SHARENG Divulgación

Inicio » 2013 » octubre

Monthly Archives: octubre 2013

El PLL digital (y II)

Hablábamos en la entrada anterior del ADPLL de primer orden. En esta entrada vamos a analizar el ADPLL de segundo orden, su función de transferencia y su respuesta.

DIAGRAMA DE BLOQUES GENERALIZADO DE UN ADPLL

En la entrada anterior pudimos ver cómo era el diagrama de bloques de un ADPLL. Como en el caso analógico, tenemos un comparador de fase, un filtro de lazo y un VCO, con sus funciones de transferencia en Transformada Z.

Diagrama de bloques del PLL digital

Diagrama de bloques del PLL digital

El filtro de lazo generalizado tiene un diagrama de bloques que es

Diagrama de bloques de un filtro de lazo digital

Diagrama de bloques de un filtro de lazo digital

Por lo que la función de transferencia del ADPLL generalizado es

Función de transferencia de un ADPLL

Función de transferencia de un ADPLL

Y como el término del denominador de la función de transferencia es (z-1) al cuadrado, tenemos un sistema de segundo orden.

Vamos a estudiar la respuesta de este sistema a una señal del tipo escalón, de la forma

Cambio de fase escalón

Cambio de fase escalón

RESPUESTA DE UN ESCALÓN A UN ADPLL DE SEGUNDO ORDEN

En el ADPLL de segundo orden tenemos que la respuesta a un escalón es:

Respuesta a un ADPLL de segundo orden

Respuesta a un ADPLL de segundo orden

Para obtener la estimación de fase, deberemos resolver la inversa de la Transformada Z de esta expresión. Para ello, lo que hacemos es dividir la transformada en suma de transformadas, obteniendo

Transformada de la estimación de fase como suma de dos transformadas

Transformada de la estimación de fase como suma de dos transformadas

Y ahora debemos poner el segundo término como suma de dos términos en z

Segundo término de segundo orden como suma de dos términos de primer orden

Segundo término de segundo orden como suma de dos términos de primer orden

Y resolviendo estos términos, obtenemos que

Resolución de la Transformada en Z de la estimación de fase e inversa

Resolución de la Transformada en Z de la estimación de fase e inversa

Y aquí obtenemos varios resultados a estudiar. Vamos a suponer, primero, que β=0. Sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos que la estimación de fase es

Estimación de fase en el dominio temporal discreto para primer orden

Estimación de fase en el dominio temporal discreto para primer orden

que es la estimación de fase obtenida en la entrada anterior.

Vamos a estudiar el caso de que α=0. Los polos p1 y p2 quedan ahora como siguen:

Polos de la función de transferencia

Polos de la función de transferencia

y la estimación de fase queda

Resultado de la estimación de fase

Resultado de la estimación de fase

y podemos ver que se trata de una función que tiende a ser inestable, ya que el término en cuadrado de β tiende a crecer a medida que crece n, ya que el coseno es una función acotada. Por tanto, siempre tiene que haber un término α para que el ADPLL enganche.

De la expresión obtenida para la estimación de fase general, y del estudio de las condiciones particulares, hemos obtenido que α≠0. La siguiente condición que se tiene que dar para que el lazo enganche es que

Segunda condición de enganche del PLL

Segunda condición de enganche del PLL

De este modo obtenemos como resultado que

Estimación de fase del ADPLL de segundo orden bajo condiciones de enganche

Estimación de fase del ADPLL de segundo orden bajo condiciones de enganche

y si representamos esta función en el dominio de n, podremos comprobar que se trata de una función cosenoidal amortiguada.

Estimación de fase en el dominio del tiempo

Estimación de fase en el dominio del tiempo

COMPARATIVA CON EL PLL ANALÓGICO DE SEGUNDO ORDEN

Si comparamos la función de transferencia del ADPLL de segundo orden con la del PLL analógico, podremos sacar la interrelación entre la pulsación natural del lazo ωn, el coeficiente de amortiguamiento ξ y α, β, que son

Equivalente en Laplace de la estimación de fase

Equivalente en Laplace de la estimación de fase

Función de transferencia de una PLL analógico de segundo orden

Función de transferencia de una PLL analógico de segundo orden

e igualando términos obtenemos que

Relación entre los términos del ADPLL y del PLL analógico

Relación entre los términos del ADPLL y del PLL analógico

donde obtenemos una relación directa entre los diferentes términos del ADPLL y el PLL analógico.

CONCLUSIÓN

En esta entrada hemos ampliado el estudio del ADPLL al segundo orden y hemos podido comprobar las condiciones que se deben dar para que se produzca enganche, así como la interrelación entre el ADPLL digital y su equivalente en analógico

Con esta entrada finalizamos el estudio del lazo de enganche de fase en ambas tecnologías, analógica y digital. El lazo de enganche de fase es uno de los sistemas de realimentación más utilizados en Telecomunicaciones, tanto para generar señales muy estables como para demodular señales o comparar fases, y conocer su metodología ayuda enormemente al diseño de este tipo de dispositivos.

Referencias

  1. C. Joubert, J. F. Bercher, G. Baudoin, T. Divel, S. Ramet, P. Level; “Time Behavioral Model for Phase-Domain ADPLL based frequency synthesizer”; Radio and Wireless Symposium, 2006 IEEE, January 2006
  2. S. Mendel, C. Vogel;”A z-domain model and analysis of phase-domain all-digital phase-locked loops”; Proceedings of the IEEE Norchip Conference 2007, November 2007
  3. R. B. Staszewski, P. T. Balsara; “Phase-Domain All-Digital Phase-Locked Loop”; IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs; vol. 52, no. 3, March 2005