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Acerca de Tomás Rosich

From Spain. Physicist. Lover of music, of science diffusion and life.

Simulation on Physical Systems

I take a long time writing many post about the simulation. Main reason is because I have learned for many years the value of using computers for physical system analysis. Without these tools, I would never be able to get reliable results, because of the amount of calculations I would have to do. Modern simulators, able to solve complex calculations using the computers capacity, allow us to get a more realistic behavior for a complex system, knowing its structures. Physics and Engineering work every day with simulations to get better predictions and take decisions. In this post, I am going to show what are the most important parts we should be kept in mind about the simulation.

In 1982, physicist Richard Feynman published an article where he talked about the analysis of physical systems using computers (1). In those years, computer technology had progressed to a high level that it was possible to achieve a greater calculation capacity. New programming languages worked with complex formulas, such as FORTRAN, and allowed the calculations on systems by complex integro-differential equations, which resolution usually needed numerical methods. So, in those first years, physicists began to do simulations with programs able to solve the constitutive system equations, although not always with simple descriptions.

A great step forward in electronics was the SPICE program, at the beginning of 70s (2). This program, FORTRAN-based, was able to compute non-linear electronic circuits, removing the radiation effects, and solve the time-domain integral-differential equations. Over the years, the Berkeley’s SPICE became the first reference on simulation programs and its success being such that almost all the simulation programs developed along last years have its base on the Nagel and Pederson algorithms, developed in 70s.

From 80s, and searching to solve three-dimensional problems, the method of moments (MoM) was developed. It was come to solve systems raised as integral equations in the boundaries (3), being very popular. It was used in Fluid Mechanics, Acoustic Waves and Electromagnetism. Today, this one is still used to solve two-dimensional electromagnetic structures.

But the algorithms have got a huge progress, with the emergence of new finite element methods (FEM, frequency-domain) and time-domain finite differences (FDTD, time-domain) in 90s, based on the resolution of systems formulated by differential equations, important benchmarks on the generation of new algorithms able to solve complex systems (4). And with these new advances, the simulation contribution in Physics came to take spectacular dimensions.


When we are studying any physical phenomenon, we usually invoke a model. Whether an isolated phenomenon or within an environment, whether in Acoustic Waves, Electromagnetism or Quantum Mechanics, having a well-characterized model is essential to get its behavior, in terms of its variables. Using an accurate model increases our certainty on the results.

However, modeling is complex. It is needed to know what are the relationships between variables and from here, determine a formulation system that defines the behavior within a computer.

A model example is a piezoelectric material. In Electronics, piezoelectric materials are commonly used as resonators and it is usually to see these electronic devices (quartz or any other resonant material based on this property).

A piezoelectric model, very successful in the 40s, was developed by Mason (5). Thanks to the similarity between the Electromagnetic and Acoustic waves, he got to join both properties using transmission lines, based in the telegraphist’s equations, writing the constitutive equations. In this way, he developed a piezoelectric model which is still used today. This model can be seen in Fig. 1 and it has already been studied in previous posts.

Fig.1 - Mason Model

Fig.1 – Modelo de piezoeléctrico de Mason

This model practically solved the small signal analysis in frequency domain, getting an impedance resonance trace as it is shown in Fig. 2

Fig.2 – Resultados del análisis del modelo de Mason

However, the models need to expand their predictive capacity.

The Mason model describes the piezoelectric behavior rightly when we are working in a linear mode. But it has faults when we need to know the large signal behavior. So new advances in the piezoelectric material studies included the non-linear relationships in its constitutive equations (6).

Fig. 3 – Modelo tridimensional de una inducción

In three-dimensional models, we must know well what are the characteristics that define the materials to have an optimal results. In the induction shown in Fig. 3, CoFeHfO is being used as a magnetic material. It has a frequency-dependent complex magnetic permeability that must be defined in the libraries.

The results will be better as the model is defined better, and this is the fundamental Physicist task: getting a reliable model from the studies on the phenomena and the materials.

The way to extract a model is usually done by direct measurement or through the derived magnitudes, using equations systems. With a right model definition, the simulation results will be more reliable.


Once the model is rightly defined, we can perform an analysis by simulation. In this case, we will study the H-field inside the inductor, at 200 MHz, using the FEM analysis, and we are going to draw this one, being shown in Fig. 4.

Fig. 4 – Excitación magnética en el interior del inductor

The result is drawn in a vector mode, since we have chosen that representation to see the H-field direction inside the inductor. We can verify, first, that the maximum H-field is inside the inductor, to the positive section on Y axis in the upper area, while in the lower part the orientation the inverse. The maximum H-field level obtained is 2330 A/m with 1 W excitation between the inductor electrodes.

The behavior is precisely that of an induction whose value can also be estimated by calculating its impedance and drawiing it on Smith’s chart, Fig. 5.

Fig. 5 – Impedancia del inductor sobre carta de Smith

The Smith’s chart trace clearly shows an inductive impedance, which value decreases when the frequency increases, because of losses of the CoFeHfO magnetic material. Besides, these losses contribute to the resistance increasing with frequency. There will be a maximum Q in the useful band

Fig. 6 – Factor de calidad del inductor

Having a induction with losses a quality factor Q, we can draw it as a function of the frequency in Fig. 6.

Therefore, with the FEM simulation we have been able to analyze the physical parameters on a modeled structure that would have cost us much more time and effort to get by means of complex calculations and equations. This shows, as Feynman pointed out in that 1982 conference, the simulation powerful when there are accurate models and proper software to perform these analyzes.

However, the simulation has not always had the chance to get the best results. Precisely is the previous step, the importance of having an accurate model, which faithfully defines the physical behavior of any structure, which will ensure the reliability of the results.


The best way to check if the simulation is valid is to resort getting experimental results. Fortunately, the simulation performed on the previous inductor is got from (7), and, in this reference, the authors show experimental results that validate the results of the inductor model. In Fig. 7 and 8 we can see the inductance and resistance values, and adding the quality factor, can be compared with the experimental results of the authors.

Fig. 7 – Valor de la inductancia en función de la frecuencia

Fig. 8 – Valor de la resistencia efectiva en función de la frecuencia

The results obtained by the authors, using HFSS for the simulation of the inductor, can be seen in Fig. 9. The authors have done the simulation on the structure with and without core, and show the simulation against the experimental result . Seeing the graphs, it can be concluded that the results got in the simulation have a high level of concordance with those obtained through the experimental measurements.

This shows us that the simulation is effective when the model is reliable, and that a model is accurate when the results obtained through the simulation converge with the experimental results. In this way, we have a powerful analysis tool that will allow us to know in advance the behavior of a structure and make decisions before moving on to the prototyping process.

Fig. 9 – Resultados experimentales

In any case, convergence is also important in a simulation. The FEM simulation needs that the mesh is so accurate as getting a good convergence. A low convergence level gives results far from the optimum, and very complex structures require a lot of processing speed, a high RAM use and, sometimes, must even perform a simulation on several processors. To more complex structures, the simulation time increases considerably, and that is one of its main disadvantages.

Although the FEM simulators allow the optimization of the values ​​and even today the integration with other simulators, they are still simulators that require, due to the complexity of the calculations to be carried out, powerful computers that allow to make those calculations with reliability.


Once again, we agree with Feynman when, in that 1982 seminar, he chose precisely a topic which seemed to have no interest for the audience. Since that publication, Feynman’s article has become a classic of Physics publications. The experience that I have got over the years with several simulators, shows me that the way opened by them will have a considerable advance when quantum computers are a reality and their processing speed raises, allowing that these tools get reliable results in a short space of time.

The simulation in the physical systems has been an important progress to get results without needing to realize previous prototypes and supposes an important saving in the research and development costs.


  1. Feynman, R; “Simulating Physics with Computers”; International Journal of Theoretical Physics, 1982, Vols. 21, Issue 6-7, pp. 467-488, DOI: 10.1007/BF02650179.
  2. Nagel, Laurence W. and Pederson, D.O. “SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis)”, EECS Department, University of California, Berkeley, 1973, UCB/ERL M382.
  3. Gibson, Walton C., “The Method of Moments in Electromagnetics”, Segunda Edición, CRC Press, 2014, ISBN: 978-1-4822-3579-1.
  4. Reddy, J.N, “An Introduction to the Finite Element Method”, Segunda Edición,  McGraw-Hill, 1993, ISBN: 0-07-051355-4.
  5. Mason, Warren P., “Electromechanical Transducers and Wave Filters”, Segunda Edición, Van Nostrand Reinhold Inc., 1942, ISBN: 978-0-4420-5164-8.
  6. Dong, S. Shim and Feld, David A., “A General Nonlinear Mason Model of Arbitrary Nonlinearities in a Piezoelectric Film”, IEEE International Ultrasonics Symposium Proceedings, 2010, pp. 295-300.
  7. Li, LiangLiang, et al. 4, “Small-Resistance and High-Quality-Factor Magnetic Integrated Inductors on PCB”, IEEE Transactions on Advanced Packaging, Vol. 32, pp. 780-787, November 2009, DOI: 10.1109/TADVP.2009.2019845.

La importancia de la simulación en los sistemas físicos

Dedico muchas entradas de este blog a la simulación. Esto es debido a que a lo largo de los años he aprendido de la importancia del uso de computadores para el estudio y análisis de sistemas, circuitos y estructuras que, sin estas herramientas, no lograría a priori reproducir, debido a la cantidad de cálculos que hay que realizar. Los modernos simuladores, que son capaces de resolver cuestiones complejas gracias a la capacidad de cálculo de los computadores, nos permiten evaluar el comportamiento de un sistema complejo a través de la definición de las estructuras. Varias disciplinas de la Física y la Ingeniería recurren de forma habitual a la simulación para realizar sus cálculos previos y poder tomar decisiones y elecciones. En esta entrada deseo mostrar cuáles son las partes más importantes que se deben tener en cuenta a la hora de simular.

En el año 1982, Richard Feynman publicó un artículo en el que hablaba del análisis de los sistemas físicos a través de computadores (1). En aquellos años, la tecnología de los computadores había avanzando a un nivel tan alto que era posible conseguir una mayor capacidad de procesado. La generación de lenguajes de programación que pudiesen contener fórmulas complejas, como FORTRAN, permitía el cálculo y evaluación de sistemas que estuviesen definidos por complejas ecuaciones integro-diferenciales, cuya resolución en muchas ocasiones requería de métodos numéricos. De este modo, en los primeros años, los físicos podían hacer simulaciones a través de programas capaces de resolver las ecuaciones constitutivas del sistema, aunque no siempre con descripciones sencillas.

En el caso de la electrónica, la simulación de circuitos tuvo su principal baluarte en SPICE, a principios de los años 70 (2). El programa, basado en FORTRAN, era capaz de simular circuitos electrónicos no lineales, sin tener en cuenta los efectos de radiación, y resolver las complejas ecuaciones integro-diferenciales en el dominio del tiempo. Con los años, el SPICE de Berkeley se convirtió en la referencia absoluta de los programas de simulación, siendo su éxito tal que casi todos los simuladores desarrollados en los últimos años basan gran parte de sus algoritmos en los desarrollados por Nagel y Pederson en los años 70.

A partir de los 80, y buscando resolver problemas tridimensionales, fue muy popular el método de los momentos (MoM), que era capaz de resolver sistemas que han sido planteados como ecuaciones integrales en los límites (3). Fue de aplicación en mecánica de fluidos, acústica y electromagnetismo. Hoy en día el método se sigue utilizando para resolver problemas electromagnéticos en dos dimensiones.

Pero sin duda los algoritmos y los métodos han ido avanzando, apareciendo en los 90 los métodos de elementos finitos (FEM, para el dominio de la frecuencia) y de diferencias finitas en el dominio del tiempo (FDTD, para el dominio del tiempo), basados en la resolución de sistemas formulados por ecuaciones diferenciales, referencias importantes dentro una explosión de algoritmos destinados a la resolución de sistemas complejos (4). Y con estos avances, la contribución de la simulación al mundo de la Física cobra dimensiones espectaculares.


Cuando se estudia un fenómeno, en Física recurrimos habitualmente a trasladar ese fenómeno a un modelo. Se trate de un fenómeno aislado o dentro de un entorno, sea en Acústica, Electromagnetismo o Mecánica Cuántica, tener bien caracterizado un modelo es esencial para poder determinar el comportamiento del fenómeno en función de sus variables y de las relaciones entre ellas. Con un modelo adecuado aumenta nuestra certidumbre en los resultados.

Sin embargo, modelar es complejo. Hay que conocer cuáles son las relaciones entre las variables y a partir de ahí, establecer un sistema que reproduzca el comportamiento dentro de un computador.

Un ejemplo de modelo es el material piezoeléctrico. En Electrónica, los materiales piezoeléctricos son de uso común y es habitual ver dispositivos electrónicos que contengan cristales de cuarzo o cualquier otro material resonante basado en esta propiedad.

Un modelo de piezoeléctrico que tuvo mucho éxito en los años 40 fue el desarrollado por Mason (5). Gracias a la similitud entre los campos electromagnéticos y los acústicos, combinó ambas propiedades a través de líneas de transmisión definidas por las ecuaciones del telegrafista, extraídas de las ecuaciones constitutivas. De este modo desarrolló un modelo para el material piezoeléctrico que hoy en día se sigue utilizando. El modelo se puede ver en la Fig. 1 y ya se estudió en entradas anteriores.

Fig.1 – Modelo de piezoeléctrico de Mason

Este modelo resolvía prácticamente el análisis en frecuencia del material en pequeña señal, obteniendo la curva de resonancia en la impedancia que presentan habitualmente este tipo de componentes y que se puede ver en la Fig. 2

Fig.2 – Resultados del análisis del modelo de Mason

Sin embargo, los modelos necesitan evolucionar y ampliar su capacidad predictiva.

El modelo de Mason describe correctamente el comportamiento del piezoeléctrico cuando trabaja en forma lineal. Sin embargo, falla cuando se quiere conocer el comportamiento cuando se aplica un potencial intenso entre sus electrodos. Así que nuevos avances en el comportamiento del material llevaron a incluir el comportamiento no lineal en las ecuaciones constitutivas (6).

Fig. 3 – Modelo tridimensional de una inducción

En el caso de los modelos tridimensionales, hay que conocer bien cuáles son las características que definen a los materiales para tener un resultado óptimo. En el caso de la inducción de la Fig. 3, se está utilizando como material magnético CoFeHfO, con una permeabilidad magnética compleja dependiente de la frecuencia que hay que introducir en la librería de materiales.

Los resultados serán mejores cuanto mejor esté definido el modelo, y esa es la labor primordial del Físico: obtener modelos fiables a partir de los estudios realizados sobre los fenómenos y los materiales.

La forma de extraer el modelo suele realizarse mediante la medición directa de sus parámetros fundamentales o bien a través de las magnitudes derivadas, en forma de sistemas de ecuaciones. Con una correcta definición del modelo, los resultados obtenidos a través de la simulación serán fiables.


Una vez se tiene correctamente definido el modelo, podemos realizar el análisis mediante simulación. En este caso, vamos a estudiar la excitación magnética H que se obtiene a 200 MHz en el inductor, usando el análisis FEM, y representando la excitación magnética en el interior de la inducción. La Fig. 4 nos muestra esa excitación magnética.

Fig. 4 -Excitación magnética en el interior del inductor

El resultado obtenido se representa de forma vectorial, ya que hemos elegido esa representación para ver el sentido de la excitación magnética en el espacio. Podemos comprobar, primero, que la excitación magnética máxima se produce en el interior del inductor, y que en su parte superior la orientación es hacia la zona positiva de eje Y, mientras que en la parte inferior la orientación es a la inversa. El nivel máximo de campo obtenido es de 2330 A/m para una excitación de 1 W entre los extremos del inductor.

El comportamiento observado es precisamente el de una inducción cuyo valor puede también ser estimado calculando su impedancia y representándola sobre la carta de Smith, Fig. 5.

Fig. 5 – Impedancia del inductor sobre carta de Smith

La curva mostrada en la carta de Smith muestra claramente una impedancia inductiva, cuyo valor va disminuyendo cuando aumenta la frecuencia, debido a las pérdidas del material magnético CoFeHfO utilizado. Estas pérdidas, además, contribuyen a que la resistencia aumente con la frecuencia. Habrá un Q máximo en la banda útil

Fig. 6 – Factor de calidad del inductor

Como una inducción con resistencia de pérdidas tiene un factor de calidad Q, representamos éste en función de la frecuencia en la Fig. 6.

Por tanto, con la simulación FEM hemos logrado analizar parámetros físicos en una estructura que nos hubiese costado mucho más tiempo y esfuerzo reproducir mediante complejos cálculos y ecuaciones. Esto demuestra, tal y como Feynman apuntó en aquella conferencia de 1982, el potencial que la simulación proporciona cuando se tienen buenos modelos y un software adecuado para poder realizar estos análisis.

Sin embargo, la simulación no ha tenido siempre las de ganar. Precisamente es el paso anterior, la importancia de tener un buen modelo que reproduzca fielmente el comportamiento físico de una estructura, el que nos va a garantizar la fiabilidad de los resultados.


El mejor modo de comprobar si la simulación es válida es recurrir a obtener resultados experimentales. Afortunadamente, la simulación realizada sobre el inductor está obtenida de (7), y en esta referencia los autores muestran resultados experimentales que validan los resultados del modelo obtenido. En las Fig. 7 y 8 podemos ver los valores de inductancia y resistencia obtenidas, que junto con el factor de calidad, pueden ser comparadas con los resultados experimentales que los autores indican en su artículo.

Fig. 7 – Valor de la inductancia en función de la frecuencia

Fig. 8 – Valor de la resistencia efectiva en función de la frecuencia

Los resultados obtenidos por los autores, que han usado HFSS para hacer la simulación del inductor, se pueden ver en la Fig. 9. Los autores han hecho la simulación sobre la estructura sin núcleo y con núcleo, y representan la simulación frente al resultado experimental. De las gráficas presentadas se puede concluir que los resultados obtenidos en la simulación tienen un alto nivel de concordancia con los obtenidos mediante las medidas experimentales.

Esto nos demuestra que la simulación es efectiva cuando el modelo es fiable, y que un modelo es fiable cuando los resultados obtenidos a través de la simulación convergen con los resultados experimentales. De este modo, tenemos una potente herramienta de análisis que nos permitirá conocer de antemano el comportamiento de una estructura y tomar decisiones antes de pasar al proceso de prototipado.

Fig. 9 – Resultados experimentales

En todo caso, en la simulación es importante también la convergencia. La simulación FEM requiere que el mallado que se realice sobre la estructura sea tan eficaz como para hacer converger las soluciones. Un bajo nivel de convergencia da resultados alejados del óptimo, y estructuras muy complejas requieren de mucha velocidad de procesado, mucha memoria RAM e incluso en ocasiones realizar una simulación sobre varios procesadores. A estructuras más complejas, el tiempo de simulación aumenta considerablemente, y esa es una de sus principales desventajas.

Aunque los simuladores FEM permiten la optimización de los valores e incluso hoy la integración con otros simuladores, siguen siendo simuladores que requieren, por la complejidad de los cálculos a realizar, computadores potentes que permitan hacer esos cálculos con fiabilidad.


Una vez más damos la razón a Feynman cuando en aquel seminario de 1982 eligió precisamente un tema que parecía que no tenía interés ninguno para los asistentes. Desde la publicación de esa charla, el artículo de Feynman se ha convertido en un clásico de las publicaciones de Física. La experiencia que he adquirido a lo largo de los años con simuladores de casi todos los tipos me indica que el camino abierto por éstos sufrirá un avance considerable cuando los computadores cuánticos sean una realidad, y la velocidad de procesado que se pueda obtener permitan a estas herramientas obtener resultados fiables en un corto espacio de tiempo.

La simulación en los sistemas físicos ha sido un avance considerable para poder conseguir resultados sin necesidad de realizar prototipos previos y supone un importante ahorro en los costes de investigación y desarrollo.


  1. Feynman, R; “Simulating Physics with Computers”; International Journal of Theoretical Physics, 1982, Vols. 21, Issue 6-7, pp. 467-488, DOI: 10.1007/BF02650179.
  2. Nagel, Laurence W. and Pederson, D.O. “SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis)”, EECS Department, University of California, Berkeley, 1973, UCB/ERL M382.
  3. Gibson, Walton C., “The Method of Moments in Electromagnetics”, Segunda Edición, CRC Press, 2014, ISBN: 978-1-4822-3579-1.
  4. Reddy, J.N, “An Introduction to the Finite Element Method”, Segunda Edición,  McGraw-Hill, 1993, ISBN: 0-07-051355-4.
  5. Mason, Warren P., “Electromechanical Transducers and Wave Filters”, Segunda Edición, Van Nostrand Reinhold Inc., 1942, ISBN: 978-0-4420-5164-8.
  6. Dong, S. Shim and Feld, David A., “A General Nonlinear Mason Model of Arbitrary Nonlinearities in a Piezoelectric Film”, IEEE International Ultrasonics Symposium Proceedings, 2010, pp. 295-300.
  7. Li, LiangLiang, et al. 4, “Small-Resistance and High-Quality-Factor Magnetic Integrated Inductors on PCB”, IEEE Transactions on Advanced Packaging, Vol. 32, pp. 780-787, November 2009, DOI: 10.1109/TADVP.2009.2019845.

Studying slotline transmission lines

PCB transmission lines are an optimal and low cost solution to make guided propagation at very high frequencies. The most popular lines are microstrip and coplanar waveguide. These transmission lines are easily realizable in a printed circuit board and whose impedance can be calculated from their dimensions. In these lines, TEM modes (transverse electromagnetic) are propagated, in which there is no component in the direction of propagation. However, there are other very popular lines that can also be used at high frequencies and are known as slotlines. In this post, we are going to study the electrical behavior of slotlines and some microwave circuits that can be done with them.

At high frequencies, lines usually behave like distributed transmission lines. Therefore, it is necessary to know its impedance so that there are no losses during propagation.

The microstrip and coplanar waveguides are very popular, since they are easily implemented on a printed circuit board, they are cheap and can be easily calculated. In both lines, the propagation mode is TEM, there are no field components in the direction of propagation, and their characteristic impedance Zc and wavelength λg depend on the line dimensions and the dielectric substrate which supports them.

There is another type of line, which is usually used at very high frequencies: the slotline. This line is one slot on the copper plane through which a transverse electric mode is propagated (specifically the TE01 mode, as shown in the following figure).

Fig. 1 –  TE01 mode on a slotline

The field is confined near the slot so that the propagation has the minimum possible losses, and as the microstrip lines, there is a discontinuity due to the dielectric substrate and air. It is used as a transmission line with substrates with a high dielectric constant (around εr≥9.2), in order to confine the fields as close as possible to the slot, although they can be used as couplings on substrates with lower dielectric constants. In this way, flat antennas can be fed with the slotlines.

In this post, we will pay attention to its use as transmission lines (with high dielectric constants), and the microwave circuits that we can make with them, studying the transitions between both technologies (slotline to microstrip).


Being a transmission line and like the other lines, the slotline has a characteristic impedance Zc and a wavelength λs. But besides, using the TE01 propagation mode, the electric field component which is propagated, in cylindrical coordinates, is Eφ, as it is shown in the next figure

Fig. 2 – Eφ component

This component is calculated from the magnetic components Hr and Hz, considering the Z-axis the propagation direction, which is perpendicular to the electric field. From here, we get an expression for the propagation constant kc which is

Fig. 3 – Eφ and kc expressions

where λ0 is the wavelength of the propagated field. The first thing is deduced from the expression of kc is that we will find a cuttoff wavelength λs, from which the field propagates as mode TE01, since λ0≤λs so that kc is real and there is propagation. This means that there will be a cuttoff thickness for the substrate which will depend on the dielectric constant εr. The expression for that cuttoff thickness, where there is no propagation at TE01 mode, is

Fig. 4 – Substrate cutoff thickness

With these expressions, Gupta (see [1], page 283) got the expressions for the line impedance Zc and the line wavelength λs, which will allow us to typify the transmission line, making microwave circuits with slotlines.


As the microstrip and coplanar waveguides, slotline can be analyzed using a FEM electromagnetic simulator. We are going to study one transmission line on an RT/Duroid 6010 substrate, which dielectric constant is εr=10,8, with 0,5mm thickness. The slot width is 5mil. According to the impedance calculations, Zc is 68,4Ω and λs, 14,6mm, at 10GHz. In a 3D view, the slotline is the next

Fig. 5 – Slotline 3D view

The next graph shows the S parameters at 50Ω impedance of generator and load.

Fig. 6 – Slotline S parameters

On the Smith chart

Fig. 7 – Slotline impedance on Smith Chart

where the impedance is 36,8-j·24,4Ω at 10GHz.

It is possible to show the propagated surface current on the line in 3D view

Fig. 8 – Slot surface current, in A/m

where it can be seen that the surface current is confined as near as possible the slot. From this current, the H-field can be derived and therefore the E-field which only has a transversal component. It can be also seen two maxima on the current magnitude, which shows that the slot distance is λs.

The FEM simulation allows us to analyze the slotline lines and build microwave circuits, knowing the characterization shown in [1].


Like the slotline is one slot made on a copper plane, transitions can be made from slotline to microstrip. One typical transition is the next

Fig. 9 – Slotline-to-microstrip transitions

Microstrip lines finish in a λm/4 open circuit stub, so the current is minimal at the open circuit and maximum at the transition location. In the same way, the slotline finishes in a λs/4 short circuit stub, with the minimum surface current at the transition location. Then, the equivalent circuit for each transition is

Fig. 10 -Equivalent circuit for a slotline-to-microstrip transition

Using the FEM simulator it is possible to study how a transition behaves. The next graph shows its S parameters. The transition has been made on RT/Duroid 6010, with 70mil thickness and 25mil slot widths. The microstrip width is 50mil and the working band is 0,7÷2,7GHz.

Fig. 11 – Transition S parameters

and showing the surface current on the transition, it ts the next

Fig. 12 – Current on the transition.

where it can be seen the coupling of the current and its distribution on the slotline.


The slotline is a versatile line. Combined with microstrip (the microstrip ground plane can include slots), it allows us to make a series of interesting circuits, such as those shown in fig. 13

Fig. 13 – Microwave circuits with slotline and microstrip.

The 13 (a) circuit shows a balum with slotline and microstrip technology, where the microstrip is shorted to ground in the transition. The balanced part is the slotline section, since both ground planes are working like differential ports, while the unbalanced part is the microstrip, referring to the ground plane where the slots are placed. With this circuit it is possible to build frequency mixers or balanced mixers. Another interesting circuit is shown in 13 (b), a “rat-race” where the microstrip circuit is not closed, but is coupled through a slot to get the coupling. In 13 (c), a “branchline” coupler is shown, using a slotline and, finally, in 13 (d), a Ronde coupler is shown. This last circuit is ideal to equalize the odd/even mode phase velocities.


In this post, we have analyzed the slotline used like a microwave transmission line, compared with another technologie. Besides we have made a small behavior analysis using an FEM simulator, checking the possibilities of the line analysis (S parameters and surface current analysis) and we have shown some circuits that can be made with this technology, verifying the versatility of this transmission line.


  1. Gupta, K.C., et al. “Microstrip Lines and Slotlines”. 2nd. s.l. : Artech House, Inc, 1996. ISBN 0-89006-766-X.

Estudiando líneas de transmisión slotline

Las líneas de transmisión sobre PCB son una solución óptima y de bajo coste para poder realizar propagación guiada a muy altas frecuencias. Las más populares son las líneas microstrip y las coplanares, líneas de transmisión fácilmente realizables en un circuito impreso y cuya impedancia puede ser calculada a partir de sus dimensiones. En estas líneas suelen propagarse modos TEM (transversales electromagnéticos), en los que no hay componente en la dirección de propagación. Sin embargo, existen otro tipo de líneas muy populares que también se pueden utilizar a altas frecuencias y que se conocen como slotlines (líneas de ranura). En esta entrada vamos a estudiar el comportamiento eléctrico de las líneas de ranura y algunos circuitos que se pueden hacer con ellas.

En altas frecuencias, las pistas comienzan a comportarse como líneas de transmisión distribuidas. Por tanto, es necesario conocer su impedancia para que no haya pérdidas durante la propagación.

Son muy populares las líneas microstrip y las coplanares, ya que son fácilmente implementables sobre un circuito impreso a través de la serigrafía del cobre, son económicas y se pueden calcular fácilmente. En ambas líneas, la propagación es TEM, no existiendo componentes de los campos en la dirección de propagación, y su impedancia característica Zc y longitud de onda λg dependen de las dimensiones de la línea y del substrato dieléctrico que las soporta.

Otro tipo de línea, que suele usarse en frecuencias muy elevadas, es la slotline. Esta línea consiste en una ranura sobre un plano de cobre, por la que se propaga, en este caso, un modo transversal eléctrico (concretamente el modo TE01, tal y como se ve en la siguiente figura

Fig. 1 – Modo TE01 en una slotline

El campo queda confinado cerca de la ranura para que la propagación tenga las mínimas pérdidas posibles, y como sucede en las líneas microstrip, hay una discontinuidad debida al substrato dieléctrico y al aire. Su uso como línea de transmisión suele necesitar substratos con alta constante dieléctrica (del orden de εr≥9,2), para lograr confinar los campos lo más cerca posible de la ranura, aunque se pueden usar como acoplamientos en substratos con constantes dieléctricas más bajas. De este modo, se pueden alimentar antenas planas gracias a las slotlines.

En esta entrada nos ceñiremos a su uso como líneas de transmisión (con constantes dieléctricas altas), y los circuitos de microondas que pueden realizarse con ellas, realizando un estudio sobre transiciones entre ambas tecnologías (slotline a microstrip).


Siendo una línea de transmisión, la slotline tiene, como el resto de líneas, una impedancia característica Zc y una longitud de onda λs. Pero además, siendo el modo de propagación el TE01, la componente de campo que se va a propagar, en cilíndricas, es la Eφ, como se muestra en la figura

Fig. 2 – Componente Eφ de campo eléctrico

Esta componente se calcula a partir de las componentes Hr y Hz del campo magnético, considerando Z la dirección de propagación de la línea, perpendicular al campo eléctrico. De aquí obtenemos una expresión para la constante de propagación kc que es

Fig. 3 – Expresiones para la componente Eφ y para la constante de propagación kc

siendo λ0 la longitud de onda del campo propagado. Lo primero que deducimos de la expresión de kc es que vamos a encontrarnos una longitud de onda de corte λs, a partir de la cual el campo se propaga como modo TE01, ya que λ0≤λs para que kc sea real y exista propagación. Esto significa que va a haber un espesor de corte para el sustrato que va a depender de la constante dieléctrica εr. La expresión para ese espesor de corte, donde no hay propagación en forma de modo TE01,es

Fig. 4 – Espesor de corte del substrato

Con estas expresiones, Gupta (ver [1], pág. 283)  extrajo unas expresiones que permiten el cálculo de la impedancia de la línea Zc y la longitud de onda de la línea λs, que nos permitirá caracterizar la línea de transmisión, y con esa caracterización, realizar circuitos de microondas con slotlines.


Como las líneas microstrip y las coplanares, las líneas slotline pueden ser analizadas usando un simulador electromagnético FEM. Vamos a estudiar una línea de transmisión en un substrato RT/Duroid 6010, que tiene una εr=10,8, con un espesor de 0,5mm, y una anchura de ranura de 5mil. Según los cálculos de impedancia, la línea tiene una Zc=68,4Ω y una λs=14,6mm a 10GHz. Vista en 3D, la slotline es

Fig. 5 – Slotline en 3D

La siguiente gráfica muestra los parámetros S de la línea de transmisión a 50Ω de generador y de carga.

Fig. 6 – Parámetros S de la slotline

Si representamos ahora los parámetros S en la carta de Smith

Fig. 7 – Impedancia de la slotline

donde tenemos una impedancia de 36,8-j·24,4Ω a 10GHz.

Para ver el campo propagado, usamos la visualización 3D, y representamos la corriente superficial en la ranura

Fig. 8 – Corriente superficial en la ranura, en A/m

donde se puede ver que la corriente superficial queda confinada cerca de la ranura. De esta corriente deriva el campo H y por tanto el campo E, que sólo tiene componente transversal. También se pueden ver la presencia de dos máximos, lo que indica que la distancia de la ranura coincide con la λs.

Gracias a la simulación FEM podemos analizar las líneas slotline y construir circuitos de microondas, sabiendo la caracterización que nos muestra [1].


Como la slotline es una ranura practicada sobre un plano de cobre, se pueden hacer transiciones desde slotline a línea microstrip. Una transición típica es

Fig. 9 – Transición slotline a microstrip

Las líneas microstrip finalizan en un stub en circuito abierto λm/4, de modo que la corriente es mínima en el extremo del circuito abierto y máxima en la posición de la transición. Del mismo modo, la slotline acaba en sendos stub λs/4 en cortocircuito, siendo la corriente superficial mínima en la posición de la transición. El circuito equivalente por cada transición se puede representar de la forma

Fig. 10 – Circuito equivalente de una transición slotline a microstrip

Vamos a estudiar con el simulador electromagnético cómo se comporta una transición como la de la figura adjunta. En este caso, se trata de una transición que funciona en una banda entre 700MHz y 2,7GHz, construida sobre un substrato RT/Duroid 6010, con un espesor de 70mil, y anchuras de ranura de 25mil y microstrip de 50mil. Los parámetros S de la transición son

Fig. 11 – Parámetros S de la transición

y si representamos la corriente superficial en la transición, obtenemos

Fig. 12 – Corrientes en la transición.

donde se puede ver el acoplamiento de la corriente en la transición y la distribución sobre la slotline.


La slotline es una línea versátil. Combinada con microstrip (el plano de masa de la microstrip puede albergar las ranuras) nos permite realizar una serie de circuitos interesantes, como los mostrados en la fig. 13

Fig. 13 – Circuitos que se pueden implementar con slotline y microstrip.

El circuito de la fig. 13 (a) muestra un balum con tecnología slotline y microstrip, cortocircuitando la línea microstrip en la transición. La parte balanceada es la de la línea slotline, ya que ambos planos de tierra son puertos diferenciales, mientras que la parte no balanceada es la línea microstrip, referida al plano de masa donde se construye la slotline. Con este circuito es posible construir dobladores de frecuencia o mezcladores balanceados. Otro circuito interesante es el “rat-race” de la fig. 13 (b), donde el circuito microstrip no está cerrado, sino que se acopla a la slotline para realizar la función. En la fig. 13 (c) es posible ver un acoplador “branchline” usando una slotline y por último, el acoplador de Ronde (fig. 13 (d)), que es un circuito idóneo para ecualizar las velocidades de fase de los modos par e impar.


En la entrada hemos analizado la línea slotline como línea de transmisión de microondas, comparada con otras tecnologías como la microstrip y la coplanar. Además, hemos hecho un pequeño análisis del comportamiento de la línea usando un simulador electromagnético FEM, en el que hemos podido comprobar las posibilidades de análisis de la línea, tanto en su comportamiento con parámetros S como en análisis de campos, y hemos mostrado algunos de los circuitos que se pueden realizar con esta tecnología, comprobando la versatilidad de la línea de transmisión.


  1. Gupta, K.C., et al. “Microstrip Lines and Slotlines”. 2nd. s.l. : Artech House, Inc, 1996. ISBN 0-89006-766-X.

Simulating transitions with waveguides

adapterWaveguides are transmission lines widely used in very high frequency applications as guided propagation devices. Their main advantages are the reduction of losses in the propagation, due to the use of a single conductor and air, instead of using dielectrics as in the coaxial cable, a greater capacity to use high power and a simple building. Their main drawbacks are usually that they are bulky devices, that they cannot operate below their cutoff frequency and that the guide transitions to other technologies (such as coaxial or microstrip) have often losses. However, finite element method (FEM) simulation allows us to study and optimize the transitions that can be built with these devices, getting very good results. In this post we will study the waveguides using an FEM simulator such as HFSS, which is able to analyze tridimensional electromagnetic fields (3D simulation).

Waveguides are very popular in very high frequency circuits, due to the ease of their building and their low losses. The propagated fields, unlike the coaxial guides, are electric or magnetic transverse (TE or TM fields), so they have a magnetic field component (TE) or electric field (TM) in the propagation direction. These fields are the solutions for the Helmholtz equation under certain boundary conditions

Fig. 1 – Helmholtz equation for both modes

and solving these differential equations by separation of variables, and applying the boundary conditions of a rectangular enclosure, where all the walls are electrical walls (conductors, in which the tangential component of the electric field is canceled)

Fig. 2 – Boundary conditions on a rectangular waveguide

we can obtain a set of solutions for the electromagnetic field inside the guide, starting from the solution obtained for the expressions shown in fig. 1.

Fig. 3 – Table of electromagnetic fields and parameters in rectangular waveguides

Therefore, electromagnetic fields are propagated like propagation modes, called TEmn, for the transverse electric (Ez=0), or TMmn, for the transverse magnetic (Hz=0). From the propagation constant Kc is got an expression for the cutoff frequencyfc, which is the lowest frequency for propagating fields inside the waveguide, which expression is

Fig. 4 – Cuttoff frequency for a rectangular waveguide

The lowest mode is when m=0, since although the function has extremes for m,n=0, the modes TE00 or TM00 do not exist. And like a>b, the lowest cutoff frequency of the waveguide is for the mode TE10. That is the mode we are going to analyze using a 3D FEM simulation.


In a 3D simulator it is very easy to model a rectangular waveguide, since it is enough to draw a rectangular prism with the appropriate dimensions a and b. In this case, a=3,10mm and b=1,55mm. The TE10 mode start to propagate at 48GHz the next mode, TE01, at 97GHz, then the waveguide is analyzed at 76GHz, frequency in which it will work. Drawing the waveguide in HFSS, it is shown so

Fig. 5 – Rectangular waveguide. HFSS model

The inner rectangular prism is assigned to vacuum, and the side faces are assigned perfect E boundaries. Two wave ports are assigned on the rectangles at -z/2 and +z/2 , using the first propagation mode. The next figure shows the E-field along the waveguide

Fig. 6 – Electric field inside the waveguide

Analyzing the Scattering parameters from 40 to 90GHz, it is got

Fig. 7 – S parameters for the rectangular waveguide

where it can be seen that the first mode starts to propagate inside the waveguide at 48,5GHz.

From 97GHz, TE01 mode could be propagated too, it does not interest us, then the analysis is done at 76GHz.


The most common transitions are from waveguide to coaxial, or from waveguide to microstrip line, to be able to use the propagated energy in another kind of applications. For this, a probe is placed in the direction of the E-field, coupling its energy on the probe. (TE01 mode is in Y-axis)

Fig. 8 – Probe location

The probe is a quarter wavelength resonant antenna at the desired frequency. In X-axis, E-field maximum value happens at x=a/2, while to find the maximum in Z-axis, the guide is finished in a short circuit. So, E-field is null on the guide wall, being maximum at a quarter guide wavelength which is

Fig. 9 – Guide wavelength

and in our case, at 76GHz, λ is 3,95mm and λg, 5,11mm. Then, the probe length will be 0,99mm and the shortcircuit distance, 2,56mm.

In coaxial transitions, it is enough to put a coax whose internal conductor protrude λ/4 at λg/4 from the shortcircuit. But in microstrip transitions dielectrics are used as support of the conductor lines, then it should be kept in mindpor the dielectric effect, too.

Our transition can be modeled in HFSS by assigning different materials. The probe is built on Rogers RO3003 substrate, with low dielectric constant and losses, making the transition to microstrip. The lateral faces and the lines are assigned to perfect E boundaries, and form of the substrate, to a RO3003 material. The waveguide inside and the transition cavity is assigned to vacuum. In the extreme face of the transition, a wave port is assigned.

Fig. 10 – Rectangular waveguide to microstrip transition

Now, the simulation is done analyzing the fields and S parameters.

Fig. 11 – E-field on the transition

and it can be seen how the E-field couples to the probe and the signal is propagated along the microstrip.

Fig. 12 – Transition S parameters

Seeing the S parameters, we can see that the least loss coupling happens at 76÷78GHz, our working frequency.


Among the usual waveguide devices, one of the most popular is the Magic Tee, a special combiner which can be used like a divider, a combiner and a signal adder/subtractor.

Fig. 13 – Magic Tee

Its behavior is very simple: when an EM field is fed by port 2, the signal is divided and in phase by ports 1 and 3. Port 4 is isolated because its E-plane is perpendicular to the port 2 E-plane. But if the EM field is fed by port 4, it is divided into ports 1 and 3 in phase opposition (180deg) while port 2 is now isolated.

Using the FEM simulation to analyze the Magic Tee, and feeding the power through port 2, it is got the next response

Fig. 14 – E-field inside the Magic Tee feeding by the port 2.

and the power is splitted in ports 1 and 3 while port 4 is isolated. Doing the same operation from port 4, it is got

Fig. 15 – E-field inside the Magic Tee feeding by the port 4.

where now port 2 is isolated.

To see the phases, it is used a vector plot of the E-field

Fig. 16 – Vector E-field inside the Magic Tee feeding by the port 2

where it is seen that the field in ports 1 and 3 has the same direction and therefore they are in phase. Feeding from port 4

Fig. 17 – Vector E-field inside the Magic Tee feeding by the port 2

in which it is seen that the signals in port 1 and 3 has the same level, but in phase opposition (180deg between them).

FEM simulation allows us to analyze the behavior of the EM field from different points of view, only changing the excitations. For example, feeding a signal in phase by port 2 and 4, both signals will be added in phase at port3 and will be nulled at port 1.

Fig. 18 – E-field inside the feeding by ports 2 and 4 in phase.

whereas if inverting the phase in port 2 or port 4, the signals will be added at port 1 and will be nulled at port 3.

Fig. 19 – E-field inside the feeding by ports 2 and 4 in phase opposition

and the result is a signal adder/subtractor.


The object of this post was the analysis of the electrical behavior of the waveguides using a 3D FEM simulator. The advantage of using these simulators is that they allow to analyze with good precision the EM fields on three-dimensional structures, being the modeling the most important part to rightly define the structure to be studied, since a 3D simulator requires meshing in the structure, and this meshing, as it needs a high number of tetrahedra to achieve good convergence, also tends to need more machine memory and processing capacity.
The structures analyzed, due to their simplicity, have not required long simulation time and relevant processing capacity, but as the models become more complex, the processing capacity increases, it it is needed to achieve a good accuracy.

In subsequent posts, another methods to reduce modeling in complex structures will be analyzed, through the use of planes of symmetry that allow us to divide the structure and reduce meshing considerably..


  1. Daniel G. Swanson, Jr.,Wolfgang J. R. Hoefer; “Microwave Circuit Modeling Using Electromagnetic Field Simulation”; Artech House, 2003, ISBN 1-58053-308-6
  2. Paul Wade, “Rectangular Waveguide to Coax Transition Design”, QEX, Nov/Dec 2006

Simulando transiciones en guía de onda

adapterLas guías de onda son líneas de transmisión muy utilizadas en aplicaciones de muy alta frecuencia como elementos de propagación guiada. Sus mayores ventajas son la reducción de pérdidas en la propagación, debido al uso de un sólo conductor y aire, en lugar de usar dieléctricos como en el cable coaxial, un mayor capacidad para usar potencias elevadas y una construcción sencilla. Sus principales inconvenientes suelen ser que son dispositivos voluminosos, que no pueden funcionar por debajo de su frecuencia de corte y que las transiciones de guía a otras tecnologías (como coaxial o microstrip) suelen tener pérdidas. La simulación por el método de los elementos finitos (FEM), permite, no obstante, estudiar y optimizar las transiciones que se pueden realizar con estos dispositivos, obteniendo muy buenos resultados. En esta entrada vamos a estudiar las guías de onda usando un simulador FEM como HFSS, que es capaz de analizar los campos electromagnéticos en 3D.

Las guías de onda son muy populares en los circuitos de muy alta frecuencia, debido a la facilidad de construcción y bajas pérdidas. Los campos propagados, a diferencia de las guías coaxiales, son transversales eléctricos o magnéticos (campos TE o TM), por lo que tienen una componente de campo magnético (los TE) o campo eléctrico (los TM) en la dirección de propagación. Estos campos son resultado de la solución de la ecuación de Helmholtz bajo determinadas condiciones de contorno

Fig. 1 – Ecuación de Helmholtz para ambos modos

que resolviendo por separación de variables, y aplicando las condiciones de contorno de un recinto rectangular donde todas las paredes son paredes eléctricas (conductores, en las que la componente tangencial del campo eléctrico se anula)

Fig. 2 – Condiciones de contorno de la guía rectangular

obtenemos un conjunto de soluciones para el campo electromagnético en el interior de la guía, partiendo de la solución obtenida para las expresiones de la fig. 1.

Fig. 3 – Tabla de campos electromagnéticos y parámetros en guías rectangulares

Por tanto, los campos electromagnéticos se propagan en forma de modos de propagación, denominados TEmn, si son transversales eléctricos (Ez=0), o TMmn, si son transversales magnéticos (Hz=0). De la constante de propagación Kc obtenemos una expresión para la frecuencia de cortefc, que es la frecuencia más baja a la que se pueden propagar campos dentro de la guía, y cuya expresión es

Fig. 4 – Frecuencia de corte de una guía rectangular

El modo más bajo se da cuando m=0, ya que a aunque la función tiene extremos para m,n=0, no existen los modos TE00 o TM00. Y como a>b, la frecuencia de corte más baja de la guía se da en el modo TE10. Ese es el modo que vamos a analizar mediante simulación FEM en 3D.


En un simulador 3D es muy sencillo modelar una guía rectangular, ya que basta dibujar un rectángulo de las dimensiones adecuadas a y b. En este caso vamos a usar a=3,10mm y b=1,55mm. El modo TE10 se comenzará a propagar a 48GHz y el segundo modo, el  TE01, a 97GHz, así que vamos a analizar la guía a 76GHz, que es donde queremos hacerla funcionar. La guía, dibujada en un simulador como HFSS, se ve así

Fig. 5 – Guía rectangular. Modelo en HFSS

El prisma rectangular interior se asigna al vacío como medio material, y en los laterales se asignan paredes eléctricas como condiciones de contorno. A los rectángulos de los planos -z/2 y +z/2 se les asignan sendas fuentes de excitación, con el primer modo de propagación.

El campo eléctrico propagado a lo largo de la guía es de la forma

Fig. 6 – Campo eléctrico en el interior de la guía

Analizando los parámetros S de la guía, de 40 a 90GHz, obtenemos

Fig. 7 – Parámetros S de la guía rectangular

donde podemos ver  que es a partir de 48,5GHz cuando comienza a haber propagación en la guía.

A partir de 97GHz, el modo TE01 se comenzaría a propagar también, no interesándonos y centrándonos en los 76GHz, que es donde se quiere hacer funcionar la guía.


Las transiciones más comunes son aquellas que van de la guía a coaxial, o de guía a línea microstrip, para poder utilizar la energía propagada en otro tipo de aplicaciones. Para ello, lo que se hace es colocar una sonda en la dirección del campo eléctrico (en el modo TE01 es la dirección y), para que la energía que está asociada a ese campo se acople directamente a la sonda

Fig. 8 – Posición de la sonda

La sonda consiste en una antena resonante de cuarto de longitud de onda a la frecuencia que queremos acoplar. En el eje x, el máximo del campo eléctrico se encuentra en x=a/2, mientras que para encontrar el máximo en la dirección de propagación z, cerramos con un cortocircuito la guía, de modo que el campo E es mínimo en la pared de la guía, siendo máximo a un cuarto de onda de la longitud de onda de la guía, que es

Fig. 9 – Longitud de onda de la guía

y en nuestro caso, a 76GHz, λ es 3,95mm mientras que λg es 5,11mm. Por tanto, la longitud de la sonda será 0,99mm y la distancia al cortocircuito 2,56mm.

En transiciones coaxiales, basta con poner un coaxial cuyo conductor interno emerja en λ/4 a λg/4 del cortocircuito. Pero en transiciones a microstrip se usan dieléctricos como soporte de las pistas de metal, por lo que hay que tener en cuenta el efecto del dieléctrico sobre la longitud de onda del material.

Nuestra transición puede ser modelada en HFSS asignando diferentes materiales. Construimos la sonda sobre substrato Rogers RO3003, de baja constante dieléctrica y bajas pérdidas, realizando la transición a línea microstrip. Todo el contorno lateral, así como las líneas de metal, se asignan a paredes eléctricas (conductores perfectos), mientras que el soporte de la línea es RO3003. El interior de la guía y la cavidad donde se aloja la transición es vacío. En el extremo de la transición asignamos un puerto.

Fig. 10 – Transición guía rectangular a microstrip

y ahora realizamos la simulación para ver cuáles son los campos y la respuesta de la transición.

Fig. 11 – Campo eléctrico en la transición

donde se puede ver cómo la sonda es excitada por el campo eléctrico y acopla este a la línea microstrip.

Fig. 12 – Parámetros S de la transición

Viendo la respuesta de los parámetros S, podemos ver que el acoplamiento con menos pérdidas de retorno se produce en la banda de 76÷78GHz, que es donde deseábamos que nuestra transición funcionase.


Dentro de los componentes populares que se pueden realizar en guía de onda, uno de los más populares es la T mágica, un combinador especial que puede ser usado como divisor  como combinador y como sumador/restador de señales.

Fig. 13 – T Mágica

El funcionamiento es muy sencillo: cuando se excita un campo electromagnético por el puerto 2, la señal sale dividida y en fase por los puertos 1 y 3. El puerto 4 queda aislado porque su plano E es perpendicular al plano E del puerto 2. En cambio, si el campo se excita desde el puerto 4, éste se divide en los puertos 1 y 3 en contrafase (180deg) mientras que el puerto 2 queda aislado.

Vamos a usar la simulación FEM para analizar la T mágica, y excitamos la potencia por el puerto 2, obteniendo

Fig. 14 – Campo eléctrico dentro de la T mágica  excitando desde el puerto 2.

donde se puede ver que la potencia es repartida en los puertos 1 y 3 mientras que el puerto 4 queda aislado. Haciendo lo mismo desde el puerto 4, obtenemos

Fig. 15 – Campo eléctrico en el interior de la T mágica excitando desde el puerto 4.

donde ahora es el puerto 2 el que queda aislado.

Para poder ver las fases, es necesario recurrir a un diagrama vectorial del campo eléctrico

Fig. 16 – Campo eléctrico vectorial excitando desde el puerto 2

donde se ve que el campo en los puertos 1 y 3 tiene la misma orientación y por tanto están en fase. Excitando desde el puerto 4

Fig. 17 – Campo eléctrico vectorial excitando desde el puerto 4

en la que se ve que las señales en el puerto 1 y 3 son del mismo nivel, pero están en contrafase (180deg entre ellas).

La simulación FEM nos permite analizar el comportamiento del campo electromagnético desde diferentes puntos de vista, ya que podemos cambiar las excitaciones. Por ejemplo, si introducimos por 2 una señal en fase con la que introducimos en 4, ambas señales se sumarán en fase en 3 y se anularán en 1.

Fig. 18 – Campo eléctrico en el interior de la guía excitando desde 2 y 4 en fase.

mientras que si invertimos la fase en 2 o en 4, las señales se sumaran en 1 y se anularán en 3.

Fig. 19 – Campo eléctrico en el interior de la guía excitando desde 2 y 4 en contrafase

con lo que estamos haciendo un sumador/restador de señales.


El objeto de la entrada era el análisis del comportamiento eléctrico de las guías de onda a través de un simulador 3D que usa el método de los elementos finitos (FEM). La ventaja del uso de estos simuladores es que permiten analizar con buena precisión los campos electromagnéticos en estructuras tridimensionales, siendo el modelado la parte más importante para definir correctamente la estructura a estudiar, ya que un simulador tridimensional requiere realizar un mallado en la estructura, y este mallado, a medida que necesita más tetraedros para lograr una buena convergencia, tiende también a necesitar más memoria de máquina y capacidad de procesado.
Las estructuras analizadas, debido a su simplicidad, no han requerido de tiempos largos de simulación y capacidad de procesado relevantes, pero a medida que se hacen más complejos los modelos, la capacidad de procesado aumenta, si se desea conseguir una buena precisión.

En posteriores entradas analizaremos otros métodos para lograr reducir el modelado en estructuras complejas, a través del uso de planos de simetría que permiten dividir la estructura y reducir considerablemente el mallado.


  1. Daniel G. Swanson, Jr.,Wolfgang J. R. Hoefer; “Microwave Circuit Modeling Using Electromagnetic Field Simulation”; Artech House, 2003, ISBN 1-58053-308-6
  2. Paul Wade, “Rectangular Waveguide to Coax Transition Design”, QEX, Nov/Dec 2006

Using the Three-Dimensional Smith Chart

The Smith Chart is a standard tool in RF design. Developed by Phillip Smith in 1939, it has become the most popular graphic method for representing impedances and solving operations with complex numbers. Traditionally, the Smith Chart has been used as 2-D polar form, centered at an unit radius circle. However, the 2D format has some restrictions when the active impedances (oscillators) or stability circles (amplifiers) are represented, since these ones usually leave the polar chart. Last years, three-dimensional Smith Chart has become popular. Advances in 3D rendering software make it easy to use for design. In this post, I will try to show the handling of the three-dimensional Smith Chart and its application for a low-noise amplifier design.

When Phillip Smith was working at Bell Labs, he have to match one antenna and he was looked for a way to solve the design graphically. By means of the mathematical expressions that define the impedances in the transmission lines, he got to represent the impedance complex plane by circles with constant resistances and reactances. These circles made it easier for him to represent any impedance in a polar space, with the maximum matching placed in the center of the chart and the outer circle representing the pure reactance. Traditionally, Smith’s Chart has been represented in polar form as shown below

Fig. 1 – Traditional Smith’s Chart

The impedance is normalized calculating the ratio between the impedance and the generator impedance. The center of the chart is pure unit resistance (maximum matching) while the peripheral circle that limits the chart is the pure reactance. The left end of the chart represents the pure short circuit and the right end, the pure open circuit. The chart was then very popular to be able to perform calculations for matching networks with transmission lines using a graphical method. However, the design difficulties with the chart happened when active impedances were analyzed, studying amplifiers stability and designing oscillators.

By its design, the chart is limited to the impedances with positive real part, but it could represent, extending the complex plane through the Möbius transformation, impedances with negative real part [1]. This expanded chart, to the negative real part plane, can be seen in the following figure

Fig. 2- Smith’s Chart expanded to active impedances

However,this chart shows two issues: 1) although it allows to represent all the impedances, there is a problem with the complex infinity, so it remains limited and 2) the chart has large dimensions that make it difficult to us in a graphic environment, even in a computer-aided environment. However, the extension is needed when the amplifier stability circles are analyzing, since in most of cases the centers of these circles are located outside the passive impedance chart.

In a graphical computer environment, representing the circles is already performed by the software itself through the calculations, being able to limit the chart to the passive region and drawing only a part of the circle of stability. But with oscillators still have the problem of complex infinity, which could be solved through a representation in a Riemann’s sphere.


The Riemann’s sphere is a mathematical solution for representing the complete complex plane, including infinity. The entire complex surface is represented on a spherical surface by a stereographic projection of this plane.

Fig. 3 – Projection of the complex plane on a sphere

In this graphic form the southern hemisphere represents the origin, the northern hemisphere represents infinity and the equator the circle of unitary radius. The distribution of complex values in the sphere can be seen in the following figure

Fig. 4 – Distribution of complex values in the sphere

So, it is possible to represent any complex number on a surface easy to handle.


Since Smith’s Chart is a complex representation, it can be projected in the same way to a Riemann’s sphere [2], as shown in the following figure

Fig. 5 – Projection of the Smith’s Chart on a Riemann’s sphere

In this case, the northern hemisphere shows the impedances with positive resistance (passive impedances), in the southern hemisphere, the impedances with negative resistance (active impedances), in the eastern hemisphere, the inductive impedances, and in the western one the capacitive impedances. The main meridian shows the pure resistive impedance.

Thus, when we wish to represent any impedance, either active or passive, it can be represented at any point in the sphere, greatly facilitating its drawing. In the same way, we can represent the stability circles of any amplifier without having to expand the chart. For example, if we want to represent the stability circles for one transistor, which parameters S at 3GHz are the next

S11=0,82/-69,5   S21=5,66/113,8   S12=0,03/48,8  S22=0,72/-37,6

its representation in the conventional Smith’s Chart is

Fig. 6 – Traditional representation for stability circles


while in the three-dimensional chart it is

Fig. 7 – Stability circles on the 3D chart

where both circles can be seen, a fraction in the northern hemisphere and the other one in the south. Thus, its representation has been greatly facilitated.


Let’s see a practical application of the 3D chart matching the previous amplifier with the maximum stable gain and minimum figure of noise, at 3GHz. Using traditional methods, and knowing the transistor parameters which are the next

S11=0,82/-69,5   S21=5,66/113,8   S12=0,03/48,8  S22=0,72/-37,6

NFmin=0,62  Γopt=0,5/67,5 Rn=0,2

S-parameters are represented in the3D Smith’s chart and the stability circles are drawn. For a better representation 3 frequencies are used, with a 500MHz bandwidth.

Fig. 8 – S-parameters and stability circles for the transistor (S11 S21 S12 S22 Input Stability Circle Output Stability Circle)

It can be seen that S-parameters as well as the stability circles in both the conventional Smith’s chart and 3D one. In the conventional Smith’s chart, the stability circles leave the chart.

One amplifier is unconditionally stable when the stability circles are placed in the active impedance area of the chart, in the southern hemisphere, under two conditions: if the circles are placed in the active region and do not surround the passive one, the unstable impedances are located inside the circle. If the circles surround the passive region, the unstable impedances are located outside the circle.


Fig. 9 – Possible cases for stability circles in the active region

In this case, since part of the circles enters on the passive impedances region, the amplifier is conditionally stable.Then the impedances that could unstabilize the amplifier are placed inside the circles. This is something that cannot be seen clearly in the three-dimensional chart yet, the app does not seem to calculate it and would be interesting to include in later versions, because it would greatly facilitate the design.

Let’s match now the input for the minimum noise. For this, it is needed to design a matching network to transform from 50Ω to reflection coefficient Γopt, being its normalized impedance Zopt=0,86+j⋅1,07. In the app, opening the design window and writing this impedance

Fig. 10 – Representation of Γopt

Using now the admittance, we translate in the circle of constant conductance until the real part of the impedance is 1. This is down by estimation and a 0,5 subsceptance is got. It should be increased 0,5 – (- 0,57) = 1.07 and this is a shunt capacitor, 1,14pF.

Fig. 11 – Translating to circle with real part 1.

Now it is only needed to put a component that makes zero the reactance, when the resistance is constant. As the reactance is -1.09, the added value should be 1.09, so that the reactance is zero. This is equivalent to a series inductor, 2,9nH.

Fig. 12 – Source impedance matched to Γopt

Once calculated the input matching network for the lower noise figure, we recalculate the S-parameters. Being an active device, the matching network transforms the S parameters, which are:

S11=0,54/-177   S21=8,3/61,1   S12=0,04/-3,9  S22=0,72/-48,6

and which are represented in the Smith’s chart to get the stability circles.

Fig. 13 – Transistor with matching network to Γopt and stability circles.

The unstable regions are the internal regions, so the amplifier remains stable.

Now the output matching network is got for maximum stable gain, and the ouput reflection coefficient S22=0,72/-48,6 should be loaded by ΓL (S22  conjugate), translating from 50Ω to ΓL=0,72/48,6. This operation is performed in the same way that input matching network. By doing the complete matching , S parameters are recalculated, with input and oputput matching networks. These are

S11=0,83/145   S21=12/-7.5   S12=0,06/-72,5  S22=0,005/162

The gain is 20·log(S21)=21,6dB, and the noise figure, 0,62dB (NFmin). Now it is only represented these parameters in the three-dimensional chart to get the stability circles.

Fig. 14 – Low noise amplifier and stability circles

In this case, the stable region in the input stability circle is inside and in the otuput stabiliy circle is outside. Due to both reflection coefficients, S11 y S22 are into the stable regions, then the amplifier is stable.


In this entry I had the first contact with the three-dimensional Smith’s chart. The object was to study its potential with respect the traditional chart in microwave engineering. New advantages are observed in this respect in that it is possible to represent the infinite values ​​from the Möbius transform to a Riemann’s sphere and thus having a three-dimensional graphical tool where practically all passive and active impedances and parameters which can be difficult to draw in the traditional chart as stability circles.

In its version 1, the app, which can be found on the website 3D Smith Chart / A New Vision in Microwave Analysis and Design, shows some design options and configurations, although some applications should be undoubtedly added In future versions. In this case, one of the most advantageous applications for the chart, having studied the stability circles of an amplifier, is the location of the stability regions graphically. Although this can be solved by calculation, the visual image is always more advantageous.

The app has a user manual with examples explained in a simple way, so that the designer becomes familiar with it immediately. In my professional opinion, it is an ideal tool for those of us who are used to using Smith’s chart to perform our matching network calculations.


  1. Müller, Andrei; Dascalu, Dan C; Soto, Pablo; Boria, Vicente E.; ” The 3D Smith Chart and Its Practical Applications”; Microwave Journal, vol. 5, no. 7, pp. 64–74, Jul. 2012
  2. Zelley, Chris; “A spherical representation of the Smith Chart”; IEEE Microwave, vol. 8, pp. 60–66, July 2007
  3. Grebennikov, Andrei; Kumar, Narendra; Yarman, Binboga S.; “Broadband RF and Microwave Amplifiers”; Boca Raton: CRC Press, 2016; ISBN 978-1-1388-0020-5