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Analizando dispositivos de microondas por elementos finitos

La simulación por el método de elementos finitos (FEM) permite el análisis de estructuras en varias dimensiones, en las que hay que tener en cuenta las características del material utilizado. Este tipo de análisis se está extendiendo a casi todas las ramas de la ingeniería a una velocidad vertiginosa, hasta el punto que ya hay varias ofertas de este tipo de software de ayuda a la ingeniería. Como expliqué en la entrada sobre simulación, publicada en marzo, estas herramientas de ayuda al diseño han evolucionado hasta el punto de combinar diferentes condiciones físicas y resolver problemas complejos que involucren a varias disciplinas. En esta entrada vamos estudiar un dispositivo electrónico muy común en telecomunicaciones vía satélite, que es el ortomodo (OMT). Analizaremos su comportamiento usando un simulador FEM y los resultados obtenidos.

La transmisión de servicios full-duplex (equipos de emisión y recepción simultánea) a través de propagación radiada se hace mediante la polarización del campo electromagnético. El aislamiento entre las bandas de emisión y recepción se obtiene gracias a la ortogonalidad conseguida polarizando los campos electromagnéticos,ya en modo de polarización lineal (horizontal o vertical) o circular (dextrógira o levógira) en función de la dirección de vibración del campo eléctrico.

Considerando el eje tridimensional cartesiano, la polarización horizontal (H-Pol) se produce en el eje Z de una antena, mientras que la vertical (V-Pol) se produce en el eje Y, siendo la propagación en el eje X.El campo eléctrico lejano vibra en el eje Z o en el Y ya que se trata de una onda plana. En el caso de que usásemos coordenadas esféricas (una antena isótropa), las componentes del campo serían THETA para la vertical y PHI para la horizontal. Esto proporciona un aislamiento importante que permite que en el mismo espectro de emisión o recepción podamos usar varios canales, debido a la ortogonalidad de las ondas.

Un dispositivo muy común, cuando se usan transceivers en bandas muy altas, es el ortomodo. Es un dispositivo que trabaja como un diplexor y que proporciona aislamientos muy fuertes en las polaridades contrarias. El resto del aislamiento lo proporciona la transición usada para conectar con los transmisores y los receptores.

La figura anexa muestra un ortomodo en banda Ku, usado en sistemas VSAT para conexión telefónica o de internet satélite. Consiste en un dispositivo de una entrada en guía de onda circular y dos salidas en guía de onda rectangular, orientada su anchura en ejes perpendiculares. Considerando que la guía circular está dibujada en el plano YZ, el eje Y será el eje horizontal (corresponderá al H-pol de la antena) y el Z el vertical (V-pol). La banda de frecuencias de polarización horizontal, en este estudio, será la banda baja de Ku (12÷12,5 GHz), usadas para la recepción en los dispositivos terrestres, mientras que la banda de frecuencias de la vertical será la banda alta de Ku (14,5÷14,75 GHz), que suelen ser usadas para la transmisión.

Las antenas usadas en estas bandas suelen ser de tipo parabólico, por lo que la alimentación de la antena es a través de una guía de onda circular por la que viaja el modo TE11, su primer modo de propagación, en el que el campo eléctrico se propaga en el plano YZ, siendo horizontal si el modo de vibración máximo está en el eje Y y vertical si está en el eje Z, mientras que el campo magnético tiene componente en la dirección de propagación X. El vector de propagación se define como \vec S = \vec E \times \vec H y es perpendicular al plano de propagación de \vec E.

Por tanto, el ortomodo tiene una entrada en guía circular, que tiene que adaptarse a una guía cúbica cuyas aristas sean el doble de la longitud de onda de corte, que es la máxima longitud de onda a la que funcionan las guías rectangulares. Esta dimensión es A en la figura siguiente

A partir de ahí, el ortomodo se adapta en la dirección principal (V-pol) usando una transición de impedancia, mientras que la dirección secundaria (H-pol) se extiende con las aperturas de la guía cúbica interna

De estas estructuras internas, se acaba en una guía WR75, que es la estándar para la banda Ku.

SIMULACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS

El OMT se analiza usando un simulador de diferencias finitas (FEM), obteniendo los siguientes resultados:

Para la polarización horizontal, se excita en la guía de onda circular un modo TE11 con el campo principal vibrando en el eje Y, siendo el puerto 1 el que se excita en esta guía. Los puertos de salida son el puerto 2 para la polarización vertical y el puerto 3 para la horizontal. Tal y como tiene que funcionar el ortomodo, discriminando los modos de propagación, para el modo TE11 excitado en la guía circular tiene que verse un modo TE10 (modo dominante en una guía rectangular) en el puerto 3 y aislamiento en el puerto 2.

 

El resultado que se puede ver en la figura muestra cómo la propagación del campo eléctrico llega al espacio central, se refleja en la guía correspondiente al puerto 2, y se propaga a través de la guía del puerto 3. El modo de propagación en este puerto es el TE10, vibrando en el eje Y (corresponde a la polarización vertical). La banda más favorecida en este ortomodo es la banda Ku baja (12÷12,5GHz).

Cambiando la orientación del modo de propagación en la guía circular, con el campo orientado en el eje Z, correspondiente a la polarización vertical, el campo excitado tiene que verse, en este caso, en la puerta 2, quedando la puerta 3 aislada. El modo en la puerta 2 será de nuevo un TE10, pero en este caso vibrando en el eje Z. La siguiente figura nos muestra la propagación de la polarización vertical.

La transmisión es directa hacia el puerto 2, quedando el puerto 3 aislado por reflexión en su guía de onda de salida, por lo que estamos discriminando ambas polarizaciones. En este caso, la banda que usa la polarización vertical es la banda alta de Ku (14,25÷14,75 GHz).

Los resultados obtenidos, en términos de parámetros S, son los siguientes:

Pol Freq (GHz) S11 (dB) S21 (dB) V-pol S31 (dB) H-pol
H 12,25 -17,95 -52,24 -0,07
V 14,50 -12,81 -0,23 -68,17

donde se puede comprobar que en la polarización horizontal hay más de 50 dB de rechazo a la vertical y en la vertical hay más de 65 dB de rechazo a la horizontal, lo que convierte al dispositivo en un excelente discriminador, realizado simplemente con un cuerpo mecánico. Representando los parámetros en la carta de Smith, se obtiene

Las excelentes pérdidas de retorno en la polarización horizontal proporcionan unas pérdidas de paso muy bajas, por lo que la figura de ruido del receptor no se ve apenas tocada en poco menos de una décima. Sin embargo, las pérdidas de retorno de la polarización vertical hacen que las pérdidas de paso sean algo mayores que dos décimas.

DISIPACIÓN DE ENERGÍA EN EL CUERPO DEL OMT

Calculando los campos, también podemos obtener la disipación de energía en el OMT. El cuerpo metálico del OMT es aluminio,y excitando ambas polarizaciones con 10kW, las pérdidas electromagnéticas obtenidas en el metal son las siguientes:

Pol Freq (GHz) Disipación de potencia total (mW)
H 12,25 148,64
V 14,25 128,18

donde se puede ver que la disipación de potencia que sufre el dispositivo diseñado es menor que 250 mW, con una alta potencia de entrada, lo que le hace un dispositivo idóneo para aplicaciones de mezcla de señales.

CAMBIO DE POLARIDADES

Generalmente, las polaridades en los equipos de satélite se intercambian. Se mantiene, sin embargo, que si la polarización del receptor es horizontal, la del transmisor es vertical. Y a la inversa.

Como el dispositivo es un dispositivo geométrico, para cambiar las bandas de las polaridades basta con rotar el dispositivo 90 deg. De este modo, lo que antes era polaridad horizontal y correspondía a la banda baja de Ku, pasa ahora a ser vertical, manteniendo las mismas características.

CONCLUSIONES

En esta entrada, una vez más, vemos la importancia que tiene la simulación para obtener un diseño lo más adecuado posible a las características que deseamos. Otra vez analizamos los resultados obtenidos gracias al método de los elementos finitos (simulación FEM) en un dispositivo muy utilizado en telecomunicaciones de satélite. En este caso, las características a obtener son muy críticas, debido a la distancia entre terminal y satélite, necesitando minimizar las pérdidas de inserción a valores inferiores a una décima de dB para lograr el máximo rendimiento del dispositivo.

REFERENCIAS

  1. Robert E. Collin, “Field Theory of Guided Waves”, Wiley-IEEE Press, Dec 1990, 2nd Edition, 864 pages, ISBN 978-0-879-42237-0
  2. O. A. Peverini, R. Tascone, A. Olivieri, M. Baralis, R. Orta and G. Virone, “A microwave measurement procedure for a full characterization of ortho-mode transducers,” IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 51, no. 4, pp. 1207-1213, April 2003.
    doi: 10.1109/TMTT.2003.809629
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El calentamiento por microondas

El horno microondas se ha vuelto muy popular en los últimos años, y se ha convertido en un electrodoméstico imprescindible en cualquier cocina. Sin embargo, el calentamiento por microondas parece un tema esotérico, casi mágico, para muchos que tienen el horno en casa. En esta entrada vamos a adentrarnos en el mundo del calentamiento por microondas, no sólo para el calentamiento de alimentos, sino también para el calentamiento industrial y de ACS (agua caliente sanitaria).

En 1946, un investigador británico de la Raytheon Corporation, Mr. Percy Spencer, trabajando sobre las aplicaciones del RADAR, descubrió que una chocolatina que tenía en el bolsillo se había derretido. Estaba probando un magnetrón comenzó a hacer experimentos, confinando el campo en una cavidad metálica. Primero con maíz y luego con un huevo de gallina. Este último, le estalló.

Comprobó que un campo electromagnético de una intensidad elevada afectaba a los alimentos debido a la presencia de agua en su interior. El agua es un mal propagador de las ondas de radio, debido a su alta constante dieléctrica y a la conductividad dieléctrica que tiene. Al ser la molécula de agua polar, en presencia de un campo variable con el tiempo el dipolo hidrógeno-oxigeno tiende a orientarse en el sentido del campo, y eso hace agitarse a la molécula de agua, por lo que incrementa su temperatura. La creencia popular es que ésto sucede sólo a 2,4 GHz, pero en realidad ocurre en toda la banda de microondas. La frecuencia de 2,4 GHz es utilizada por los hornos debido a que es una frecuencia dentro de la banda de emisión libre conocida como ISM (abreviatura de Industrial, Scientific and Medical). Sin embargo hay procesos de calentamiento a 915MHz y a otras frecuencias.

En primer lugar hay que indicar que el agua (como casi todos los dieléctricos) tiene, en condiciones normales, una constante dieléctrica ε=ε’−jε”. Cuando se introduce esta constante dieléctrica en las ecuaciones de Maxwell aparece una conductividad definida por

\sigma = \omega \epsilon" \epsilon_0

Esta conductividad no es producida por la movilidad de electrones, sino por la movilidad de las moléculas polares del agua. Por tanto, es mayor a medida que aumentamos la frecuencia.

Por otro lado, la presencia de esta conductividad limita la penetración de las microondas en el agua, ya que van atenuándose con la distancia. Está relacionado con el término de profundidad de penetración expresado por

\delta_p=\dfrac {\lambda \sqrt{\epsilon'}}{2 \pi \epsilon"}

y por tanto a mayor frecuencia menor profundidad de penetración. Si la intensidad del campo eléctrico aplicado es |E|, por la ley de Ohm, la potencia por unidad de volumen que proporciona el campo se puede obtener por

Q=\omega \epsilon" \epsilon_0 |E|^2

Esta potencia afectará a una zona volumétrica concreta del agua, provocando calentamiento.

Por otro lado, hay un efecto de transmisión del calor que está regido por la conductividad térmica, de tal manera que el flujo de calor por unidad de superficie es

\dfrac {dQ_s}{dt}=-k \displaystyle \int_s {\vec \nabla T d \vec S}

Aplicando el teorema de la divergencia, la variación de calor por unidad de volumen será

\dfrac {dQ_V}{dt}=-k \nabla^2 T

Este flujo de calor tiende a distribuir la temperatura dentro del elemento volumétrico y por eso su signo negativo.

EL CALENTAMIENTO DEL AGUA

En condiciones macroscópicas, la cantidad de energía que hay que aplicar, por unidad de volumen, al agua para que incremente su temperatura viene dada por la expresión

E_v=\rho_m c_e \Delta T

con ρM la densidad del agua y ce su calor específico, siendo ΔT el incremento de temperatura. Si hablamos en términos de potencia, tendremos que

Q=\rho_m c_e \dfrac{dT}{dt}

donde hay que calcular la derivada de la temperatura con respecto al tiempo, y al tratarse de un fluido que puede estar en movimiento, hay que aplicar la derivada sustancial que vimos en la entrada sobre la magnetohidrodinámica.

\dfrac{dT}{dt}=\dfrac{\partial T}{\partial t}+\vec v \vec \nabla T

Así, aplicando la derivada sustancial tendremos que

Q=\rho_m c_e \left(\dfrac{\partial T}{\partial t}+\vec v \vec \nabla T \right)-k\nabla^2 T

que es la expresión que rige el mecanismo de calentamiento del agua cuando se aplica una densidad volumétrica de potencia electromagnética Q.

Por otro lado, no debemos olvidar que el movimiento de un fluido está regido por la ecuación de Navier-Stokes, a través de

\rho_M \dfrac {\partial \vec v}{\partial t}=-\vec \nabla P+\mu \nabla^2 \vec v + \rho_M \vec g

donde P es la presión, μ la viscosidad del fluido y g el campo gravitatorio.

SISTEMAS DE ACS POR MICROONDAS

En el caso de un sistema de agua caliente sanitaria, habría dos posibilidades de calentamiento:

  1. Mediante un circuito cerrado que mueva un flujo de agua, que es además un fluido con una viscosidad muy baja (10-3 Pa·s).
  2. Mediante un contenedor que contenga agua que no esté en movimiento y acumule el calor para transmitirlo a otras direcciones.

En el primer caso, la cantidad de potencia volumétrica necesaria para calentar un circuito cerrado debe de resolver tanto la ecuación del incremento térmico como la de Navier-Stokes, y ésta es mayor que en el segundo caso, donde la expresión del incremento térmico queda

Q+k\nabla^2 T=\rho_m c_e \dfrac{\partial T}{\partial t}

Estas ecuaciones se pueden resolver usando el método de diferencias finitas que ya comentamos en la entrada referente a la simulación.

En todo caso, aunque ambos métodos son posibles, el primer método siempre será más económico que el segundo, ya que el segundo sólo se puede aplicar a elevar la temperatura de otro fluido en movimiento y necesitará más energía debido a las pérdidas debidas a esa transferencia de calor.

¿ES POSIBLE CALENTAR OTROS MATERIALES USANDO MICROONDAS?

En principio, cualquier material que tenga pérdidas por constante dieléctrica puede ser susceptible de ser calentado usando microondas, si éstas pérdidas no elevan la conductividad eléctrica a valores que anulen el campo eléctrico (en un conductor perfecto, el campo eléctrico es nulo). Si escribimos la expresión obtenida en términos de campo eléctrico tenemos que

\omega \epsilon" \epsilon_0 |E|^2+k\nabla^2 T=\rho_m c_e \left(\dfrac{\partial T}{\partial t}+\vec v \vec \nabla T \right)

y por tanto, podremos obtener una relación entre ε” y el incremento de temperatura a un campo |E| dado.

INFLUENCIA EN LOS HUMANOS

El cuerpo humano es otro dieléctrico, formado en su mayor parte por agua. Por tanto, el efecto de una radiación electromagnética en nuestro cuerpo debería provocar calentamiento. Vamos a estudiar cuál sería el campo que incrementaría nuestra temperatura por encima de 50o C en un minuto, reduciendo la expresión a los siguientes términos

\omega \epsilon" \epsilon_0 |E|^2=\rho_m c_e \dfrac{\Delta T}{\Delta t}

Si tomamos ε”=4,5 (la del agua a 2,4 GHz), sabiendo que la densidad media humana es 1100 kg/m3 y su calor específico es de 14,23 kJ/kg o C, tendremos que

|E|=\sqrt {\dfrac {1100 \cdot 14230 \cdot \left(\dfrac{50-33}{60} \right)}{2 \pi \cdot 2,4 \cdot 10^9 \cdot 4,5 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12}}}=3,1 kV/m

y un router WIFI radia con una intensidad de campo, a 1 m. del mismo, de menos de 2 V/m. Por tanto, un router WIFI no provocará calentamiento en tu cuerpo ni aunque te pongas pegado a él.

¿Y qué decir de un teléfono móvil? Estos aparatos son ya potentes… Pues en su pico de emisión tampoco, ya que como mucho tendrás 12 V/m, y se necesitan 3100 V/m, unas 260 veces más. Así que el móvil tampoco te calienta la oreja. Y teniendo en cuenta la profundidad de penetración, como mucho la radiación electromagnética llega a penetrar unos 2 cm, atenuándose la intensidad de campo a la mitad y la potencia a la cuarta parte, por efecto de la conductividad dieléctrica de nuestro cuerpo. Eso sin tener en cuenta que cada uno de nuestros tejidos tiene una capacidad de atenuación diferente en función de su composición y estructura.

CONCLUSIÓN

En esta entrada se trata de explicar el fenómeno del calentamiento a base de microondas a partir de los fenómenos que producen ese calentamiento, y sus posibles aplicaciones industriales, aparte de las ya conocidas como el popular horno que casi toda cocina ya tiene como parte de su mobiliario electrodoméstico. Una de las aplicaciones más inmediatas está en el ACS, aunque también se han logrado aplicaciones en otros apartados industriales. Y a pesar de que las microondas producen ese calentamiento, las intensidades de campo necesarias están muy alejadas de la radiación que recibimos de las comunicaciones móviles.

REFERENCIAS

  1. Menéndez, J.A., Moreno, A.H. “Aplicaciones industriales del calentamiento con energía microondas”. Latacunga, Ecuador: Editorial Universidad Técnica de Cotopaxi, 2017, Primera Edición, pp 315. ISBN: 978-9978395-34-9
  2. D. Salvi, Dorin Boldor, J. Ortego, G. M. Aita & C. M. Sabliov “Numerical Modeling of Continuous Flow Microwave Heating: A Critical Comparison of COMSOL and ANSYS”, Journal of Microwave Power and Electromagnetic Energy, 2016, 44:4, 187-197, DOI: 10.1080/08327823.2010.11689787

La importancia de la simulación en los sistemas físicos

Dedico muchas entradas de este blog a la simulación. Esto es debido a que a lo largo de los años he aprendido de la importancia del uso de computadores para el estudio y análisis de sistemas, circuitos y estructuras que, sin estas herramientas, no lograría a priori reproducir, debido a la cantidad de cálculos que hay que realizar. Los modernos simuladores, que son capaces de resolver cuestiones complejas gracias a la capacidad de cálculo de los computadores, nos permiten evaluar el comportamiento de un sistema complejo a través de la definición de las estructuras. Varias disciplinas de la Física y la Ingeniería recurren de forma habitual a la simulación para realizar sus cálculos previos y poder tomar decisiones y elecciones. En esta entrada deseo mostrar cuáles son las partes más importantes que se deben tener en cuenta a la hora de simular.

En el año 1982, Richard Feynman publicó un artículo en el que hablaba del análisis de los sistemas físicos a través de computadores (1). En aquellos años, la tecnología de los computadores había avanzando a un nivel tan alto que era posible conseguir una mayor capacidad de procesado. La generación de lenguajes de programación que pudiesen contener fórmulas complejas, como FORTRAN, permitía el cálculo y evaluación de sistemas que estuviesen definidos por complejas ecuaciones integro-diferenciales, cuya resolución en muchas ocasiones requería de métodos numéricos. De este modo, en los primeros años, los físicos podían hacer simulaciones a través de programas capaces de resolver las ecuaciones constitutivas del sistema, aunque no siempre con descripciones sencillas.

En el caso de la electrónica, la simulación de circuitos tuvo su principal baluarte en SPICE, a principios de los años 70 (2). El programa, basado en FORTRAN, era capaz de simular circuitos electrónicos no lineales, sin tener en cuenta los efectos de radiación, y resolver las complejas ecuaciones integro-diferenciales en el dominio del tiempo. Con los años, el SPICE de Berkeley se convirtió en la referencia absoluta de los programas de simulación, siendo su éxito tal que casi todos los simuladores desarrollados en los últimos años basan gran parte de sus algoritmos en los desarrollados por Nagel y Pederson en los años 70.

A partir de los 80, y buscando resolver problemas tridimensionales, fue muy popular el método de los momentos (MoM), que era capaz de resolver sistemas que han sido planteados como ecuaciones integrales en los límites (3). Fue de aplicación en mecánica de fluidos, acústica y electromagnetismo. Hoy en día el método se sigue utilizando para resolver problemas electromagnéticos en dos dimensiones.

Pero sin duda los algoritmos y los métodos han ido avanzando, apareciendo en los 90 los métodos de elementos finitos (FEM, para el dominio de la frecuencia) y de diferencias finitas en el dominio del tiempo (FDTD, para el dominio del tiempo), basados en la resolución de sistemas formulados por ecuaciones diferenciales, referencias importantes dentro una explosión de algoritmos destinados a la resolución de sistemas complejos (4). Y con estos avances, la contribución de la simulación al mundo de la Física cobra dimensiones espectaculares.

LA IMPORTANCIA DE UN BUEN MODELO

Cuando se estudia un fenómeno, en Física recurrimos habitualmente a trasladar ese fenómeno a un modelo. Se trate de un fenómeno aislado o dentro de un entorno, sea en Acústica, Electromagnetismo o Mecánica Cuántica, tener bien caracterizado un modelo es esencial para poder determinar el comportamiento del fenómeno en función de sus variables y de las relaciones entre ellas. Con un modelo adecuado aumenta nuestra certidumbre en los resultados.

Sin embargo, modelar es complejo. Hay que conocer cuáles son las relaciones entre las variables y a partir de ahí, establecer un sistema que reproduzca el comportamiento dentro de un computador.

Un ejemplo de modelo es el material piezoeléctrico. En Electrónica, los materiales piezoeléctricos son de uso común y es habitual ver dispositivos electrónicos que contengan cristales de cuarzo o cualquier otro material resonante basado en esta propiedad.

Un modelo de piezoeléctrico que tuvo mucho éxito en los años 40 fue el desarrollado por Mason (5). Gracias a la similitud entre los campos electromagnéticos y los acústicos, combinó ambas propiedades a través de líneas de transmisión definidas por las ecuaciones del telegrafista, extraídas de las ecuaciones constitutivas. De este modo desarrolló un modelo para el material piezoeléctrico que hoy en día se sigue utilizando. El modelo se puede ver en la Fig. 1 y ya se estudió en entradas anteriores.

Fig.1 – Modelo de piezoeléctrico de Mason

Este modelo resolvía prácticamente el análisis en frecuencia del material en pequeña señal, obteniendo la curva de resonancia en la impedancia que presentan habitualmente este tipo de componentes y que se puede ver en la Fig. 2

Fig.2 – Resultados del análisis del modelo de Mason

Sin embargo, los modelos necesitan evolucionar y ampliar su capacidad predictiva.

El modelo de Mason describe correctamente el comportamiento del piezoeléctrico cuando trabaja en forma lineal. Sin embargo, falla cuando se quiere conocer el comportamiento cuando se aplica un potencial intenso entre sus electrodos. Así que nuevos avances en el comportamiento del material llevaron a incluir el comportamiento no lineal en las ecuaciones constitutivas (6).

Fig. 3 – Modelo tridimensional de una inducción

En el caso de los modelos tridimensionales, hay que conocer bien cuáles son las características que definen a los materiales para tener un resultado óptimo. En el caso de la inducción de la Fig. 3, se está utilizando como material magnético CoFeHfO, con una permeabilidad magnética compleja dependiente de la frecuencia que hay que introducir en la librería de materiales.

Los resultados serán mejores cuanto mejor esté definido el modelo, y esa es la labor primordial del Físico: obtener modelos fiables a partir de los estudios realizados sobre los fenómenos y los materiales.

La forma de extraer el modelo suele realizarse mediante la medición directa de sus parámetros fundamentales o bien a través de las magnitudes derivadas, en forma de sistemas de ecuaciones. Con una correcta definición del modelo, los resultados obtenidos a través de la simulación serán fiables.

ANÁLISIS MEDIANTE SIMULACIÓN

Una vez se tiene correctamente definido el modelo, podemos realizar el análisis mediante simulación. En este caso, vamos a estudiar la excitación magnética H que se obtiene a 200 MHz en el inductor, usando el análisis FEM, y representando la excitación magnética en el interior de la inducción. La Fig. 4 nos muestra esa excitación magnética.

Fig. 4 -Excitación magnética en el interior del inductor

El resultado obtenido se representa de forma vectorial, ya que hemos elegido esa representación para ver el sentido de la excitación magnética en el espacio. Podemos comprobar, primero, que la excitación magnética máxima se produce en el interior del inductor, y que en su parte superior la orientación es hacia la zona positiva de eje Y, mientras que en la parte inferior la orientación es a la inversa. El nivel máximo de campo obtenido es de 2330 A/m para una excitación de 1 W entre los extremos del inductor.

El comportamiento observado es precisamente el de una inducción cuyo valor puede también ser estimado calculando su impedancia y representándola sobre la carta de Smith, Fig. 5.

Fig. 5 – Impedancia del inductor sobre carta de Smith

La curva mostrada en la carta de Smith muestra claramente una impedancia inductiva, cuyo valor va disminuyendo cuando aumenta la frecuencia, debido a las pérdidas del material magnético CoFeHfO utilizado. Estas pérdidas, además, contribuyen a que la resistencia aumente con la frecuencia. Habrá un Q máximo en la banda útil

Fig. 6 – Factor de calidad del inductor

Como una inducción con resistencia de pérdidas tiene un factor de calidad Q, representamos éste en función de la frecuencia en la Fig. 6.

Por tanto, con la simulación FEM hemos logrado analizar parámetros físicos en una estructura que nos hubiese costado mucho más tiempo y esfuerzo reproducir mediante complejos cálculos y ecuaciones. Esto demuestra, tal y como Feynman apuntó en aquella conferencia de 1982, el potencial que la simulación proporciona cuando se tienen buenos modelos y un software adecuado para poder realizar estos análisis.

Sin embargo, la simulación no ha tenido siempre las de ganar. Precisamente es el paso anterior, la importancia de tener un buen modelo que reproduzca fielmente el comportamiento físico de una estructura, el que nos va a garantizar la fiabilidad de los resultados.

RESULTADOS EXPERIMENTALES

El mejor modo de comprobar si la simulación es válida es recurrir a obtener resultados experimentales. Afortunadamente, la simulación realizada sobre el inductor está obtenida de (7), y en esta referencia los autores muestran resultados experimentales que validan los resultados del modelo obtenido. En las Fig. 7 y 8 podemos ver los valores de inductancia y resistencia obtenidas, que junto con el factor de calidad, pueden ser comparadas con los resultados experimentales que los autores indican en su artículo.

Fig. 7 – Valor de la inductancia en función de la frecuencia

Fig. 8 – Valor de la resistencia efectiva en función de la frecuencia

Los resultados obtenidos por los autores, que han usado HFSS para hacer la simulación del inductor, se pueden ver en la Fig. 9. Los autores han hecho la simulación sobre la estructura sin núcleo y con núcleo, y representan la simulación frente al resultado experimental. De las gráficas presentadas se puede concluir que los resultados obtenidos en la simulación tienen un alto nivel de concordancia con los obtenidos mediante las medidas experimentales.

Esto nos demuestra que la simulación es efectiva cuando el modelo es fiable, y que un modelo es fiable cuando los resultados obtenidos a través de la simulación convergen con los resultados experimentales. De este modo, tenemos una potente herramienta de análisis que nos permitirá conocer de antemano el comportamiento de una estructura y tomar decisiones antes de pasar al proceso de prototipado.

Fig. 9 – Resultados experimentales

En todo caso, en la simulación es importante también la convergencia. La simulación FEM requiere que el mallado que se realice sobre la estructura sea tan eficaz como para hacer converger las soluciones. Un bajo nivel de convergencia da resultados alejados del óptimo, y estructuras muy complejas requieren de mucha velocidad de procesado, mucha memoria RAM e incluso en ocasiones realizar una simulación sobre varios procesadores. A estructuras más complejas, el tiempo de simulación aumenta considerablemente, y esa es una de sus principales desventajas.

Aunque los simuladores FEM permiten la optimización de los valores e incluso hoy la integración con otros simuladores, siguen siendo simuladores que requieren, por la complejidad de los cálculos a realizar, computadores potentes que permitan hacer esos cálculos con fiabilidad.

CONCLUSIONES

Una vez más damos la razón a Feynman cuando en aquel seminario de 1982 eligió precisamente un tema que parecía que no tenía interés ninguno para los asistentes. Desde la publicación de esa charla, el artículo de Feynman se ha convertido en un clásico de las publicaciones de Física. La experiencia que he adquirido a lo largo de los años con simuladores de casi todos los tipos me indica que el camino abierto por éstos sufrirá un avance considerable cuando los computadores cuánticos sean una realidad, y la velocidad de procesado que se pueda obtener permitan a estas herramientas obtener resultados fiables en un corto espacio de tiempo.

La simulación en los sistemas físicos ha sido un avance considerable para poder conseguir resultados sin necesidad de realizar prototipos previos y supone un importante ahorro en los costes de investigación y desarrollo.

REFERENCIAS

  1. Feynman, R; “Simulating Physics with Computers”; International Journal of Theoretical Physics, 1982, Vols. 21, Issue 6-7, pp. 467-488, DOI: 10.1007/BF02650179.
  2. Nagel, Laurence W. and Pederson, D.O. “SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis)”, EECS Department, University of California, Berkeley, 1973, UCB/ERL M382.
  3. Gibson, Walton C., “The Method of Moments in Electromagnetics”, Segunda Edición, CRC Press, 2014, ISBN: 978-1-4822-3579-1.
  4. Reddy, J.N, “An Introduction to the Finite Element Method”, Segunda Edición,  McGraw-Hill, 1993, ISBN: 0-07-051355-4.
  5. Mason, Warren P., “Electromechanical Transducers and Wave Filters”, Segunda Edición, Van Nostrand Reinhold Inc., 1942, ISBN: 978-0-4420-5164-8.
  6. Dong, S. Shim and Feld, David A., “A General Nonlinear Mason Model of Arbitrary Nonlinearities in a Piezoelectric Film”, IEEE International Ultrasonics Symposium Proceedings, 2010, pp. 295-300.
  7. Li, LiangLiang, et al. 4, “Small-Resistance and High-Quality-Factor Magnetic Integrated Inductors on PCB”, IEEE Transactions on Advanced Packaging, Vol. 32, pp. 780-787, November 2009, DOI: 10.1109/TADVP.2009.2019845.

Estudiando líneas de transmisión slotline

Las líneas de transmisión sobre PCB son una solución óptima y de bajo coste para poder realizar propagación guiada a muy altas frecuencias. Las más populares son las líneas microstrip y las coplanares, líneas de transmisión fácilmente realizables en un circuito impreso y cuya impedancia puede ser calculada a partir de sus dimensiones. En estas líneas suelen propagarse modos TEM (transversales electromagnéticos), en los que no hay componente en la dirección de propagación. Sin embargo, existen otro tipo de líneas muy populares que también se pueden utilizar a altas frecuencias y que se conocen como slotlines (líneas de ranura). En esta entrada vamos a estudiar el comportamiento eléctrico de las líneas de ranura y algunos circuitos que se pueden hacer con ellas.

En altas frecuencias, las pistas comienzan a comportarse como líneas de transmisión distribuidas. Por tanto, es necesario conocer su impedancia para que no haya pérdidas durante la propagación.

Son muy populares las líneas microstrip y las coplanares, ya que son fácilmente implementables sobre un circuito impreso a través de la serigrafía del cobre, son económicas y se pueden calcular fácilmente. En ambas líneas, la propagación es TEM, no existiendo componentes de los campos en la dirección de propagación, y su impedancia característica Zc y longitud de onda λg dependen de las dimensiones de la línea y del substrato dieléctrico que las soporta.

Otro tipo de línea, que suele usarse en frecuencias muy elevadas, es la slotline. Esta línea consiste en una ranura sobre un plano de cobre, por la que se propaga, en este caso, un modo transversal eléctrico (concretamente el modo TE01, tal y como se ve en la siguiente figura

Fig. 1 – Modo TE01 en una slotline

El campo queda confinado cerca de la ranura para que la propagación tenga las mínimas pérdidas posibles, y como sucede en las líneas microstrip, hay una discontinuidad debida al substrato dieléctrico y al aire. Su uso como línea de transmisión suele necesitar substratos con alta constante dieléctrica (del orden de εr≥9,2), para lograr confinar los campos lo más cerca posible de la ranura, aunque se pueden usar como acoplamientos en substratos con constantes dieléctricas más bajas. De este modo, se pueden alimentar antenas planas gracias a las slotlines.

En esta entrada nos ceñiremos a su uso como líneas de transmisión (con constantes dieléctricas altas), y los circuitos de microondas que pueden realizarse con ellas, realizando un estudio sobre transiciones entre ambas tecnologías (slotline a microstrip).

ANALIZANDO LA SLOTLINE COMO LÍNEA DE TRANSMISIÓN

Siendo una línea de transmisión, la slotline tiene, como el resto de líneas, una impedancia característica Zc y una longitud de onda λs. Pero además, siendo el modo de propagación el TE01, la componente de campo que se va a propagar, en cilíndricas, es la Eφ, como se muestra en la figura

Fig. 2 – Componente Eφ de campo eléctrico

Esta componente se calcula a partir de las componentes Hr y Hz del campo magnético, considerando Z la dirección de propagación de la línea, perpendicular al campo eléctrico. De aquí obtenemos una expresión para la constante de propagación kc que es

E_{\varphi}=\dfrac {j{\omega}{\mu_0}}{k_c^2}\dfrac {\partial H_z}{\partial r}=-{\eta} \dfrac {\lambda_s}{\lambda_0}H_r

k_c=\dfrac {2{\pi}}{\lambda_0} \sqrt {1- \left( \dfrac {\lambda_0}{\lambda_s} \right)^2}

siendo λ0 la longitud de onda del campo propagado. Lo primero que deducimos de la expresión de kc es que vamos a encontrarnos una longitud de onda de corte λs, a partir de la cual el campo se propaga como modo TE01, ya que λ0≤λs para que kc sea real y exista propagación. Esto significa que va a haber un espesor de corte para el sustrato que va a depender de la constante dieléctrica εr. La expresión para ese espesor de corte, donde no hay propagación en forma de modo TE01,es

{\left( \dfrac {h}{\lambda_0} \right)}_c=\dfrac {1}{4\sqrt{{\epsilon_r}-1}}

Con estas expresiones, Gupta (ver [1], pág. 283)  extrajo unas expresiones que permiten el cálculo de la impedancia de la línea Zc y la longitud de onda de la línea λs, que nos permitirá caracterizar la línea de transmisión, y con esa caracterización, realizar circuitos de microondas con slotlines.

ANALIZANDO UNA LÍNEA SLOTLINE

Como las líneas microstrip y las coplanares, las líneas slotline pueden ser analizadas usando un simulador electromagnético FEM. Vamos a estudiar una línea de transmisión en un substrato RT/Duroid 6010, que tiene una εr=10,8, con un espesor de 0,5mm, y una anchura de ranura de 5mil. Según los cálculos de impedancia, la línea tiene una Zc=68,4Ω y una λs=14,6mm a 10GHz. Vista en 3D, la slotline es

Fig. 5 – Slotline en 3D

La siguiente gráfica muestra los parámetros S de la línea de transmisión a 50Ω de generador y de carga.

Fig. 6 – Parámetros S de la slotline

Si representamos ahora los parámetros S en la carta de Smith

Fig. 7 – Impedancia de la slotline

donde tenemos una impedancia de 36,8-j·24,4Ω a 10GHz.

Para ver el campo propagado, usamos la visualización 3D, y representamos la corriente superficial en la ranura

Fig. 8 – Corriente superficial en la ranura, en A/m

donde se puede ver que la corriente superficial queda confinada cerca de la ranura. De esta corriente deriva el campo H y por tanto el campo E, que sólo tiene componente transversal. También se pueden ver la presencia de dos máximos, lo que indica que la distancia de la ranura coincide con la λs.

Gracias a la simulación FEM podemos analizar las líneas slotline y construir circuitos de microondas, sabiendo la caracterización que nos muestra [1].

TRANSICIONES SLOTLINE A MICROSTRIP

Como la slotline es una ranura practicada sobre un plano de cobre, se pueden hacer transiciones desde slotline a línea microstrip. Una transición típica es

Fig. 9 – Transición slotline a microstrip

Las líneas microstrip finalizan en un stub en circuito abierto λm/4, de modo que la corriente es mínima en el extremo del circuito abierto y máxima en la posición de la transición. Del mismo modo, la slotline acaba en sendos stub λs/4 en cortocircuito, siendo la corriente superficial mínima en la posición de la transición. El circuito equivalente por cada transición se puede representar de la forma

Fig. 10 – Circuito equivalente de una transición slotline a microstrip

Vamos a estudiar con el simulador electromagnético cómo se comporta una transición como la de la figura adjunta. En este caso, se trata de una transición que funciona en una banda entre 700MHz y 2,7GHz, construida sobre un substrato RT/Duroid 6010, con un espesor de 70mil, y anchuras de ranura de 25mil y microstrip de 50mil. Los parámetros S de la transición son

Fig. 11 – Parámetros S de la transición

y si representamos la corriente superficial en la transición, obtenemos

Fig. 12 – Corrientes en la transición.

donde se puede ver el acoplamiento de la corriente en la transición y la distribución sobre la slotline.

OTROS CIRCUITOS DE MICROONDAS BASADOS EN SLOTLINES

La slotline es una línea versátil. Combinada con microstrip (el plano de masa de la microstrip puede albergar las ranuras) nos permite realizar una serie de circuitos interesantes, como los mostrados en la fig. 13

Fig. 13 – Circuitos que se pueden implementar con slotline y microstrip.

El circuito de la fig. 13 (a) muestra un balum con tecnología slotline y microstrip, cortocircuitando la línea microstrip en la transición. La parte balanceada es la de la línea slotline, ya que ambos planos de tierra son puertos diferenciales, mientras que la parte no balanceada es la línea microstrip, referida al plano de masa donde se construye la slotline. Con este circuito es posible construir dobladores de frecuencia o mezcladores balanceados. Otro circuito interesante es el “rat-race” de la fig. 13 (b), donde el circuito microstrip no está cerrado, sino que se acopla a la slotline para realizar la función. En la fig. 13 (c) es posible ver un acoplador “branchline” usando una slotline y por último, el acoplador de Ronde (fig. 13 (d)), que es un circuito idóneo para ecualizar las velocidades de fase de los modos par e impar.

CONCLUSIONES

En la entrada hemos analizado la línea slotline como línea de transmisión de microondas, comparada con otras tecnologías como la microstrip y la coplanar. Además, hemos hecho un pequeño análisis del comportamiento de la línea usando un simulador electromagnético FEM, en el que hemos podido comprobar las posibilidades de análisis de la línea, tanto en su comportamiento con parámetros S como en análisis de campos, y hemos mostrado algunos de los circuitos que se pueden realizar con esta tecnología, comprobando la versatilidad de la línea de transmisión.

REFERENCIAS

  1. Gupta, K.C., et al. “Microstrip Lines and Slotlines”. 2nd. s.l. : Artech House, Inc, 1996. ISBN 0-89006-766-X.

Simulando transiciones en guía de onda

adapterLas guías de onda son líneas de transmisión muy utilizadas en aplicaciones de muy alta frecuencia como elementos de propagación guiada. Sus mayores ventajas son la reducción de pérdidas en la propagación, debido al uso de un sólo conductor y aire, en lugar de usar dieléctricos como en el cable coaxial, un mayor capacidad para usar potencias elevadas y una construcción sencilla. Sus principales inconvenientes suelen ser que son dispositivos voluminosos, que no pueden funcionar por debajo de su frecuencia de corte y que las transiciones de guía a otras tecnologías (como coaxial o microstrip) suelen tener pérdidas. La simulación por el método de los elementos finitos (FEM), permite, no obstante, estudiar y optimizar las transiciones que se pueden realizar con estos dispositivos, obteniendo muy buenos resultados. En esta entrada vamos a estudiar las guías de onda usando un simulador FEM como HFSS, que es capaz de analizar los campos electromagnéticos en 3D.

Las guías de onda son muy populares en los circuitos de muy alta frecuencia, debido a la facilidad de construcción y bajas pérdidas. Los campos propagados, a diferencia de las guías coaxiales, son transversales eléctricos o magnéticos (campos TE o TM), por lo que tienen una componente de campo magnético (los TE) o campo eléctrico (los TM) en la dirección de propagación. Estos campos son resultado de la solución de la ecuación de Helmholtz bajo determinadas condiciones de contorno

  • Para los modos TE, Ez(x,y)=0

\left( \dfrac {{\partial}^2}{\partial x^2} +\dfrac {{\partial}^2}{\partial y^2} +k_c^2\right)H_z(x,y)=0

  • Para los modos TM, Hz(x,y)=0

\left( \dfrac {{\partial}^2}{\partial x^2} +\dfrac {{\partial}^2}{\partial y^2} +k_c^2\right)E_z(x,y)=0

que resolviendo por separación de variables, y aplicando las condiciones de contorno de un recinto rectangular donde todas las paredes son paredes eléctricas (conductores, en las que la componente tangencial del campo eléctrico se anula)

Fig. 2 – Condiciones de contorno de la guía rectangular

obtenemos un conjunto de soluciones para el campo electromagnético en el interior de la guía, partiendo de la solución obtenida para las expresiones de la fig. 1.

Fig. 3 – Tabla de campos electromagnéticos y parámetros en guías rectangulares

Por tanto, los campos electromagnéticos se propagan en forma de modos de propagación, denominados TEmn, si son transversales eléctricos (Ez=0), o TMmn, si son transversales magnéticos (Hz=0). De la constante de propagación Kc obtenemos una expresión para la frecuencia de cortefc, que es la frecuencia más baja a la que se pueden propagar campos dentro de la guía, y cuya expresión es

f_c=\dfrac {c}{2} \sqrt {\left( \dfrac {m}{a} \right) ^2+\left( \dfrac {n}{b} \right) ^2}

El modo más bajo se da cuando m=0, ya que a aunque la función tiene extremos para m,n=0, no existen los modos TE00 o TM00. Y como a>b, la frecuencia de corte más baja de la guía se da en el modo TE10. Ese es el modo que vamos a analizar mediante simulación FEM en 3D.

SIMULACIÓN DE UNA GUÍA RECTANGULAR POR EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

En un simulador 3D es muy sencillo modelar una guía rectangular, ya que basta dibujar un rectángulo de las dimensiones adecuadas a y b. En este caso vamos a usar a=3,10mm y b=1,55mm. El modo TE10 se comenzará a propagar a 48GHz y el segundo modo, el  TE01, a 97GHz, así que vamos a analizar la guía a 76GHz, que es donde queremos hacerla funcionar. La guía, dibujada en un simulador como HFSS, se ve así

Fig. 5 – Guía rectangular. Modelo en HFSS

El prisma rectangular interior se asigna al vacío como medio material, y en los laterales se asignan paredes eléctricas como condiciones de contorno. A los rectángulos de los planos -z/2 y +z/2 se les asignan sendas fuentes de excitación, con el primer modo de propagación.

El campo eléctrico propagado a lo largo de la guía es de la forma

Fig. 6 – Campo eléctrico en el interior de la guía

Analizando los parámetros S de la guía, de 40 a 90GHz, obtenemos

Fig. 7 – Parámetros S de la guía rectangular

donde podemos ver  que es a partir de 48,5GHz cuando comienza a haber propagación en la guía.

A partir de 97GHz, el modo TE01 se comenzaría a propagar también, no interesándonos y centrándonos en los 76GHz, que es donde se quiere hacer funcionar la guía.

TRANSICIONES EN GUIAS DE ONDA

Las transiciones más comunes son aquellas que van de la guía a coaxial, o de guía a línea microstrip, para poder utilizar la energía propagada en otro tipo de aplicaciones. Para ello, lo que se hace es colocar una sonda en la dirección del campo eléctrico (en el modo TE01 es la dirección y), para que la energía que está asociada a ese campo se acople directamente a la sonda

Fig. 8 – Posición de la sonda

La sonda consiste en una antena resonante de cuarto de longitud de onda a la frecuencia que queremos acoplar. En el eje x, el máximo del campo eléctrico se encuentra en x=a/2, mientras que para encontrar el máximo en la dirección de propagación z, cerramos con un cortocircuito la guía, de modo que el campo E es mínimo en la pared de la guía, siendo máximo a un cuarto de onda de la longitud de onda de la guía, que es

{\lambda_g}=\dfrac {\lambda}{\sqrt {1-\left( \dfrac {f_c}{f} \right)^2}}

y en nuestro caso, a 76GHz, λ es 3,95mm mientras que λg es 5,11mm. Por tanto, la longitud de la sonda será 0,99mm y la distancia al cortocircuito 2,56mm.

En transiciones coaxiales, basta con poner un coaxial cuyo conductor interno emerja en λ/4 a λg/4 del cortocircuito. Pero en transiciones a microstrip se usan dieléctricos como soporte de las pistas de metal, por lo que hay que tener en cuenta el efecto del dieléctrico sobre la longitud de onda del material.

Nuestra transición puede ser modelada en HFSS asignando diferentes materiales. Construimos la sonda sobre substrato Rogers RO3003, de baja constante dieléctrica y bajas pérdidas, realizando la transición a línea microstrip. Todo el contorno lateral, así como las líneas de metal, se asignan a paredes eléctricas (conductores perfectos), mientras que el soporte de la línea es RO3003. El interior de la guía y la cavidad donde se aloja la transición es vacío. En el extremo de la transición asignamos un puerto.

Fig. 10 – Transición guía rectangular a microstrip

y ahora realizamos la simulación para ver cuáles son los campos y la respuesta de la transición.

Fig. 11 – Campo eléctrico en la transición

donde se puede ver cómo la sonda es excitada por el campo eléctrico y acopla este a la línea microstrip.

Fig. 12 – Parámetros S de la transición

Viendo la respuesta de los parámetros S, podemos ver que el acoplamiento con menos pérdidas de retorno se produce en la banda de 76÷78GHz, que es donde deseábamos que nuestra transición funcionase.

OTROS DISPOSITIVOS EN GUIA DE ONDA: LA T MÁGICA

Dentro de los componentes populares que se pueden realizar en guía de onda, uno de los más populares es la T mágica, un combinador especial que puede ser usado como divisor  como combinador y como sumador/restador de señales.

Fig. 13 – T Mágica

El funcionamiento es muy sencillo: cuando se excita un campo electromagnético por el puerto 2, la señal sale dividida y en fase por los puertos 1 y 3. El puerto 4 queda aislado porque su plano E es perpendicular al plano E del puerto 2. En cambio, si el campo se excita desde el puerto 4, éste se divide en los puertos 1 y 3 en contrafase (180deg) mientras que el puerto 2 queda aislado.

Vamos a usar la simulación FEM para analizar la T mágica, y excitamos la potencia por el puerto 2, obteniendo

Fig. 14 – Campo eléctrico dentro de la T mágica  excitando desde el puerto 2.

donde se puede ver que la potencia es repartida en los puertos 1 y 3 mientras que el puerto 4 queda aislado. Haciendo lo mismo desde el puerto 4, obtenemos

Fig. 15 – Campo eléctrico en el interior de la T mágica excitando desde el puerto 4.

donde ahora es el puerto 2 el que queda aislado.

Para poder ver las fases, es necesario recurrir a un diagrama vectorial del campo eléctrico

Fig. 16 – Campo eléctrico vectorial excitando desde el puerto 2

donde se ve que el campo en los puertos 1 y 3 tiene la misma orientación y por tanto están en fase. Excitando desde el puerto 4

Fig. 17 – Campo eléctrico vectorial excitando desde el puerto 4

en la que se ve que las señales en el puerto 1 y 3 son del mismo nivel, pero están en contrafase (180deg entre ellas).

La simulación FEM nos permite analizar el comportamiento del campo electromagnético desde diferentes puntos de vista, ya que podemos cambiar las excitaciones. Por ejemplo, si introducimos por 2 una señal en fase con la que introducimos en 4, ambas señales se sumarán en fase en 3 y se anularán en 1.

Fig. 18 – Campo eléctrico en el interior de la guía excitando desde 2 y 4 en fase.

mientras que si invertimos la fase en 2 o en 4, las señales se sumaran en 1 y se anularán en 3.

Fig. 19 – Campo eléctrico en el interior de la guía excitando desde 2 y 4 en contrafase

con lo que estamos haciendo un sumador/restador de señales.

CONCLUSIONES

El objeto de la entrada era el análisis del comportamiento eléctrico de las guías de onda a través de un simulador 3D que usa el método de los elementos finitos (FEM). La ventaja del uso de estos simuladores es que permiten analizar con buena precisión los campos electromagnéticos en estructuras tridimensionales, siendo el modelado la parte más importante para definir correctamente la estructura a estudiar, ya que un simulador tridimensional requiere realizar un mallado en la estructura, y este mallado, a medida que necesita más tetraedros para lograr una buena convergencia, tiende también a necesitar más memoria de máquina y capacidad de procesado.
Las estructuras analizadas, debido a su simplicidad, no han requerido de tiempos largos de simulación y capacidad de procesado relevantes, pero a medida que se hacen más complejos los modelos, la capacidad de procesado aumenta, si se desea conseguir una buena precisión.

En posteriores entradas analizaremos otros métodos para lograr reducir el modelado en estructuras complejas, a través del uso de planos de simetría que permiten dividir la estructura y reducir considerablemente el mallado.

REFERENCIAS

  1. Daniel G. Swanson, Jr.,Wolfgang J. R. Hoefer; “Microwave Circuit Modeling Using Electromagnetic Field Simulation”; Artech House, 2003, ISBN 1-58053-308-6
  2. Paul Wade, “Rectangular Waveguide to Coax Transition Design”, QEX, Nov/Dec 2006

Diseñando con la Carta de Smith 3D

La Carta de Smith es una herramienta habitual en el diseño de circuitos de RF. Desarrollada por Phillip Smith en 1939, se ha convertido en el método gráfico más popular para representar impedancias y resolver de forma sencilla operaciones con números complejos. Tradicionalmente la Carta de Smith se ha usado en su forma polar, para dos dimensiones, en un círculo de radio 1. Sin embargo, la carta en su formato 2D presenta algunas restricciones cuando se trata de representar impedancias activas de osciladores o círculos de estabilidad de amplificadores, ya que estas últimas representaciones suelen salirse de la carta. En los últimos años se ha popularizado el uso de la Carta de Smith tridimensional. Los avances en el software de representación 3D posibilitan su uso para el diseño. En esta entrada se va a tratar de conocer el manejo de la Carta de Smith tridimensional y su aplicación a un secillo amplificador de baja figura de ruido.

Cuando Phillip Smith estaba trabajando en los Laboratorios Bell, se encontró con la necesidad de tener que adaptar una antena y para ello buscó una forma de resolver el problema gráficamente. Mediante las expresiones matemáticas que rigen las impedancias en las líneas de transmisión, logró representar el plano complejo de impedancias mediante círculos de resistencia y reactancia constante. Estos círculos le facilitaban el poder representar cualquier impedancia en un espacio polar, con la máxima adaptación situada en el centro de la carta y el círculo exterior representando la reactancia pura. Tradicionalmente, la carta de Smith ha sido representada en forma polar tal y como se observa a continuación.

Fig. 1 – Carta de Smith tradicional

Las impedancias se representan normalizadas, esto es, se representa la relación entre la impedancia que se quiere representar y la impedancia de generador. El centro de la carta es la resistencia pura unidad (máxima adaptación) mientras que el círculo periférico que limita la carta es la reactancia pura. El extremo izquierdo de la carta representa el cortocircuito puro y el extremo derecho, el circuito abierto puro. La carta se hizo enseguida muy popular para poder realizar cálculos de adaptación de impedancias con líneas de transmisión usando el método gráfico. Sin embargo,las dificultades de diseño con la carta empezaron a producirse cuando se quería analizar dispositivos activos como amplificadores, para estudiar su estabilidad, y osciladores.

Obviamente, la carta limita a las impedancias de parte real positiva, pero la carta puede representar, mediante extensión del plano complejo a través de la transformación de Möbius, impedancias con parte real negativa [1]. Esta carta expandida al plano de parte real negativa se puede ver en la siguiente figura

Fig. 2-Carta de Smith expandida a parte real negativa

Esta carta, sin embargo, tiene dos inconvenientes: 1) aunque nos permite representar todas las impedancias, existe el problema del infinito complejo, por lo que sigue limitada y 2) la carta toma unas dimensiones grandes que la hacen difícil de manejar en un entorno gráfico, incluso tratándose de un entorno asistido por computador. Sin embargo, su ampliación es necesaria cuando se desean analizar los círculos de estabilidad en amplificadores, ya que en muchas ocasiones, los centros de estos círculos están situados fuera de la carta de impedancias pasivas.

En un entorno gráfico por computador, representar los círculos ya lo realiza el propio programa a través de sus cálculos, pudiendo limitar la carta a la carta pasiva y dibujando sólo una parte del círculo de estabilidad. Pero con osciladores se sigue teniendo el problema del infinito complejo, cosa que se resuelve a través de la esfera de Riemann.

ESFERA DE RIEMANN

La esfera de Riemann es la solución matemática para representar todo el plano complejo, incluido el infinito. Toda la superficie compleja se representa en una superficie esférica mediante una proyección estereográfica de dicho plano.

Fig. 3 – Proyección del plano complejo a una esfera

En esta representación el hemisferio sur de la esfera representa el origen, el hemisferio norte representa el infinito y el ecuador el círculo de radio unidad. La distribución de los valores complejos en la esfera se puede ver en la siguiente figura

Fig. 4 – Distribución de los valores complejos en la esfera

De este modo, es posible representar cualquier número del espacio complejo en una superficie manejable.

REPRESENTANDO LA CARTA DE SMITH EN UNA ESFERA DE RIEMANN

Como la Carta de Smith es una representación compleja, se puede proyectar del mismo modo a una esfera de Riemann [2], tal y como se muestra en la figura siguiente

Fig. 5 – Proyección de la Carta de Smith sobre una esfera de Riemann

En este caso, el hemisferio norte corresponde a la impedancias de parte resistiva positiva (impedancias pasivas), en el hemisferio sur se representan las impedancias con resistencia negativa (impedancias activas), en el hemisferio este se representan las impedancias inductivas y en el oeste las impedancias capacitivas. El meridiano principal se corresponde con la impedancia resistiva pura.

Así, se se desea representar una impedancia cualquiera, ya sea activa o pasiva, se puede representar en cualquier punto de la esfera, facilitando notablemente su representación. Del mismo modo, se pueden representar los círculos de estabilidad de cualquier amplificador sin tener que expandir la carta. Por ejemplo, si queremos representar los círculos de estabilidad de un transistor cuyos parámetros S a 3GHz son

S11=0,82/-69,5   S21=5,66/113,8   S12=0,03/48,8  S22=0,72/-37,6

el resultado en la carta de Smith convencional sería

Fig. 6 – Representación tradicional de los círculos de estabilidad

mientras que en la carta tridimensional sería

Fig. 7 – Círculos de estabilidad en la carta tridimensional

donde se pueden ver ubicados ambos círculos, parte en el hemisferio norte y parte en el sur. Como se puede ver, se ha facilitado enormemente su representación.

UNA APLICACIÓN PRÁCTICA: AMPLIFICADOR DE BAJO RUIDO

Vamos a ver una aplicación práctica de la carta tratando de conseguir que el amplificador de la sección anterior esté adaptado a la máxima ganancia estable y mínima figura de ruido, a 3GHz. Usando los métodos tradicionales, y conociendo los datos del transistor, que son

S11=0,82/-69,5   S21=5,66/113,8   S12=0,03/48,8  S22=0,72/-37,6

NFmin=0,62  Γopt=0,5/67,5 Rn=0,2

Representamos en la carta de Smith tridimensional esos parámetros S y dibujamos los círculos de estabilidad del transistor. Para una mejor representación usamos 3 frecuencias, con un ancho de banda de 500MHz.

Fig. 8 – Parámetros S y círculos de estabilidad del transistor (S11 S21 S12 S22 Círculo se estabilidad de entrada Círculo de estabilidad de salida)

y podemos ver los parámetros S, así como los círculos de estabilidad, tanto en el diagrama polar convencional como en la carta tridimensional. Como se puede observar, en el diagrama polar convencional los círculos se salen de la carta.

Para que un amplificador sea incondicionalmente estable, los círculos de estabilidad deberían estar situados en la zona externa de impedancia pasiva de la carta (en la carta tridimensional, en el hemisferio sur, que es la región expandida) bajo dos condiciones: si los círculos son externos a la carta pasiva y no la rodean, la zona inestable se encuentra en el interior del círculo. Si rodean a la carta, las cargas inestables se encuentran en el exterior del círculo.

Fig. 9 – Posibles situaciones de los círculos de estabilidad en la región activa

En nuestro caso, al entrar parte de los círculos a la región de impedancias pasivas, el amplificador es condicionalmente estable. Entonces las impedancias que podrían desestabilizar el amplificador son las que se encuentran en el interior de los círculos. Esto es algo que todavía no se puede ver con claridad en la carta tridimensional, no parece que lo calcule y sería interesante de incluir en posteriores versiones, porque facilitaría enormemente el diseño.

Vamos ahora a adaptar la entrada para obtener el mínimo ruido. Para ello hay que diseñar una red de adaptación que partiendo de 50Ω llegue al coeficiente de reflexión Γopt y que representa una impedancia normalizada Zopt=0,86+j⋅1,07. En la carta de Smith tridimensional abrimos el diseño y representamos esta impedancia

Fig. 10 – Representación de Γopt

Ahora usando la admitancia, nos desplazamos en la región de conductancia constante hasta que obtengamos que la parte real de la impedancia sea 1. Esto lo hacemos tanteando y obtenemos una subsceptancia de 0,5,. Como hemos tenido que incrementar 0,5–(-0,57)=1,07, esto equivale a una capacidad a tierra de 1,14pF.

Fig. 11 – Transformación hasta el círculo de impedancia con parte real unidad.

Ahora sólo queda colocar un componente que anule la parte imaginaria de la impedancia (reactancia), a resistencia constante. Como la reactancia obtenida es -1,09, hay que añadir 1,09, por lo que el valor de reactancia se anula. Esto equivale a una inducción serie de 2,9nH.

Fig. 12 – Impedancia de generador adaptada a Γopt

Ya tenemos la red de adaptación de entrada que nos consigue la mínima figura de ruido. Como el dispositivo es activo, al colocar esta red de adaptación nos cambian los parámetros S del transistor. Los nuevos parámetros son:

S11=0,54/-177   S21=8,3/61,1   S12=0,04/-3,9  S22=0,72/-48,6

que representamos en la carta de Smith para ver sus círculos de estabilidad.

Fig. 13 – Transistor con entrada adaptada a Γopt y sus círculos de estabilidad

Las regiones inestables son las internas, por lo que el amplificador sigue siendo estable.

Ahora hay que adaptar la salida para obtener la máxima ganancia, por lo que hay que cargar a S22=0,72/-48,6 un coeficiente de reflexión ΓL adaptación conjugada, pasando de 50Ω a un coeficiente de reflexión ΓL=0,72/48,6. Esta operación se realiza del mismo modo que operamos en la adaptación de la entrada. Haciendo esta operación y obteniendo los parámetros S del conjunto completo, con redes de adaptación en entrada y salida, obtenemos

S11=0,83/145   S21=12/-7.5   S12=0,06/-72,5  S22=0,005/162

La ganancia es 20·log(S21)=21,6dB, y la figura de ruido obtenida es 0,62dB, que corresponde a su NFmin. Ahora sólo queda representar en la carta de Smith tridimensional estos parámetros para observar sus círculos de estabilidad.

Fig. 14 – Amplificador de bajo ruido y sus círculos de estabilidad

En este caso, la región estable del círculo de estabilidad de entrada es la interior, mientras que en el círculo de estabilidad de salida es la exterior. Como ambos coeficientes de reflexión, S11 y S22 se encuentran en la región estable, el amplificador es entonces estable.

CONCLUSIONES

En esta entrada hemos tenido la primera toma de contacto con la Carta de Smith tridimensional. El objetivo de la entrada era estudiar su potencial respecto a una herramienta ya tradicional en la ingeniería de Microondas como es la Carta de Smith tradicional. Se observan novedosas ventajas sobre ésta en cuanto a que podemos representar los valores infinitos de la transformada de Möbius sobre una esfera de Riemann y de este modo tener una herramienta gráfica tridimensional donde se pueden representar prácticamente todas las impedancias, tanto pasivas como activas, y parámetros difíciles de representar en la carta tradicional como los círculos de estabilidad.

En su versión 1 la herramienta, que se puede encontrar en la página web 3D Smith Chart / A New Vision in Microwave Analysis and Design, presenta bastantes opciones de diseño y configuración, aunque se echa de menos algunas aplicaciones que, sin duda, irán incorporándose en futuras versiones. En este caso, una de las aplicaciones más ventajosas para la carta, al haber estudiado los círculos de estabilidad de un amplificador, es la ubicación de las regiones de estabilidad de forma gráfica. Aunque esto lo podemos resolver por cálculo, siempre es más ventajosa la imagen visual.

La aplicación tiene un manual de usuario con ejemplos explicados de forma sencilla, de modo que el diseñador se familiarice enseguida con ella. En mi opinión profesional, es una herramienta idónea para los que estamos acostumbrados a usar la carta de Smith para realizar nuestros cálculos de redes de adaptación.

REFERENCIAS

    1. Müller, Andrei; Dascalu, Dan C; Soto, Pablo; Boria, Vicente E.; ” The 3D Smith Chart and Its Practical Applications”; Microwave Journal, vol. 5, no. 7, pp. 64–74, Jul. 2012
    2. Andrei A. Muller, P. Soto, D. Dascalu, D. Neculoiu and V. E. Boria, “A 3D Smith Chart based on the Riemann Sphere for Active and Passive Microwave Circuits,” IEEE Microwave and Wireless Components. Letters, vol 21, issue 6, pp 286-288, june, 2011
    3. Zelley, Chris; “A spherical representation of the Smith Chart”; IEEE Microwave, vol. 8, pp. 60–66, July 2007
    4. Grebennikov, Andrei; Kumar, Narendra; Yarman, Binboga S.; “Broadband RF and Microwave Amplifiers”; Boca Raton: CRC Press, 2016; ISBN 978-1-1388-0020-5

Ajustando filtros mediante el método de Dishal

filtroEn Telecomunicaciones es usual tener que usar filtros para poder eliminar frecuencias indeseadas. Estos filtros suelen ser de bandas muy estrechas y se suelen utilizar técnicas de líneas acopladas, por lo que en la mayor parte de los diseños se debe recurrir a la simulación electromagnética para verificar el diseño. La simulación electromagnética, aunque es una potente herramienta, suele ser lenta si se desea optimizar mediante algoritmos convencionales. Aunque estos algoritmos están incluidos en la mayor parte de los simuladores electromagnéticos, ya sea en 2D o en 3D, si la respuesta del filtro está muy alejada de la deseada, la optimización suele ser muy lenta, por lo que se requieren otros métodos que permitan ajustar previamente antes de realizar una optimización final. Uno de los métodos es el de Dishal, en el que se puede sintonizar un filtro de varias secciones a base de sintonizar cada una de ellas. En esta entrada, sintonizaremos un filtro microstrip de tipo HAIRPIN, de resonadores λ/2 acoplados, usando un simulador electromagnético como HPMomentum.

Los filtros son los dispositivos más comunes que se usan en Telecomunicaciones. Eliminan las frecuencias interferentes y el ruido, pudiendo procesar la señal recibida o transmitida de una forma más eficiente. Tienen bastante literatura para su diseño, y existen muchas combinaciones para obtener su respuesta. Sin embargo, es uno de los dispositivos en los que es más difícil obtener un óptimo resultado. Su sintonía física requiere habilidad y entrenamiento, y su sintonía en simulación paciencia y tiempo. Sin embargo, existen técnicas que permiten la optimización de un filtro a base de usar metodologías de ajuste que permita acercarse a los parámetros ideales del filtros. Una de metodología que permite sintonizar un filtro de forma sencilla es el método de Dishal y es el que vamos a usar para sintonizar un filtro paso banda HAIRPIN para la banda de subida de LTE-UHF.

Esta metodología permite realizar el ajuste de un filtro paso banda acoplado sintonizando tanto de los factores de calidad Qi y Qo que necesita el filtro para ser cargado, como de los factores de acoplamiento Mi,i+1 que acoplarán las diferentes etapas, de forma independiente. Estos parámetros son calculados a través de los parámetros del filtro prototipo, que se pueden obtener ya sea a través de las tablas presentes en cualquier libro de diseño de filtros como en programas de cálculo como MatLab. Las expresiones para calcular los parámetros fundamentales de un filtro paso banda acoplado son

Q_i=\dfrac {g_0g_1}{FBW}

Q_o=\dfrac {g_ng_{n+1}}{FBW}

M_{i,i+1}=\dfrac {FBW}{\sqrt{g_ig_{i+1}}}

FBW=\dfrac {f_h-f_l}{f_0}

f_0^2=f_hf_l

 

donde fh y fl son las frecuencias de corte de la banda pasante, f0 es la frecuencia central y FBW el ancho de banda fraccional. Los valores g0..gn son los coeficientes del filtro prototipo normalizado. Con estos valores obtendremos los parámetros de acoplamiento de nuestro filtro.

FILTRO PASO BANDA HAIRPIN DE 5 SECCIONES

Vamos a desarrollar un filtro paso banda en tecnología microstrip, usando una configuración HAIRPIN de resonadores λ/2 acoplados. En este filtro, la línea resonante es una línea λ/2, que se acopla al siguiente resonador mediante la sección λ/4. O más concretamente, entre un 85 y un 95% de λ/4. Su denominación HAIRPIN es debida a que tiene forma física de peine. Nuestro filtro va a tener las siguientes características fundamentales:

  • Banda pasante : 791÷821MHz (banda de UHF para LTE de subida)
  • Número de secciones: 5
  • Tipo de filtro: Chebychev 1
  • Factor de rizado: 0,1dB
  • Impedancias de generador y carga: 50Ω

Con estos valores acudimos a las tablas para obtener los coeficientes g0..g6 del filtro prototipo y aplicando las expresiones anteriores obtenemos que

  • Qi=Qo=30,81
  • M12=M45=0,0297
  • M23=M34=0,0226

Con estos coeficientes se pueden calcular las impedancias Zoe y Zoo que definirán las líneas acopladas, así como la posición de los feeds de entrada y salida. En este último caso, esta posición se puede obtener a partir de

t=\dfrac {\lambda}{4\pi} \sin^{-1} \sqrt {\dfrac {\pi}{2Q_{i/o}}\dfrac {Z_G}{Z_L}}

 

Como soporte vamos a usar un substrato Rogers, el RO3006, que tiene una εr=6,15, usando un espesor de 0,76mm y 1oz de cobre (35μm). Con este substrato, el filtro obtenido es:

filter

y con estos valores, pasaremos a la simulación.

SIMULACIÓN DEL FILTRO PASO BANDA

Usando HPMomentum, el simulador electromagnético de ADS, vamos a poder simular la respuesta de este filtro, que se puede ver en la siguiente gráfica

Resultado de la simulación del filtro

Resultado de la simulación del filtro

que, la verdad sea dicha, no se nos parece ni por asomo a lo que pretendíamos realizar. El filtro está cerca de la frecuencia f0, tiene un ancho de banda de 30MHz, pero ni está centrado ni el rizado es, ni de lejos, 0,1dB. Por tanto, habrá que recurrir a una sintonía usando el método de Dishal y así llevar el filtro a la frecuencia deseada, con el acoplamiento deseado.

Buscando la posición del alimentador

Buscando la posición del alimentador

AJUSTANDO EL Q EXTERNO

En primer lugar vamos a ajustar los factores de calidad de los resonadores de generador y de carga, que tienen que ser de 30,81. Como ambos son iguales, la sintonía obtenida servirá para los dos. Para ajustar los Qi y Qo, tendremos que buscar la posición adecuada de la alimentación para que el valor sea el deseado.

Para calcular el Qext, se evalúa el coeficiente de reflexión del resonador y se obtiene su retardo de grupo. El factor de calidad será

Q_{ext}=- \dfrac {d(phase(S_{11}))}{df}f_0

 Cuando hacemos la primera simulación y representamos Qext, obtenemos

qext2

donde se puede comprobar que ni el filtro está centrado ni su factor de calidad es el deseado. Para centrar el filtro, aumentamos la distancia entre las líneas en 1,1mm y recortamos las líneas resonantes en 0,34mm. De este modo, obtenemos

qext2_2

en el que ya están centradas las líneas, siendo el Qext de 37,28. Ahora aumentamos la distancia del feed al extremo de la pista en 0,54mm y obtenemos el Qext deseado.

qext2_3

Ya tenemos centrado el filtro y con el Qext requerido. Ahora tocaría ajustar los acoplamientos.

AJUSTE DE LOS ACOPLAMIENTOS

Para ajustar los acoplamientos, primero separamos el feed unos 0,2mm de la línea, y hacemos un espejo de la misma para que quede como sigue

coup_1

En este caso, para medir el acoplamiento usamos los picos que salen en la transmisión (S21), y aplicamos la expresión

M=\dfrac {f_h^2-f_l^2}{f_h^2+f_l^2}

 

El resultado de la simulación, para el primer acoplo, es

coup_3

que como podemos comprobar está en el valor requerido.

En el caso del segundo acoplo

coup_4

que también está cerca de su valor requerido. Por tanto, con los cambios obtenidos, simulamos el filtro total y obtenemos

Filtro después de la primera sintonía

Filtro después de la primera sintonía

que ya se acerca al filtro deseado.

REITERANDO LA SINTONÍA

Si reiteramos sobre la sintonía, podremos llegar a mejorar el filtro hasta los valores que deseemos. Así, disminuyendo el Qext obtenemos

Disminución del Qext

Disminución del Qext

que supone ya una mejora importante. Jugando ahora con los acoplamientos, disminuyéndolos, llegamos a obtener

filt_3

Ajuste de los acoplamientos

que podemos dar por válido. Por tanto, el método de Dishal nos ha permitido, a partir de los parámetros calculados, ajustar el filtro hasta obtener las características deseadas.

CONCLUSIONES

Hemos analizado el método de Dishal como herramienta para el ajuste y sintonización de un filtro paso banda de 5 secciones, con óptimos resultados. La sencillez del método permite ajustar los principales parámetros de forma independiente, de manera que el ajuste final u optimización sean más sencillas, cosa de agradecer en simuladores electromagnéticos, que requieren de potencia de cálculo y tiempo de simulación. Vemos que el método, realizado paso a paso, nos permite ir ajustando las características hasta obtener el resultado deseado, por lo que podemos concluir que es un método muy útil en sintonización de filtros, tanto en discretos como en distribuidos, y que bien usado permite acercarse lo suficientemente al resultado final como para que la optimización electromagnética sea innecesaria.

REFERENCIAS

  1. Zverev, Anatol I., “Handbook of Filter Synthesys”, Hoboken, New Jersey : John Wiley & Sons Inc., 1967. ISBN 978-0-471-74942-4.