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Estudio del comportamiento de un material piezoeléctrico (II)

En la entrada anterior habíamos estudiado el fenómeno piezoeléctrico a partir de las ecuaciones constitutivas que relacionan los campos eléctricos y mecánicos generados en el material. Los materiales piezoeléctricos se utilizan, gracias a este comportamiento, como componentes electrónicos con muy alta calidad. Su uso en filtros SAW, en resonadores BAW, en cristales de Cuarzo, para zumbadores e incluso como cargadores en Energy Harvesting hacen necesario, cada vez más, tener un modelo de circuito equivalente que defina correctamente el componente y su respuesta electroacústica. En esta entrada vamos a presentar un modelo, extraído en los años 40-50 por W.P. Mason y que sintetiza con bastante precisión los fenómenos electroacústicos tanto en su modelo lineal como no lineal.

MODELO DE MASON: EXTRACCIÓN

piezoelectrico

Esquema de un piezoeléctrico

Hemos dicho que un piezoeléctrico es un material electromecánico en el que aparecen fuerzas mecánicas cuando se le aplican fuerzas eléctricas y, recíprocamente, eléctricas cuando se aplican fuerzas mecánicas. La figura muestra un esquema dimensional de un material piezoeléctrico.

En el piezoeléctrico aplicamos un potencial eléctrico E⋅δz, y en ambas superficies del piezoeléctrico aparecen sendas tensiones T1 y T2, en cada una de las superficies del material. Aparecen también las velocidades de desplazamiento v1 y v2, que están relacionadas con el desplazamiento u a través de

velci

Por último, aparece una corriente eléctrica I en los electrodos del potencial eléctrico. Por último, las magnitudes de A y d son la superficie en m2 y el espesor del dieléctrico en m.

En la entrada anterior estudiamos el comportamiento piezoeléctrico a partir de sus ecuaciones constitutivas. Recordando entonces cómo se escribían estas ecuaciones, teníamos

consti

Se tiene que cumplir, además, la conservación de la energía a través de la ecuación de Lipmann

condi_campo

Combinando adecuadamente estas ecuaciones, habíamos obtenido una ecuación de onda definida por

onda2que corresponde a una onda de propagación.

Utilizando la expresión que liga v con la variación temporal de u, podemos escribir la 2ª Ley de Newton como

second_newton

Recordando, además, que la deformación S derivaba del gradiente de u, calculamos la variación de S con respecto al tiempo y obtenemos su relación con el gradiente de v. Expresándolo para un sistema unidimensional en el eje z, obtenemos

deforma_time

y despejando S de las ecuaciones constitutivas, obtenemos

segunda

Escalamos ahora las ecuaciones, multiplicando por A  los términos de ambas ecuaciones, y agrupándolas, obtenemos

telegraph

Si comparamos este resultado con las ecuaciones del Telegrafista que define una línea de transmisión para las ondas electromagnéticas, podemos comprobar que son similares. La primera relaciona la variación espacial de la tensión -A·T con la variación temporal de la corriente A·v, y correspondería a una inducción por unidad de longitud similar a la de un elemento diferencial de una línea de transmisión.

En la segunda ecuación, que relaciona la variación espacial de la corriente A·v, con respecto a una variación temporal de una tensión, representa una capacidad por unidad de longitud similar a la de la línea de transmisión. Sin embargo, en el segundo término de la ecuación, tenemos una dependencia con la tensión -A·T, que sería una línea de transmisión convencional, y otra dependencia con el desplazamiento eléctrico D. Esa dependencia se representa mediante una línea de transmisión flotante como la que se muestra en la figura siguiente.

linea_t

Modelo acústico del piezoeléctrico, en línea de transmisión, a partir de las ecuaciones del Telegrafista

De este modo ya tenemos asemejada la parte acústica a una línea de transmisión definida por los campos que actúan en las ecuaciones constitutivas.

Sin embargo, esta línea no está del todo completa, ya que hay que incluir el efecto de los electrodos, aislando los campos acústicos de los campos eléctricos. El término que relaciona la variación espacial de A·v con el desplazamiento D puede ser acoplado a través de un transformador ideal N:1, como se muestra en la figura

Acoplamiento de la parte acústica y la eléctrica mediante un transformador N:1

Acoplamiento de la parte acústica y la eléctrica mediante un transformador N:1

y la relación de N se puede calcular por

trafo_ratio

Vamos ahora a estudiar la corriente I. Esta corriente se produce cuando se aplica una tensión E⋅δz en los electrodos del piezoeléctrico. Al aplicar esa tensión, generamos una polarización P, debido al carácter dieléctrico del material. Del mismo modo, sabemos que la corriente I es una variación de la carga Q, y que sólo se producía variación de la carga superficial σ del piezoeléctrico, y que ésta es debida a la polarización P, no variando la carga volumétrica, por lo que

current_in

y como a la polarización P se opone el desplazamiento eléctrico D para mantener el campo electrico E, obtenemos que

current_desplaza

Estudiamos ahora el potencial E⋅δz aplicado en los electrodos. Usando las ecuaciones constitutivas, obtenemos que el potencial es

in_pote

Derivando esta expresión con respecto al tiempo, obtenemos

in_pote3

Estudiemos ahora los términos en δV1 y  δV2. En el término en δV1 podemos obtener la expresión

current_cap

y es la corriente que fluye a través de un condensador de valor CO , en paralelo con la tensión aplicada. Mientras, el término en δV2 se puede relacionar con la corriente que circula en la parte acústica a través de transformador, siendo Iprim la corriente que circula por el devanado primario del transformador. Usando las relaciones del transformador, podemos encontrar la relación de dicha corriente con esta tensión a través de

current_prim

Tenemos que hacer la consideración de que el peso de la tensión δV1>>δV2 , ya que al calcular la relación de transformación en el transformador hemos supuesto que es E⋅δz=δV, por lo que δV1δVδV20. De este modo, la corriente del primario es una corriente que circula a través de una capacidad negativa de valor CO.

Usando estos parámetros, deducidos de las ecuaciones constitutivas, es posible hacer un modelo completo del circuito equivalente de un piezoeléctrico, que se puede ver en la figura siguiente

mason_model

Circuito equivalente de Mason de un piezoeléctrico

CONDICIONES DE CONTORNO

Cualquier medio material está dentro de otros medios materiales (aire, agua, substratos semiconductores, metales, etc), y todos los medios materiales propagan ondas acústicas. Por tanto, así como en electromagnetismo definimos una impedancia de carga eléctrica sobre la que se transfiere la energía entregada desde el generador eléctrico, podemos definir una resistencia de carga acústica, que es donde se transfiere la energía acústica de la deformación. Esta resistencia de carga acústica está relacionada con la impedancia acústica del medio, y se transforma en una resistencia eléctrica a través de la expresión

acustic_resis

Por ejemplo, el aire tiene una impedancia acústica de 471 Rayls, así que para un piezoeléctrico AlN, con una superficie de 10.000μm2, si ambas superficies estuviesen en contacto con el aire, las impedancias de carga a conectar en los puertos A·T1 y A·T2 serían iguales y valdrían 4,71μΩ, lo que vendría a ser como colocar un cortocircuito en ambos puertos.

En el caso de que uno de los medios fuese aire y el otro, silicio, el silicio tiene una impedancia acústica de 8,35·105 Rayls, en el puerto del silicio habría que poner 8,35mΩ.

Hay que notar que, aunque la impedancia obtenida sea baja. no es estrictamente un cortocircuito. De hecho, al aire, que es el que más baja impedancia presenta, es al que consideramos un cortocircuito, mientras que el resto de materiales presentan impedancias acústicas más elevadas.

También es posible que tengamos un material compuesto de varios espesores de materiales, siendo uno de ellos piezoeléctrico, mientras que los demás son conductores o aislantes. Cuando esto ocurre, cada material puede ser representado por una línea de transmisión de igual modo que el piezoeléctrico. Por ejemplo, si el piezoeléctrico está encapsulado entre dos materiales diferentes, como el wolframio (W) y el molibdeno (Mo), y el wolframio está en contacto con el aire y el molibdeno con silicio, habría que añadir sendas líneas de transmisión entre las cargas y el piezoeléctrico, como se muestra en la figura siguiente

piezo_total

 

NO LINEALIDAD EN LOS MATERIALES: EL MODELO NO LINEAL DE MASON

En las condiciones de trabajo habituales de los piezoeléctricos, el funcionamiento debe de ser lineal. Sin embargo, los materiales presentan limitaciones que hay que tener en cuenta a la hora de trabajar con tensiones elevadas. Estas no linealidades introducen frecuencias espurias que reducen la calidad de la señal. Si estamos usando estos materiales en filtros de recepción, las no linealidades pueden representar un problema cuando una señal interferente de valor elevado atraviesa el material.

El piezoeléctrico es un resonador de muy alto factor de calidad. Traducido a parámetros discretos, se comporta como el circuito de la figura

Resonador equivalente de un piezoeléctrico

Resonador equivalente de un piezoeléctrico

La impedancia del resonador se puede representar en función de la frecuencia, obteniendo una gráfica similar a

impedancia

Impedancia del resonador en función de la frecuencia

El modelo, para bajos potenciales eléctricos, responderá correctamente de forma lineal. Sin embargo, a medida que aumentamos el valor del potencial eléctrico aplicado, empiezan a aparecer condiciones no lineales que limitarán su uso. Estas condiciones no lineales afectan, sobre todo, a las distorsiones de 2º y 3er orden, que son las que pueden afectar en mayor medida sobre la señal útil.

Una forma muy efectiva de simular no linealidades en circuitos eléctricos es el uso de las series de Volterra, una variante de los polinomios de Taylor en el que la respuesta depende en todo momento de los valores de los parámetros de entrada, incluyendo efectos de “memoria”, mediante acumulación de energía, de las capacidades e inducciones.

Como en las series de Taylor, las series de Volterra pueden ser truncadas en aquellos ordenes que sean superiores al que se considera dominante, por lo que nuestro modelo, considerando dominantes sobre todo el 2º y 3er orden de distorsión, puede truncarse a partir del 4º orden .

La distorsión afectará tanto al campo eléctrico como a la tensión mecánica. Las ecuaciones constitutivas, incluyendo estos efectos no lineales, quedarán descritas como

constitu_nolineal

siendo ΔT un polinomio de 3er orden que se expresa mediante la suma de 2 términos ΔT2T3, donde el subíndice indica que el polinomio es de 2º o de 3er orden. El caso de ΔD es similar.

Los polinomios que ΔT2, ΔT3, ΔD2 yΔD3 se muestran a continuación:

polinom

y además, se sigue teniendo que cumplir la ecuación de Lipmann para la conservación de la energía.

Las series que definen el modelo no lineal se pueden introducir en el modelo lineal de Mason a través de fuentes de tensión dependientes, tanto en la zona eléctrica como en la zona acústica. A dichas fuentes las denominamos VC y TC y están situadas, dentro del modelo, en la entrada eléctrica (caso de VC) y en línea común de la corriente de secundario (caso de  TC), tal y como se muestra en la figura.

Modelo de Mason con las fuentes no lineales

Modelo de Mason con las fuentes no lineales

Estas fuentes se derivan de las ecuaciones constitutivas del mismo modo que hemos derivado el modelo lineal, y se obtienen sus expresiones, que son

ecuaciones_nolin

Con estas expresiones en el modelo de Mason, tenemos un modelo equivalente no lineal de un material piezoeléctrico, que incluye los efectos de 2º y 3er orden de distorsión, y podemos estudiar el comportamiento de un componente fabricado con este tipo de materiales en presencia de señales interferentes.

CONCLUSIÓN

En esta entrada hemos querido presentar un modelo eléctrico útil para representar un material piezoeléctrico, extraído a partir de las ecuaciones constitutivas. Esto nos ha permitido llegar al modelo que W.P. Mason obtuvo en los años 40, y entender cómo realizó la extracción de los parámetros del modelo.

No sólo hemos obtenido el modelo de Mason, sino que hemos parametrizado un modelo que pueda representar las variaciones no lineales a partir de las series de Volterra, que nos permitirán realizar un modelo no lineal que incluya los efectos de 2º y 3er orden de distorsión, y poder predecir la respuesta de un dispositivo de estas características en condiciones de señales interferentes.

En la próxima entrada vamos a proceder a estudiar el modelo en un simulador, mostrando cómo se realiza un modelo equivalente del piezoeléctrico incluyendo los parámetros no lineales, describiremos un método de medida para extraer los parámetros no lineales y mostraremos los resultados obtenidos mediante simulación.

REFERENCIAS

  1. W.P. Mason, Electromechanical Transducers and Wave Filters”, Princeton NJ, Van Nostrand, 1948
  2. J. F. Rosenbaum, “Bulk Acoustic Wave Theory and Devices”, Artech House, Boston, 1988.
  3. M. Redwood, “Transient performance of a piezoelectric transducer”, J. Acoust. Soc. Amer., vol. 33, no. 4, pp. 527-536, April 1961.
  4. R. Krimholtz, D.A. Leedom, G.L. Mathaei, “New Equivalent Circuit for Elementary Piezoelectric Transducers”, Electron. Lett. 6, pp. 398-399, June 1970.
  5. Y. Cho and J. Wakita, “Nonlinear equivalent circuits of acoustic devices”, Proc. IEEE Ultrason. Symp., Nov. 1993, vol. 2, pp. 867–872.
  6. C. Collado, E. Rocas, J. Mateu, A. Padilla, and J. M. O’Callaghan, “Nonlinear Distributed Model for BAW Resonators”, IEEE Trans. On Microwave Theory and Techniques, vol. 57, no. 12, pp. 3019-3029, Dec. 2009.
  7. E. Rocas, C. Collado, J.C. Booth, E. Iborra, and R. Aigner, “Unified Model for Bulk Acoustic Wave Resonators’ Nonlinear Effects”, Proc. 2009 IEEE Ultrasonics Symposium, pp. 880-884, Sept. 2009.
  8. M. Ueda, M Iwaki, T. Nishihara, Y. Satoh, and K Hashimoto, “Investigation on Nonlinear Distortion of Acoustic Devices for Radio-Freqquency Applications and Its Suppression”, Proc. 2009 IEEE Ultrasonics Symposium, pp. 876-879, Sept. 2009.
  9. M. Ueda, M Iwaki, T. Nishihara, Y. Satoh, and K Hashimoto, “A Circuit Model for Nonlinear Simulation of Radio-Frequency Filters Employing Bulk Acoustic Wave Resonators”, IEEE Trans. On Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency control, vol. 55, 2008, pp. 849-856.
  10. D. S. Shim and D. Feld, “A General Nonlinear Mason Model of Arbitrary Nonlinearities in a Piezoelectric Film”, Proc. 2010 IEEE Ultrasonics Symposium, pp. 295-300, Oct. 2010.
  11. D. Feld, “One-Parameter Nonlinear Mason Model for Predicting 2nd & 3rd Order Nonlinearities in BAW Devices”, Proc. 2009 IEEE Ultrasonics Symposium, pp. 1082-1087, Sept. 2009.

Estudio del comportamiento de un material piezoeléctrico (I)

Los dispositivos electrónicos, cada vez más, forman parte de nuestras herramientas de comunicación, y los componentes electrónicos son cada vez más conocidos, lo que permite aprovechar su potencial en el proceso de diseño. En esta entrada vamos a estudiar el comportamiento electromecánico de un material muy popular: el piezoeléctrico, explicaremos las ecuaciones constitutivas del fenómeno y realizaremos un modelo que permita el estudio del comportamiento en un simulador de circuitos.

LOS MATERIALES PIEZOELÉCTRICOS

Un piezoeléctrico consiste en un material no conductor que posee propiedades mecánicas activadas por la aplicación de campos eléctricos. Por reciprocidad, cuando a ese dispositivo piezoeléctrico le aplicamos torsiones y deformaciones mecánicas, también se generan fuerzas de tipo eléctrico.

El material piezoeléctrico más conocido por los diseñadores electrónicos es el cuarzo (SiO2), cristalizado en trigonal (cuarzo-α) hasta 570°C y en hexagonal (cuarzo-β) a temperaturas entre 570° y 870°C. A temperaturas superiores, el cuarzo se transforma en otro compuesto de sílice denominado tridimita.

La cristalización del cuarzo en su variedad hexagonal proporciona propiedades piezoeléctricas cuando se aplica al material campos eléctricos o tensiones mecánicas, y es muy utilizado en electrónica por este comportamiento, logrando obtener resonadores electromecánicos con muy alto factor de calidad.

Otros materiales piezoeléctricos muy utilizados en la industria electrónica son el nitruro de Aluminio (AlN), el óxido de Zinz (ZnO) y los materiales PZT, en diversas variantes.

En esta entrada vamos a estudiar el comportamiento piezoeléctrico a partir de las ecuaciones constitutivas que relacionan las propiedades mecánicas con las eléctricas, y a partir de ahí, obtener un modelo eléctrico que permita su uso en una herramienta de simulación de circuitos.

CONCEPTO DE ONDAS ACÚSTICAS

En Física denominamos onda acústica a un fenómeno mecánico de propagación de una onda de presión a lo largo de un material. Al poseer esta onda de presión una variación temporal periódica, puede propagarse a diversas frecuencias. Las ondas de presión que están situadas en la banda desde 100Hz a 10KHz se caracterizan porque son audibles, esto es, nuestro sentido del oído puede captarlas, enviar la información captada al cerebro y ser procesada para realizar una determinada acción. Sin embargo, todas las ondas de presión entran dentro del concepto de onda acústica, puesto que es un campo de fuerzas que se asemeja al campo eléctrico por su comportamiento.

En las ondas de presión acústicas distinguimos dos magnitudes importantes: la tensión T y la deformación S,. La primera, T, es la fuerza por unidad de superficie que aparece en el entorno de un punto material de un medio continuo. Es, por tanto, una presión mecánica cuyas unidades son N/m2.

Descripción de la tensión mecánica

Asociada a ésta aparece la deformación S, que es desplazamiento que se produce en las partículas del material al aplicar una presión sobre éstas. La deformación se mide en m/m.

Desplazamiento producido por una deformación

Desplazamiento producido por una deformación

La relación entre ambas magnitudes se puede expresar asemejando la tensión T con el desplazamiento eléctrico D y la deformación S con el campo eléctrico E. Por tanto, si el campo eléctrico E es proporcional al desplazamiento eléctrico D a través de la constante dieléctrica del material ε, la deformación S es proporcional a la tensión T a través de un tensor constante [cE], como se puede ver en la expresión

Si al desplazamiento mecánico producido le denominamos u, podemos poner la deformación S como un gradiente de este desplazamiento mecánico a través de

deformación

Con lo que se puede ver la similitud con el campo eléctrico, que deriva en forma de gradiente de un potencial eléctrico V.

Normalmente T y S son magnitudes vectoriales, y [cE]  es un tensor. Pero si manipulamos el material de modo que sólo tengamos deformación en uno de los ejes (por convenio, a partir de aquí vamos a usar el eje Z), las expresiones se simplifican siendo T y S simples magnitudes escalares, y cE una constante de proporcionalidad. Las dimensiones de esta constante son las mismas que la tensión, tiene dimensiones de presión (N/m2).

La deformación está sujeta a la 2ª ley de Newton, que relaciona la velocidad de deformación con la tensión aplicada a través de

ley de newton donde ρ es la densidad de masa por unidad de volumen. Como hemos escogido trabajar sólo en una dirección de propagación, podemos poner la divergencia de T como

divT

y teniendo en cuenta que S es la derivada con respecto a z del desplazamiento mecánico u, introduciendo ésto en la expresión de la Ley de Newton y agrupando los términos obtenemos

helemholtzque es una ecuación de onda similar a la que se obtiene del desarrollo de las ecuaciones de Maxwell en electromagnetismo. De esta ecuación se puede derivar la ecuación de Helmholtz, asumiendo que la solución de esta ecuación es una solución del tipo

desplazay usando esta solución en la ecuación de onda anterior, obtenemos que

onda_ecua

que corresponde a la ecuación de Helmholtz. En la ecuación de Helmholtz, la constante de propagación K se define por

propaga

donde v es la velocidad de propagación de la onda acústica (velocidad del sonido en el medio acústico). De aquí se puede obtener la constante cE, que está relacionada con el material a través de su densidad y de la velocidad de propagación de la onda acústica en el mismo.

conste

Al tratarse de una onda viajando a través de un medio material, podemos tratar la misma como una onda que se propaga a través de una línea de transmisión, cuya impedancia Z0 se obtiene por

impedance_ac

que denominamos impedancia acústica del medio y que se expresa en Rayl o N⋅s/m3. La velocidad de propagación v, que es la velocidad del sonido en el medio material, está relacionada con el desplazamiento acústico lineal a través de

velci

y el desplazamiento acústico angular se puede expresar por

angular

Viendo la similitud entre las ecuaciones de la acústica y las ecuaciones del campo electromagnéticos, podemos establecer una analogía en ambos tipos de interacciones que nos va a permitir desarrollar correctamente el estudio de los materiales piezoeléctricos.

ECUACIONES CONSTITUTIVAS DE UN MATERIAL PIEZOELÉCTRICO

En un medio piezoeléctrico, como en cualquier otro material, se producen tensiones y deformaciones acústicas. La peculiaridad del piezoeléctrico es que esas tensiones que aplicamos generan campos eléctricos. Del mismo modo, por reciprocidad, cuando aplicamos un campo eléctrico a un piezoeléctrico, generamos tensiones acústicas en el material. Por tanto, podemos relacionar estas tensiones y campos eléctricos mediante las ecuaciones constitutivas del piezoeléctrico, que son

consti

Estas ecuaciones muestran la relación entre la tensión generada en la superficie del piezoeléctrico T con la deformación S, cuando se le aplica un campo eléctrico E. Recíprocamente, se produce un desplazamiento eléctrico en el piezoeléctrico cuando se aplica una deformación S, apareciendo un campo eléctrico E. En este caso, además de la constante que relaciona la deformación con la tensión cE, también aparece la constante dieléctrica del material εS y la constante piezoeléctrica e33, que liga la tensión T con el campo eléctrico E en la dirección Z. En un sistema tridimensional, esa constante estaría representada por un tensor.

Con estas ecuaciones constitutivas, podemos obtener la ecuación de onda anterior, teniendo en cuenta las mismas condiciones. Sabiendo que el desplazamiento eléctrico es, por el teorema de Gauss

gauss

y que aunque se le aplique una deformación o un campo eléctrico no hay variación de la carga espacial, podemos reescribir la ecuación de onda anterior como

onda2donde la constante cD es la constante de deformación cuando aparece un campo electrostático en el medio material y se puede escribir por

consta2

que es característica de un medio piezoeléctrico. Así, la solución a la ecuación de onda será similar a la del caso de un medio material acústico, donde esa constante cD, se puede calcular a través de

consta3

manteniéndose el resto de ecuaciones igual.

Como la solución de la ecuación de onda del piezoeléctrico es una onda que se propaga en una dirección determinada, podemos representar el medio de propagación como una línea de transmisión de impedancia A⋅Z0, donde Z0 es la impedancia acústica que depende exclusivamente del medio material a través de su densidad ρ y la velocidad de propagación del sonido v en el medio material; y A es la superficie del material piezoeléctrico.

linea

Línea de transmisión equivalente de la parte acústica

Al ser una línea de transmisión, tendrá resonancias cada n·λ/4, siendo λ la longitud de onda de la onda acústica. Si el dieléctrico tiene un espesor d, una resonancia λ/4 en la línea de transmisión. Por tanto, el material piezoeléctrico se puede usar para realizar resonadores eléctricos, ya que la resonancia acústica se puede relacionar, a través de las ecuaciones constitutivas, con la resonancia eléctrica.

CONCLUSIÓN

Hemos visto en esta entrada cómo se producen las ondas acústicas en un material, y la relación existente, a través de las ecuaciones constitutivas, entre los campos acústico y eléctrico.

Los materiales piezoeléctricos son de uso cada vez más común en electrónica, ya sea como resonadores, como generadores de sonido o como generadores de energía eléctrica para Energy Harvesting, realizando alimentadores eléctricos que usan la energía procedente de la vibración acústica para generar una tensión eléctrica.

El modelado circuital equivalente de estos componentes está resuelto a través de las ecuaciones constitutivas, siendo los modelos más habituales el modelo de Redwood o el de Mason.

En las próximas entradas trataremos de explicar el modelo equivalente de Mason de un piezoeléctrico, tanto en su versión lineal como no lineal.

REFERENCIAS

  1. W.P. Mason, Electromechanical Transducers and Wave Filters”Princeton NJ, Van Nostrand, 1948
  2. J. F. Rosenbaum, “Bulk Acoustic Wave Theory and Devices”, Artech House, Boston, 1988.
  3. M. Redwood, “Transient performance of a piezoelectric transducer”, J. Acoust. Soc. Amer., vol. 33, no. 4, pp. 527-536, April 1961.
  4. R. Krimholtz, D.A. Leedom, G.L. Mathaei, “New Equivalent Circuit for Elementary Piezoelectric Transducers”, Electron. Lett. 6, pp. 398-399, June 1970.