SHARENG Divulgación

Inicio » 2013 » febrero

Monthly Archives: febrero 2013

A vueltas con la Teoría del Caos

La Teoría del Caos, o el principio de que “una mariposa bate las alas en Pekín y llueve en Nueva York”, más conocido como Efecto Mariposa. Una de las Teorías más apasionantes de la Física y que, sin embargo, se puede hacer fácilmente entendible, una vez conocidos los sistemas a los cuales afecta.

La Teoría del Caos es aquella que se aplica a aquellos sistemas dinámicos en los que una leve variación de las variables que les afectan provoca una variación importante en la variable de salida. Estos sistemas se denominan caóticos, y aunque son sistemas determinísticos (o sea, se pueden determinar por la relación causa-efecto), sin embargo sus resultados son difícilmente predecibles debido a que se desconocen las condiciones en las que se van a encontrar en la cadena de sucesos.

El determinismo exige que no exista azar en la cadena que da lugar al suceso, y de esta manera se puede predecir el comportamiento de un fenómeno concreto.

ERROR EN LA PREDICCIÓN DE UN SUCESO

Todos sabemos que, a veces, la predicción del tiempo atmosférico falla, y se suele criticar al hombre del tiempo de esos fallos. Sin embargo, la predicción del tiempo atmosférico se basa en una serie de variables sobre las que no se tiene control y que pueden variar al azar en la cadena de sucesos. Por eso, una predicción a más de cuatro días vista no es posible y la comunicación sobre el tiempo atmosférico se tiene que proporcionar cada día. El tiempo atmosférico es, por tanto, un sistema caótico que se estudia de forma estadística, y el hombre del tiempo, lo que en realidad está transmitiendo es una probabilidad, no una certeza. Y al no ser una certeza, el meteorólogo admite la existencia de un cierto error en sus predicciones. Error que muchas veces el receptor no asume que exista. Como en todos los sistemas hay un error, la fiabilidad de una predicción se suele medir por el error relativo, que se define por:

ecuación 1siendo X(t) el valor que se produce en el instante t y Xel valor esperado o predicho en el instante t. El error promedio será:

ecuación 2

donde T es el intervalo en el que se mide el suceso. Si el resultado de esa integral tiende a cero, el sistema se puede definir como determinista y el fenómeno se puede predecir con total fiabilidad. Cosa que no ocurre en la meteorología.

SISTEMAS DINÁMICOS

Definimos un Sistema Dinámico como aquel sistema cuyas variables de salida varían en función de la variables de entrada (condiciones de contorno y el tiempo). Las condiciones de contorno son variables que, además, también pueden ser temporales. Por tanto, el resultado es una función

ecuación 3

donde el vector n-dimensional X son las variables de contorno y t es el tiempo. A partir de aquí, se clasifican los sistemas como:

  • Sistemas estables: Son aquellos sistemas que, a lo largo del tiempo, tienden a acudir a un sumidero o punto estable. El sumidero puede ser un simple punto o una órbita.
  • Sistemas inestables: Son aquellos sistemas que, a lo largo del tiempo, tienden a escapar del sumidero o punto estable.
  • Sistemas caóticos: Son aquellos sistemas que presentan ambos tipos de fenómeno: tienden a un sumidero, pero también hay fuerzas que le alejan de éste.

En realidad, a medida que aumenta el número de variables que afecta a un fenómeno, más posibilidades hay de que el sistema sea caótico, ya que es para modelar el sistema hay que conocerlas y controlarlas todas y esto puede ser una tarea titánica.

LA MECÁNICA ESTADÍSTICA

Los sistemas caóticos necesitan, pues, de la mecánica estadística para realizar los mecanismos de predicción. No se predicen, entonces, datos repetitivos, sino que se observan tendencias en función del número de muestras observadas. No es un modelo predictivo, sino un modelo que necesita de la observación y que en un momento dado puede varias debido al alejamiento del sumidero.

Un sencillo experimento para observar un sistema caótico consiste en una tabla de madera, en forma triangular, en la que en el interior colocamos puntas entrelazando las filas para que una canica vaya cayendo hacia las rendijas situadas en el fondo. Si hacemos este experimento y tiramos una canica, podremos comprobar la trayectoria de la misma. Si pintamos la trayectoria de la primera canica y volvemos a echar ésta, podremos comprobar si sigue o no la misma trayectoria. Lo más probable es que no sea así, y que la canica baje por otro camino y se deposite en otra rendija, y así sucesivamente.

abaco blog

Entonces… ¿puedo conocer con exactitud la caída de una canica y su situación final? Lo más seguro es que si predice que la canica vaya a caer por un camino, se equivoque. Lo que sabe con seguridad es que la canica cae, por efecto de la gravedad, pero desconoce como cae y en qué rendija se va a situar.

Ahora bien, si hace una muestra tirando 1.000 canicas, seguirá sin poder predecir el camino, pero tendrá una distribución probabilística del alojamiento de las canicas en las rendijas del fondo. Esta distribución probabilística, que en este caso simula a una campana de Gauss, sigue una expresión de la forma

ecuación 4

siendo

ecuación 5

y la forma de su curva es

400px-DisNormal01.svg

Por tanto, podemos predecir la probabilidad de que la canica caiga en una rendija determinada, independientemente del camino a seguir, y esto además tiene un error, representado en la varianza, puesto que son las zonas con mayor densidad de probabilidad, ya que se cumple que la probabilidad de que la canica caiga en una casilla siempre es la unidad.

ecuación 6

La mecánica estadística es la herramienta que se usa a la hora de intentar buscar una forma de estimar un sistema caótico.

PRINCIPIO DE INDETERMINACIÓN Y MECÁNICA CUÁNTICA

A medida que nos adentramos más en las partículas que se mueven a velocidades relativistas, los sistemas son más impredecibles. El límite entre un sistema clásico y un sistema probabilístico lo proporciona el Principio de Indeterminación de Heisemberg:

ecuación 7

Esta relación marca la imposibilidad de determinar con precisión la posición o la velocidad de un cuerpo en una partícula en movimiento. ¿Por qué, entonces somos capaces de determinar la posición y la velocidad de un vehículo con precisión? La clave está en la constante de Planck, que en su forma simplificada tiene un valor de 9,92.10-35 J.s. Y si el error cometido en la posición es de cm = 0,01m, para un coche de 950kg el error en la velocidad es:

ecuación 8

y siendo el error en la velocidad de 5,22.10-36 m/s, podemos comprobar que el error es ínfimo, siendo más grande el error de la posición que el de la velocidad.

En mecánica cuántica, al moverse las partículas a velocidades relativistas, es la ecuación de onda de Schrödinger la que propone la mecánica probabilística que permite analizar los fenómenos dinámicos de las partículas. De esta ecuación se obtiene una densidad de probabilidad y su formulación es:

ecuación 8

Por tanto, en los sistemas que se mueven a velocidades relativistas, a pesar de que no podemos predecir su posición o velocidad con exactitud, sí podemos hablar de probabilidad, como hablábamos en el caso de las canicas del ejemplo anterior.

CONCLUSIÓN

Esta pequeña muestra de los sistemas caóticos le puede servir para que el día de mañana, cuando su meteorólogo le diga la predicción del tiempo, sepa que lo que está es presentando una probabilidad estadística, al ser el tiempo atmosférico un fenómeno caótico que depende del número de muestras tomadas. Que cuando predice mal tiempo, no lo hace por fastidiar su negocio o por aterrar a los turistas. Es muy posible que haya sitios en los que su predicción varíe, pero no es porque él se haya equivocado en las mediciones, sino porque tiene que trabajar con un sistema caótico que no es predecible.