La simulación multifísica en la moderna ingeniería

La ingeniería moderna ha avanzado mucho, y por ello requiere de herramientas potentes y de métodos analíticos fiables. En la entrada sobre simulación usando el método de los elementos finitos (FEM), analizamos cómo se podían resolver problemas electromagnéticos tridimensionales a través de métodos matemáticos matriciales que resolvían la ecuación de Helmholtz en estructuras complejas. Pero los métodos resolutivos de cálculo estructural han avanzado mucho en estos últimos años, hasta el punto en que hoy día una buena labor de ingeniería no se entiende sin acudir a estas potentes herramientas de computación. Una labor importante de la Física en los últimos años ha sido el poder elaborar modelos físicos que puedan ser evaluados por diferentes métodos de computación, y a través de ellos, resolver problemas. Pero mientras antes sólo se podían resolver problemas puntuales o muy aproximados, en la actualidad y con los medios de computación modernos, se pueden acoplar diferentes formas de fenómenos físicos y lograr resultados espectaculares, impensables hace 20 años.

Como ya sabéis todos, mi mundo dentro de la Física ha sido la simulación. Por este motivo, soy especialista en modelado. Durante años me he dedicado a ello y ya hice una entrada por este motivo. Como en otras entradas he dicho, la Física es la ciencia de la medida: nos dedicamos a medir y a corroborar leyes, y a elaborar modelos que nos permitan calcular con más fiabilidad los fenómenos físicos que antes teníamos que hacer en una pizarra grande, ecuación tras ecuación, hasta llegar al resultado. Así resolvía los problemas de Termodinámica uno de los profesores que tuve en la Facultad de Ciencias, empezando a llenar de cálculos la pizarra desde la esquina superior de la izquierda hasta la esquina inferior de la derecha.

No era posible evaluar complejas ecuaciones integro-diferenciales en esos momentos, salvo por métodos numéricos. La llegada del computador y la creación del lenguaje de programación de alto nivel FORTRAN (que es el acrónimo de FOrmula TRAslation) creado por IBM en 1953 permitió a los físicos, matemáticos e ingenieros disponer de una potente herramienta para poder resolver problemas matemáticos complejos a través de la programación. Con él se podían realizar programas numéricamente intensivos y resolver ecuaciones integro-diferenciales. En el caso de la electrónica, el primer programa de simulación realizado en FORTRAN fue SPICE (Simulation Program with Integrated Circuits Emphasis), que ha llegado a ser tan popular que tiene multitud de programas basados en este primer simulador de Berkeley.

La simulación ha ido avanzando a medida que se generaban más modelos, Estos modelos empezaban a necesitar potentes máquinas para calcular, pero se centraban solamente en su problema concreto. Así, un simulador de transferencia de calor sólo resolvía su física correspondiente. O un simulador electromagnético, las ecuaciones de Maxwell. Y un simulador climático, sólo tenía en cuenta su física manteniendo las variables de entrada fijas y sin que otra física las modificase o perturbase. Así que una vez verificados que los modelos físicos funcionaban y que permitían estimaciones, el siguiente paso fue acoplarlos, puesto que las leyes físicas no actúan de forma aislada, sino que interactúan entre ellas, y no es posible entender un problema físico sin que haya otro que le esté modificando, sobre todo, en los sistemas caóticos. Gracias a esta interacción de los problemas físicos, los modelos se superponen y se puede establecer una correlación entre ambos. De vital importancia son los métodos usados para resolver las complejas ecuaciones integro-diferenciales, que en estructuras sencillas, son relativamente fáciles de resolver, pero que al final se tornan complejas cuando la estructura lo es también. Y ahí es donde trabajan los diferentes métodos de resolución.

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES COMPLEJAS

Existen varios métodos de resolución de ecuaciones complejas en estructuras complejas. Los más utilizados son, sin duda, el método de los momentos (MoM), el método de los elementos finitos (FEM), el método de los contornos (BEM) y el método de las diferencias finitas en el dominio del tiempo (FDTD). Los más populares son el FEM y el FDTD, aunque todos se basan en lo mismo: tomar una estructura, dividirla en elementos finitos de tipo tetraédrico o hexaédrico, y considerando que las soluciones tienen que ser continuas en los vértices de los elementos, generar un sistema matricial para resolver el problema.

Por tanto, el punto de partida es el mallado, o la generación de la malla que definirá a la geometría. Normalmente conocida como mesh en su palabra original inglesa, la estructura debe ser dividida en diferentes elementos, triangulares o cuadráticos cuando la estructura es bidimensional, y tetraédricos o hexaédricos cuando es tridimensional.

En la figura siguiente se puede ver un ejemplo de mallado de una estructura bidimensional que consta de tres rectángulos y dos círculos. La fiabilidad en los resultados residirá en la calidad del mallado, por tanto, antes de ponerse a simular estructuras, hay que estudiar la malla donde se resolverán las ecuaciones.

Mallado de una estructura bidimensional

Fig. 1 Mallado de una estructura bidimensional

Una estructura tridimensional será más compleja. Recordando la entrada anterior, donde se simulaba un ortomodo, veíamos que la malla se torna en 3 dimensiones.

Fig. 2 Malla en una estructura analizada por elementos finitos

Con la malla ya elegida y optimizada, el siguiente paso es elegir el método de resolución.

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

El método más popular es el método de los elementos finitos (FEM). Con este método resolvemos las ecuaciones diferenciales que definen una determinada física en un dominio Ω, rodeado por un contorno Γ, como se puede ver en la figura 3. El dominio es mallado mediante triángulos (3-a) y las ecuaciones se resuelven en los vértices del triángulo (3-b)

Fig. 3 Triangulización del dominio y elemento finito

Este problema se resuelve a través de un análisis matricial en el que suponemos que en cada vértice de los triángulos del mallado la solución es lineal, del tipo

u_i \left( x_i, y_i \right) = a + b \cdot x_i + c \cdot y_i

Por tanto se trata de encontrar los coeficientes a, b y c de esa solución lineal. Si usamos notación matricial, entonces tenemos que la solución en cada elemento es

\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x_3 & y_3 \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}

y de este modo podemos extraer la solución global u a través de

u = \begin{pmatrix} 1 & x & y \end{pmatrix}  {\begin{bmatrix} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x_3 & y_3 \end{bmatrix}}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} 

Una vez tenemos todos los elementos, se realiza un ensamblado de las matrices y de este modo se obtiene la solución final.

Fig. 4 Ensamblado de elementos

ANÁLISIS DE UN PIEZOELÉCTRICO POR EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

En el ejemplo que vamos a estudiar en esta ocasión, analizaremos un cristal piezoeléctrico similar al que analizamos en la entrada Estudio del comportamiento de un material piezoeléctrico (II). En aquella entrada usamos el modelo de Mason para estudiar el comportamiento eléctrico y relacionarlo con el mecánico, mediante un simulador de circuitos. La solución de la impedancia obtenida para este piezoeléctrico era de la forma

Fig. 5 Impedancia del resonador piezoeléctrico

El piezoeléctrico está formado por varias capas: dos electrodos de Molibdeno, que encierran a un piezoeléctrico de Nitruro de Aluminio. En una de las secciones se añaden 4 capas compuestas de Óxido de Silicio y Tungsteno, que forman un reflector de Bragg para las ondas acústicas. De este modo, los dominios a modelar son los que aparecen en la Fig. 6

Fig. 6 Dominios del piezoeléctrico

Sobre estos dominios se hace un mallado, no sin antes conformar una serie de particularidades en los dominios de izquierda y derecha, que consideraremos dominios adaptados.

Fig. 7 Mallado de los dominios

Sobre éste material vamos a resolver varias físicas. Una de ellas es la Mecánica de Sólidos, en la que se resuelven las siguientes ecuaciones diferenciales

-\rho \cdot \omega^2 \cdot u = \vec \nabla \cdot \vec S

para los materiales elásticos lineales como el Molibdeno, el Óxido de Silicio y el Tungsteno. En el dominio del Nitruro de Aluminio se resuelve misma ecuación, pero se añade el desplazamiento eléctrico a través del Teorema de Gauss

\vec \nabla \cdot \vec D =\rho

ya que el piezoeléctrico está relacionado con el campo eléctrico a través de las ecuaciones constitutivas

T=c^ES-e_{33}E

D=e_{33}S+{\epsilon}^SE

Esta física se resuelve sobre todos los dominios. Para limitar los resultados, a los contornos se les ponen restricciones: a los contornos de izquierda y derecha se les pone la restricción de desplazamiento nulo, mientras que al superior se le pone la condición asociada a la impedancia acústica del aire (415 Rayl) y al inferior la condición asociada a la impedancia acústica del Silicio (8 MRayl).

Esta física se asocia a la física electrostática, pero en este caso sólo se considera el dominio del piezoeléctrico

Fig. 8 Física electrostática sobre el piezoeléctrico

En este caso, se tiene que resolver

D=e_{33}S+{\epsilon}^SE

que es la segunda ecuación constitutiva de los piezoeléctricos. A los contornos superior e inferior les aplicamos una diferencia de potencial, y a los contornos laterales, la condición de carga nula. Y de este modo, ya tenemos modelado el dispositivo.

RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN MULTIFÍSICA

Analizando en frecuencia el dispositivo, se obtiene el siguiente resultado

Fig. 9 Impedancia del piezoeléctrico analizada por FEM

y si comparamos con la Fig. 5, la respuesta obtenida es muy similar a la obtenida mediante el modelo de Mason.

Lo bueno que tiene, además, el análisis multifísico de estructuras es que podemos ver cómo se comporta físicamente el dispositivo, analizando el desplazamiento mecánico del piezoeléctrico cuando se aplica una tensión, que en este caso, es del orden de 5.25 nm sobre la estructura inicial

Fig. 10 Desplazamiento mecánico del piezoeléctrico

Esta simulación a través de elementos finitos se muestra virtualmente más potente que la realizada a partir del modelo de Mason, debido a que el material piezoeléctrico siempre tiene una dependencia espacial de forma tensorial. Sin embargo, en términos de impedancia, el modelo de Mason se ajusta bastante al dispositivo a modelar y es válido para analizar, a priori, el comportamiento de un dispositivo más complejo como un filtro de onda acústica (SAW y BAW) y otros dispositivos como micrófonos, sensores o dispositivos de energy harvesting.

CONCLUSIONES

Está claro que la simulación multifísica es una herramienta potente para la ingeniería moderna. El acoplamiento de diversas físicas puede mostrar resultados muy cercanos a la realidad, gracias a los métodos de análisis y a la potencia de computación moderna. Sin embargo, acarrea una dificultad, que es la necesidad de equipos con mucha capacidad de cálculo. En el ejemplo simulado hay 20426 elementos de dominio. Esto significa 20426 triángulos donde hay que ensamblar matrices.

El rango de estas matrices es inferior al del número de elementos, porque en los vértices compartidos tiene que haber continuidad. La calidad del mallado también influirá en el resultado: a mayor mallado, menor serán los errores relativos y más preciso será el cálculo. El inconveniente es la capacidad de computación y la necesidad de memoria, por lo que muchos de estos programas tienen que trabajar en multitarea, compartiendo resolvedores para que la solución sea convergente. También requiere mucho tiempo de computación, por lo que las simulaciones complejas pueden durar varias horas antes de tener un resultado, que puede no ser el apetecido. Sin embargo, es un recurso cada vez más eficaz para resolver problemas complejos. El modelado y la interpretación de resultados, sin embargo, sigue dependiendo de humanos.

REFERENCIAS

  1. Feynman, R; “Simulating Physics with Computers”; International Journal of Theoretical Physics, 1982, Vols. 21, Issue 6-7, pp. 467-488, DOI: 10.1007/BF02650179.
  2. Gibson, Walton C., “The Method of Moments in Electromagnetics”, Segunda Edición, CRC Press, 2014, ISBN: 978-1-4822-3579-1.
  3. Reddy, J.N, “An Introduction to the Finite Element Method”, Segunda Edición,  McGraw-Hill, 1993, ISBN: 0-07-051355-4.
  4. Mason, Warren P., “Electromechanical Transducers and Wave Filters”, Segunda Edición, Van Nostrand Reinhold Inc., 1942, ISBN: 978-0-4420-5164-8.
  5. Dong, S. Shim and Feld, David A., “A General Nonlinear Mason Model of Arbitrary Nonlinearities in a Piezoelectric Film”, IEEE International Ultrasonics Symposium Proceedings, 2010, pp. 295-300.
  6. W.P. Mason, Electromechanical Transducers and Wave Filters”, Princeton NJ, Van Nostrand, 1948
  7. J. F. Rosenbaum, “Bulk Acoustic Wave Theory and Devices”, Artech House, Boston, 1988.
  8. R. Krimholtz, D.A. Leedom, G.L. Mathaei, “New Equivalent Circuit for Elementary Piezoelectric Transducers”, Electron. Lett. 6, pp. 398-399, June 1970.

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