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Using the Three-Dimensional Smith Chart

The Smith Chart is a standard tool in RF design. Developed by Phillip Smith in 1939, it has become the most popular graphic method for representing impedances and solving operations with complex numbers. Traditionally, the Smith Chart has been used as 2-D polar form, centered at an unit radius circle. However, the 2D format has some restrictions when the active impedances (oscillators) or stability circles (amplifiers) are represented, since these ones usually leave the polar chart. Last years, three-dimensional Smith Chart has become popular. Advances in 3D rendering software make it easy to use for design. In this post, I will try to show the handling of the three-dimensional Smith Chart and its application for a low-noise amplifier design.

When Phillip Smith was working at Bell Labs, he have to match one antenna and he was looked for a way to solve the design graphically. By means of the mathematical expressions that define the impedances in the transmission lines, he got to represent the impedance complex plane by circles with constant resistances and reactances. These circles made it easier for him to represent any impedance in a polar space, with the maximum matching placed in the center of the chart and the outer circle representing the pure reactance. Traditionally, Smith’s Chart has been represented in polar form as shown below

Fig. 1 – Traditional Smith’s Chart

The impedance is normalized calculating the ratio between the impedance and the generator impedance. The center of the chart is pure unit resistance (maximum matching) while the peripheral circle that limits the chart is the pure reactance. The left end of the chart represents the pure short circuit and the right end, the pure open circuit. The chart was then very popular to be able to perform calculations for matching networks with transmission lines using a graphical method. However, the design difficulties with the chart happened when active impedances were analyzed, studying amplifiers stability and designing oscillators.

By its design, the chart is limited to the impedances with positive real part, but it could represent, extending the complex plane through the Möbius transformation, impedances with negative real part [1]. This expanded chart, to the negative real part plane, can be seen in the following figure

Fig. 2- Smith’s Chart expanded to active impedances

However,this chart shows two issues: 1) although it allows to represent all the impedances, there is a problem with the complex infinity, so it remains limited and 2) the chart has large dimensions that make it difficult to us in a graphic environment, even in a computer-aided environment. However, the extension is needed when the amplifier stability circles are analyzing, since in most of cases the centers of these circles are located outside the passive impedance chart.

In a graphical computer environment, representing the circles is already performed by the software itself through the calculations, being able to limit the chart to the passive region and drawing only a part of the circle of stability. But with oscillators still have the problem of complex infinity, which could be solved through a representation in a Riemann’s sphere.

RIEMANN’S SPHERE

The Riemann’s sphere is a mathematical solution for representing the complete complex plane, including infinity. The entire complex surface is represented on a spherical surface by a stereographic projection of this plane.

Fig. 3 – Projection of the complex plane on a sphere

In this graphic form the southern hemisphere represents the origin, the northern hemisphere represents infinity and the equator the circle of unitary radius. The distribution of complex values in the sphere can be seen in the following figure

Fig. 4 – Distribution of complex values in the sphere

So, it is possible to represent any complex number on a surface easy to handle.

SMITH’S CHART ON A RIEMANN’S SPHERE

Since Smith’s Chart is a complex representation, it can be projected in the same way to a Riemann’s sphere [2], as shown in the following figure

Fig. 5 – Projection of the Smith’s Chart on a Riemann’s sphere

In this case, the northern hemisphere shows the impedances with positive resistance (passive impedances), in the southern hemisphere, the impedances with negative resistance (active impedances), in the eastern hemisphere, the inductive impedances, and in the western one the capacitive impedances. The main meridian shows the pure resistive impedance.

Thus, when we wish to represent any impedance, either active or passive, it can be represented at any point in the sphere, greatly facilitating its drawing. In the same way, we can represent the stability circles of any amplifier without having to expand the chart. For example, if we want to represent the stability circles for one transistor, which parameters S at 3GHz are the next

S11=0,82/-69,5   S21=5,66/113,8   S12=0,03/48,8  S22=0,72/-37,6

its representation in the conventional Smith’s Chart is

Fig. 6 – Traditional representation for stability circles

 

while in the three-dimensional chart it is

Fig. 7 – Stability circles on the 3D chart

where both circles can be seen, a fraction in the northern hemisphere and the other one in the south. Thus, its representation has been greatly facilitated.

A PRACTICAL APPLICATION: LOW NOISE AMPLIFIER

Let’s see a practical application of the 3D chart matching the previous amplifier with the maximum stable gain and minimum figure of noise, at 3GHz. Using traditional methods, and knowing the transistor parameters which are the next

S11=0,82/-69,5   S21=5,66/113,8   S12=0,03/48,8  S22=0,72/-37,6

NFmin=0,62  Γopt=0,5/67,5 Rn=0,2

S-parameters are represented in the3D Smith’s chart and the stability circles are drawn. For a better representation 3 frequencies are used, with a 500MHz bandwidth.

Fig. 8 – S-parameters and stability circles for the transistor (S11 S21 S12 S22 Input Stability Circle Output Stability Circle)

It can be seen that S-parameters as well as the stability circles in both the conventional Smith’s chart and 3D one. In the conventional Smith’s chart, the stability circles leave the chart.

One amplifier is unconditionally stable when the stability circles are placed in the active impedance area of the chart, in the southern hemisphere, under two conditions: if the circles are placed in the active region and do not surround the passive one, the unstable impedances are located inside the circle. If the circles surround the passive region, the unstable impedances are located outside the circle.

.

Fig. 9 – Possible cases for stability circles in the active region

In this case, since part of the circles enters on the passive impedances region, the amplifier is conditionally stable.Then the impedances that could unstabilize the amplifier are placed inside the circles. This is something that cannot be seen clearly in the three-dimensional chart yet, the app does not seem to calculate it and would be interesting to include in later versions, because it would greatly facilitate the design.

Let’s match now the input for the minimum noise. For this, it is needed to design a matching network to transform from 50Ω to reflection coefficient Γopt, being its normalized impedance Zopt=0,86+j⋅1,07. In the app, opening the design window and writing this impedance

Fig. 10 – Representation of Γopt

Using now the admittance, we translate in the circle of constant conductance until the real part of the impedance is 1. This is down by estimation and a 0,5 subsceptance is got. It should be increased 0,5 – (- 0,57) = 1.07 and this is a shunt capacitor, 1,14pF.

Fig. 11 – Translating to circle with real part 1.

Now it is only needed to put a component that makes zero the reactance, when the resistance is constant. As the reactance is -1.09, the added value should be 1.09, so that the reactance is zero. This is equivalent to a series inductor, 2,9nH.

Fig. 12 – Source impedance matched to Γopt

Once calculated the input matching network for the lower noise figure, we recalculate the S-parameters. Being an active device, the matching network transforms the S parameters, which are:

S11=0,54/-177   S21=8,3/61,1   S12=0,04/-3,9  S22=0,72/-48,6

and which are represented in the Smith’s chart to get the stability circles.

Fig. 13 – Transistor with matching network to Γopt and stability circles.

The unstable regions are the internal regions, so the amplifier remains stable.

Now the output matching network is got for maximum stable gain, and the ouput reflection coefficient S22=0,72/-48,6 should be loaded by ΓL (S22  conjugate), translating from 50Ω to ΓL=0,72/48,6. This operation is performed in the same way that input matching network. By doing the complete matching , S parameters are recalculated, with input and oputput matching networks. These are

S11=0,83/145   S21=12/-7.5   S12=0,06/-72,5  S22=0,005/162

The gain is 20·log(S21)=21,6dB, and the noise figure, 0,62dB (NFmin). Now it is only represented these parameters in the three-dimensional chart to get the stability circles.

Fig. 14 – Low noise amplifier and stability circles

In this case, the stable region in the input stability circle is inside and in the otuput stabiliy circle is outside. Due to both reflection coefficients, S11 y S22 are into the stable regions, then the amplifier is stable.

CONCLUSIONS

In this entry I had the first contact with the three-dimensional Smith’s chart. The object was to study its potential with respect the traditional chart in microwave engineering. New advantages are observed in this respect in that it is possible to represent the infinite values ​​from the Möbius transform to a Riemann’s sphere and thus having a three-dimensional graphical tool where practically all passive and active impedances and parameters which can be difficult to draw in the traditional chart as stability circles.

In its version 1, the app, which can be found on the website 3D Smith Chart / A New Vision in Microwave Analysis and Design, shows some design options and configurations, although some applications should be undoubtedly added In future versions. In this case, one of the most advantageous applications for the chart, having studied the stability circles of an amplifier, is the location of the stability regions graphically. Although this can be solved by calculation, the visual image is always more advantageous.

The app has a user manual with examples explained in a simple way, so that the designer becomes familiar with it immediately. In my professional opinion, it is an ideal tool for those of us who are used to using Smith’s chart to perform our matching network calculations.

REFERENCIAS

  1. Müller, Andrei; Dascalu, Dan C; Soto, Pablo; Boria, Vicente E.; ” The 3D Smith Chart and Its Practical Applications”; Microwave Journal, vol. 5, no. 7, pp. 64–74, Jul. 2012
  2. Zelley, Chris; “A spherical representation of the Smith Chart”; IEEE Microwave, vol. 8, pp. 60–66, July 2007
  3. Grebennikov, Andrei; Kumar, Narendra; Yarman, Binboga S.; “Broadband RF and Microwave Amplifiers”; Boca Raton: CRC Press, 2016; ISBN 978-1-1388-0020-5
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Diseñando con la Carta de Smith 3D

La Carta de Smith es una herramienta habitual en el diseño de circuitos de RF. Desarrollada por Phillip Smith en 1939, se ha convertido en el método gráfico más popular para representar impedancias y resolver de forma sencilla operaciones con números complejos. Tradicionalmente la Carta de Smith se ha usado en su forma polar, para dos dimensiones, en un círculo de radio 1. Sin embargo, la carta en su formato 2D presenta algunas restricciones cuando se trata de representar impedancias activas de osciladores o círculos de estabilidad de amplificadores, ya que estas últimas representaciones suelen salirse de la carta. En los últimos años se ha popularizado el uso de la Carta de Smith tridimensional. Los avances en el software de representación 3D posibilitan su uso para el diseño. En esta entrada se va a tratar de conocer el manejo de la Carta de Smith tridimensional y su aplicación a un secillo amplificador de baja figura de ruido.

Cuando Phillip Smith estaba trabajando en los Laboratorios Bell, se encontró con la necesidad de tener que adaptar una antena y para ello buscó una forma de resolver el problema gráficamente. Mediante las expresiones matemáticas que rigen las impedancias en las líneas de transmisión, logró representar el plano complejo de impedancias mediante círculos de resistencia y reactancia constante. Estos círculos le facilitaban el poder representar cualquier impedancia en un espacio polar, con la máxima adaptación situada en el centro de la carta y el círculo exterior representando la reactancia pura. Tradicionalmente, la carta de Smith ha sido representada en forma polar tal y como se observa a continuación.

Fig. 1 – Carta de Smith tradicional

Las impedancias se representan normalizadas, esto es, se representa la relación entre la impedancia que se quiere representar y la impedancia de generador. El centro de la carta es la resistencia pura unidad (máxima adaptación) mientras que el círculo periférico que limita la carta es la reactancia pura. El extremo izquierdo de la carta representa el cortocircuito puro y el extremo derecho, el circuito abierto puro. La carta se hizo enseguida muy popular para poder realizar cálculos de adaptación de impedancias con líneas de transmisión usando el método gráfico. Sin embargo,las dificultades de diseño con la carta empezaron a producirse cuando se quería analizar dispositivos activos como amplificadores, para estudiar su estabilidad, y osciladores.

Obviamente, la carta limita a las impedancias de parte real positiva, pero la carta puede representar, mediante extensión del plano complejo a través de la transformación de Möbius, impedancias con parte real negativa [1]. Esta carta expandida al plano de parte real negativa se puede ver en la siguiente figura

Fig. 2-Carta de Smith expandida a parte real negativa

Esta carta, sin embargo, tiene dos inconvenientes: 1) aunque nos permite representar todas las impedancias, existe el problema del infinito complejo, por lo que sigue limitada y 2) la carta toma unas dimensiones grandes que la hacen difícil de manejar en un entorno gráfico, incluso tratándose de un entorno asistido por computador. Sin embargo, su ampliación es necesaria cuando se desean analizar los círculos de estabilidad en amplificadores, ya que en muchas ocasiones, los centros de estos círculos están situados fuera de la carta de impedancias pasivas.

En un entorno gráfico por computador, representar los círculos ya lo realiza el propio programa a través de sus cálculos, pudiendo limitar la carta a la carta pasiva y dibujando sólo una parte del círculo de estabilidad. Pero con osciladores se sigue teniendo el problema del infinito complejo, cosa que se resuelve a través de la esfera de Riemann.

ESFERA DE RIEMANN

La esfera de Riemann es la solución matemática para representar todo el plano complejo, incluido el infinito. Toda la superficie compleja se representa en una superficie esférica mediante una proyección estereográfica de dicho plano.

Fig. 3 – Proyección del plano complejo a una esfera

En esta representación el hemisferio sur de la esfera representa el origen, el hemisferio norte representa el infinito y el ecuador el círculo de radio unidad. La distribución de los valores complejos en la esfera se puede ver en la siguiente figura

Fig. 4 – Distribución de los valores complejos en la esfera

De este modo, es posible representar cualquier número del espacio complejo en una superficie manejable.

REPRESENTANDO LA CARTA DE SMITH EN UNA ESFERA DE RIEMANN

Como la Carta de Smith es una representación compleja, se puede proyectar del mismo modo a una esfera de Riemann [2], tal y como se muestra en la figura siguiente

Fig. 5 – Proyección de la Carta de Smith sobre una esfera de Riemann

En este caso, el hemisferio norte corresponde a la impedancias de parte resistiva positiva (impedancias pasivas), en el hemisferio sur se representan las impedancias con resistencia negativa (impedancias activas), en el hemisferio este se representan las impedancias inductivas y en el oeste las impedancias capacitivas. El meridiano principal se corresponde con la impedancia resistiva pura.

Así, se se desea representar una impedancia cualquiera, ya sea activa o pasiva, se puede representar en cualquier punto de la esfera, facilitando notablemente su representación. Del mismo modo, se pueden representar los círculos de estabilidad de cualquier amplificador sin tener que expandir la carta. Por ejemplo, si queremos representar los círculos de estabilidad de un transistor cuyos parámetros S a 3GHz son

S11=0,82/-69,5   S21=5,66/113,8   S12=0,03/48,8  S22=0,72/-37,6

el resultado en la carta de Smith convencional sería

Fig. 6 – Representación tradicional de los círculos de estabilidad

mientras que en la carta tridimensional sería

Fig. 7 – Círculos de estabilidad en la carta tridimensional

donde se pueden ver ubicados ambos círculos, parte en el hemisferio norte y parte en el sur. Como se puede ver, se ha facilitado enormemente su representación.

UNA APLICACIÓN PRÁCTICA: AMPLIFICADOR DE BAJO RUIDO

Vamos a ver una aplicación práctica de la carta tratando de conseguir que el amplificador de la sección anterior esté adaptado a la máxima ganancia estable y mínima figura de ruido, a 3GHz. Usando los métodos tradicionales, y conociendo los datos del transistor, que son

S11=0,82/-69,5   S21=5,66/113,8   S12=0,03/48,8  S22=0,72/-37,6

NFmin=0,62  Γopt=0,5/67,5 Rn=0,2

Representamos en la carta de Smith tridimensional esos parámetros S y dibujamos los círculos de estabilidad del transistor. Para una mejor representación usamos 3 frecuencias, con un ancho de banda de 500MHz.

Fig. 8 – Parámetros S y círculos de estabilidad del transistor (S11 S21 S12 S22 Círculo se estabilidad de entrada Círculo de estabilidad de salida)

y podemos ver los parámetros S, así como los círculos de estabilidad, tanto en el diagrama polar convencional como en la carta tridimensional. Como se puede observar, en el diagrama polar convencional los círculos se salen de la carta.

Para que un amplificador sea incondicionalmente estable, los círculos de estabilidad deberían estar situados en la zona externa de impedancia pasiva de la carta (en la carta tridimensional, en el hemisferio sur, que es la región expandida) bajo dos condiciones: si los círculos son externos a la carta pasiva y no la rodean, la zona inestable se encuentra en el interior del círculo. Si rodean a la carta, las cargas inestables se encuentran en el exterior del círculo.

Fig. 9 – Posibles situaciones de los círculos de estabilidad en la región activa

En nuestro caso, al entrar parte de los círculos a la región de impedancias pasivas, el amplificador es condicionalmente estable. Entonces las impedancias que podrían desestabilizar el amplificador son las que se encuentran en el interior de los círculos. Esto es algo que todavía no se puede ver con claridad en la carta tridimensional, no parece que lo calcule y sería interesante de incluir en posteriores versiones, porque facilitaría enormemente el diseño.

Vamos ahora a adaptar la entrada para obtener el mínimo ruido. Para ello hay que diseñar una red de adaptación que partiendo de 50Ω llegue al coeficiente de reflexión Γopt y que representa una impedancia normalizada Zopt=0,86+j⋅1,07. En la carta de Smith tridimensional abrimos el diseño y representamos esta impedancia

Fig. 10 – Representación de Γopt

Ahora usando la admitancia, nos desplazamos en la región de conductancia constante hasta que obtengamos que la parte real de la impedancia sea 1. Esto lo hacemos tanteando y obtenemos una subsceptancia de 0,5,. Como hemos tenido que incrementar 0,5–(-0,57)=1,07, esto equivale a una capacidad a tierra de 1,14pF.

Fig. 11 – Transformación hasta el círculo de impedancia con parte real unidad.

Ahora sólo queda colocar un componente que anule la parte imaginaria de la impedancia (reactancia), a resistencia constante. Como la reactancia obtenida es -1,09, hay que añadir 1,09, por lo que el valor de reactancia se anula. Esto equivale a una inducción serie de 2,9nH.

Fig. 12 – Impedancia de generador adaptada a Γopt

Ya tenemos la red de adaptación de entrada que nos consigue la mínima figura de ruido. Como el dispositivo es activo, al colocar esta red de adaptación nos cambian los parámetros S del transistor. Los nuevos parámetros son:

S11=0,54/-177   S21=8,3/61,1   S12=0,04/-3,9  S22=0,72/-48,6

que representamos en la carta de Smith para ver sus círculos de estabilidad.

Fig. 13 – Transistor con entrada adaptada a Γopt y sus círculos de estabilidad

Las regiones inestables son las internas, por lo que el amplificador sigue siendo estable.

Ahora hay que adaptar la salida para obtener la máxima ganancia, por lo que hay que cargar a S22=0,72/-48,6 un coeficiente de reflexión ΓL adaptación conjugada, pasando de 50Ω a un coeficiente de reflexión ΓL=0,72/48,6. Esta operación se realiza del mismo modo que operamos en la adaptación de la entrada. Haciendo esta operación y obteniendo los parámetros S del conjunto completo, con redes de adaptación en entrada y salida, obtenemos

S11=0,83/145   S21=12/-7.5   S12=0,06/-72,5  S22=0,005/162

La ganancia es 20·log(S21)=21,6dB, y la figura de ruido obtenida es 0,62dB, que corresponde a su NFmin. Ahora sólo queda representar en la carta de Smith tridimensional estos parámetros para observar sus círculos de estabilidad.

Fig. 14 – Amplificador de bajo ruido y sus círculos de estabilidad

En este caso, la región estable del círculo de estabilidad de entrada es la interior, mientras que en el círculo de estabilidad de salida es la exterior. Como ambos coeficientes de reflexión, S11 y S22 se encuentran en la región estable, el amplificador es entonces estable.

CONCLUSIONES

En esta entrada hemos tenido la primera toma de contacto con la Carta de Smith tridimensional. El objetivo de la entrada era estudiar su potencial respecto a una herramienta ya tradicional en la ingeniería de Microondas como es la Carta de Smith tradicional. Se observan novedosas ventajas sobre ésta en cuanto a que podemos representar los valores infinitos de la transformada de Möbius sobre una esfera de Riemann y de este modo tener una herramienta gráfica tridimensional donde se pueden representar prácticamente todas las impedancias, tanto pasivas como activas, y parámetros difíciles de representar en la carta tradicional como los círculos de estabilidad.

En su versión 1 la herramienta, que se puede encontrar en la página web 3D Smith Chart / A New Vision in Microwave Analysis and Design, presenta bastantes opciones de diseño y configuración, aunque se echa de menos algunas aplicaciones que, sin duda, irán incorporándose en futuras versiones. En este caso, una de las aplicaciones más ventajosas para la carta, al haber estudiado los círculos de estabilidad de un amplificador, es la ubicación de las regiones de estabilidad de forma gráfica. Aunque esto lo podemos resolver por cálculo, siempre es más ventajosa la imagen visual.

La aplicación tiene un manual de usuario con ejemplos explicados de forma sencilla, de modo que el diseñador se familiarice enseguida con ella. En mi opinión profesional, es una herramienta idónea para los que estamos acostumbrados a usar la carta de Smith para realizar nuestros cálculos de redes de adaptación.

REFERENCIAS

  1. Müller, Andrei; Dascalu, Dan C; Soto, Pablo; Boria, Vicente E.; ” The 3D Smith Chart and Its Practical Applications”; Microwave Journal, vol. 5, no. 7, pp. 64–74, Jul. 2012
  2. Zelley, Chris; “A spherical representation of the Smith Chart”; IEEE Microwave, vol. 8, pp. 60–66, July 2007
  3. Grebennikov, Andrei; Kumar, Narendra; Yarman, Binboga S.; “Broadband RF and Microwave Amplifiers”; Boca Raton: CRC Press, 2016; ISBN 978-1-1388-0020-5