SHARENG Divulgación

Inicio » Análisis » El PLL analógico y su simulación (y IV)

El PLL analógico y su simulación (y IV)

En esta entrada vamos a analizar el PLL como herramienta para la demodulación de señales analógicas moduladas en argumento, ya que es una de las maneras de transmitir información a través del espacio libre usando transmisión paso banda, a frecuencias más altas. Vamos a usar la modulación FM, porque es la más utilizada como transmisión en telecomunicaciones.

Para entender el principio de funcionamiento del PLL como demodulador de señales FM, vamos a hacer una breve introducción al principio de la modulación en argumento.

MODULACIÓN EN ARGUMENTO: PRINCIPIOS BÁSICOS

Denominamos modulación en argumento a una modulación paso banda en el que la información a transmitir, que denominamos banda base, viaja contenida en el argumento de la señal transmisora. A esta señal transmisora la denominaremos señal modulada, mientras que la señal en banda base la denominaremos señal moduladora. Así pues, si la señal banda base a transmitir es una señal x(t), transmitida sobre una señal cuya pulsación es ωo, la señal resultante será

Señal modulada con su moduladora en argumento

Señal modulada con su moduladora en argumento

El argumento de la señal que estamos transmitiendo, entonces, es

Argumento de la señal modulada

Argumento de la señal modulada

Si la modulación es en fase (modulación PM), la señal viaja en argumento y tendremos que

Argumento en una señal modulada en fase

Argumento en una señal modulada en fase

donde mPM es el índice de modulación para la señal modulada en PM. En el caso de que la modulación viaje en la frecuencia (modulación FM), calculamos la pulsación instantánea calculando la derivada respecto al tiempo del argumento de la señal:

Frecuencia instantánea en una señal modulada en FM

Pulsación instantánea en una señal modulada en FM

donde mFM es el índice de modulación para la señal modulada en FM. De esta expresión tenemos que

Señal moduladora que viaja en el argumento de la modulada

Señal moduladora que viaja en el argumento de la modulada

por lo que tendremos que

Argumento que introduce la señal moduladora

Argumento que introduce la señal moduladora

Por tanto, nuestra señal FM será

Señal modulada en FM

Señal modulada en FM

La ventaja de la modulación FM sobre la modulación en amplitud es notoria, ya que al viajar la información en el argumento, es muy inmune al ruido térmico y a la distorsión, aunque no es inmune a la interferencia ni al ruido de fase de los osciladores. Con la interferencia la señal puede verse mezclada con la señal indeseada (lo veremos al analizar la PLL como demodulador) y con el ruido de fase, se introduce ruido sobre la señal banda base que reduce la calidad de la misma.

ANÁLISIS DE UN PLL COMO DEMODULADOR DE FM

El diagrama de bloques de un PLL como demodulador de FM es

Diagrama de bloques de un PLL como demodulador de FM

Diagrama de bloques de un PLL como demodulador de FM

La señal de FM entra en el PLL a través de comparador de fase, y es comparada con un VCO de la misma frecuencia que la señal modulada. A la salida del filtro de lazo se obtiene la señal original x(t). Si analizamos

Argumento de la señal FM en el dominio del tiempo

Argumento de la señal FM en el dominio del tiempo

en el dominio de Laplace tenemos que:

Argumento de la señal modulada en el dominio de Laplace

Argumento de la señal modulada en el dominio de Laplace

El primer término corresponde a la transformada de ωo·t, mientras que el segundo corresponde a la integración de x(t).

El VCO proporciona un argumento ωo·t, por lo que

Relación entre el argumento del VCO y la señal de sintonía

Relación entre el argumento del VCO y la señal de sintonía

Siendo Ξphase(s) la señal de sintonía que ataca al VCO. Además, si la función de transferencia del PLL es H(s), podremos poner

Relación entre el argumento del VCO y el argumento de entrada

Relación entre el argumento del VCO y el argumento de entrada

y de aquí obtenemos que

Relación entre la tensión de sintonía del VCO y la señal de entrada

Relación entre la tensión de sintonía del VCO y la señal de entrada

En las entradas anteriores habíamos obtenido que la función de transferencia H(s) es un filtro paso bajo, generalmente de primer o segundo orden, por lo que eligiendo la pulsación natural del lazo de un valor mayor a la anchura de banda de la señal X(s), podemos obtener que:

Términos de la señal de sintonía útil

Términos de la señal de sintonía útil

Vamos a ver ambos términos. El primero es la transformada de Laplace de un escalón unitario

Transformada inversa del primer término

Transformada inversa del primer término

y como KV es la respuesta del VCO a una tensión de control, nos da como resultado una componente DC que corresponde a la tensión que sintetiza fo.

Hay que recordar que KV no es estrictamente lineal, sino que es función de la frecuencia (KV(f)). No obstante, si el índice de modulación no es muy elevado y hay poca excursión frecuencial , podemos considerar en el entorno de f0 a KV como una constante. Esto afectaría al segundo término, que es la propia señal X(s) multiplicada por un valor que tiene en el denominador a KV. Si KV depende de la frecuencia, la transformada inversa es bastante más compleja. Pero al ser aproximado KV por una constante, sólo aparece X(s) como función de la variable s=j·ω , por lo que podemos obtener el valor de la señal. En resumen, tendremos que la transformada inversa es

Señal de sintonía útil para el VCO.

Señal de sintonía útil para el VCO.

y eliminando la componente de DC mediante un condensador de desacoplo, obtendremos que

Señal demodulada

Señal demodulada

Por tanto, con el PLL podremos demodular una señal modulada en FM a través de su salida del filtro de lazo.

Como podemos ver a lo largo de la explicación, la influencia de una señal interferente se puede sumar al argumento demodulado y montarse sobre la señal deseada, aplicando superposición, ya que el PLL encuentra dos frecuencias similares y no es capaz de discernir cuál de ellas es la útil.

También podemos ver que si hay un ruido de argumento θn(t), tendremos que

Señal útil con ruido de argumento

Señal útil con ruido de argumento

por lo que el ruido de fase quedaría filtrado por el H(s) salvo en las frecuencias correspondientes a X(s), ruido que llamaremos ΘnBW(s). Aplicando la transformada inversa, obtendremos que

Señal de sintonía con el ruido de argumento

Señal de sintonía con el ruido de argumento

La influencia de este ruido, en analógico no suele ser muy grande, pero en digital puede provocar “jitter” en los flancos de subida y bajada de la señal demodulada, que habría que tratar mejorando el ruido de fase de los osciladores.

DISEÑO DE UN PLL PARA DEMODULAR UNA SEÑAL FM

Vamos a suponer un PLL que tenga los siguientes parámetros:

  • Kd=1 V/rad
  • KV= 10 KHz/V

y usamos una señal moduladora cosenoidal

Señal moduladora

Señal moduladora

con fmod=5 KHz. La señal modulada tiene una frecuencia fo=100 MHz, por lo que la señal FM será

Señal de entrada al demodulador

Señal de entrada al demodulador

Nuestro filtro de lazo va a ser un filtro del tipo

Función de transferencia del filtro de lazo

Función de transferencia del filtro de lazo

La función de transferencia H(s) es:

Función de transferencia del PLL

Función de transferencia del PLL

De aquí obtendremos que

Relación de la función de transferencia H(s) con las constantes de tiempo

Relación de la función de transferencia H(s) con las constantes de tiempo

y además, tendremos que

Función de transferencia de una realimentación de segundo orden

Función de transferencia de una realimentación de segundo orden

por lo que

Primera constante de tiempo

Primera constante de tiempo

Segunda constante de tiempo

Segunda constante de tiempo

Como tenemos que filtrar por encima de 5 KHz, podemos elegir una frecuencia natural de lazo de 10KHz, y un amortiguamiento de 0,707. Entonces las constantes de tiempo del filtro de lazo son:

Cálculo de las constantes de tiempo

Cálculo de las constantes de tiempo

Eligiendo filtro del tipo

Filtro de lazo de primer orden

Filtro de lazo de primer orden

tendremos que

Relación de las constantes de tiempo con los valores de los componentes

Relación de las constantes de tiempo con los valores de los componentes

Y si R2=10KΩ, tendremos que

Cálculo de los componentes del filtro de lazo

Cálculo de los componentes del filtro de lazo

SIMULACIÓN DE UN PLL COMO DEMODULADOR DE FM

En algunos simuladores podemos usar bloques para estudiar el comportamiento como demodulador de FM de un PLL. Sin embargo, no todos los simuladores contienen en sus librerías estos bloques.

Sí se puede hacer un estudio, sin embargo, de la función de transferencia en el punto de sintonía del PLL, que marcaremos como x(t). El diagrama de bloques de nuestro PLL será, entonces

PLL para calcular la respuesta en frecuencia del filtro anterior

PLL para calcular la respuesta en frecuencia del filtro anterior

La transformada de ξ(t) la llamábamos Ξ(s), y el argumento yFM(t) tiene una transformada YFM(s). La función de transferencia a estudiar es

Función de transferencia para la tensión de sintonía

Función de transferencia para la tensión de sintonía

donde H(s) es la función de transferencia del PLL en lazo cerrado. Por tanto, la función de transferencia es

Función de transferencia final

Función de transferencia final

Estudiando los límites, tendremos que

Estudio de los límites de la función de transferencia

Estudio de los límites de la función de transferencia

Por tanto, podemos concluir que se trata de un filtro paso alto que sube con una pendiente de 20dB/dec hasta la pulsación natural del lazo ωn, y a partir de ahí se mantiene constante.

Un filtro paso alto hace una función de derivación, por lo que podemos aproximar por

Aproximación de la tensión de sintonía

Aproximación de la tensión de sintonía

Trazando el Bode de esta función, podemos comprobar la pendiente de nuestra función de transferencia y estudiar el comportamiento paso alto.

Y si estudiamos el comportamiento de esta función de transferencia, vemos que se comporta como un filtro paso alto donde la señal útil se encuentra entre DC y 5KHz, y en la parte plana tenemos 3dB, que es la relación entre el tiempoτ2 y τ1.

Bode de la función de transferencia para la tensión de sintonía

Bode de la función de transferencia para la tensión de sintonía

Por encima de los 100KHz el filtro vuelve a caer debido al comportamiento paso bajo del amplificador operacional.

En la zona de la pulsación natural podemos ver que existe cierta distorsión debido al cambio de pendiente de la función de transferencia. Es por eso que es recomendable siempre buscar una pulsación natural de lazo cuya frecuencia sea una octava de la máxima frecuencia de la señal útil, para reducir esta distorsión.

CONCLUSIONES

En esta entrada hemos analizado el comportamiento de un PLL como demodulador de señal en FM, y cómo se puede analizar la función de transferencia entre la señal de FM y la señal demodulada. Con esta entrada, finalizamos en capítulo de las PLL analógicas y sus posibilidades de simulación usando simuladores convencionales.

La siguiente entrada tratará de las PLL digitales, su estudio y comparación con las PLL analógicas y cómo se pueden sintetizar las mismas.

REFERENCIAS

  1. Benjamin C. Kuo.; “Automatic Control Systems”; 2nd ed.; Englewood Cliffs, NJ; Prentice Hall; 1975
  2. F.M Gardner; “Phase Locked Loop Techniques”; 2nd ed.; New York; Wiley; 1979
  3. Varsha Prasad & Dr Chirag Sharma; “A Review of Phase Locked Loop”; International Journal of Emerging Technology and Advanced Engineering; vol. 2, no.6, pp.98-104; June 2012.
  4. F. M. Gardner; “Charge-Pump Phase-Lock Loops”; IEEE Transactions on Communications; vol. 28, no. 11, pp. 1849-1858; Nov 1980.
  5. Marc Tiebout; “Low-Power Low-Phase-Noise Differentially Tuned Quadrature VCO Design in Standard CMOS”; IEEE Journal of solid-state circuits; vol. 36, no. 7; July 2001
  6. Kim Beomsup, T.C. Weigandt, P.R. Gray; “PLL/DLL system noise analysis for low jitter clock synthesizer design”; IEEE International Symposium on Circuits and Systems; vol. 4, pp. 31-34; Jun. 1994
  7. Dai Liang, R. Harjani; “Design of low-phase-noise CMOS ring oscillators”; IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing; vol. 49, no.5, pp. 328-338; May 2002
  8. “Phase locked loop fundamentals”; Mini-Circuits; VCO Application Notes
Anuncios

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: