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El PLL analógico y su simulación (II)

Habíamos analizado en la entrada del mes pasado la forma de estudiar la estabilidad de un PLL analógico en términos de margenes de ganancia y de fase, para poder analizar y optimizar el lazo lo mejor posible y conseguir un enganche sin problemas.

En esta entrada vamos a analizar la simulación del modelo de ruido de un PLL, para analizar cuáles son los parámetros más críticos a la hora de obtener un oscilador con un buen ruido de fase, hoy en día muy necesario para usarlo en telecomunicaciones digitales.

EL RUIDO DE FASE

No es el objetivo de esta entrada profundizar en los efectos del ruido de fase, pero sí es conveniente para el profano conocer qué es lo que provoca la existencia de ese ruido. Por tanto, vamos a estudiar cómo se genera y lo que normalmente provoca.

Un oscilador convencional oscila en una frecuencia en función del circuito resonante utilizado. La estabilidad de la frecuencia de salida depende, entonces, del factor de calidad usado en el circuito resonante. Contra mayor es el Q del circuito, mejor será la estabilidad de la frecuencia de salida.

Sin embargo, a la estabilidad del oscilador hay que añadir un parámetro que está afectando cada vez más a los sistemas de comunicaciones. Este parámetro es el ruido de fase.

El ruido de fase se define como la variación aleatoria de la fase instantánea de una señal periódica respecto a la señal ideal. Es, por tanto, un ruido que viaja en el argumento de la señal y no en la amplitud, como puede ocurrir con el ruido térmico. Sin embargo, puede afectar muy negativamente en las señales si éste no se controla, del mismo modo que pasa con el ruido térmico.

Se suele representar como una densidad espectral de potencia de ruido distribuida en las bandas laterales de la frecuencia de la señal, y se mide en dBc/Hz.

Representación de la densidad espectral del ruido de fase

Representación de la densidad espectral del ruido de fase

El ruido de fase se puede calcular mediante el modelo de Leeson a través de la expresión

Expresión del modelo de Leeson para el ruido de fase

Expresión del modelo de Leeson para el ruido de fase

donde

  • Po es la amplitud de la señal de salida del oscilador
  • k.T0 es la amplitud del ruido térmico (T0 temperatura de ruido, k constante de Boltzmann)
  • f0 la frecuencia del oscilador
  • Q el factor de calidad del circuito resonante y
  • f la frecuencia de offset en el que se mide la densidad de potencia de ruido

El ruido de fase provoca fluctuaciones en los flancos de subida y bajada de las señales digitales, que afectan a la correcta interpretación del dato enviado. A esta fluctuación se le suele denominar “jitter” y es uno de los inconvenientes que se pueden encontrar en las comunicaciones digitales.

Fluctuación o "jitter" provocado en los flancos de una señal digital

Fluctuación o “jitter” provocado en los flancos de una señal digital

En los sistemas analógicos, el ruido de fase influía, sobre todo, en las modulaciones de tipo angular, ya que la información viaja en el argumento. Si tenemos una señal portadora sinusoidal y(t) de pulsación ω, y le añadimos un ruido de fase Δθn, la señal real será

Señales con ruido de argumento o fase: sinusoidal, modulada en FM y modulada en PM

Señales con ruido de argumento o fase: sinusoidal, modulada en FM y modulada en PM

Por lo que podemos observar, el ruido de fase es un ruido que se puede sumar a la señal original y provocar una incorrecta recepción del sistema demodulador. Sin embargo, estos sistemas son más inmunes al ruido térmico puesto que la información no viaja en la amplitud.

En los sistemas digitales en transmisión pasobanda, la información digital se asocia a un símbolo, que es una representación espacial en fase y cuadratura y que tiene una amplitud y una fase, por lo que el ruido térmico (ruido de amplitud) tiene influencia, pero al haber también fase asociada el ruido de fase también afecta a la señal recibida

Señal digital con ruido de amplitud (canal) y fase (portadora)

Señal digital con ruido de amplitud (canal) y fase (portadora)

Y de aquí obtendremos que el símbolo tiene añadido en su amplitud y fase ruido que es tanto de amplitud y fase

Amplitud y fase de los símbolos recibidos con el ruido añadido

Amplitud y fase de los símbolos recibidos con el ruido añadido

Si estos símbolos los representamos en una constelación (como por ejemplo una QPSK), la señal recibida será

Símbolos de la señal QPSK recibida, junto con el ruido de amplitud y de fase.

Símbolos de la señal QPSK recibida, junto con el ruido de amplitud y de fase

Por tanto, si no se controlan los niveles de ambos ruidos (amplitud y fase), la información digital recibida podría no ser demodulada. Este fenómeno se estudia a partir del B.E.R. (bit error rate), que es un factor que mide la probabilidad de error en la recepción de bits en función del tipo de modulación digital que se utilice (QPSK o QAM).

SÍNTESIS DE OSCILADORES CON PLL

Como hemos dicho en la entrada anterior, la mayoría de los osciladores usados en frecuencias que son moduladas para transmitir la señal en forma pasobanda se realizan con VCO’s. Y como los VCO’s no suelen ser osciladores estables, se suele recurrir al PLL para realizar la síntesis.

En la entrada anterior estudiamos el diagrama de bloques del PLL y cómo se puede estudiar su estabilidad. Ahora vamos a estudiar el comportamiento cuando se añade ruido al sistema.

Para ello representamos el modelo de ruido del PLL, que es

Diagrama de bloques para analizar el ruido de una PLL

Diagrama de bloques para analizar el ruido de una PLL

donde tenemos que Δθr es el ruido de fase que introduce la referencia, Δθk es el ruido que introduce el detector de fase, Δθn es el ruido que aparece justo en la entrada del VCO, Δθmin es el ruido que introduce el divisor y Δθvco es el ruido de fase que tiene el propio oscilador a sintetizar.

Vamos a analizar por partes, aplicando superposición, cada una de las contribuciones de ruido, comenzando por el ruido de la frecuencia de referencia Δθr, al que hay que añadir el ruido que sale del divisor ÷N, Δθmin. La contribución al ruido de salida Δθout de ambas componentes de ruido es

Contribución al ruido de salida de la referencia y del divisor por N

Contribución al ruido de salida de la referencia y del divisor por N

Analizando la función de transferencia

Función de transferencia para el ruido de referencia

Función de transferencia para el ruido de referencia

y sabiendo que F(s) es un filtro pasobajo, la función resultante coincide con la función de transferencia H(s) del PLL, se puede concluir la función de transferencia se comporta como un paso bajo para el ruido de referencia. Además, podemos comprobar que el ruido en la zona de paso de la función de transferencia queda multiplicada por N, que es la relación de división. Por tanto, un factor N bajo reduce el ruido introducido por la referencia.

En una PLL, una vez elegida la pulsación natural del lazo ωn, que es la frecuencia de corte de la función de transferencia pasobajo H(s), el ruido por debajo de esa pulsación natural del lazo es debido al ruido de la referencia, multiplicada por N. La contribución del ruido del divisor Δθmin se puede reducir si el sintetizador utilizado se le alimenta con una buena tensión de continua Vdd, muy bien filtrada para que no se reduzca al máximo el piso de ruido que genera el propio componente. Así, podemos decir que Δθmin≈0.

El comparador, como también es un dispositivo electrónico y por lo general está integrado en el propio sintetizador, también genera un piso de ruido Δθk. La contribución al ruido de salida del ruido generado por el comparador es:

Contribución al ruido del comparador de fase

Contribución al ruido del comparador de fase

En este caso, el comportamiento del comparador también es un paso bajo, pero en este caso está dividido por la ganancia del comparador de fase. Del mismo modo que Δθmin, Δθk está generado por el propio sintetizador y puede minimizarse realizando un buen filtrado de las alimentaciones del sintetizador, y usando una tensión Vdd muy limpia. Si se cumplen estas condiciones, podemos considerar también que Δθk≈0.

Por último, vamos a ver cómo contribuyen a la salida el ruido de fase propio del VCO, Δθvco, y el ruido presente justo a la entrada del VCO, Δθn. Analizando el sistema, podemos poner que la contribución al ruido de Δθvco y Δθn es

Contribución al ruido del VCO y del ruido presente en el nodo de control

Contribución al ruido del VCO y del ruido presente en el nodo de control

Y analizando la función de transferencia de esta contribución de ruido, podemos ver que hay un cero en el origen, que hace que el comportamiento de esa función de transferencia sea el de un filtro pasoalto

Función de transferencia para el ruido del VCO y del nodo de control

Función de transferencia para el ruido del VCO y del nodo de control

Al ser un filtro pasoalto, su frecuencia de corte será la pulsación natural del lazo ωn, lo que viene a indicar que la PLL filtra el ruido del oscilador VCO hasta la pulsación natural del lazo ωn, y que por encima, el ruido de fase del VCO es el que predomina en el ruido de salida.

En este caso, Δθn también es un piso de ruido que se puede minimizar usando técnicas de filtrado eficientes. Además, el propio VCO lo filtra, por lo que en la mayoría de los casos, podemos considerar que Δθn≈0.

La contribución a la potencia ruido es la suma de las tres componentes por separado, y despreciando el ruido del divisor, del comparador y del nodo de entrada del VCO, podemos escribir que

Contribución total al ruido

Contribución total al ruido

por lo que tenemos que en la PLL, cuya función de transferencia H(s) es un filtro pasobajo con una pulsación natural ωn, la contribución al ruido por debajo de esa frecuencia es debida al ruido de fase de la frecuencia de referencia (por lo general un oscilador a cristal de cuarzo), multiplicado por el factor de división N usado en el VCO, mientras que a frecuencias superiores a la pulsación natural del lazo ωn, el ruido de salida es el ruido del oscilador local.

Por tanto, el ruido de fase de un oscilador sintetizado con una PLL será siempre un compromiso entre la pulsación de referencia utilizada, que es la que proporciona el salto frecuencial del VCO, y la pulsación ωn del pasobajo que forma la PLL. Debido a que en la PLL está presente la frecuencia de referencia ωr, a medida que ωn se acerca a ésta, aparecen frecuencias espurias en el VCO a una distancia de la señal deseada que vale fr. Se filtra el ruido, pero aparecen espurias en la señal de salida. Sin embargo, si se quieren hacer saltos muy bajos, el factor N será muy alto, por lo que el ruido de la referencia será cada vez mayor.

Por lo general, en la mayoría de los sintetizadores el factor N es entero, por lo que suele tomar valores muy elevados. Hoy en día, sin embargo, se están comercializando sintetizadores con divisores N fracionales, de tal modo que se puede elegir una frecuencia de referencia muy alta y hacer el salto gracias a que N es un número fraccionario, consiguiendo ruidos de fase muy buenos. Sin embargo, la mayoría de los sintetizadores comerciales siguen siendo de divisores por N enteros, por lo que hay que seguir vigilando el ruido.

Hay que destacar que ωn muy bajas hacen que el lazo sea de enganche lento, mientras que cuando son muy altas, suele ser de enganche muy rápido. Ambas versiones presentan ventajas e inconvenientes, que hay que analizar a la hora de conseguir una PLL óptima. Las diferencias fundamentales son:

  • Una ωn baja (PLL lenta) introduce más ruido de fase, pero es más inmune fenómenos de desenganche provocados por la vibración.
  • Una ωn alta (PLL rápida) reduce mucho el ruido de fase, pero puede introducir frecuencias espurias y puede tener mayor tendencia a oscilar, aparte de que es muy sensible al microfonismo o acoplamiento por vibración.

Lo normal es elegir una ωn que sea 10 veces inferior a ωr (pulsación de referencia) para el diseño de cualquier PLL.

SIMULACIÓN DE LAS FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DEL RUIDO

Del mismo modo que hemos simulado en la entrada anterior los márgenes de amplitud y de fase, es posible simular también el comportamiento del ruido de referencia y el ruido del VCO. Para ello usamos los mismos datos que en el caso anterior

  • Frecuencia del VCO fo : 850 MHz
  • Ganancia del VCO Ko : 20 MHz/volt
  • Frecuencia de referencia fr : 25 KHz
  • Relación de división N: 34000
  • Ganancia del comparador de fase : 1 mA/rad
  • Frecuencia natural del lazo : 3 KHz

Y el diagrama de bloques, en este caso ya en lazo cerrado, será

Diagrama de bloques en lazo cerrado del PLL

Diagrama de bloques en lazo cerrado del PLL

donde la función de transferencia es la ya conocida

Función de transferencia para el ruido de referencia

Función de transferencia en lazo cerrado

siendo su respuesta una curva de la forma

Función de transferencia H(s). Contribución al ruido de la frecuencia de referencia

Función de transferencia H(s). Contribución al ruido de la frecuencia de referencia

En la función de transferencia se puede apreciar el pico del amortiguamiento ξ, ya que para un PLL de segundo orden genérico, la función de transferencia H(s)

Forma genérica de la función de transferencia de la PLL de segundo orden

Forma genérica de la función de transferencia de la PLL de segundo orden

con ξ el factor de amortiguamiento y ωn la pulsación natural del lazo.

Para comprobar el funcionamiento pasoalto del lazo, simplemente tenemos que tomar la diferencia entre fr y el valor que toma en el nodo VCO, para comprobar que la función de transferencia es

Función de transferencia para el ruido del VCO y del nodo de control

Función de transferencia para el ruido del VCO

Por tanto, simulando tomando como variables de salida la diferencia de tensión entre los nodos conectados REF y VCO en el comparador de fase, obtendremos una curva

Función de transferencia de la contribución del ruido del VCO a la frecuencia de salida

Función de transferencia de la contribución del ruido del VCO a la frecuencia de salida

El factor ξ se provoca, a frecuencias cercanas a ωn un pico de amortiguamiento. Hay que optimizar el filtro de lazo para que ese pico de amortiguamiento sea más bajo lo más bajo posible, evitando que el PLL oscile.

Como se puede ver en la gráfica, el ruido del VCO por debajo de la pulsación ωn queda filtrado, por lo que podemos ver que sólo contribuye el ruido de la frecuencia de referencia. Por encima, el paso alto tiene un valor de ganancia 0dB, por lo que el PLL deja pasar el ruido de fase del VCO.

Si combinamos ambas respuestas, correctamente escaladas, obtenemos

Composición de ambas respuestas en frecuencia

Composición de ambas respuestas en frecuencia

Se puede observar que la ganancia en pasobajo de la función de transferencia que contribuye al ruido de la frecuencia de referencia es de 90,63dB (20.log (34000)), mientras que e la ganancia en pasoalto de la otra función de transferencia es 0dB, por lo que el ruido del VCO queda igual. En la zona donde coinciden ambas, correspondiente a la pulsación ωn, ambos ruidos se suman.

CONCLUSIÓN

En esta entrada hemos podido comprobar un método para estudiar el comportamiento de un PLL con respecto al ruido de fase del VCO y comprobado que el modelo propuesto es válido para optimizar el ruido de fase de cualquier oscilador sintetizado. En la siguiente entrada estudiaremos la síntesis usando un oscilador VCO de ruido de fase conocido, junto con un XO con ruido de fase conocido, y comprobaremos que ambas componentes espectrales se suman siguiendo el modelo propuesto.

REFERENCIAS

  1. F.M Gardner; “Phase Locked Loop Techniques”; 2nd ed.; New York; Wiley; 1979
  2. Varsha Prasad & Dr Chirag Sharma; “A Review of Phase Locked Loop”; International Journal of Emerging Technology and Advanced Engineering; vol. 2, no.6, pp.98-104; June 2012.
  3. F. M. Gardner; “Charge-Pump Phase-Lock Loops”; IEEE Transactions on Communications; vol. 28, no. 11, pp. 1849-1858; Nov 1980.
  4. Marc Tiebout; “Low-Power Low-Phase-Noise Differentially Tuned Quadrature VCO Design in Standard CMOS”; IEEE Journal of solid-state circuits; vol. 36, no. 7; July 2001
  5. Kim Beomsup, T.C. Weigandt, P.R. Gray; “PLL/DLL system noise analysis for low jitter clock synthesizer design”; IEEE International Symposium on Circuits and Systems; vol. 4, pp. 31-34; Jun. 1994
  6. Dai Liang, R. Harjani; “Design of low-phase-noise CMOS ring oscillators”; IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing; vol. 49, no.5, pp. 328-338; May 2002
  7. “Phase locked loop fundamentals”; Mini-Circuits; VCO Application Notes
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3 comentarios

  1. juan dice:

    hola, buenisima explicacion, podrias compartir el archivo con que simulaste, estaria bueno poder probarlo, que soft usaste? resubi la foto 4 por favor, un abrazo

  2. Uriel Trespalacios M dice:

    Gracias no me habia fijado en los detalles del tetrico ruido
    Gracias por la solucion simple

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