Archivos Mensuales: julio 2013

El PLL analógico y su simulación (y IV)

En esta entrada vamos a analizar el PLL como herramienta para la demodulación de señales analógicas moduladas en argumento, ya que es una de las maneras de transmitir información a través del espacio libre usando transmisión paso banda, a frecuencias más altas. Vamos a usar la modulación FM, porque es la más utilizada como transmisión en telecomunicaciones.

Para entender el principio de funcionamiento del PLL como demodulador de señales FM, vamos a hacer una breve introducción al principio de la modulación en argumento.

MODULACIÓN EN ARGUMENTO: PRINCIPIOS BÁSICOS

Denominamos modulación en argumento a una modulación paso banda en el que la información a transmitir, que denominamos banda base, viaja contenida en el argumento de la señal transmisora. A esta señal transmisora la denominaremos señal modulada, mientras que la señal en banda base la denominaremos señal moduladora. Así pues, si la señal banda base a transmitir es una señal x(t), transmitida sobre una señal cuya pulsación es ωo, la señal resultante será

y(t)=A\cos( \varphi(t))=A\cos({\omega_0}t+{\theta}(t))

El argumento de la señal que estamos transmitiendo, entonces, es

\varphi(t)={\omega_0}t+{\theta}(t)

Si la modulación es en fase (modulación PM), la señal viaja en argumento y tendremos que

\varphi(t)={\omega_0}t+{\theta}(t)={\omega_0}t+m_{PM}x(t)

donde mPM es el índice de modulación para la señal modulada en PM. En el caso de que la modulación viaje en la frecuencia (modulación FM), calculamos la pulsación instantánea calculando la derivada respecto al tiempo del argumento de la señal:

\omega(t)=\dfrac {d \varphi(t)}{dt}={\omega_0}+\dfrac {d{\theta}(t)}{dt}={\omega_0}+m_{FM}x(t)

donde mFM es el índice de modulación para la señal modulada en FM. De esta expresión tenemos que

\dfrac {d{\theta}(t)}{dt}=m_{FM}x(t)

por lo que tendremos que

{\theta}(t)=m_{FM} \displaystyle \int_0^t {x(t)dt}

Por tanto, nuestra señal FM será

y_{FM}(t)=A\cos \left( {\omega_0}t+m_{FM} \displaystyle \int_0^t {x(t)dt} \right)

La ventaja de la modulación FM sobre la modulación en amplitud es notoria, ya que al viajar la información en el argumento, es muy inmune al ruido térmico y a la distorsión, aunque no es inmune a la interferencia ni al ruido de fase de los osciladores. Con la interferencia la señal puede verse mezclada con la señal indeseada (lo veremos al analizar la PLL como demodulador) y con el ruido de fase, se introduce ruido sobre la señal banda base que reduce la calidad de la misma.

ANÁLISIS DE UN PLL COMO DEMODULADOR DE FM

El diagrama de bloques de un PLL como demodulador de FM es

Diagrama de bloques de un PLL como demodulador de FM

Diagrama de bloques de un PLL como demodulador de FM

La señal de FM entra en el PLL a través de comparador de fase, y es comparada con un VCO de la misma frecuencia que la señal modulada. A la salida del filtro de lazo se obtiene la señal original x(t). Si analizamos

{\varphi}_{FM}(t)={\omega_0}t+{\theta}(t)={\omega_0}t+m_{FM} \displaystyle \int_0^t {x(t)dt}

en el dominio de Laplace tenemos que:

{\Psi}_{FM}(s)=\dfrac {\omega_0}{s^2}+{\Theta}(s)=\dfrac {\omega_0}{s^2}+m_{FM} \dfrac {X(s)}{s}

El primer término corresponde a la transformada de ωo·t, mientras que el segundo corresponde a la integración de x(t).

El VCO proporciona un argumento ωo·t, por lo que

{\Psi}_{VCO}(s)=\dfrac {2{\pi}K_V}{s} \Xi_{phase}(s)

Siendo Ξphase(s) la señal de sintonía que ataca al VCO. Además, si la función de transferencia del PLL es H(s), podremos poner

{\Psi}_{VCO}(s)=\dfrac {2{\pi}K_V}{s} \Xi_{phase}(s)=H(s) \left[ {\dfrac {\omega_0}{s^2}+m_{FM} \dfrac {X(s)}{s}} \right]

y de aquí obtenemos que

\Xi_{phase}(s)=\dfrac {H(s)}{2{\pi}K_V} \left[ {\dfrac {\omega_0}{s}+m_{FM} {X(s)}} \right]

En las entradas anteriores habíamos obtenido que la función de transferencia H(s) es un filtro paso bajo, generalmente de primer o segundo orden, por lo que eligiendo la pulsación natural del lazo de un valor mayor a la anchura de banda de la señal X(s), podemos obtener que:

\Xi_{util}(s)=\dfrac {\omega_0}{{2{\pi}K_V}s}+\dfrac {m_{FM}}{2{\pi}K_V}X(s)

Vamos a ver ambos términos. El primero es la transformada de Laplace de un escalón unitario

{\mathcal L}^{^-1} \left[ {\dfrac {\omega_0}{{2{\pi}K_V}s}} \right] =\dfrac {\omega_0}{{2{\pi}K_V}}u(t)=\dfrac {f_0}{K_V}u(t)

donde u(t) es la señal escalón y como KV es la respuesta del VCO a una tensión de control, nos da como resultado una componente DC que corresponde a la tensión que sintetiza fo.

Hay que recordar que KV no es estrictamente lineal, sino que es función de la frecuencia (KV(f)). No obstante, si el índice de modulación no es muy elevado y hay poca excursión frecuencial , podemos considerar en el entorno de f0 a KV como una constante. Esto afectaría al segundo término, que es la propia señal X(s) multiplicada por un valor que tiene en el denominador a KV. Si KV depende de la frecuencia, la transformada inversa es bastante más compleja. Pero al ser aproximado KV por una constante, sólo aparece X(s) como función de la variable s=j·ω , por lo que podemos obtener el valor de la señal. En resumen, tendremos que la transformada inversa es

\xi_{util}(t)=\dfrac {\omega_0}{2{\pi}K_V}u(t)+\dfrac {m_{FM}}{2{\pi}K_V}x(t)

Señal de sintonía útil para el VCO.y eliminando la componente de DC mediante un condensador de desacoplo, obtendremos que

\xi_{demod}(t)=\dfrac {m_{FM}}{2{\pi}K_V}x(t)

Por tanto, con el PLL podremos demodular una señal modulada en FM a través de su salida del filtro de lazo.

Como podemos ver a lo largo de la explicación, la influencia de una señal interferente se puede sumar al argumento demodulado y montarse sobre la señal deseada, aplicando superposición, ya que el PLL encuentra dos frecuencias similares y no es capaz de discernir cuál de ellas es la útil.

También podemos ver que si hay un ruido de argumento θn(t), tendremos que

\Xi_{phase}(s)=\dfrac{H(s)}{2{\pi}K_V} \left[ \dfrac {\omega_0}{s}+m_{FM}X(s)+s{\Theta_n}(s) \right]

por lo que el ruido de fase quedaría filtrado por el H(s) salvo en las frecuencias correspondientes a X(s), ruido que llamaremos ΘnBW(s). Aplicando la transformada inversa, obtendremos que

\xi_{util}(t)=\dfrac {\omega_0}{2{\pi}K_V}u(t)+\dfrac {m_{FM}}{2{\pi}K_V}x(t)+\dfrac {d{\Theta_{nBW}}(t)}{dt}

La influencia de este ruido, en analógico no suele ser muy grande, pero en digital puede provocar “jitter” en los flancos de subida y bajada de la señal demodulada, que habría que tratar mejorando el ruido de fase de los osciladores.

DISEÑO DE UN PLL PARA DEMODULAR UNA SEÑAL FM

Vamos a suponer un PLL que tenga los siguientes parámetros:

  • Kd=1 V/rad
  • KV= 10 KHz/V

y usamos una señal moduladora cosenoidal

x(t)=A_{mod} \cos {\left( \omega_{mod}t \right)}

con fmod=5 KHz. La señal modulada tiene una frecuencia fo=100 MHz, por lo que la señal FM será

y_{FM}= A \cos { \left( 2{\pi} \cdot 100 \cdot 10^6\cdot t + m_{FM}A_{mod} \displaystyle \int_0^t {\cos {\left( 2{\pi} \cdot 5 \cdot 10^3\cdot t \right)} dt} \right)}

Nuestro filtro de lazo va a ser un filtro del tipo

F(s)=\dfrac {1+{\tau_2}s}{{\tau_1}s}

La función de transferencia H(s) es:

H(s)=\dfrac {{\Psi_{VCO}}(s)}{{\Psi_I}(s)}=\dfrac {K {\dfrac {1+{\tau_2}s}{{\tau_1}s}}}{s+\dfrac {1+{\tau_2}s}{{\tau_1}s}}

K=2{\pi} K_D K_V=2{\pi} \cdot 10^4

De aquí obtendremos que

H(s)=\dfrac {{\Psi_{VCO}}(s)}{{\Psi_I}(s)}=\dfrac {2{\pi} \cdot 10^4 \cdot {\tau_2}s+2{\pi} \cdot 10^4}{ {\tau_1}s^2 +2{\pi} \cdot 10^4 \cdot {\tau_2} \cdot s +2{\pi} \cdot 10^4} =\dfrac {2{\pi} \cdot 10^4 \cdot \dfrac {\tau_2}{\tau_1}s+\dfrac {2{\pi} \cdot 10^4}{\tau_1}}{ s^2 +2{\pi} \cdot 10^4 \cdot \dfrac {\tau_2}{\tau_1} \cdot s +\dfrac {2{\pi} \cdot 10^4}{\tau_1}}

y además, tendremos que

H(s)=\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}

por lo que

{\tau_1}=\dfrac {2{\pi} \cdot 10^4}{\omega_n^2}

{\tau_2}=\dfrac {2{\xi}}{\omega_n}

Como tenemos que filtrar por encima de 5 KHz, podemos elegir una frecuencia natural de lazo de 10KHz, y un amortiguamiento de 0,707. Entonces las constantes de tiempo del filtro de lazo son:

{\tau_1}=\dfrac {2{\pi} \cdot 10^4}{\left( {2{\pi} \cdot 6 \cdot 10^3} \right)^2}=15,92 {\mu}s

{\tau_2}=\dfrac {2 \cdot 0,707}{2{\pi} \cdot 6 \cdot 10^3}=22,51 {\mu}s

Eligiendo filtro del tipo

Filtro de lazo de primer orden

Filtro de lazo de primer orden

tendremos que

\tau_1=R_1C_1

\tau_2=R_2C_1

Y si R2=10KΩ, tendremos que

C_1= \dfrac {\tau_2}{R_2}=\dfrac{22,51 {\mu}s}{10^4}=2,25nF \approx 2n2

R_1= \dfrac {\tau_1}{C_1}=\dfrac{15,92 {\mu}s}{2,25nF}=7,07k{\Omega} \approx 6k8

SIMULACIÓN DE UN PLL COMO DEMODULADOR DE FM

En algunos simuladores podemos usar bloques para estudiar el comportamiento como demodulador de FM de un PLL. Sin embargo, no todos los simuladores contienen en sus librerías estos bloques.

Sí se puede hacer un estudio, sin embargo, de la función de transferencia en el punto de sintonía del PLL, que marcaremos como x(t). El diagrama de bloques de nuestro PLL será, entonces

PLL para calcular la respuesta en frecuencia del filtro anterior

PLL para calcular la respuesta en frecuencia del filtro anterior

La transformada de ξ(t) la llamábamos Ξ(s), y el argumento yFM(t) tiene una transformada YFM(s). La función de transferencia a estudiar es

\dfrac {{\Xi}(s)}{{\Psi_{FM}}(s)}=\dfrac {s}{2{\pi}K_V}H(s)

donde H(s) es la función de transferencia del PLL en lazo cerrado. Por tanto, la función de transferencia es

\dfrac {{\Xi}(s)}{{\Psi_{FM}}(s)}=\dfrac {s}{2{\pi}K_V}\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}

Estudiando los límites, tendremos que

\displaystyle\lim_{s \to 0} \dfrac {{\Xi}(s)}{{\Psi_{FM}}(s)}=\displaystyle\lim_{s \to 0} \dfrac {s}{2{\pi}K_V}\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}=0

\displaystyle\lim_{s \to {+}\infty} \dfrac {{\Xi}(s)}{{\Psi_{FM}}(s)}=\displaystyle\lim_{s \to {+}\infty} \dfrac {s}{2{\pi}K_V}\dfrac {2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\xi}{\omega}_n s +{{\omega}_n}^2}=\dfrac {{\xi}{\omega_n}}{{\pi}K_V}=\dfrac {\tau_2}{\tau_1}=\sqrt{2}

Por tanto, podemos concluir que se trata de un filtro paso alto que sube con una pendiente de 20dB/dec hasta la pulsación natural del lazo ωn, y a partir de ahí se mantiene constante.

Un filtro paso alto hace una función de derivación, por lo que podemos aproximar por

{\xi}(t)={cte} \dfrac {d{\psi}(t)}{dt}

Trazando el Bode de esta función, podemos comprobar la pendiente de nuestra función de transferencia y estudiar el comportamiento paso alto.

Y si estudiamos el comportamiento de esta función de transferencia, vemos que se comporta como un filtro paso alto donde la señal útil se encuentra entre DC y 5KHz, y en la parte plana tenemos 3dB, que es la relación entre el tiempoτ2 y τ1.

Bode de la función de transferencia para la tensión de sintonía

Bode de la función de transferencia para la tensión de sintonía

Por encima de los 100KHz el filtro vuelve a caer debido al comportamiento paso bajo del amplificador operacional.

En la zona de la pulsación natural podemos ver que existe cierta distorsión debido al cambio de pendiente de la función de transferencia. Es por eso que es recomendable siempre buscar una pulsación natural de lazo cuya frecuencia sea una octava de la máxima frecuencia de la señal útil, para reducir esta distorsión.

CONCLUSIONES

En esta entrada hemos analizado el comportamiento de un PLL como demodulador de señal en FM, y cómo se puede analizar la función de transferencia entre la señal de FM y la señal demodulada. Con esta entrada, finalizamos en capítulo de las PLL analógicas y sus posibilidades de simulación usando simuladores convencionales.

La siguiente entrada tratará de las PLL digitales, su estudio y comparación con las PLL analógicas y cómo se pueden sintetizar las mismas.

REFERENCIAS

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  3. Varsha Prasad & Dr Chirag Sharma; “A Review of Phase Locked Loop”; International Journal of Emerging Technology and Advanced Engineering; vol. 2, no.6, pp.98-104; June 2012.
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