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¿Hacen su labor los medios respecto a la forma de tratar los conocimientos científicos?

trudeauDejando un poco aparte (al menos, hasta el próximo mes) la divulgación técnica pura, recientemente me he encontrado con una noticia en varios medios que me ha parecido, cuanto menos, sorprendente. No porque el Primer Ministro canadiense sepa bastante de Mecánica Cuántica, ya que podría estar sorprendido en el caso de que conociese su trayectoria académica y en ésta no describa si ha estudiado o no sobre el tema, sino por el grado de desconocimiento que algunos periodistas tienen de las personas a las que están preguntando, que pueden provocar patinazos (o como se dice en el argot de Twitter, “zascas en toda la boca”) como el del que se han hecho eco nuestros medios. Por este motivo, me he lanzado a escribir una entrada de opinión sobre el tema, retomando de algún modo uno de los apartados que quise siempre para este blog, que fuese también un lugar de divulgación para todos los públicos y no sólo para los muy técnicos. Con ese compromiso retomo desde hoy la inclusión de entradas no exclusivamente técnicas, que estén relacionadas, como siempre, con el mundo científico y tecnológico y sus avances.

LA ACTITUD DE POLÍTICOS Y PERIODISTAS FRENTE A LOS CONOCIMIENTOS CIENTÍFICOS

Recientemente, la prensa vulgarmente llamada “seria” se ha hecho eco de un hecho que, parece ser, consideran “anormal”: que un Primer Ministro, además de tener ese cargo, dé una clase magistral de Computación Cuántica a un periodista que quiso pasarse de listo, cuando requirió a Justin Trudeau que le explicase algo sobre dicho tema. Ni corto ni perezoso, el mandatario canadiense no sólo le contestó sino que le dio una clase magistral de 35 segundos a un periodista que creyó que ésta era la suya.

Vivimos unos tiempos en los que parece que el pensamiento crítico más elemental ha desaparecido de algunos despachos oficiales y algunas líneas editoriales, y que se juzga más a la gente por un tuit equivocado que por una larga trayectoria, sin que se haga el más mínimo esfuerzo en conocer a quién te diriges cuando le preguntas. Algo que debería ser elemental para cualquier profesional de los medios de comunicación: si quieres saber cómo te va a contestar y si te va a contestar a una pregunta, primero estudia la trayectoria del interrogado, para que sepas hacerle la pregunta.

Parece ser que a los medios les sorprende que Justin Trudeau sepa de Computación Cuántica porque muchos de los lectores eso les suena a chino mandarín, también en parte gracias a la pésima labor de divulgación de algunos medios escritos, que suelen equiparar ciencia con pseudociencia, como si ambas estuviesen en el mismo nivel, alegando esa excusa de que todo el mundo tiene derecho a que se les proporcione información. Lo que pasa es que se les suele olvidar el adjetivo milagroso: veraz.

Cierto es que muchos políticos carecen de conocimientos científicos, y algunos hasta adolecen del más elemental conocimiento acerca de lo que significa el mundo científico y sus avances, usándolo sólo los mismos cuando se trata de hacerse una foto frente a un científico famoso cuando ha ganado algún premio. Un caso paradigmático fue el del Dr. D. Severo Ochoa: cuando ganó el premio Nobel, el régimen imperante en España se acordó de él y le quiso repatriar con promesas de inversiones y laboratorios, cuando unos años antes ese mismo régimen no le concedía ni el pasaporte para poder salir de la Alemania nazi. Muchos políticos adolecen de esa falta, pero también es cierto que otros tienen cultura científica, sin que la prensa les preste atención cuando opinan de algo que no sea la pura palestra política.

¿DE QUÉ NOS EXTRAÑAMOS SI HEMOS TENIDO POLÍTICOS CON DOS TITULACIONES Y HASTA LAS EJERCÍAN?

boyer1-aEsta prensa que hoy está jaleando a Trudeau, convirtiendo en noticia algo que no debería serlo tanto, es la misma prensa que obvió o que no concedió interés a un artículo de Miguel Boyer Salvador, ex-Ministro de Economía del primer gabinete de Felipe González, en el que el recientemente fallecido economista hacía una disertación acerca del dilema que supondría si los resultados obtenidos en el proyecto OPERA en 2011 (neutrinos viajando a una velocidad más alta que la de la luz) se verificaban. En su etapa más joven, Miguel Boyer, Licenciado en Ciencias Económicas y Ciencias Físicas, también opinaba sobre temas científicos y sobre la filosofía de la ciencia. No era, pues, un político inculto científicamente pues de cuando en cuando, el ex-Ministro de Economía se dejaba caer por Universidades de Verano siendo participante o ponente de cursillos que no eran ni estrictamente políticos ni económicos.

Aunque este artículo se hubiese publicado después de la clase magistral de Trudeau, los periodistas hubiesen seguido sin prestarle atención, puesto que el titular era que hay un político que no es inculto y que sabe de Mecánica Cuántica, como si hubiesen probado la existencia de los unicornios, en lugar de haber estudiado antes la biografía de Justin Trudeau y su brillante trayectoria académica, en la que se destaca, aparte de su Licenciatura en Educación, sus estudios de ingeniería en la Politécnica de la Universidad de Montreal y su Maestría en Geografía Medioambiental en la Universidad McGill, lo que viene a mostrar a un hombre que se preocupa por formarse cuando quiere dotarse de una opinión contrastada. Desgraciadamente, aquellos políticos que adolecen de esa falta de rigor, tratando con desdén los conocimientos científicos y a las personas que los generan, tapan la brillantez de otros políticos que sí que se preocupan de su autoformación. Estos últimos los hay, existen, pero no son tan noticia para una prensa que un día publica el descubrimiento del Bosón de Higgs y al día siguiente, en el mismo apartado de Ciencia, una disertación sobre los peligros de las ondas electromagnéticas no ionizantes, si bien es cierto que la camada de políticos más brillantes de la reciente Historia de España se ha dado, precisamente, en la Transición. Hoy en día, muchos políticos lo son de carrera, ascendiendo dentro del propio partido sin haber tenido experiencia previa en otro sitio diferente.

Sin embargo, con el perfil de estos políticos también aparece el perfil del periodista que desdeña la labor de proporcionar esa información veraz. Porque la información tiene que ser eso, veraz, ya que la prensa de hoy día será la fuente de la Historia de mañana, como los autores clásicos del mundo romano nos permiten conocer cómo era su tiempo y sus costumbres.

No se puede tampoco meter en este saco a todos los periodistas, puesto que los hay muy brillantes dentro de esta profesión. Pero sí hay que indicar que la tendencia a vivir a ritmo de tuit en lugar de hacer la pesada y ardua labor de documentarse previamente está causando, en mi opinión, estragos entre lo que debería ser la diferencua entre una información veraz y puro rumo, cotilleo o “chisme”.

Hoy en día, el  mundo científico español y, sobre todo, nuestros científicos están sufriendo, por un lado, la apatía de quienes gobiernan actualmente nuestro país, cuyo rigor a la hora de tratar este conocimiento es poco menos que nulo, despreciando un modelo productivo basado en el valor añadido del conocimiento, y basándose en el agotado modelo del yo te lo hago más barato, condenando con esa política por un lado, a limitar el crecimiento de nuestro país, y por otro, a la mal llamada movilidad laboral de nuestros científicos, obligados a tener que coger las maletas y ejercer su profesión en centros de investigación y laboratorios de otros países, donde este conocimiento no es desdeñado sino que se ve como una oportunidad.

Y ésa debería ser la labor de la prensa llamada “seria”: centrar la importancia en el conocimiento científico y evitar el recurso fácil de reproducir titulares facilones para atraer más público, así como dejar de situar al mismo nivel este conocimiento y la falta de evidencia de las pseudociencias. Porque el hecho de que haya políticos incultos científicamente no convierte a los que publican noticias en expertos en ciencia. Dentro del mundo periodístico hay incultos científicamente como los hay en casi todas las profesiones no relacionadas con éste ámbito. Así que espero que el “zasca” a este periodista retome un poco la deontología de que cualquier entrevista, editorial o titular debe de estar tan rigurosamente documentada en fuentes como lo está un artículo sobre la Física de Plasmas.

REFERENCIAS

  1. Boyer Salvador, M.,”Dilema radical en la física: “Einstein, ¿sí o no?”“,El País, 6/10/2011
  2. Boyer Salvador, M.,”Popper y los nuevos filósofos de la ciencia“, El País, 7/11/1984
  3. Delgado, J.,”Boyer defiende la libertad como valor absoluto en el seminario sobre Popper“, El País, 31/07/1991
  4. Justin Trudeau, Wikipedia
  5. Justin Trudeau, Liberal Party Website
  6. Miguel Boyer Salvador, Wikipedia

 

Statistical analysis using Monte Carlo method (II)

Art02_fig01

In the previous post, some single examples of the Monte Carlo method were shown. In this post it will be deeply analyzed, making a statistical analysis on a more complex system, analyzing its output variables and studying the results so that they will be quite useful. The advantage of simulation is that it is possible to get a random generation of variables, and also a correlation between variables can be set, achieving different effects in the analysis of the system performance. Thus, any system not only can be analyzed statistically using a random generation of variables, but also this random generation can be linked in a batch analysis or failures in production and in a post-production recovery.

The circuits studied in the previous post were very simple circuits, allowing to see the allocation of random variables and their results when these random variables are integrated a more complex system. With this analysis, it is possible to check the performance and propose corrections which would limit statistically the variations in the final system.

In this case, the dispersive effect of the tolerances will be studied on one of the circuits where it is very difficult to achieve an stability in its features: an electronic filter. An electronic filter, passband type, will be designed and tuned to a fixed frequency, with a certain bandwidth in passband and stopband, and several statistical analysis will be done on it, to check its response with the device tolerances.

DESIGN OF THE BANDPASS FILTER

A bandpass filter design is done, with a 37,5MHz center frequency, 7MHz pass bandwidth (return losses ≥14dB) and a 19MHz stopband bandwidth (stopband attenuation >20dB). When the filter is calculating, three sections are got, and its schematic is

Filtro paso banda de tres secciones

3-sections bandpass filter

With the calculated values of the components, standard values which can make the filter transfer function are found, and its frequency response is

Respuesta en frecuencia del filtro paso banda

Bandpass filter frequency response

where it is possible to check that the center frequency is 37.5 MHz, the return losses are lower than 14dB at ± 3.5Mhz of the center frequency, and the stopband width is 18,8MHz, with 8,5MHz from the left of the center frequency and 10,3MHz to the right of the center frequency.
Then, once the filter is designed, a first statistical analysis is done, considering that the capacitor tolerance is ± 5% and the inductors are adjustable. In addition, there is not any correlation between the random variables, being able to take an random value independently.

STATISTICAL ANALYSIS OF THE FILTER WITHOUT CORRELATION BETWEEN VARIABLES

As it could be seen in the previous post, when there are random variables there is an output dispersion, so limits to consider a valid filter must be defined, from these limits, to analyze its valid frequency response. Yield analysis is used. This is an analysis using the Monte Carlo algorithm that it allows  to check the performance or effectiveness of the design. To perform this analysis, the limits-for-validation specifications must be defined. The chosen specifications are return losses >13,5dB at 35÷40MHz, with a 2 MHzreduction in the passband width and an attenuation >20dB at frequencies ≤29MHz and ≥48MHz. By statistical analysis, it is got

Análisis estadístico del filtro. Variables sin correlación.

Statistical analysis of the filter . Variables without correlation.

whose response is bad: only 60% of possible filters generated by variables with a ±5% tolerance could be considered valid. The rest would not be considered valid by a quality control, which would mean that 40% defective material should be returned to the production, to be reprocessed.

It can be checked in the graph that the return loss are the primarily responsible for this bad performance. What could it be done to improve it? In this case, there are 4 random variables. However, two capacitors have of the same value (15pF), and when they are assembled in a production process, usually belong to the same manufacturing batch. If these variables show no correlation, variables can take completely different values. When they are not correlated, the following chart is got

Condensadores C1 y C3 sin correlación

C1, C3 without correlation

However, when these assembled components belong to the same manufacturing batch, their tolerances vary always to the same direction, therefore there is correlation between these variables.

STATISTICAL ANALYSIS OF THE FILTER WITH CORRELATION BETWEEN VARIABLES

When the correlation is used, the influence of tolerances is decreased. In this case, it is not a totally random process, but manufacturing batches in which the variations happen. In this case, it is possible to put a correlation between the variables C1 and C3, which have the same nominal value and belong the same manufacturing batch, so now the correlation graph is

Condensadores C1 y C3 con correlación

C1, C3 with correlation

where the variation trend in each batch is the same. Then, putting a correlation between the two variables allows studying the effective performance of the filter and get

Análisis estadístico con C1, C2 variables correladas

Statistical analysis with correlation in C1, C3

that it seems even worse. But what happens really? It must be taken into account that the variable correlation has allowed analyzing complete batches, while in the previous analysis was not possible to discern the batches. Therefore, 26 successful complete manufacturing processes have been got, compared to the previous case that it was not possible to discern anything. Then, this shows that from 50 complete manufacturing processes, 26 processes would be successful.

However, 24 complete processes would have to be returned to production with the whole lot. And it remains really a bad result. But there is a solution: the post-production adjustment.

STATISTICAL ANALYSIS WITH POST-PRODUCTION ADJUSTMENT

As it was said, at this point the response seems very bad, but remembering that the inductors had set adjustable. What happens now? Doing a new analysis, allowing at these variable to take values in ±10% over the nominal value, and setting the post-production optimization in the Monte Carlo analysis and voilà! Even with a very high defective value, it is possible to recover 96% of the filters within the valid values.

Análisis estadístico con ajuste post-producción

Statistical analysis with post-production optimization

So an improvement is got, because the analysis is showing that it is possible to recover almost all of the batches with the post-production adjustment, so this analysis allows showing not only the defective value but also the recovery posibilities.
It is possible to represent the variations of the inductors (in this case corresponding to the serial resonances) to analyze what is the sensitivity of the circuit to the more critical changes. This analysis allows to set an adjustment pattern to reduce the adjustment time that it should have the filter.

Análisis de los patrones de ajuste en las inducciones de las resonancias serie

Analysis of the adjustment patterns of the serial resonance inductors

So, with this analysis, done at the same time design, it is possible to take decisions which set the patterns of manufacturing of the products and setting the adjustment patterns for the post-production, knowing previously the statistic response of the designed filter. This analysis is a very important resource before to validate any design.

CONCLUSIONS

In this post, a more grade in the possibilities of using Monte Carlo statistical analysis is shown, using statistical studies. The algorithm provides optimal results and allows setting conditions for various analysis and optimizing more the design. Doing a post-production adjustment, it is possible to get the recovery grade of the proposed design. In the next post, another example of the Monte Carlo method will be done that allows seeing more possibilities over the algorithm.

REFERENCES

  1. Castillo Ron, Enrique, “Introducción a la Estadística Aplicada”, Santander, NORAY, 1978, ISBN 84-300-0021-6.
  2. Peña Sánchez de Rivera, Daniel, “Fundamentos de Estadística”, Madrid,  Alianza Editorial, 2001, ISBN 84-206-8696-4.
  3. Kroese, Dirk P., y otros, “Why the Monte Carlo method is so important today”, 2014, WIREs Comp Stat, Vol. 6, págs. 386-392, DOI: 10.1002/wics.1314.

Análisis estadísticos usando el método de Monte Carlo (II)

Art02_fig01En la anterior entrada mostramos con una serie de ejemplos simples cómo funciona el método de Monte Carlo para realizar análisis estadísticos. En esta entrada vamos a profundizar un poco más, haciendo un análisis estadístico más profundo sobre un sistema algo más complejo, analizando una serie de variables de salida y estudiando sus resultados desde una serie de ópticas que resultarán bastante útiles. La ventaja que tiene la simulación es que podemos realizar una generación aleatoria de variables, y además, podemos establecer una correlación de esas variables para conseguir distintos efectos al analizar el funcionamiento de un sistema. Así, cualquier sistema no sólo se puede analizar estadísticamente mediante una generación aleatoria de entradas, sino que podemos vincular esa generación aleatoria a análisis de lotes o fallos en la producción, así como su recuperación post-producción.

Los circuitos que vimos en la anterior entrada eran circuitos muy sencillos que permitían ver cómo funciona la asignación de variables aleatorias y el resultado obtenido cuando estas variables aleatorias forman parte de un sistema más complejo. Con este análisis, podíamos comprobar un funcionamiento y hasta proponer correcciones que, por sí solas, limitasen las variaciones estadísticas del sistema final.

En este caso, vamos a estudiar el efecto dispersivo que tienen las tolerancias sobre uno de los circuitos más difíciles de conseguir su funcionamiento de forma estable: el filtro electrónico. Partiremos de un filtro electrónico de tipo paso banda, sintonizado a una determinada frecuencia y con una anchura de banda de paso y rechazo determinadas, y realizaremos varios análisis estadísticos sobre el mismo, para comprobar su respuesta cuando se somete a las tolerancias de los componentes.

DISEÑO DEL FILTRO PASO BANDA

Vamos a plantear el diseño de un filtro paso banda, centrado a una frecuencia de 37,5MHz, con un ancho de banda de 7MHz para unas pérdidas de retorno mayores que 14dB, y un ancho de banda de rechazo de 19MHz, con atenuación mayor de 20dB. Calculando el filtro, se obtienen 3 secciones, con el siguiente esquema

Filtro paso banda de tres secciones

Filtro paso banda de tres secciones

Con los valores de componentes calculados, se buscan valores estándar que puedan hacer la función de transferencia de este filtro, cuya respuesta es

Respuesta en frecuencia del filtro paso banda

Respuesta en frecuencia del filtro paso banda

donde podemos ver que la frecuencia central es 37,5MHz, que las pérdidas de retorno están por debajo de 14dB en ±3,5MHz de la frecuencia central y que el ancho de banda de rechazo es de 18,8MHz, con 8,5MHz a la izquierda de la frecuencia central y 10,3MHz a la derecha de la frecuencia central.

Bien, ya tenemos diseñado nuestro filtro, y ahora vamos a hacer un primer análisis estadístico, considerando que las tolerancias de los condensadores son ±5%, y que las inducciones son ajustables. Además, no vamos a indicar correlación en ninguna variable, pudiendo tomar cada variable un valor aleatorio independiente de la otra.

ANÁLISIS ESTADÍSTICO DEL FILTRO SIN CORRELACIÓN ENTRE VARIABLES

Como vimos en la entrada anterior, cuando tenemos variables aleatorias vamos a tener dispersión en la salida, así que lo óptimo es poner unos límites según los cuales podremos considerar el filtro válido, y a partir de ahí analizar cuál es su respuesta. Para ello se recurre al análisis YIELD, que es un análisis que, usando el algoritmo de Monte Carlo, nos permite comprobar el rendimiento o efectividad de nuestro diseño. Para realizar este análisis hay que incluir las especificaciones según las cuales se puede dar el filtro por válido. Las especificaciones elegidas son unas pérdidas de retorno superiores a 13,5dB entre 35÷40MHz, con una reducción de 2MHz en la anchura de banda, y una atenuación mayor de 20dB por debajo de 29MHz y por encima de 48MHz. Haciendo el análisis estadístico obtenemos

Análisis estadístico del filtro. Variables sin correlación.

Análisis estadístico del filtro. Variables sin correlación.

que, sinceramente, es un desastre: sólo el 60% de los posibles filtros generados por variables con un ±5% de tolerancia podrían considerarse filtros válidos. El resto no serían considerados como válidos en un control de calidad, lo que significaría un 40% de material defectivo que se devolvería al proceso de producción.

De la gráfica se puede ver, además, que son las pérdidas de retorno las principales responsables de que exista tan bajo rendimiento. ¿Qué podemos hacer para mejorar este valor? En este caso, tenemos cuatro variables aleatorias. Sin embargo, dos de ellas son del mismo valor (15pF), que cuando son montadas en un proceso productivo, suelen pertenecer al mismo lote de fabricación. Si estas variables no presentan ninguna correlación, las variables pueden tomar valores completamente dispares. Cuando las variables no presentan correlación, tendremos la siguiente gráfica

Condensadores C1 y C3 sin correlación

Condensadores C1 y C3 sin correlación

Sin embargo, cuando se están montando componentes de un mismo lote de fabricación, las tolerancias que presentan los componentes varían siempre hacia el mismo sitio, por tanto hay correlación entre dichas variables.

ANÁLISIS ESTADÍSTICO DEL FILTRO CON CORRELACIÓN ENTRE VARIABLES

Cuando usamos la correlación entre variables, estamos reduciendo el entorno de variación. En este caso, lo que analizamos no es un proceso totalmente aleatorio, sino lotes de fabricación en los cuales se producen las variaciones. En este caso, hemos establecido la correlación entre las variables C1 y C3, que son del mismo valor nominal y que pertenecen la mismo lote de fabricación, por lo que ahora tendremos

Condensadores C1 y C3 con correlación

Condensadores C1 y C3 con correlación

donde podemos ver que la tendencia a la variación en cada lote es la misma. Estableciendo entonces la correlación entre ambas variables, estudiamos el rendimiento efectivo de nuestro filtro y obtenemos

Análisis estadístico con C1, C2 variables correladas

Análisis estadístico con C1, C2 variables correladas

que parece todavía más desastroso. Pero ¿es así? Tenemos que tener en cuenta que la correlación entre variables nos ha permitido analizar lotes completos de fabricación, mientras que en el análisis anterior no se podía discernir los lotes. Por tanto, lo que aquí hemos obtenido son 26 procesos de fabricación completos exitosos, frente al caso anterior que no permitía discernir nada. Por tanto, esto lo que nos muestra es que de 50 procesos completos de fabricación, obtendríamos que 26 procesos serían exitosos.

Sin embargo, 24 procesos completos tendrían que ser devueltos a la producción con todo el lote. Lo que sigue siendo, realmente, un desastre y el Director de Producción estaría echando humo. Pero vamos a darle una alegría y a justificar lo que ha intentado siempre que no exista: el ajuste post-producción.

ANÁLISIS ESTADÍSTICO CON AJUSTE POST-PRODUCCIÓN

Como ya he dicho, a estas alturas el Director de Producción está pensando en descuartizarte poco a poco, sin embargo, queda un as en la manga, recordando que las inducciones las hemos puesto de modo que sean ajustables. ¿Tendrá esto éxito? Para ello hacemos un nuevo análisis, dando valores variables en un entorno de ±10% sobre los valores nominales, y activamos el proceso de ajuste post-producción en el análisis y ¡voilà! Aun teniendo un defectivo antes del ajuste muy elevado, logramos recuperar el 96% de los filtros dentro de los valores que se habían elegido como válidos

Análisis estadístico con ajuste post-producción

Análisis estadístico con ajuste post-producción

Bueno, hemos ganado que el Director de Producción no nos corte en cachitos, ya que el proceso nos está indicando que podemos recuperar la práctica totalidad de los lotes, eso sí, con el ajuste, por lo que con este análisis podemos mostrar no sólo el defectivo sino la capacidad de recuperación del mismo.

Podemos representar cómo han variado las inducciones (en este caso las correspondientes a las resonancias en serie) para poder analizar cuál es la sensibilidad del circuito frente a las variaciones más críticas. Este análisis permite establecer un patrón de ajuste para reducir el tiempo en el que se debe de tener un filtro exitoso.

Análisis de los patrones de ajuste en las inducciones de las resonancias serie

Análisis de los patrones de ajuste en las inducciones de las resonancias serie

Así, con este tipo de análisis, realizado en el mismo momento del diseño, es posible tomar decisiones que fijen los patrones posteriores de la fabricación de los equipos y sistemas, pudiendo establecer patrones fijos de ajuste post-producción sencillos al conocer de antemano la respuesta estadística del filtro diseñado. Una cosa muy clara que he tenido siempre, es que cuando no he hecho este análisis, el resultado es tan desastroso como muestra la estadística, así que mi recomendación como diseñador es dedicarle tiempo a aprender cómo funciona y hacerle antes de que le digas a Producción que tu diseño está acabado.

CONCLUSIONES

En esta entrada hemos querido mostrar un paso más en las posibilidades del análisis estadístico usando Monte Carlo, avanzando en las posibilidades que muestra el método a la hora de hacer estudios estadísticos. El algoritmo nos proporciona resultados y nos permite fijar condicionantes para realizar diversos análisis y poder optimizar más si se puede cualquier sistema. Hemos acudido hasta a un ajuste post-producción, a fin de calmar la ira de nuestro Director de Producción, que ya estaba echando humo con el defectivo que le estábamos proporcionando. En la siguiente entrada, abundaremos un poco más en el método con otro ejemplo que nos permita ver más posibilidades en el algoritmo.

REFERENCIAS

  1. Castillo Ron, Enrique, “Introducción a la Estadística Aplicada”, Santander, NORAY, 1978, ISBN 84-300-0021-6.
  2. Peña Sánchez de Rivera, Daniel, “Fundamentos de Estadística”, Madrid,  Alianza Editorial, 2001, ISBN 84-206-8696-4.
  3. Kroese, Dirk P., y otros, “Why the Monte Carlo method is so important today”, 2014, WIREs Comp Stat, Vol. 6, págs. 386-392, DOI: 10.1002/wics.1314.