El Control Automático de Ganancia: topología, funcionamiento y uso (I)

Una de las topologías más comunes en el diseño electrónico la constituye el Control Automático de Ganancia (AGC). En esta entrada vamos a proceder a estudiar cuál es su filosofía de funcionamiento, la topología básica y su uso más común. Procederemos también a su simulación en MatLab, usando el simulador SIMULINK, para entender mejor el funcionamiento de este sistema.

LOS AMPLIFICADORES LINEALES

Uno de los bloques más comunes en un sistema es el amplificador lineal. Este es un dispositivo que proporciona una salida que es directamente proporcional a la entrada. Al ser el valor de salida mayor que el valor de entrada, el bloque realiza una elevación de nivel, por tanto, se trata de una amplificación. Si el nivel de salida fuese inferior al nivel de entrada, entonces hablaríamos de una reducción de nivel o atenuación.

Los amplificadores lineales pueden ser amplificadores con ganancia fija, que es la constante de proporcionalidad entre la entrada y la salida, y con ganancia variable, de modo que pueden variar su ganancia a través de una señal de control externa vc.

v_{out}(t)=g v_{in}(t)
v_{out}(t)=g(v_c(t)) v_{in}(t)

Esta señal de control es una variable que también depende del tiempo, aunque en condiciones de control libre, que es el realizado por el usuario, una vez elegido el valor del control esa variable pasa a ser estacionaria con el tiempo y el amplificador pasa a tener ganancia fija.

Sin embargo, las señales de entrada pueden tener oscilaciones debidas al canal de propagación, y subir o bajar de valor en función del tiempo. Si el amplificador tiene ganancia fija, la salida seguirá a las variaciones de entrada.

Por lo general los amplificadores convencionales suelen tener ganancia fija con una regulación externa manipulable por el usuario. Sin embargo, dentro de los sistemas de comunicaciones se pueden dar casos en los cuales hay que asegurar siempre que la salida tome un valor fijo. Y para ello es indispensable recurrir al Control Automático de Ganancia (AGC).

EL AGC O CONTROL AUTOMÁTICO DE GANANCIA

El AGC es un sistema realimentado, que usa la variable de salida, tomando una muestra, para procesarla debidamente y generar una señal de control vc(t) que permita variar la ganancia del amplificador en función del nivel de salida que se elija. Por tanto, un AGC proporciona una variable de salida fija frente a las variaciones de entrada.

El diagrama de bloques clásico de un AGC se puede ver en la siguiente figura

Fig. 1 – Diagrama de bloques de un AGC

Consta de un VGA o amplificador variable por tensión, que responde a la expresión vista en el apartado anterior, un detector de envolvente, porque la amplitud de la señal vout contiene la información de la variación de la señal de entrada, ya que vout es proporcional a vin, un comparador, que compara la señal detectada con una señal de referencia vref, que es la que gobernará el nivel de salida adecuado en vout y un filtro integrador, que proporciona la variable de control.

Al variar vin en el instante t0, el VGA está en estado estacionario, comportándose como un amplificador lineal de ganancia fija. Esto provoca una variación en la señal de salida vout que sigue a la entrada vin. Esta variación se detecta mediante el detector de envolvente provocando un cambio en la salida del comparador, que al ser integrado modifica el valor de vc adecuándolo para que vout se corrija y pase a mantener el valor antes del cambio.

Es un proceso dinámico: las señales vin y vout varían de forma temporal pero manteniendo un nivel estacionario de envolvente. Por ejemplo, una onda senoidal pura tiene una envolvente constante, ya que la función seno está acotada

Fig. 2 – Función variable de entrada de tipo senoidal

Cuando se detecta un cambio en la envolvente en un determinado instante de tiempo, el valor de pico de la amplitud cambia y es detectado por el detector, que inicia un proceso de realimentación temporal que no afecta a la forma de la onda, pero sí a su amplitud.

Fig. 3 – Variación de la amplitud en una señal senoidal

Este cambio es el que obligará a que vc tome el valor adecuado, realizándolo de forma gradual.

MECANISMOS DE CONTROL EN UN AGC

Volvemos al sistema de la Fig.1, donde el VGA tiene una ganancia representada por la expresión

g(v_c(t))=g_o e^{-\alpha v_c(t)}

En esta expresión se elimina el dominio temporal, puesto que en este instante no nos interesa la variación temporal de vc, ya que si no hay variación en vi, vc se mantiene estacionario.

La señal de entrada es una señal de la forma

v_{in}(t)=a \sin({\omega}t+{\theta})

La señal de salida será de la forma

v_{out}(t)=g_o a e^{-\alpha \cdot v_c(t)} \sin({\omega}t+{\theta})

Esta señal pasará por el detector de envolvente, cuya salida es una señal que es proporcional a la amplitud de la señal de entrada, siendo k la constante de proporcionalidad. Por tanto, la señal de salida del detector de envolvente será

v_e=k  g_o a e^{-\alpha v_c(t)}

Esta señal se pasa a través de un amplificador logarítmico, ya que la dependencia de vE con respecto a vc es exponencial. Como la base es natural, elegimos el logaritmo natural como amplificador logarítmico, y se obtiene una tensión de salida v2 cuya expresión es

v_2=-{\alpha}  v_c+\log(k  g_o a)

En esta expresión podemos comprobar que k y g0 son valores constantes, y que a y vc son los que pueden variar con respecto al tiempo. Si ahora incluimos la variación temporal de a, tendremos que la expresión toma la forma

v_2=-{\alpha}  v_c(t)+\log(k g_o a(t))

Por tanto una variación de a queda contrarrestada por una variación de vc para que v2 vuelva a tener el valor anterior al cambio en a.

Al realizar la comparación entre la tensión v2(t) y vR, que es un valor fijo y que marcará el nivel de salida que debe mantener el amplificador, tenemos una señal v1 que tiene la siguiente expresión

v_1=-{\alpha} v_c(t)+\log(k g_o a(t) e^{-v_R})

Esta señal se pasa a través de un filtrado paso bajo que la integra, proporcionando vC(t). Si el filtro tiene una respuesta temporal h(t), lo que realizamos es una convolución de la señal v1 con la respuesta temporal h(t)

v_c(t)=h(t)*v_1(t)

Y de aquí obtenemos

v_1(t)+{\alpha} h(t)*v_1(t)=\log(k g_o a(t) e^{-v_R})

En el dominio temporal la convolución es una ecuación integral dinámica, por lo que si usamos el dominio de Laplace, pasaremos esa respuesta convolucional a una respuesta en el dominio de la variable compleja s que es lineal. Usando este dominio, la ecuación anterior queda como

V_1(s)+{\alpha} H(s) V_1(s)=\mathcal{L}[log(k  g_o a(t) e^{-v_R})]

que es el resultado de aplicar el operador de la transformada de Laplace. Vamos a estudiar el valor de V1(s) si la salida tiene un valor una amplitud b

v_{out}(t)=b \sin({\omega}t+{\theta})

quitando la dependencia con k y con g0. En este casi, siguiendo los mismos pasos que en el caso anterior, tendremos que

v_1(t)=\log(b(t) e^{-v_R})

V_1(s)=\mathcal{L} [\log(b(t) e^{-v_R})]

(1+{\alpha} H(s)) \mathcal{L}[\log(b(t) e^{-v_R})]=\mathcal{L}[\log(k g_o a(t) e^{-v_R})]

\dfrac {\mathcal{L}[\log(b(t) e^{-v_R})]}{\mathcal{L}[\log(k g_o a(t) e^{-v_R})]}=\dfrac {1}{1+{\alpha} H(s)}

El primer término es el cociente de dos funciones, una que depende de la amplitud de salida y otra que depende de la amplitud de entrada. Si elegimos el producto k·g0=1, obtendremos que

\dfrac {\mathcal{L}[\log(b(t) e^{-v_R})]}{\mathcal{L}[\log(a(t) e^{-v_R})]}=\dfrac {\mathcal{L}[\log(b(t))]}{\mathcal{L}[\log(a(t)]}=\dfrac {1}{1+{\alpha} H(s)}

Como y(t) y x(t) tienen valores de tensión, podemos aplicar la definición de dB, que es:

b_{dB}(t)=20 \log_{10}(b(t))

a_{dB}(t)=20 \log_{10}(a(t))

por lo que el cociente anterior quedaría

\dfrac {\mathcal{L}[\log(b(t) e^{-v_R})]}{\mathcal{L}[\log(a(t) e^{-v_R})]}=\dfrac {\mathcal{L}[b_{dB}(t)]}{\mathcal{L}[a_{dB}(t)]}=\dfrac {B_{dB}(s)}{A_{dB}(s)}

eliminando el dominio temporal y convirtiendo el sistema en un sistema totalmente lineal. Entonces tendremos que

\dfrac {B_{dB}}{A_{dB}}=\dfrac {1}{1+{\alpha} H(s)}

siendo ésta la función de transferencia de la variación en dB de las amplitudes de salida y de entrada.

Si el filtro utilizado es un filtro integrador con polo en el origen, de la forma

H(s)= \dfrac {C}{s}

tendremos que la expresión nos quedará

\dfrac {B_{dB}}{A_{dB}}=\dfrac {1}{1+{\alpha} C}

Supongamos ahora que damos un salto de 1 dB a la envolvente de entrada AdB, pudiendo ser hacia arriba o hacia abajo. Llamamos a la nueva envolvente A’dB(s), y a la de salida B’dB(s). Como subimos o bajamos un 1 dB, tenemos que :

{A'}_{dB}(s)=A_{dB}(s) \pm 1

Y además tenemos que

\dfrac {B_{dB}}{A_{dB}}=\dfrac {{B'}_{dB}}{{A'}_{dB}}=\dfrac {1}{1+{\alpha} C}

ya que la realimentación debe responder siempre de la misma manera. Haciendo la sustiticuón de la expresión de la variación de entrada en la expresión anterior tenemos

\dfrac {B_{dB}}{A_{dB}}=\dfrac {{B'}_{dB}}{A_{dB}(s) \pm 1}=\dfrac {1}{1+{\alpha} C}

Por tanto, podremos calcular B’dB(s) multiplicando por la función de transferencia

{B'}_{dB}(s)=\dfrac {s}{s+{\alpha} \cdot C} \cdot A_{dB}(s) \pm \dfrac {s}{s+{\alpha} C}

Y sabiendo que el primer término es precisamente BdB(s), podemos poner la expresión como

{B'}_{dB}(s)-B_{dB}(s)=\pm \dfrac {s}{s+{\alpha} C}=\pm 1 \mp \dfrac {{\alpha} C}{s+{\alpha} C}

La ecuación anterior liga a la nueva envolvente B’dB(s) con la anterior BdB(s). Como es una respuesta temporal, tendremos que aplicar la transformada inversa, obteniendo

{B'}_{dB}(t)-B_{dB}(t)=\pm {\delta}(t) \mp {{\alpha} C e^{-{\alpha} C t}}

Estudiemos este resultado: Cuando subimos 1 dB (instante t=0), la ecuación queda como b’dB(t)–bdB(t)=+δ(t)=+1, ya que en t=0 el filtro h(t) todavía no ha respondido. Por tanto, en el instante inicial la diferencia entre la envolvente nueva y la inicial es de 1dB. Cuando t comienza a crecer, tenemos una respuesta exponencial decreciente debido al segundo término de la expresión anterior, por lo que a medida que va aumentando el tiempo, la diferencia entre la envolvente nueva b’dB(t) y la inicial bdB(t) va disminuyendo (inicialmente b’dB(t)>bdB(t)) hasta que ambas son iguales.

Si por el contrario, disminuimos la envolvente de entrada 1dB, la respuesta queda como b’dB(t)–bdB(t)=-δ(t)=-1, de modo que cuando disminuimos 1dB (instante t=0), la envolvente final disminuye en ese valor por la misma razón que en el caso anterior. Por tanto, en el instante inicial la diferencia entre la envolvente nueva y la inicial es de –1dB, que es el salto que se produce en la señal de entrada. Cuando t comienza a crecer, se produce una exponencial creciente que reduce esa diferencia (en este caso tenemos que b’dB(t)<bdB(t)), por lo que la diferencia también va disminuyendo hasta que ambas vuelven a ser iguales.

De aquí se deduce que cuando la envolvente de entrada sube o baja 1 dB, la de salida, en el instante inicial, tiende a subir o bajar siguiendo a la variación de la envolvente de entrada, pero cuando pasa un tiempo, la de salida se estabiliza hasta que llega al valor inicial ydB(t).

El tiempo de respuesta t del AGC, en el que la diferencia de envolventes es precisamente α·C/e es τ=1/α·C, que es la constante de tiempo de respuesta del AGC. Si ese tiempo es muy alto, el AGC responde lentamente, mientras que si ese tiempo es muy bajo, el AGC responde rápidamente. Es necesario un compromiso con el tiempo de respuesta del AGC en señales que contienen también variaciones nominales por su contenido, como las señales analógicas de audio o vídeo, para no confundir una variación de nivel con una variación de ese contenido.

CONCLUSION

En esta entrada hemos podido comprobar cómo es el diagrama de bloques de un AGC, estudiando su respuesta en el dominio de Laplace y en el dominio temporal. Hemos llegado a una relación de transferencia que nos permite relacionar las variaciones de la señal de salida con las de entrada y cómo podemos calcular el tiempo de respuesta del AGC, que tendremos que incluir a través del filtro integrador y del estudio de la constante de variación de la ganancia del amplificador.

En la siguiente entrada realizaremos el estudio este sistema mediante SIMULINK.

REFERENCIAS

  1. Benjamin C. Kuo; “Automatic Control Systems”; 2nd ed.; Englewood Cliffs, NJ; Prentice Hall; 1975
  2. Pere Matí i Puig; “Subsistemas de radiocomunicaciones analógicos”;Universitat Oberta de Catalunya;2010

 

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