Archivos Mensuales: octubre 2013

El PLL digital (y II)

Hablábamos en la entrada anterior del ADPLL de primer orden. En esta entrada vamos a analizar el ADPLL de segundo orden, su función de transferencia y su respuesta.

DIAGRAMA DE BLOQUES GENERALIZADO DE UN ADPLL

En la entrada anterior pudimos ver cómo era el diagrama de bloques de un ADPLL. Como en el caso analógico, tenemos un comparador de fase, un filtro de lazo y un VCO, con sus funciones de transferencia en Transformada Z.

Diagrama de bloques del PLL digital

Diagrama de bloques del PLL digital

El filtro de lazo generalizado tiene un diagrama de bloques que es

Diagrama de bloques de un filtro de lazo digital

Diagrama de bloques de un filtro de lazo digital

Por lo que la función de transferencia del ADPLL generalizado es

\hat \Theta (z)=\dfrac {\alpha (z-1)+\beta}{(z-1)^2 +\alpha(z-1)+\beta}\Theta(z)

Y como el término del denominador de la función de transferencia es (z-1) al cuadrado, tenemos un sistema de segundo orden.

Vamos a estudiar la respuesta de este sistema a una señal del tipo escalón, de la forma

\theta [n]=\dfrac {\pi}{4}u[n]

RESPUESTA DE UN ESCALÓN A UN ADPLL DE SEGUNDO ORDEN

En el ADPLL de segundo orden tenemos que la respuesta a un escalón es:

\hat \Theta (z)=\dfrac {\pi}{4} \dfrac{z}{z-1} \dfrac {\alpha z-(\alpha-\beta)}{z^2 -(2-\alpha)z+(1-\alpha+\beta)}\Theta(z)

Para obtener la estimación de fase, deberemos resolver la inversa de la Transformada Z de esta expresión. Para ello, lo que hacemos es dividir la transformada en suma de transformadas, obteniendo

\hat \Theta (z)=\dfrac {\pi}{4}z \left[\dfrac{1}{z-1} - \dfrac {z-1}{z^2 -(2-\alpha)z+(1-\alpha+\beta)}\right]

Y ahora debemos poner el segundo término como suma de dos términos en z

\dfrac {z-1}{z^2 -(2-\alpha)z+(1-\alpha+\beta)}=\dfrac {A}{z-p_1}+\dfrac {B}{z-p_2}

con

p_{1,2}= \dfrac { (2-\alpha) \pm \sqrt {\alpha^2-4 \beta}}{2}

Y resolviendo estos términos, obtenemos que

\hat \Theta (z)=\dfrac {\pi}{4} \left[ \dfrac {z}{z-1} - \left( \dfrac {1}{2}- \dfrac {\alpha}{2 \sqrt {\alpha^2-4 \beta}} \right) \dfrac {z}{z-p_1} - \left( \dfrac {1}{2}+ \dfrac {\alpha}{2 \sqrt {\alpha^2-4 \beta}} \right) \dfrac {z}{z-p_2}  \right]

\hat \theta [n]=\dfrac {\pi}{4} \left[ 1 - \left( \dfrac {1}{2}- \dfrac {\alpha}{2 \sqrt {\alpha^2-4 \beta}} \right) \left (\dfrac { (2-\alpha) + \sqrt {\alpha^2-4 \beta}}{2} \right)^n - \left( \dfrac {1}{2}+ \dfrac {\alpha}{2 \sqrt {\alpha^2-4 \beta}} \right) \left (\dfrac { (2-\alpha) - \sqrt {\alpha^2-4 \beta}}{2} \right)^n \right]u[n]

Y aquí obtenemos varios resultados a estudiar. Vamos a suponer, primero, que β=0. Sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos que la estimación de fase es

\hat \theta[n]=\dfrac {\pi}{4} \left[ u[n] - (1-\alpha)^n u[n] \right]=\dfrac {\pi}{4} u[n]\left[ 1 - (1-\alpha)^n \right]

que es la estimación de fase obtenida en la entrada anterior.

Vamos a estudiar el caso de que α=0. Los polos p1 y p2 quedan ahora como siguen:

p_1= \dfrac { 2 + \sqrt {-4 \beta}}{2}=1+j\sqrt {\beta}=\sqrt {1+\beta ^2} e^{j\tan^-1 ({\beta})}

p_2= \dfrac { 2 - \sqrt {-4 \beta}}{2}=1-j\sqrt {\beta}=\sqrt {1+\beta ^2} e^{-j\tan^-1 ({\beta})}

y la estimación de fase queda

\hat \theta[n]=\dfrac {\pi}{4} u[n]\left[ 1 - \sqrt[n] {1+\beta ^2}\cos (n\tan^-1 ({\beta})) \right]

y podemos ver que se trata de una función que tiende a ser inestable, ya que el término en cuadrado de β tiende a crecer a medida que crece n, ya que el coseno es una función acotada. Por tanto, siempre tiene que haber un término α para que el ADPLL enganche.

De la expresión obtenida para la estimación de fase general, y del estudio de las condiciones particulares, hemos obtenido que α≠0. La siguiente condición que se tiene que dar para que el lazo enganche es que

\alpha^2 - 4 \beta < 0

De este modo obtenemos como resultado que

\hat \theta[n]=\dfrac {\pi}{4} u[n]\left[ 1 - \sqrt[n] {1-\alpha+\beta ^2}\left(\cos \left( n\tan^-1 \dfrac{\sqrt{4 \beta-\alpha^2}}{2-\alpha}\right)-\dfrac {\alpha}{\sqrt {4\beta-\alpha^2}}\sin \left( n\tan^-1 \dfrac{\sqrt{4 \beta-\alpha^2}}{2-\alpha}\right)\right) \right]

y si representamos esta función en el dominio de n, podremos comprobar que se trata de una función cosenoidal amortiguada.

Estimación de fase en el dominio del tiempo

Estimación de fase en el dominio del tiempo

COMPARATIVA CON EL PLL ANALÓGICO DE SEGUNDO ORDEN

Si comparamos la función de transferencia del ADPLL de segundo orden con la del PLL analógico, podremos sacar la interrelación entre la pulsación natural del lazo ωn, el coeficiente de amortiguamiento ξ y α, β, que son

\hat \Theta (s)=\dfrac {\alpha K_Vs+ \beta K_V^2}{s^2 +\alpha K_V s +\beta K_v^2} \Theta(s)

que comparamos con

H(s)=\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}

e igualando términos obtenemos que

\omega_n=K_v \sqrt {\beta}

\xi=\dfrac {\sqrt {\beta}}{2 \alpha}

donde obtenemos una relación directa entre los diferentes términos del ADPLL y el PLL analógico.

CONCLUSIÓN

En esta entrada hemos ampliado el estudio del ADPLL al segundo orden y hemos podido comprobar las condiciones que se deben dar para que se produzca enganche, así como la interrelación entre el ADPLL digital y su equivalente en analógico

Con esta entrada finalizamos el estudio del lazo de enganche de fase en ambas tecnologías, analógica y digital. El lazo de enganche de fase es uno de los sistemas de realimentación más utilizados en Telecomunicaciones, tanto para generar señales muy estables como para demodular señales o comparar fases, y conocer su metodología ayuda enormemente al diseño de este tipo de dispositivos.

Referencias

  1. C. Joubert, J. F. Bercher, G. Baudoin, T. Divel, S. Ramet, P. Level; “Time Behavioral Model for Phase-Domain ADPLL based frequency synthesizer”; Radio and Wireless Symposium, 2006 IEEE, January 2006
  2. S. Mendel, C. Vogel;”A z-domain model and analysis of phase-domain all-digital phase-locked loops”; Proceedings of the IEEE Norchip Conference 2007, November 2007
  3. R. B. Staszewski, P. T. Balsara; “Phase-Domain All-Digital Phase-Locked Loop”; IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs; vol. 52, no. 3, March 2005

 

 

 

 

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