no dependen (salvo por sus comportamientos parásitos propios de la fabricación) de la frecuencia. Es por esto que la mayor parte de la bibliografía dedicada a los amplificadores se dedica a los realimentados resistivos, frente a otro tipo de amplificadores.


Vamos a ver brevemente cuál es el comportamiento de un amplificador realimentado resistivamente. Primero vamos a analizar el comportamiento de un dispositivo semiconductor, como un transistor bipolar (usaremos un BFG520 de NXP para hacer el análisis, con parámetros S y de ruido para Vce=5V e Ic=15mA), cuya ganancia disminuye a medida que aumenta la frecuencia un orden de 6dB/oct, como se puede ver en la siguiente gráfica.

Respuesta en frecuencia de la ganancia de un transistor bipolar

Respuesta en frecuencia de la ganancia de un transistor bipolar

En la gráfica podemos ver que el valor de la ganancia en 500MHz es de 22dB, mientras que al doble (1GHz) tenemos 16,7dB, lo que implica una caída de 5,3dB en la octava. Con estas características, se plantea el circuito realimentado siguiente

Amplificador realimentado

Amplificador realimentado

cuya ganancia, para una impedancia Z0, se puede calcular usando las expresiones

G \approx 10\log_{10} \left( \dfrac {R_1}{2R_2}\right)

Z_0=\sqrt {R_1R_2}

Para el amplificador propuesto, con R1=500Ω y R2=5Ω, tenemos que Z0=50Ω y G≈17dB. Si representamos la respuesta del transistor convencional con la del realimentado

Ganancia nominal (traza azul) frente a ganancia del amplificador realimentado.

Ganancia nominal (traza azul) frente a ganancia del amplificador realimentado (traza magenta).

Si trazamos asintóticamente una línea en la traza magenta, podremos comprobar que la curva del amplificador realimentado llega a cubrir en ancho de banda hasta la frecuencia donde la ganancia del transistor convencional coincide con la del realimentado. No obstante, como el transistor tiene caída, en la frecuencia donde se corta la asíntota la caída de ganancia es de unos 3dB.

Si calculamos el factor de ruido en el transistor convencional, podemos observar que, a 600MHz, es de 1,5dB para el convencional mientras que es de 2,5dB para el realimentado. Perdemos, por tanto, 1dB de figura de ruido. Por tanto, sacrificamos el factor de ruido para obtener una ganancia prácticamente independiente de la frecuencia en una banda muy ancha.

Si calculásemos un amplificador de 11dB, el ruido subiría en el amplificador realimentado a 3,5dB. Si esto mismo lo aplicásemos a la potencia, veríamos que en nivel de salida, en el primer caso, se pierde 1,5dB de nivel de salida, mientras que en el segundo caso perdemos 2,5dB. Esto implica reducir el rango dinámico de entrada del amplificador entre 3 y 6dB, con el fin de obtener una ganancia constante entre 11 y 17dB.


La realimentación inductiva consiste en introducir un elemento que compare la señal de salida hacia la entrada usando una red de bajas pérdidas. Como la realimentación es negativa (se compara la señal de salida en contrafase con la señal de entrada), el mejor dispositivo para hacer esta realimentación es el acoplador direccional.

Cuando se quiere cubrir una banda muy ancha, que empiece en frecuencias muy bajas, el método para hacer acopladores direccionales es el transformador de ferrita. De ahí el nombre de inductiva, ya que usa un sistema de acoplamiento inductivo. El esquema eléctrico de un acoplador direccional a transformador es

Acoplador direccional basado en transformador de ferrita

Acoplador direccional basado en transformador de ferrita

donde la transmisión va de la puerta 1 a la 3 (o de a 2 a a 4), la puerta acoplada respecto a la puerta 1 es 2 (o 4 respecto a 3) y la puerta aislada respecto a la puerta 1 es 4 (o 3 respecto a 2). Por tanto, si ponemos la base en la puerta 3 y el colector en la 4, cuando la señal entra por la puerta 1, pasa íntegra a la 3 (entra por base y es amplificada), y parte de la señal del colector va de la puerta 4 a la puerta 3, dependiendo del factor de acoplo, y al estar en contrafase (la fase de la puerta acoplada es π rad), se compara con la señal que viene de la puerta 1, realizando la realimentación. La señal de salida va del colector a la puerta 2 íntegra.

El factor de acoplo del acoplador direccional es función del ratio entre espiras n, siendo n el número de espiras de las bobinas interiores. Se puede calcular usando


Para calcular un acoplador direccional de 11dB, el ratio de transformación debe ser n≈3,5.

Planteamos entonces el esquema del siguiente amplificador

Amplificador con realimentación basada en acoplador direccional

Amplificador con realimentación basada en acoplador direccional

y representamos la ganancia de este amplificador, para n=3,5

Ganancia del transistor convencional (traza azul) frente al realimentado (traza roja)

Ganancia del transistor convencional (traza azul) frente al realimentado (traza roja)

Podemos ver que trazando la línea asintótica, ocurre lo mismo que en el amplificador realimentado resistivo. Sin embargo, el ruido del amplificador se mantiene igual: si el ruido del transistor es de 1,5dB, el ruido del realimentado es también de 1,5dB, por lo que el ruido se mantiene, mientras que para una ganancia similar en el resistivo, el ruido pasaba a ser 3,5dB. En el caso del nivel de salida, se obtiene lo mismo, debido a que hay transferencia directa de energía sin pérdidas resistivas.

Por tanto, con el acoplador direccional hemos logrado un amplificador con baja ganancia sin perder el rango dinámico que tiene el transistor, lo que muestra la bondad del sistema realimentado por acoplador direccional o realimentación inductiva.


En esta entrada hemos repasado los amplificadores realimentados y hemos presentado la realimentación inductiva. Hemos analizado la realimentación resistiva en un transistor bipolar BFG520, y hemos hecho una comparativa con una realimentación inductiva. Hemos comprobado que la realimentación inductiva obtiene un mejor rango dinámico cuando se quieren ganancias muy bajas.

Acopladores direccionales de transformador pueden ser encontrados en varios fabricantes de componentes pasivos, o pueden ser diseñados por el propio desarrollador ya que se pueden encontrar ferritas en casi todos los catálogos.

El amplificador puede ser utilizado en etapas de entrada donde se requieran ganancias bajas, tanto por su característica de rango dinámico como por su cobertura de banda, ya que puede abarcar una banda superior a la de una realimentación resistiva.


  1. Rowan Gilmore, Les Besser, “Practical RF Circuit Design for Modern Wireless Systems Vol. II”, Artech House Publishers, Norwood MA (USA), 2003
  2. Patente de invención industrial ES-2107351-B1, “Dispositivo amplicador de banda ancha”, publicada por Ángel Iglesias S.A., Madrid (Spain), 1998

Introducción al cálculo de radioenlaces

images1En el mundo moderno, la conexión inalámbrica es muy habitual. El uso de dispositivos móviles se ha convertido en una de las herramientas más habituales para las comunicaciones. Pero, ¿cuál es la forma de conexión que permite que dos dispositivos estén conectados sin necesidad de hilos? La respuesta es conocida por casi todos: se trata de una conexión electromagnética, usando las propiedades del electromagnetismo para poder transferir información de un lugar a otro sin necesidad de más conexión física que la propagación electromagnética a través del aire. En esta entrada vamos a mostrar los modelos de radioenlaces más comunes y cómo se puede calcular un enlace por radio.

¿Qué es un radioenlace?

Entendemos por radioenlace a aquella conexión que se realiza entre un emisor y un receptor utilizando como medio de propagación el espacio libre.

La propagación de ondas electromagnéticas fue desarrollada por Maxwell a mediados del S. XIX, cuando unificó las teorías eléctrica y magnética en una teoría más completa, denominada teoría electromagnética, conteniendo todos los fenómenos correspondientes a los campos eléctrico y magnético formulados por Coulomb, Gauss, Lenz, Ampere, Faraday, etc.

Las ecuaciones de Maxwell, fundamentales para comprender la teoría electromagnética, son un compendio de cuatro leyes que describen el comportamiento de los campos electromagnéticos. Antes de pasar a describir el comportamiento en el espacio de un campo electromagnético, vamos a recordar dichas ecuaciones.

Ecuaciones de Maxwell

Como se ha dicho, las ecuaciones de Maxwell son un compendio de leyes formuladas sobre los campos eléctricos y magnéticos que se aúnan en cuatro ecuaciones fundamentales.

Las dos primeras provienen del Teorema de Gauss aplicado a ambos campos, que dice que las fuentes o sumideros de los campos son las magnitudes que los originan

\vec{\nabla}\vec{E}= \dfrac{\rho}{\epsilon_0}

\vec{\nabla}\vec{B}= {0}

El operador nabla es un operador diferencial de tipo vectorial, que en coordenadas generalizadas se describe por la expresión

\vec{\nabla} = \dfrac {1}{h_i} \dfrac {\partial}{\partial q_i} {\vec{u}}_{q_i}+\dfrac {1}{h_j} \dfrac {\partial}{\partial q_j} {\vec{u}}_{q_j}+\dfrac {1}{h_k} \dfrac {\partial}{\partial q_k} {\vec{u}}_{q_k}

Con qi, qj y qk coordenadas ortogonales entre sí, y hi, hj y hk factores de escala. El término ε0 se denomina permitividad eléctrica del vacío y ρ es la densidad volumétrica de carga.

Usando estos términos diferenciales, estas dos ecuaciones expresan que las fuentes y sumideros de un campo eléctrico E son las cargas eléctricas, mientras que un campo magnético B no tiene fuentes o sumideros (no existe el monopolo magnético).

La tercera ecuación deriva de la ley de Faraday, que dice que un campo magnético variable con el tiempo genera una fuerza electromotriz, cuya expresión es

\vec{\nabla}\times\vec{E}=-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}

Por último, se expresa la ley generalizada de Ampere, que dice que un campo magnético B es generado por corrientes eléctricas y por un campo eléctrico variable con el tiempo

\vec{\nabla}\times \vec{B}=\mu_0\vec{J}+\mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}

donde μ0 es la permeabilidad magnética del vacío.

De estas ecuaciones se pueden deducir dos ecuaciones de onda, que son

{\nabla}^2\vec{E}-{\mu_0}{\epsilon_0}\dfrac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}-{\mu_0}{\sigma}\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}=0

{\nabla}^2\vec{B}-{\mu_0}{\epsilon_0}\dfrac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}-{\mu_0}{\sigma}\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0

donde σ es la conductividad eléctrica del medio. El operador diferencial usado en términos de espacio es el operador laplaciano.

{\nabla}^2=\dfrac {1}{h_i} \dfrac {\partial}{\partial q_i} \left( {\dfrac {1}{h_i} \dfrac {\partial}{\partial q_i}} \right)+\dfrac {1}{h_j} \dfrac {\partial}{\partial q_j} \left( {\dfrac {1}{h_j} \dfrac {\partial}{\partial q_j}} \right)+\dfrac {1}{h_k} \dfrac {\partial}{\partial q_k}  \left( {\dfrac {1}{h_k} \dfrac {\partial}{\partial q_k}} \right)

Por tanto, en cualquier medio material lineal homogéneo se pueden propagar ondas electromagnéticas, que son resolubles usando estas ecuaciones deducidas de las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, no todas las soluciones a estas ecuaciones pueden dar como resultado ondas electromagnéticas. Los resultados obtenidos tienen que satisfacer también las ecuaciones de Maxwell.

Radiación electromagnética como medio de comunicación

La formulación de las ecuaciones de Maxwell permitió el desarrollo de las telecomunicaciones a larga distancia, sin uso de hilos, resolviendo el problema de las costosas infraestructuras que supondría la propagación guiada. Fueron Tesla y Marconi los primeros que experimentaron con este tipo de comunicación, que dio origen a la radiocomunicación. Un emisor, por un lado, transmitía una onda electromagnética que un receptor era capaz de recibir y reproducir y viceversa, usando como medio de trasmisión el aire.

Sin embargo, este sistema de comunicación no está exento de problemas a la hora de realizar una correcta transmisión. En el espacio libre, las ondas electromagnéticas no están guiadas, sino que se propagan, se reflejan, interfieren, se atenúan, se difractan en presencia de obstáculos… Por tanto, la conexión inalámbrica está sometida a una serie de fenómenos esenciales para poder realizar un radioenlace. La primera, y más esencial, es la que define las pérdidas en el espacio libre deducida de las ecuaciones de Maxwell.

Esquema de un radioenlace

Esquema de un radioenlace

Pérdidas en la propagación en el espacio

La primera de las pérdidas que se producen en el espacio libre (es decir, sin presencia de obstáculos ni ningún fenómeno interferente) la dedujo Friis de resolver las ecuaciones de Maxwell. Con esta expresión se puede calcular, en primera instancia, la potencia recibida por una antena en función de la potencia transmitida por el emisor. Esta ecuación depende de la frecuencia utilizada y de la distancia a la que se encuentra el receptor, y se describe por

L_F(dB)=32,44+20 \log_{10} r + 20 \log_{10} f

siendo r la distancia en km y f la frecuencia en MHz.

El modelo de Friis es válido para receptores que se encuentran alejados de la antena transmisora, denominada zona de Franhoufer (no es válido para campo cercano o zona de Raileigh) y que no se encuentre con obstáculos (zona de Fresnel), ni con interferencias debidas a la reflexión de la señal (fading). Por su simplicidad, es muy útil para las primeras aproximaciones de un radioenlace, ya que éste se diseña de tal modo que la propagación de la onda sea plana a una distancia muy grande, partiendo de una onda cilíndrica en campo cercano, como por ejemplo una estación repetidora de radiotelevisión.

Sin embargo, en la mayoría de los radioenlaces modernos, sobre todo en comunicaciones móviles, se utilizan modelos más complejos, deducidos de forma estadística a partir de datos experimentales y para entornos urbanos, suburbanos y de poca densidad de población. Los modelos más utilizados en el cálculo de radioenlaces en entornos urbanos son los modelos de Okumura y Okumura-Hata.

El modelo de Okumura es el modelo más simple, aunque está limitado en la banda de frecuencias de 150MHz a 1920MHz. La expresión de las pérdidas de este modelo es


donde LF son las pérdidas en el espacio libre calculadas por el modelo de Friss y Amu es la atenuación relativa promedio. Cabe destacar que intervienen también las contribuciones de ganancia por la posición en altura de las antenas utilizadas (G(hTX) y G(hRX)) así como el ambiente en el que se encuentre (Gamb).

El modelo de Okumura es mucho más restrictivo que el de Friis, ya que en el espacio libre, una señal de 1000MHz con una distancia de 10km entre emisor y receptor muestra unas pérdidas de 112,44dB, mientras que el modelo de Okumura muestra 170-190dB, dependiendo de la altura del transmisor.

Un modelo más simple que el de Okumura es el de Okumura-Hata, que está basado en los datos de pérdidas del de Okumura, pero que simplifica el modelo para adaptarlo a un entorno urbano estándar (alturas de antenas transmisoras entre 30 y 200 m, de antenas receptoras entre 1 y 10 m y frecuencias entre 150 y 1500MHz), utilizada para el cálculo de enlaces móviles. Su expresión, en un entorno urbano, es

L_{urb}(dB)=69,55+26,16 \log_{10}f-13,82 \log_{10}h_{TX}-a(h_{RX})+(44,9-6,55 \log_{10} r)

siendo a(hRX) un factor de corrección de la antena receptora que viene dado por una serie de expresiones, en función del entorno (urbano, suburbano y espacios abiertos)

En este caso, si tenemos una antena transmisora a 100m de altura, en un entorno urbano, y una receptora a 5m de altura, a una frecuencia de 1000MHz y 5km de distancia tendremos

  • Para ciudades pequeñas

a(h_{RX})=0,8+(1,1 \log_{10}f-0,7) h_{RX}-1,56 \log_{10}f

  • Para entornos medios y grandes

a(h_{RX})=0,89  [\log_{10}(1,54 h_{RX})]^2-1,1  para 150≤f≤200

a(h_{RX})=3,2 [\log_{10}(11,75 h_{RX})]^2-4,97  para 200≤f≤1500

Se introduce un factor de corrección para entornos suburbanos

a(h_{RX})=L_{urb}(dB)-2 \left[ \log_{10} \left( \dfrac {f}{28} \right) \right]^2-5,4

y para entornos abiertos

a(h_{RX})=L_{urb}(dB)-4,78 [\log_{10}f]^2+4,78 \log_{10}f-40,94

  • Pérdidas en el espacio libre: 106,41 dB
  • Pérdidas en el modelo de Okumura: 133,50 dB
  • Pérdidas en el modelo de Okumura-Hata: 133,50 dB

El modelo de Okumura-Hata empieza a fallar cuando nos salimos de los valores límite para el que está definido.

Hay otros dos modelos basados en los modelos de difracción, denominados de Walfisch-Bertoni y de Walfisch-Ikegami, muy usados cuando se tratan entornos con obstáculos. Son modelos más complejos, basados en las pérdidas debidas por a la difracción de la señal, que dependen del entorno y que no se pueden formular de forma genérica. Se tratarán en una futura entrada.

El efecto de los obstáculos

Los obstáculos provocan difracción en la señal propagada. El fenómeno de la difracción es la desviación que se produce en las ondas electromagnéticas al encontrarse con un obstáculo. La difracción produce interferencias debido al cambio de caminos (cambios de fase en la onda propagada).

Ejemplo de la 1ª elipsoide de Fresnel

Ejemplo de la 1ª elipsoide de Fresnel

En un radioenlace, existe una zona de propagación más o menos segura que es la zona de Fresnel. Esta zona, que tiene forma de elipsoide es aquella en la que se asegura que la diferencia de fase entre las ondas propagadas no sea de π radianes.

Las elipsoides de Fresnel se pueden calcular en varias zonas mediante la expresión

r_n=547,7 \sqrt{\dfrac {n}{f} \dfrac {d_1 d_2}{d_1+d_2}}

Siendo rn el máximo radio de la zona en metros (n=1, 2, 3,…), d1 la distancia del emisor al obstáculo en km, d2 la distancia del receptor al obstáculo en km y f la frecuencia de la señal propagada en MHz.

Los radioenlaces se calculan generalmente en primera zona de Fresnel, por lo que la expresión queda

r_n=547,7 \sqrt{\dfrac {1}{f} \dfrac {d_1 d_2}{d_1+d_2}}

En el punto central tendremos el máximo de la elipsoide, por lo que podremos calcular su radio usando

r_1=273,9 \sqrt{\dfrac {d_1+d_2}{f}}

Cálculo de un radioenlace simple

Vamos a suponer ahora que tenemos un radioenlace con un transmisor de 1 kW, a 1 GHz, y usamos para la transmisión una antena de ganancia 14 dBi. Queremos calcular el nivel de campo que se obtiene a 10 km del transmisor, en propagación en el espacio libre.

En primer lugar, se calcula la Potencia Radiada Efectiva (ERP), que es la potencia que se transmite en la dirección marcada por la antena, y que viene dada por la expresión


La atenuación en el espacio libre es

L_F(dB)=32,44+20 \log_{10} 10 + 20 \log_{10} 1000 =112,44dB

La intensidad de campo a esa distancia se puede calcular mediante la expresión

FieldStrengh(dB{\mu}V/m)=ERP(dBm)-20 \log_{10} r +37 =91 dB{\mu}V/m

Si ahora queremos ver cuál es la potencia de la señal recibida, usando una antena de ganancia conocida (por ejemplo, una antena de 1 dBi), simplemente tendremos que aplicar

Received(dBm)=FieldStrengh(dB{\mu}V/m)+G_{RX}(dBi)-20 \log_{10} f -70,2=91+1-60-70,4=-38,4 dBm

que será el nivel obtenido en la recepción. El nivel recibido es de 145 nW.


En esta entrada hemos analizado las pérdidas de propagación de una onda electromagnética usando los diferentes modelos conocidos: el modelo de Friis, el de Okumura y el de Okumura-Hata, y hemos establecido una comparativa entre los valores que se obtienen en ambos modelos.

Para el cálculo de un radioenlace simple, donde el repetidor está muy elevado y hay pocos obstáculos, la aproximación de Friis es un modelo sencillo que nos permite calcular radioenlaces de estaciones de radio y televisión. Sin embargo, para comunicaciones móviles es más seguro usar los modelos de Okumura-Hata, debido a que incluyen una serie de parámetros que el modelo del espacio libre no incluye, observados desde los datos experimentales, y son más restrictivos a la hora de realizar el radioenlace.

Los modelos de difracción (Walfisch-Bertoni y Walfisch-Ikegami) no han sido tratados en esta entrada debido a su complejidad formal y a la necesidad de explicar también el fenómeno de la difracción. En esta entrada tampoco se han tratado fenómenos como la interferencia o el ruido, que afectan a la correcta recepción de un radioenlace. Estos modelos y los fenómenos de interferencia y ruido se tratarán en futuras entradas.


  1. John R. Reitz, Frederick J. Milford, Robert W. Christy, “Foundations of Electromagnetic Theory”, Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Massachusetts (USA), 1979
  2. José M. Hernando Rábanos, “Comunicaciones Móviles”, C.E. Ramón Areces, S.A., Madrid (Spain), 1997
  3. Y. Okumura, E. Ohmori, T. Kawano, K. Fukuda, “Field strength and its variability in the VHF and UHF land mobile radio service”, Rev. Elec. Commun. Lab., 16(9/10), 825-73. 1968.
  4. M. Hata, “Empirical formula for propagation loss in land mobile radio services”, IEEE Transactions on Vehicular Technology , 29(3), 317-325, 1980.