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El PLL analógico y su simulación (I)

EL LAZO DE SEGUIMIENTO DE FASE (PLL)

Una de las formas más sencillas de generar una frecuencia estable en un oscilador variable con la tensión (VCO) a partir de una frecuencia muy estable procedente de un oscilador a cristal (XO), es el uso de una realimentación denominada lazo de seguimiento de fase o PLL (Phase Locked Loop). De este modo, podemos usar un oscilador de cuarzo, que generalmente trabaja a frecuencia fija y nunca más allá de los 100MHz, para sintetizar una gama de frecuencias muy extensa en el espectro electromagnético.

Básicamente consiste en una comparación de la frecuencia generada con una frecuencia de referencia estable (XO) y la generada por el oscilador controlado por tensión (VCO), mediante un comparador de fase. La salida del  ese comparador de fase se pasa a través de un filtro pasobajo F(s), que integra la señal del comparador y la introduce en el VCO, que tiene una ganancia Kque relaciona la frecuencia de salida con la tensión aplicada. Un VCO es capaz de generar muchas frecuencias en función de KO, pero ni es estable con la temperatura, ni con la carga, ni con las variaciones de tensión en el nudo de control del oscilador.

Su diagrama de bloques es el siguiente

Diagrama de bloques de un PLL

Diagrama de bloques de un PLL

donde la fase de entrada (φref) se compara mediante una resta con la fase de salida (φout) después de haber pasado por un divisor entero ÷N, y se multiplica por un factor de proporcionalidad KD. La señal de salida de KD, pasa a través del filtro pasobajo F(s), que ataca al integrador formado por el VCO, con ganancia KO.

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL PLL

El diagrama de bloques que tenemos representado en el apartado anterior muestra una función de transferencia en el dominio de Laplace que es

Función de transferencia del PLL

Función de transferencia del PLL

Por tanto la función de transferencia H(s) tiene una característica de filtro pasobajo. Dependiendo del valor de F(s), tendremos un PLL de primer orden (cuando F(s)=cte) o de segundo orden (cuando F(s) sea un integrador).

En un lazo de segundo orden, la función de transferencia toma la forma genérica de

Forma genérica de la función de transferencia de la PLL de segundo orden

Forma genérica de la función de transferencia de la PLL de segundo orden

A ωn le denominaremos pulsación natural del lazoy a ξ factor de amortiguamiento del lazo.

ESTABILIDAD DE LA PLL

Al ser la PLL un lazo cerrado, es conveniente estudiar el denominador de la función de transferencia H(s), ya que cuando éste se anula, la PLL se vuelve inestable y la fase de salida nunca llegará a ser la fase de entrada. Tenemos entonces que estudiar lo que pasa cuando el denominador de H(s) es nulo

Ganancia en lazo abierto

Obtención de la ganancia en lazo abierto

donde

Ganancia en lazo abierto

Ganancia en lazo abierto

es la ganancia en lazo abierto

De la primera expresión sacamos que

Criterio de estabilidad de la PLL

Criterio de estabilidad de la PLL a través de la ganancia en lazo abierto

que denominamos criterio de estabilidad de la PLL. Nos indica que si se cumplen en la ganancia en lazo abierto ambas condiciones (en magnitud y fase), la PLL no llegará nunca a un enganchar la fase de salida con la de entrada.

MÁRGENES DE AMPLITUD Y FASE

Estudiando la ganancia en lazo abierto, podemos comprobar cuáles son los márgenes de ganancia y márgenes de fase, para garantizar la estabilidad del bucle. Estos conceptos se definen como :

  1. Margen de fase : diferencia entre la fase a ganancia unidad (o a 0 dB) y π rad.
  2. Margen de ganancia : ganancia cuando la fase vuelve a ser π rad, a frecuencias superiores al margen de fase.

Por tanto, al diseñar una PLL es necesario conocer cuáles son los márgenes de ganancia y de fase para garantizar la estabilidad de la misma.

SIMULACIÓN DE LOS MÁRGENES DE AMPLITUD Y FASE

Usamos PSPICE para simular la ganancia en lazo abierto, aunque cualquier simulador de circuitos con análisis de AC nos sirve. Para ello consideramos que tenemos los siguientes datos del PLL:

  • Frecuencia del VCO fo : 850 MHz
  • Ganancia del VCO Ko : 20 MHz/volt
  • Frecuencia de referencia fr : 25 KHz
  • Relación de división N: 34000
  • Ganancia del comparador de fase : 1 mA/rad
  • Frecuencia natural del lazo : 3 KHz

El comparador de fase Kd se puede simular mediante una fuente de corriente controlada por tensión VCCS, de la forma

Comparador de fase como una fuente de corriente controlada por tensión (VCCS)

Comparador de fase como una fuente de corriente controlada por tensión (VCCS)

donde en el nodo + se introduce la fase de referencia y en el nodo la fase de salida, después de haber pasado por el divisor.

El filtro que vamos a usar es un filtro RC que tiene dos polos y un cero, calculado a partir de la pulsación natural del lazo ωn y del factor de amortiguamiento ξ, y es

Filtro de lazo F(s)

Filtro de lazo F(s)

Por último, el VCO se representa mediante un integrador

Integrador

Integrador

El integrador se puede representar en circuito mediante el equivalente

Circuito equivalente del integrador Ko

Circuito equivalente del integrador Ko

donde la fuente de corriente vale 1A/V y la de tensión 1V/V, mientras que el condensador vale

Relación del condensador con la ganancia del VCO

Relación del condensador con la ganancia del VCO

Por último, el divisor por N se puede poner como un “buffer” de ganancia 1/N.

Entonces, el circuito a simular nos quedará

Diagrama de bloques del PLL en lazo abierto

Diagrama de bloques del PLL en lazo abierto

Y simulando en alterna con PSPICE entre 10Hz y 1MHz, y representando la magnitud y la fase de OUT frente a la frecuencia obtendremos

Ganancia del lazo abierto. Los marcadores indican el margen de ganancia

Ganancia del lazo abierto. Los marcadores indican el margen de ganancia

Fase en lazo abierto. Los marcadores indican el margen de fase

Fase en lazo abierto. Los marcadores indican el margen de fase

que son los resultados de la simulación en alterna. De aquí podemos ver que

  1. La ganancia es 0dB en ≈1kHz, siendo la fase, en esa frecuencia, de 144deg.
  2. La fase vuelve a valer 180deg en f=5,3KHz, valiendo la ganancia en esa frecuencia -22dB.

Por lo tanto, tenemos un margen de ganancia de 22dB y un margen de fase de 36deg, que garantiza que el lazo sea estable.

CONCLUSIÓN

Hemos visto en esta entrada la posibilidad de simular con un simulador de circuitos convencional, conociendo los datos de una PLL los criterios de estabilidad (márgenes de ganancia y de fase) que intervienen en ella. Este mismo circuito nos servirá para estudiar, también, el comportamiento frente al ruido de fase de los osciladores y cómo filtra la PLL el ruido de fase del VCO, estudio que veremos en la próxima entrada.

REFERENCIAS

  1. Benjamin C. Kuo.; “Automatic Control Systems”; 2nd ed.; Englewood Cliffs, NJ; Prentice Hall; 1975
  2. F.M Gardner; “Phase Locked Loop Techniques”; 2nd ed.; New York; Wiley; 1979
  3. Varsha Prasad & Dr Chirag Sharma; “A Review of Phase Locked Loop”; International Journal of Emerging Technology and Advanced Engineering; vol. 2, no.6, pp.98-104; June 2012.
  4. F. M. Gardner; “Charge-Pump Phase-Lock Loops”; IEEE Transactions on Communications; vol. 28, no. 11, pp. 1849-1858; Nov 1980.
  5. “Phase locked loop fundamentals”; VCO Designer’s Handbook; MiniCircuits Corporation; 1996