La importancia de la simulación en los sistemas físicos

Dedico muchas entradas de este blog a la simulación. Esto es debido a que a lo largo de los años he aprendido de la importancia del uso de computadores para el estudio y análisis de sistemas, circuitos y estructuras que, sin estas herramientas, no lograría a priori reproducir, debido a la cantidad de cálculos que hay que realizar. Los modernos simuladores, que son capaces de resolver cuestiones complejas gracias a la capacidad de cálculo de los computadores, nos permiten evaluar el comportamiento de un sistema complejo a través de la definición de las estructuras. Varias disciplinas de la Física y la Ingeniería recurren de forma habitual a la simulación para realizar sus cálculos previos y poder tomar decisiones y elecciones. En esta entrada deseo mostrar cuáles son las partes más importantes que se deben tener en cuenta a la hora de simular.

En el año 1982, Richard Feynman publicó un artículo en el que hablaba del análisis de los sistemas físicos a través de computadores (1). En aquellos años, la tecnología de los computadores había avanzando a un nivel tan alto que era posible conseguir una mayor capacidad de procesado. La generación de lenguajes de programación que pudiesen contener fórmulas complejas, como FORTRAN, permitía el cálculo y evaluación de sistemas que estuviesen definidos por complejas ecuaciones integro-diferenciales, cuya resolución en muchas ocasiones requería de métodos numéricos. De este modo, en los primeros años, los físicos podían hacer simulaciones a través de programas capaces de resolver las ecuaciones constitutivas del sistema, aunque no siempre con descripciones sencillas.

En el caso de la electrónica, la simulación de circuitos tuvo su principal baluarte en SPICE, a principios de los años 70 (2). El programa, basado en FORTRAN, era capaz de simular circuitos electrónicos no lineales, sin tener en cuenta los efectos de radiación, y resolver las complejas ecuaciones integro-diferenciales en el dominio del tiempo. Con los años, el SPICE de Berkeley se convirtió en la referencia absoluta de los programas de simulación, siendo su éxito tal que casi todos los simuladores desarrollados en los últimos años basan gran parte de sus algoritmos en los desarrollados por Nagel y Pederson en los años 70.

A partir de los 80, y buscando resolver problemas tridimensionales, fue muy popular el método de los momentos (MoM), que era capaz de resolver sistemas que han sido planteados como ecuaciones integrales en los límites (3). Fue de aplicación en mecánica de fluidos, acústica y electromagnetismo. Hoy en día el método se sigue utilizando para resolver problemas electromagnéticos en dos dimensiones.

Pero sin duda los algoritmos y los métodos han ido avanzando, apareciendo en los 90 los métodos de elementos finitos (FEM, para el dominio de la frecuencia) y de diferencias finitas en el dominio del tiempo (FDTD, para el dominio del tiempo), basados en la resolución de sistemas formulados por ecuaciones diferenciales, referencias importantes dentro una explosión de algoritmos destinados a la resolución de sistemas complejos (4). Y con estos avances, la contribución de la simulación al mundo de la Física cobra dimensiones espectaculares.

LA IMPORTANCIA DE UN BUEN MODELO

Cuando se estudia un fenómeno, en Física recurrimos habitualmente a trasladar ese fenómeno a un modelo. Se trate de un fenómeno aislado o dentro de un entorno, sea en Acústica, Electromagnetismo o Mecánica Cuántica, tener bien caracterizado un modelo es esencial para poder determinar el comportamiento del fenómeno en función de sus variables y de las relaciones entre ellas. Con un modelo adecuado aumenta nuestra certidumbre en los resultados.

Sin embargo, modelar es complejo. Hay que conocer cuáles son las relaciones entre las variables y a partir de ahí, establecer un sistema que reproduzca el comportamiento dentro de un computador.

Un ejemplo de modelo es el material piezoeléctrico. En Electrónica, los materiales piezoeléctricos son de uso común y es habitual ver dispositivos electrónicos que contengan cristales de cuarzo o cualquier otro material resonante basado en esta propiedad.

Un modelo de piezoeléctrico que tuvo mucho éxito en los años 40 fue el desarrollado por Mason (5). Gracias a la similitud entre los campos electromagnéticos y los acústicos, combinó ambas propiedades a través de líneas de transmisión definidas por las ecuaciones del telegrafista, extraídas de las ecuaciones constitutivas. De este modo desarrolló un modelo para el material piezoeléctrico que hoy en día se sigue utilizando. El modelo se puede ver en la Fig. 1 y ya se estudió en entradas anteriores.

Fig.1 – Modelo de piezoeléctrico de Mason

Este modelo resolvía prácticamente el análisis en frecuencia del material en pequeña señal, obteniendo la curva de resonancia en la impedancia que presentan habitualmente este tipo de componentes y que se puede ver en la Fig. 2

Fig.2 – Resultados del análisis del modelo de Mason

Sin embargo, los modelos necesitan evolucionar y ampliar su capacidad predictiva.

El modelo de Mason describe correctamente el comportamiento del piezoeléctrico cuando trabaja en forma lineal. Sin embargo, falla cuando se quiere conocer el comportamiento cuando se aplica un potencial intenso entre sus electrodos. Así que nuevos avances en el comportamiento del material llevaron a incluir el comportamiento no lineal en las ecuaciones constitutivas (6).

Fig. 3 – Modelo tridimensional de una inducción

En el caso de los modelos tridimensionales, hay que conocer bien cuáles son las características que definen a los materiales para tener un resultado óptimo. En el caso de la inducción de la Fig. 3, se está utilizando como material magnético CoFeHfO, con una permeabilidad magnética compleja dependiente de la frecuencia que hay que introducir en la librería de materiales.

Los resultados serán mejores cuanto mejor esté definido el modelo, y esa es la labor primordial del Físico: obtener modelos fiables a partir de los estudios realizados sobre los fenómenos y los materiales.

La forma de extraer el modelo suele realizarse mediante la medición directa de sus parámetros fundamentales o bien a través de las magnitudes derivadas, en forma de sistemas de ecuaciones. Con una correcta definición del modelo, los resultados obtenidos a través de la simulación serán fiables.

ANÁLISIS MEDIANTE SIMULACIÓN

Una vez se tiene correctamente definido el modelo, podemos realizar el análisis mediante simulación. En este caso, vamos a estudiar la excitación magnética H que se obtiene a 200 MHz en el inductor, usando el análisis FEM, y representando la excitación magnética en el interior de la inducción. La Fig. 4 nos muestra esa excitación magnética.

Fig. 4 -Excitación magnética en el interior del inductor

El resultado obtenido se representa de forma vectorial, ya que hemos elegido esa representación para ver el sentido de la excitación magnética en el espacio. Podemos comprobar, primero, que la excitación magnética máxima se produce en el interior del inductor, y que en su parte superior la orientación es hacia la zona positiva de eje Y, mientras que en la parte inferior la orientación es a la inversa. El nivel máximo de campo obtenido es de 2330 A/m para una excitación de 1 W entre los extremos del inductor.

El comportamiento observado es precisamente el de una inducción cuyo valor puede también ser estimado calculando su impedancia y representándola sobre la carta de Smith, Fig. 5.

Fig. 5 – Impedancia del inductor sobre carta de Smith

La curva mostrada en la carta de Smith muestra claramente una impedancia inductiva, cuyo valor va disminuyendo cuando aumenta la frecuencia, debido a las pérdidas del material magnético CoFeHfO utilizado. Estas pérdidas, además, contribuyen a que la resistencia aumente con la frecuencia. Habrá un Q máximo en la banda útil

Fig. 6 – Factor de calidad del inductor

Como una inducción con resistencia de pérdidas tiene un factor de calidad Q, representamos éste en función de la frecuencia en la Fig. 6.

Por tanto, con la simulación FEM hemos logrado analizar parámetros físicos en una estructura que nos hubiese costado mucho más tiempo y esfuerzo reproducir mediante complejos cálculos y ecuaciones. Esto demuestra, tal y como Feynman apuntó en aquella conferencia de 1982, el potencial que la simulación proporciona cuando se tienen buenos modelos y un software adecuado para poder realizar estos análisis.

Sin embargo, la simulación no ha tenido siempre las de ganar. Precisamente es el paso anterior, la importancia de tener un buen modelo que reproduzca fielmente el comportamiento físico de una estructura, el que nos va a garantizar la fiabilidad de los resultados.

RESULTADOS EXPERIMENTALES

El mejor modo de comprobar si la simulación es válida es recurrir a obtener resultados experimentales. Afortunadamente, la simulación realizada sobre el inductor está obtenida de (7), y en esta referencia los autores muestran resultados experimentales que validan los resultados del modelo obtenido. En las Fig. 7 y 8 podemos ver los valores de inductancia y resistencia obtenidas, que junto con el factor de calidad, pueden ser comparadas con los resultados experimentales que los autores indican en su artículo.

Fig. 7 – Valor de la inductancia en función de la frecuencia

Fig. 8 – Valor de la resistencia efectiva en función de la frecuencia

Los resultados obtenidos por los autores, que han usado HFSS para hacer la simulación del inductor, se pueden ver en la Fig. 9. Los autores han hecho la simulación sobre la estructura sin núcleo y con núcleo, y representan la simulación frente al resultado experimental. De las gráficas presentadas se puede concluir que los resultados obtenidos en la simulación tienen un alto nivel de concordancia con los obtenidos mediante las medidas experimentales.

Esto nos demuestra que la simulación es efectiva cuando el modelo es fiable, y que un modelo es fiable cuando los resultados obtenidos a través de la simulación convergen con los resultados experimentales. De este modo, tenemos una potente herramienta de análisis que nos permitirá conocer de antemano el comportamiento de una estructura y tomar decisiones antes de pasar al proceso de prototipado.

Fig. 9 – Resultados experimentales

En todo caso, en la simulación es importante también la convergencia. La simulación FEM requiere que el mallado que se realice sobre la estructura sea tan eficaz como para hacer converger las soluciones. Un bajo nivel de convergencia da resultados alejados del óptimo, y estructuras muy complejas requieren de mucha velocidad de procesado, mucha memoria RAM e incluso en ocasiones realizar una simulación sobre varios procesadores. A estructuras más complejas, el tiempo de simulación aumenta considerablemente, y esa es una de sus principales desventajas.

Aunque los simuladores FEM permiten la optimización de los valores e incluso hoy la integración con otros simuladores, siguen siendo simuladores que requieren, por la complejidad de los cálculos a realizar, computadores potentes que permitan hacer esos cálculos con fiabilidad.

CONCLUSIONES

Una vez más damos la razón a Feynman cuando en aquel seminario de 1982 eligió precisamente un tema que parecía que no tenía interés ninguno para los asistentes. Desde la publicación de esa charla, el artículo de Feynman se ha convertido en un clásico de las publicaciones de Física. La experiencia que he adquirido a lo largo de los años con simuladores de casi todos los tipos me indica que el camino abierto por éstos sufrirá un avance considerable cuando los computadores cuánticos sean una realidad, y la velocidad de procesado que se pueda obtener permitan a estas herramientas obtener resultados fiables en un corto espacio de tiempo.

La simulación en los sistemas físicos ha sido un avance considerable para poder conseguir resultados sin necesidad de realizar prototipos previos y supone un importante ahorro en los costes de investigación y desarrollo.

REFERENCIAS

  1. Feynman, R; “Simulating Physics with Computers”; International Journal of Theoretical Physics, 1982, Vols. 21, Issue 6-7, pp. 467-488, DOI: 10.1007/BF02650179.
  2. Nagel, Laurence W. and Pederson, D.O. “SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis)”, EECS Department, University of California, Berkeley, 1973, UCB/ERL M382.
  3. Gibson, Walton C., “The Method of Moments in Electromagnetics”, Segunda Edición, CRC Press, 2014, ISBN: 978-1-4822-3579-1.
  4. Reddy, J.N, “An Introduction to the Finite Element Method”, Segunda Edición,  McGraw-Hill, 1993, ISBN: 0-07-051355-4.
  5. Mason, Warren P., “Electromechanical Transducers and Wave Filters”, Segunda Edición, Van Nostrand Reinhold Inc., 1942, ISBN: 978-0-4420-5164-8.
  6. Dong, S. Shim and Feld, David A., “A General Nonlinear Mason Model of Arbitrary Nonlinearities in a Piezoelectric Film”, IEEE International Ultrasonics Symposium Proceedings, 2010, pp. 295-300.
  7. Li, LiangLiang, et al. 4, “Small-Resistance and High-Quality-Factor Magnetic Integrated Inductors on PCB”, IEEE Transactions on Advanced Packaging, Vol. 32, pp. 780-787, November 2009, DOI: 10.1109/TADVP.2009.2019845.

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